【精编】人教A版高中数学选修2-1课件1空间向量及其运算课件-精心整理
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人教A版高中数学选修2-1-3.1.1 空间向量及加减运算- 课件(共25张PPT)
C
向 上
B
正
O 正 A北
东
问题1:以上三个位移是同一个平面内的向量吗?
问题2:如何刻画小米老师行驶的位移?
学习目标及思维脉络
学习目标
思维脉络
1.了解空间向量的概念,掌握 空间向量的几何表示与字母 空间向量及其加减运算
表示方法.
空间向量及相关概念
2.理解空间向量的相关概念.
加减运算的定义
3.掌握空间向量的加减运算 加减运算 运算律
uuur uuur uuur uuur (2)AB CB AD AD
喀什市第二十八中学
自主练习
1.如图所示，在平行六面体ABCCD－A1B1C1D1中，
������������＝a， ������������＝b，������������1＝c，则������1������等于( )
A．a＋b－c
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算
喀什市第二十八中学
提出问题
小米老师下班回家,先从学校 大门口骑自行车向东行驶600m, 再向北行驶800m,最后乘电梯上 升15m到5楼的住处.在这个过程 中，小米老师从学校大门口回到 住处所发生的总位移就是三个位 移的合成(如图所示)。
走进教材
1．空间向量的概念及表示
定义 长度
在空间，把具有 大小 和方向 的量叫做空间向量
向量的 大小 叫做向量的长度或 模 .
几何表示
空间向量用 有向线段 表示
表示法 代数表示
有向线段的起点是A，终点是B， 向量可记作a，也可记作������������，
走进教材
长度为0 模为1
相同
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算课件(17张)
相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面内
的两条有向线段表示．
2.空间向量的加法、减法向量
C
B
b
b
O
a
A
OB OA AB a + b CA OA OC a - b
⒊空间向量加法运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；
3.1.1 空间向量及其加减运算
一、平面向量复习
⒈定义： 既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法： 用有向线段表示； 字母表示法： 用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB 表示． 相等的向量： 长度相等且方向相同的向量．
B A C
D
⒉平面向量的加减法运算
⑴向量的加法：
b
a
a 三角形法则(首尾相连)
AB
相等的所有向量；
（2）写出与向量
A A1
的相反向量。
ABCD A 'B 'C 'D '，化简 例2 已知平行六面体 列向量表达式，并标出 化简结果的向
⑴AB BC ；
D’ A’ B’
C’
⑵ AB AD AA '；
( 3 ) A B C B A A
( 4 ) A C D B D C
平行四边形法则
⑵向量的减法
三角形法则
b
a
减向量终点指向被减向量终点
⒊平面向量的加法运算律
加法交换律： a＋b＝b＋a 加法结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的 起点指向末尾向量的终点的向量．即：
人教A版高中数学选修2-1课件人教3-1空间向量及其运算
一.基本概念
7.两个非零向量 a与b 的夹角 A
[0, ]
B
C
注意：保证同起点，若不是则平移到同一起点
二.基本运算（向量途径）
1.向量加法的三角形法则
a b AB BC AC 首尾相接
2.向量加法的平行四边形法则 共起点
ABCD中，a b AB AD AC
a//b
a= b
x1
=
x2，y1=
y2，z1=
z 2
| a | x12 y12 z12 | b | x22 y22 z22
cos a,b a b | a || b |
x1x2 +y1y2 +z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
x1x2 +y1y2 +z1z2
| a || b |
x12 y12 z12 x22 y22 z22
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
阅读教材选修2-1 P84
空间向量的坐标表示及运算
A(x1, y1, z1) OA (x1, y1, z1) B(x2 , y2 , z2 ) OB (x2, y2, z2) AB OB OA AB OB OA (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
向量加法的运算律(交换律、结合律）
3.向量减法的三角形法则
a b AB AD DB 共起点
在 及同 其一 模个的平关行系四边形中把握：a, b, a b, a b
D
b
Aa
C AB DC; AD BC
AC a b;
B
DB a b
人教A版高中数学选修2-1课件高二3.1.1空间向量及其加减运算(1)
D
C
A
B
D A
C B
加法
三角形法则
平
面
向
量
平行四边形法则
的
减法
线
性
推广
运
算
数乘向量
复习
问题2.平面向量的加法和减法
1.向量的加法
ab
b
a
(1)三角形法则
ab
b
a
(2)平行四边形法则
问题2.平面向量的加法、减法和数乘运算
推广：首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
(3)数乘分配率： 即：(a b) a b （ ）a a a ()a ()a
空间向量的加法、减法数乘向量运算
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
减法 多边形法则
数乘 减法
运算 数乘运算
运 算
加法交换律 a b b a 加法结合律
律
(a b) c a (b c) 数乘分配律
典例分析
例1.已知平行六面体ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量：
D
C
(1) AB AD AA
A
(2) DD AB BC
(3)
AB
AD
1
(DD
BC)
2
D
B
C
A
B
典例分析
例2.M , N分别是四面体ABCD的棱AB,CD的中点，
求证：MN
1
( AD
BC)
2
A
k(a b) k a＋kb
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.1空间向量及其加减运算
例1 给出下列命题： ①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点
也相同；
②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；
③在正方体 ABCD·A1B1C1D1中，必有A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m ＝p.
其中不正确的命题的个数是( )
A．1
B．2
方法感悟
1．利用三角形法则进行加法运算时，注意“首 尾相连”，和向量的方向是从第一个向量的起点 指向第二个向量的终点．进行减法运算时，注意 “共起点”，差向量的方向是从减向量的终点指 向被减向量的终点． 三角形法则也可推广为多边形法则：即在空间中,
把有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的 起点指向最后一个向量终点的向量即表示这有限 个向量的和向量． 2．平行四边形法则一般用来进行向量的加法运 算．注意：平行四边形的两条对角线所表示的向 量恰为两邻边表示向量的和与差．
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
D
B
M
G C
C
问题 1:
向上
B
正北
O 正东 A
如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米,
? 那么 OC=
问题 2:
F2 F3
a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b （ ）a a a
(a) ()a 其中、是实数。
课堂互动讲练
考点突破
空间向量的基本概念
只要两个向量的方向相同、模相等，这两个向 量就相等，起点和终点未必对应相同，即起点 和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要 条件．
高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.1 空间向量及其加减运
(4)向量的减法是由向量的加法来定义的:减去一个向量就等于加 上这个向量的相反向量. 由此可以推出向量等式的移项方法,即将其中任意一个向量变号 后,从等式一端移到另一端,等式仍然成立.例如,由a+b+c=d,得 a+b=d-c. (5)向量减法的作图法:因为(a-b)+b=a+[(-b)+b]=a+0=a,所以求 a-b就是求这样一个向量,它与b的和等于a,从而得出a-b的作图法.
题型一
题型二
空间向量的加减运算
【例 2】 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算的结果为 向量������������1 的共有( ) ①(������������ + ������������ ) + ������������1 ; ②(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 ; ③(������������ + ������������1 ) + ������1 ������1 ; ④(������������1 + ������1 ������1 ) + ������1 ������1 . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
题型一
题型二
【变式训练1】 下列命题中,假命题是(
)
A.向量������������与������������的长度相等 B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 解析:选项 A中, ������������与������������为相反向量,长度相等; 选项B中,∵两个相等向量的起点相同,∴必有终点相同; 选项C中,由零向量的定义可知|0|=0; 选项D中,共线的单位向量,有可能方向相反,故选D. 答案:D
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.1空间向量及其加减运算1
高中数学课件
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第三章空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减运算
问题 1:
F3
F2
F1
如图一块均匀的正三角形钢板质量为500kg，
在它的顶点处分别受F1、F2、F3三个力，每 个力与同它相邻的三角形的两边的夹角都是
60度，且︱F1︱=︱F2︱=︱F3︱=200kg。 这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？
1、定义在：空间，我们把既有大小又有 方向的量叫做空间向量。
2、空间向量的表示法（几何、字母） 与平面向量相同；
3、空间中零向量、单位向量、相等向 量、相反向量等概念与平面向量中相同；
……
（2）空间任意两个向量是否都可以转化 为平面向量？为什么？
已知空间两个任意向量、a b,作 OA a,
由O、B Ab、. B、三点确定一个平面
向量表达式(如图)
D1
C1
(1) AB BC (2) AB CC1
(3) AA1 C1B1 DC
A1
B1
(4) AB AD AA1 (5)DA DC DD1
D
C
(6)BA BC BB1
A
B
问题（7）：一般地，三个不共面的向量的和与这三 个向量有什么关系？
结论2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于 以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始
D
2
思考：
● N (3)若点G是BCD的重心，
B
M
且AG x AB y AC z AC. C 求x, y, z的值.
小结
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 零向量 相等向量 相反向量
加法:平行四边形法则 加、 或三角形法则
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第三章空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减运算
问题 1:
F3
F2
F1
如图一块均匀的正三角形钢板质量为500kg，
在它的顶点处分别受F1、F2、F3三个力，每 个力与同它相邻的三角形的两边的夹角都是
60度，且︱F1︱=︱F2︱=︱F3︱=200kg。 这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？
1、定义在：空间，我们把既有大小又有 方向的量叫做空间向量。
2、空间向量的表示法（几何、字母） 与平面向量相同；
3、空间中零向量、单位向量、相等向 量、相反向量等概念与平面向量中相同；
……
（2）空间任意两个向量是否都可以转化 为平面向量？为什么？
已知空间两个任意向量、a b,作 OA a,
由O、B Ab、. B、三点确定一个平面
向量表达式(如图)
D1
C1
(1) AB BC (2) AB CC1
(3) AA1 C1B1 DC
A1
B1
(4) AB AD AA1 (5)DA DC DD1
D
C
(6)BA BC BB1
A
B
问题（7）：一般地，三个不共面的向量的和与这三 个向量有什么关系？
结论2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于 以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始
D
2
思考：
● N (3)若点G是BCD的重心，
B
M
且AG x AB y AC z AC. C 求x, y, z的值.
小结
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 零向量 相等向量 相反向量
加法:平行四边形法则 加、 或三角形法则
数学：3.1.3《空间向量及其运算--数量积》课件(新人教a版-选修2-1)
M A AD DN
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
人教A版高中数学选修2-1课件11.11高二理科《3.1.1空间向量及加减运算(1)》
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高中数学课件
复习引入
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新课讲授
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ห้องสมุดไป่ตู้
新课讲授
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新课讲授
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新课讲授
D1 A1
D A
C1 B1
C B
D1 A1
D A
C1 B1
C B
例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
课后作业
高中数学课件
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
复习引入
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D1 A1
D A
C1 B1
C B
D1 A1
D A
C1 B1
C B
例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
例题讲解
D A
C B
课后作业
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算课件(36张)
空间向量
具有大小和方向的量
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.
常用 a 、 b、 c ……等小写字母来表示.
c a b
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2. 可用一条有向线段 AB 来表示向量 , 向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
(k>0)
空间向量的数乘
(k<0)
B
b
O
b a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
ka ka
CA OA OC
空间向量的加减法
b
向量加法的三角形法则
b
向量加法的平行四边形法则
a
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空间向量及其运算
一、空间向量的有关概念：
c
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.a
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
b
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
A 类似于平面向量,为了研究的
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
b a
C a+b B
O
A
OB OA AB CA OA OC
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
△BCD 的重心,试用 a 、b 、c 表示下列向量:
⑴ DM
1（a b) c 2
⑵ AG
A
1（a b c) 3
D
B
G
M
C
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
b b
a
a
结 1） 论空 ：
2） 面
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
定义: 数乘空
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
(1) AB1 A1D1 C1C x AC
D1
A1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1D1 C1C x AC
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBc
b Bc
(平面向量)
向量加法结合律： ( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a a
b +c
减法:三角形法则
运 加法交换律 算 abba
加法交换律 a b成 立b 吗a ？
加法结合律
律 加法结合律:
(a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.因为
很奇妙,这样定义出来的运算竟然和实数的运算 在运算律方面有共同特点.
AG
(4) AB
AD+
1 2
CC1＝AM
.
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1(3) AC AB1 AD1 x AC1
(2) 2 AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1 )
AD1 D1C1 AC1
x 1.
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
平面向量的加法、减法运算图示意义:
b
a
向量加法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
减向量终点指向
b
被减向量终点
a
向量减法的三角形法则
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b . c
b
a
制作不易 尽请参考
课外思考题:
如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量
(3) AC AB1 AD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD)
D1
2( AD AB AA1 )
A1
2AC1
x 2. D
C1 B1
C
A
B
向量的平行与重合
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
C1
(2) AB AD AA1 1
(3) 3 ( AB AD AA1 )
A1 G
B1 M
(4) AB
AD
1 2
CC1
D
C
解：(1)AB BC＝AC;
A
B
(2) AB 1
AD
AA1
AC 1
AA1
AC
CC1
AC1
(3)
( AB 3
AD
AA1 )
3
AC1
例如:
2a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b （ ）a a a (a) ()a
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
(1) AB BC
D1
解(1) AB1 A1D1 C1C
D1
C1
A1
B1
AB1 B1C1 C1C
AC x 1.
D
C
A
B
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
我们规定:
起点方便起见,
零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
概念 加法 减法 运算
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法:三角形法则或 平行四边形法则
一、空间向量的有关概念：
c
空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.a
常用 a 、b 、c ……等小写字母来表示.
b
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .
2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB
的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
B 终点
A 类似于平面向量,为了研究的
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
b a
C a+b B
O
A
OB OA AB CA OA OC
空间向量的加减法
B
b
b
Oa A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
△BCD 的重心,试用 a 、b 、c 表示下列向量:
⑴ DM
1（a b) c 2
⑵ AG
A
1（a b c) 3
D
B
G
M
C
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
b b
a
a
结 1） 论空 ：
2） 面
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
定义: 数乘空
与平面向量一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
(1) AB1 A1D1 C1C x AC
D1
A1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1D1 C1C x AC
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
向量加法结合律在空间中仍成立吗?
( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a
a
b +c
A
CA
C
bBc
b Bc
(平面向量)
向量加法结合律： ( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O
a a
b +c
减法:三角形法则
运 加法交换律 算 abba
加法交换律 a b成 立b 吗a ？
加法结合律
律 加法结合律:
(a b) c a (b c)
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.因为
很奇妙,这样定义出来的运算竟然和实数的运算 在运算律方面有共同特点.
AG
(4) AB
AD+
1 2
CC1＝AM
.
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量 a 平移
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
注:始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1(3) AC AB1 AD1 x AC1
(2) 2 AD1 BD1 AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1 )
AD1 D1C1 AC1
x 1.
D1 A1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
平面向量的加法、减法运算图示意义:
b
a
向量加法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
减向量终点指向
b
被减向量终点
a
向量减法的三角形法则
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量； A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a b ,那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b . c
b
a
制作不易 尽请参考
课外思考题:
如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量
(3) AC AB1 AD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD)
D1
2( AD AB AA1 )
A1
2AC1
x 2. D
C1 B1
C
A
B
向量的平行与重合
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
C1
(2) AB AD AA1 1
(3) 3 ( AB AD AA1 )
A1 G
B1 M
(4) AB
AD
1 2
CC1
D
C
解：(1)AB BC＝AC;
A
B
(2) AB 1
AD
AA1
AC 1
AA1
AC
CC1
AC1
(3)
( AB 3
AD
AA1 )
3
AC1
例如:
2a
a
3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b （ ）a a a (a) ()a
思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
(1) AB BC
D1
解(1) AB1 A1D1 C1C
D1
C1
A1
B1
AB1 B1C1 C1C
AC x 1.
D
C
A
B
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
我们规定:
起点方便起见,
零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行
向量、共面向量等概念。（你认为应该怎样规定?）
概念 加法 减法 运算
空间向量的加减法运算
平面向量
空间向量
定义:具有大小、方向的量,表示法、相等向量.
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法:三角形法则或 平行四边形法则