2020年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知复数z满足(1+i)z=|√3+i|，i为虚数单位，则z−等于()A. 1−iB. 1+iC. 12−12i D. 12+12i2.已知集合A={x|x2−4x<0}，B={−1,3，7}，则A∩B=()A. {−1}B. {3}C. {3,7}D. {−1,7}3.已知样本数据1，2，4，3，5，下列说法不正确的是()A. 平均数是3B. 中位数是4C. 极差是4D. 方差是24.函数f(x)=e|lnx|−|x−1|的图象大致是()A. B. C. D.5.三对夫妇去上海世博会参观，在中国馆前拍照留念，6人排成一排，每对夫妇必须相邻，不同的排法种数为()A. 6B. 24C. 48D. 726.函数的最小正周期为()A. π4B. π2C. πD. 2π7.已知m，n为直线，α，β为平面，下列说法正确的是()A. m⊥n，m//α，n//β⇒α⊥βB. m⊥n，α∩β=m，n⊂α⇒α⊥βC. m//n，n⊥β，m⊂α⇒α⊥βD. m//n，m⊥α，n⊥β⇒α⊥β8.若双曲线E:x29−y216=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于()A. 11B. 9C. 5D. 39.设θ为第四象限的角，cosθ=45，则sin2θ=()A. 725B. 2425C. −725D. −242510. 在如图所示的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1B ，AD 的中点，异面直线BF 与D 1E 所成角的余弦值为( )A. √147B. 57C. √105 D. 2√5511. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)，过其焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，记△AOB的面积为S ，且满足|AB|=3|FB|=3√22S ，则p =( )A. 12B. 1C. 32D. 212. 已知定义在上的函数的导函数为，满足f (x )>f′(x )，且，则不等式的解集为( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAC =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 14. △ABC 三角A ，B ，C 所对的边分别是3，4，6，则cosC = ______ ． 15. 若实数x ,y 满足x >y ，且，则x−yx 2+y 2的最大值为__________．16. 将一枚骰子(一种六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P(m,n)落在区域|x −2|+|y −2|≤2内的概率是________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S n2=a n (S n −12)． (1)求{S n }的表达式；(2)设b n =Sn2n+1，求{b n }的前n 项和T n ．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB//CD，PA=AB=AD=2，DC=1，AD⊥AB，PD=PB=2√2，点M是PB的中点．(Ⅰ)证明：CM//平面PAD；(Ⅱ)求直线CM与平面PDC所成角的正弦值．19.水是地球上宝贵的资源，由于介个比较便宜在很多不缺水的城市居民经常无节制的使用水资源造成严重的资源浪费．某市政府为了提倡低碳环保的生活理念鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，[1,1.5)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；(2)若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为[1,1.5)和[1.5,2)之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设X为用水量吨数在[1,1.5)中的获奖的家庭数，Y为用水量吨数在[1.5,2)中的获奖家庭数，记随机变量Z=|X−Y|，求Z的分布列和数学期望．20. 在直角坐标系xOy 中，动点M(x,y)满足：√(x +2√3)2+y 2+√(x −2√3)2+y 2=8．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过点(0,4)的直线l 与轨迹C 相交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上，设|PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，证明：点N 在一条定直线上．21. 已知函数f(x)=(a +1)lnx +ax 2−(3a +2)x ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当−1<a<0时，证明：4(a+1)xlnx<−4ax3+12(a+1)x2−7x+4对x∈(0,+∞)恒成立．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|2x+1|，记不等式f(x)<4的解集为M．(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，及共轭复数的概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再求z−即可．【解答】解：∵(1+i)z=|√3+i|=√3+1=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，、∴z−=1+i．故选B．2.答案：B解析：【分析】本题考查交集的运算，属于基础题．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|x2−4x<0}={x|0<x<4}，B={−1,3，7}，∴A∩B={3}．故选：B．3.答案：B解析：因为样本数据1，2，4，3，5，则中位数是3，平均数是3，极差是4，方差是2，故选B.4.答案：D解析：本题考查根据函数解析式确定函数图象，分段去绝对值，由解析式结合排除法求得结果．【解答】解：函数的定义域为，当时，，排除选项；当时，；当时，，排除选项，故选D．5.答案：C解析：采用捆绑及内部调整法，把三对夫妇看成三个整体，每对夫妇都有2种排列顺序，故不同的排法种数为A33A22A22A22=48.6.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数的周期的求法，是基础题．利用三角函数的周期公式求解即可．【解答】解：函数y=|sin2x|的最小正周期为：12×2π2=π2．故选B．7.答案：C解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，是基础题．在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交，但不一定垂直；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，α与β平行．【解答】解：由m，n为直线，α，β为平面，知：在A中，m⊥n，m//α，n//β⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β=m，n⊂α⇒α与β相交，但不一定垂直，故B错误；在C中，m//n，n⊥β，m⊂α，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m//n，m⊥α，n⊥β⇒α与β平行，故D错误．故选C．8.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的定义，是基础题．确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．【解答】解：双曲线E：x29−y216=1中的a=3，c=5，∵|PF1|=3<a+c，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|−|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选B．9.答案：D解析： 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2θ的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 【解答】解：∵θ为第四象限的角，cosθ=45，∴sinθ=−√1−cos 2θ=−35， 则sin2θ=2sinθcosθ=−2425， 故选：D ．10.答案：D解析： 【分析】本题考查了异面直线所成角的计算，利用平移作出角是解题关键，属于中档题． 取DD 1中点M ，连接BM ，则BM//D 1E ，在△BFM 中利用余弦定理计算cos∠FBM ． 【解答】解：取DD 1中点M ，连接BM ，则BM//D 1E ，∴∠FBM 为异面直线BF 与D 1E 所成角，设正方体棱长为1，则BF =√52，FM =√22，BM =32，∴cos∠FBM =94+54−122×32×√52=2√55， 故选：D ．11.答案：D【分析】本题考查抛物线的几何性质，属于中档题目．【解答】解：设|FB|=a，分别过A，B作准线的垂线交于A′，B′点，则有|BB′|=a，|AB|=3a，|AA′|=|AF|=2a，过B点作BD⊥AA′于点D，则有|AD|=a，由勾股定理得BD=√AB2−AD2=2√2a，依题意有3a=3√22×12×12p×2√2a，解得p=2，故选D．12.答案：A解析：【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性解不等式、函数的奇偶性及对称性，属于中档题．令g(x)=f(x)e x，利用导数和已知即可得出其单调性即可得出．【解答】解：令g(x)=f(x)e x，则g′(x)=f′(x)e x−f(x)e x(e x)2=f′(x)−f(x)e x，∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0．∴g(x)在R上单调递减．∵f(0)=2，2e x>0，∴f(x)>2e x可转化为f(x)e x >f(0)e0即g(x)>g(0)∴x<0．∴不等式f(x)>2e x的解集为(−∞,0)．13.答案：2解析：解：∵在菱形ABCD 中，边长为2，∠BAC =60°， ∴AC =BC =2，∠ACB =60°，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=2×2×12=2， 故答案为：2．根据菱形的性质和向量的数量积公式计算即可本题考查了菱形的性质和向量的数量积公式，属于基础题14.答案：−1124解析：解：∵a =3，b =4，c =6， ∴cosC =a 2+b 2−c 22ab =9+16−3624=−1124．故答案为：−1124利用余弦定理列出关系式，将三边长代入即可求出cos C 的值． 此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15.答案：14解析： 【分析】本题考查导数的运算以及利用基本不等式求最值，由得y =2x ，则x−yx 2+y 2=x−2x x 2+4x2=x−2x (x−2x)2+4=1(x−2x )+4(x−2x )利用基本不等式即可求其最大值，属于中档题．【解答】 解：由得xy =2，即y =2x ，则x−yx 2+y 2=x−2x x 2+4x2=x−2x (x−2x)2+4=1(x−2x )+4(x−2x )≤2√(x−2x )×4(x−2x)=14，当且仅当x −2x =4x−2x且xy =2，即x =√3+1,y =√3−1时等号成立．故答案为14．16.答案：1136解析： 【分析】本题主要考查古典概型概率的计算，属于较易题．利用列举法求出将一枚骰子先后抛掷2次，基本事件总数为36，点P 落在区域|x −2|+|y −2|≤2内的基本事件个数为11，由此能求出点P 落在区域|x −2|+|y −2|≤2内的概率． 【解答】解：将一枚骰子先后抛掷2次，得到点P 的坐标为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,6)，共36种情形，其中点P 落在区域|x −2|+|y −2|≤2内的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，共11个，所以点P 落在区域|x −2|+|y −2|≤2内的概率为1136．故答案为1136．17.答案：解：(1)(1)∵S n2=a n (S n −12)，a n =S n −S n−1(n ≥2)， ∴S n 2=(S n −S n−1)(S n −12)， 即2S n−1S n =S n−1−S n ①， 由题意，得S n−1·S n ≠0， ①式两边同除以S n−1·S n ，得1S n−1Sn−1=2，由a 1=1，S n2=a n (S n −12)，可得S 22=a 2(S 2−12)，即(a 1+a 2)2=a 2(a 1+a 2−12)，解得a 2=−23，1S 1=1,1S 2=1a1+a 2=2，故n =1时，1S 1−1S 2=2成立，∴数列{1S n}是首项为1S 1=1a 1=1，公差为2的等差数列，∴1S n=1+2(n −1)=2n −1，∴S n =12n−1；(2)∵b n =S n2n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴T n =12(1−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1)=12(1−12n +1) =n 2n+1．解析：本题考查数列递推关系、“裂项求和”、等差数列的通项公式，属于中档题． (1)当n ≥2时，a n =S n −S n−1，代入化简得1S n−1Sn−1=2，验证n =1时条件成立，可知数列{1S n}是等差数列，利用等差数列的通项公式化简可得出S n ； (2)利用“裂项求和法”，即可求出结果.18.答案：证明：(Ⅰ)取PA 的中点N ，连接MN ，有MN−//12AB ，∴MN−//DC ，∴四边形MNCD 是平行四边形， ∴CM//DN ，又DN ⊂平面PAD ，CM ⊄平面PAD 故C M//平面PAD ．解：(Ⅱ)依题意知：PA 2+AB 2=PD 2，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AD ， 又AB ∩AD =A ，∴PA ⊥平面ABCD ， 建立如图所示空间坐标系O −xyz ，则C(2,1，0)，M(0,1，1)，D(2,0，0)，P(0,0，2)， ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2 , 0 , 1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0 , 1 , 0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2 , 0 , 2)，设平面PDC 的法向量为n⃗ =(a , b , c)， 由{n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，有{b =0−2a +2c =0，得n ⃗ =(1 , 0 , 1)， 所以cos <n ⃗ , CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥n ⃗⃗ ⋅CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√1010， 故直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值为√1010．解析：(Ⅰ)取PA 的中点N ，连接MN ，推导出四边形MNCD 是平行四边形，从而CM//DN ，由此能证明CM//平面PAD ．(Ⅱ)建立空间坐标系O −xyz ，利用向量法能求出直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值． 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.答案：解：(1)由图，不低于3吨人数所占百分比为0.5×(0.12+0.08+0.04)=12%，所以假设全市的人数为x(万人)，则有0.12x =3.6，解得x =30， 所以估计全市人数为30万．(2)由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1， 因为频率=频率组距×组距，所以0.5×(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1，得a =0.3， 用水量在[1,1.5]之间的户数为100×0.3×0.5=15户， 而用水量在[1.5,2]吨之间的户数为100×0.4×0.5=20户， 根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民， 所以用水量在[1,1.5]之间应抽取的户数为15×735=3户， 而用水量在[1.5,2]吨之间的户数为20×735=4户．据题意可知随机变量Z 的取值为0，2，4．P(X =0)=P(X =2,Y =2)=C 32C 42C 73=1835，P(X =2)=P(X =1,Y =3)+P(X =3,Y =1)=C 31C 43+C 33C 41C 73=1635，P(Z =4)=P(X =0,Y =4)=C 30C 44C 73=135，其分布列为：期望为：E(Z)=0×1835+2×1635+4×135=3635．解析：(1)由图，不低于3吨人数所占百分比为0.5×(0.12+0.08+0.04)=12%，解出即可得出． (2)由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，频率=频率组距×组距，可得0.5×(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1，得a.据题意可知随机变量Z 的取值为0，2，4.利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出．本题考查了相互独立、互斥事件的概率计算公式及其数学期望计算公式、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案： 解：⑴∵点M 到(−2√3,0)，(2√3,0)的距离之和是8，∴M 的轨迹C 是长轴长为8，焦点在x 轴上焦距为4√3的椭圆，其方程为x 216+y 24=1．(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，N(x 0,y 0)，若直线l 与y 轴重合， 则|PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4−22−y 0=4−(−2)y0−(−2)=λ⇒y 0=1，若直线l 与y 轴不重合， 则|PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0−x 1x1−x 0=0−x 2x0−x 2⇒x 0=2x 1x 2x1+x 2，设直线l 方程为y =kx +4，与椭圆方程联立消去y 得：(1+4k 2)x 2+32kx +48=0． 由韦达定理得{x 1+x 2=−32k1+4k 2x 1x 2=481+4k 2⇒x 0=−3k ,y 0=kx 0+4=1, 于是有N 点在定直线l:y =1上.解析：本题主要考查点的轨迹方程、椭圆的定义与方程、直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力． (1)根据椭圆的定义，求出a ，b ，即可得出点M 的轨迹方程；(2)设直线l 的方程，联立椭圆方程，结合条件，利用韦达定理求出点N 的纵坐标为1，即可得出结论．21.答案：(1)解：f(x)=(a +1)lnx +ax 2−(3a +2)x.(x >0)．f′(x)=a+1x+2ax −(3a +2)=(2x−1)(ax−a−1)x ，①当−1≤a ≤0，可得函数f(x)在(0,12)单调递增； 在[12,+∞)上单调递减．②当−2<a <−1，a+1a=1+1a ∈(0,12)，可得函数f(x)在(0,a+1a)与(12,+∞)上单调递减；在(a+1a,12)上单调递增．③当a =−2时，f′(x)=−(2x−1)2x≤0，f(x)在(0,+∞)递减；④当a <−2时，12<a+1a，f(x)在(0,12)递减；在(12,a+1a )递增；在(a+1a,+∞)递减； ⑤当a >0时，f(x)在(0,12)递增；在(12,a+1a)递减；在(a+1a,+∞)递增；(2)证明：将4(a +1)xlnx <−4ax 3+12(a +1)x 2−7x +4(x >0)整理可得 (a +1)lnx +ax 2−(3a +2)x <x +1x −74，即f(x)<x +1x −74，令g(x)=x +1x −74，则g(x)≥2√x ⋅1x−74=14，当且仅当x =1时g(x)取得最小值14；当−1<a <0时，f(x)在(0,12)单调递增；在[12,+∞)上单调递减． 可得f(12)取得最大值，且为(a +1)ln 12+14a −3a+22=(−54−ln2)a −1−ln2，可令ℎ(a)=(−54−ln2)a −1−ln2，可得ℎ(a)在−1<a <0递减， 即有ℎ(a)<ℎ(−1)=54+ln2−1−ln2=14，即f(x)<g(x)，则4(a +1)xlnx <−4ax 3+12(a +1)x 2−7x +4对x ∈(0,+∞)恒成立．解析：(1)求得f(x)的导数，注意x >0.分类讨论即可得出单调性；(2)原不等式等价为(a +1)lnx +ax 2−(3a +2)x <x +1x −74，即f(x)<x +1x −74，令g(x)=x +1x −74，运用基本不等式可得g(x)的最小值，再由(1)可得f(x)的最大值，再构造一次函数可得ℎ(a)<14，即可得证．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值及方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程是{x =14+12cosα,y =√34+12sinα(α是参数)，消去α得曲线C 的普通方程为x 2+y 2−12x −√32y =0．所以C 的极坐标方程为ρ2=√32ρsinθ+12ρcosθ，即ρ=√32sinθ+12cosθ，即ρ=sin(θ+π6).(2)不妨设M(ρ1,θ)，N(ρ2,θ+π3)， 则|OM|⋅|ON|=sin(θ+π6)sin(θ+π6+π3)=(√32sinθ+12cosθ)cosθ =√32sinθcosθ+12cos 2θ=√34sin2θ+1+cos2θ4=12sin(2θ+π6)+14． 当θ=π6时，取得最大值，最大值为34．解析：本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用和转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|+|2x +1|，可得x ≥12时，f(x)<4即2x −1+2x +1<4，解得12≤x <1； 当x ≤−12时，f(x)<4即1−2x −2x −1<4，解得−1<x ≤−12； 当−12<x <12时，f(x)<4即1−2x +2x +1<4，解得−12<x <12； 则M =(−1,1)；(2)证明：要证|ab|−|a|−|b|+1>0，即证(|a|−1)(|b|−1)>0， 由a ，b ∈M ，即−1<a <1，−1<b <1， 可得|a|<1，|b|<1，即|a|−1<0，|b|−1<0， 可得(|a|−1)(|b|−1)>0， 故|ab|−|a|−|b|+1>0成立．解析：(1)由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得M；(2)运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明，注意运用分类讨论思想和分析法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题．。