梁的剪力和弯矩
单跨超静定梁的杆端弯矩和杆端剪力
Δ1=δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0
Δ2=δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0
b
Δ3=δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0
式(b)就是由位移条件所建立的求解X1、X2和X3
对于n次超静定结构有n个多余约束，也就是有n 个多余未知力x1，x2，…，xn，且在n个多余约束处 有n个已知的位移条件，故可建立n个方程，例如原 结构在荷载作用下各多余约束处的位移为零时，有
11E 1 I
M 1 2dx1(1ll2l)l3 E I2 3 3E I
1
11q l2 3 q l4
1 P E IM 1 M P d x E I(3 2l l 4 l) 8 E I
快速绘制梁的剪力图和弯矩图
CB段： Ｆ
3、依方程而作图
简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和 弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
从左往右做图
在无荷载作用的梁段：剪力图为水平线，弯矩图为斜直线， 斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜， V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。 在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0（ ）向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0（ ）向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的 转向决定，逆上顺下。突变大小等于力偶矩的大小。 极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
Fs
RA
qx
1 2
ql
qx
(0<x<l)
3、依方程作剪力图和弯矩图
载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 1.求约束反 力
vv vv
vv v v
v
利用上述规律：
1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。 2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下： （1）将梁正确分段 （2）根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状
梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图
5-7.试列出下列梁的画力方程和弯拒方程，并ntuw 力图和弯拒图。
解：首先求出支座反力。
考虑梁的整休平何由 £M fi =0, Fg/ + M<,=o由工M 「0, F 加/-M 严0则距左端为X 的任一横截面上的剪力和 弯葩表达式为：两力方程为常数，表明囲图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是X 的一次函 数，表明弯矩图是一条斜直线。
（如图）解：首先求岀支座反力。
考虑梁的平衡由工瓯=0,你小-“£心0 得F RB =討由》％=0,甩./ + *厂=0 得 F RC = - * qi则相应的画力方程和弯犯方程为：©M./1兀⑴=F RA = --—•X剪力图0」25g/8KN.M6.4KN.M弯矩图解：由梁的平求出支座反力：梯=8KN, F42KNAB段作用有均布荷裁，所以AB I?的剪力图为下颐直线，弯矩图为下凹二次I!物线；BC段没有荷教作用，所以BCI3的卿力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。
在B支座处，卿力图有突变，AB段：心是）心（“）=一处BC段：（*弓）集（小¥-如qiTAB段剪力方程为冷的一次函数，弯矩方程为冷的二次函数，因lit ABH的卿力图为斜直线，弯矩图为二次枢物线；BC段卿力方程为常数，弯拒方程为X2的一次函数，所以BC段勢力图为平行梁轴线的水平线fL弯葩图为斜直线。
（如图）5-9用简便方法画下列各梁的卿力图和弯葩图。
A/ (x2) = -q ・—・ x2(2 ) g=5KN/m Mr =8KN.mF RA4m F RB 2m解：由梁的平求岀支座反力：匚=3.5KN, F KB = 6.5KNAB 与BC 段没有外载作用，所 以AB 、BCB 的勇力图为平行 梁轴线的水平线段，弯矩图为 直线；CD 段作用均布荷载， 所以CD 段的卿力图为下颐直 线，弯拒图为下凹二次拋物 线。
在B 处，剪力图有突变，突变5)反力F RB ）的大小;弯矩图有 转折，转折方向习集中力方向 一致。
剪力与弯矩的计算方法
剪力与弯矩的计算方法
剪力和弯矩广泛应用于国际工程中，它们可以满足结构设计、建筑支撑、工厂机械等
多个领域对抗强杆件应力及曲率等参数的评定和验证。
剪力和弯矩的计算方法相对来说比较复杂，但是也是基础知识，在实践中不可或缺。
从最基础的横截面剪力的计算开始，
首先，要求计算出截面上任意两点间的剪力。
一般地，当截面上一些抗剪元件，如梁
或柱等，受到均布载荷作用时，我们可以求得两点之间抵抗剪力的大小（记为F）。
这一
步需要基本的力学知识。
其次，剪力有大小，而且也有方向，需要求出其正负方向。
一般来说，根据梁的惯性
力学原则，可以得出：顺比截面方向的钢筋是抗剪元件，其承载的剪力应该为正；而反之，逆比截面方向的钢筋的剪力应该为负。
第三，剪力系数直接决定着抗剪元件的安全系数，而弯矩的计算则有助于我们分析结
构受损害的严重程度。
在计算弯矩时，需要求出剪力在截面上的分布和累积。
典型的梁柱
结构中，我们可以用前面得到的剪力杀乘以截面的距离（记为d）的的一半，即可算出弯
矩的值。
例如，当任意两点F1和F2之间的距离为d时，弯矩就是F1和F2之间的剪力差
乘以d的一半。
通过以上步骤，我们可以计算出梁柱结构所处截面上的剪力以及相对应的弯矩。
这些
计算都是基于梁柱结构受力的基本原则。
在它们基础上，还需要结合具体结构信息，对比
结构承受力的变化与实际情况进行分析，从而有效验证结构的合理性与安全性。
梁 弯矩图 梁 内力图 (剪力图与弯矩图)
简单载荷梁内力图（剪力图与弯矩图）表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
常用截面几何与力学特征表表2-5标准标准标准标准标准标准标准注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
实用文档2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EIw 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
[解] M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－0.188×29.4×5）＝（－36.75）＋（-27.64）＝－64.39kN ·m V B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－0.688×29.4）＝（－36.75）＋（－20.23）＝－56.98kN[例2] 已知三跨等跨梁l ＝6m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩。
梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图
(3)若某截面处FS=0
dF S dx
q(x)
dM dx
FS
d M dx
2
2
q(x)
则该截面上M取极值：当q>0, M取到极小值 当q<0, M取到极大值 （4）集中力F作用处，FS突变，跳跃值为F，M有尖点； q>0 q<0
集中力偶M作用处，M突变，跳跃值为M， FS不受影响。 F M
例题
例 题 2
2qa
A
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
qa2 q
B C
解： 1.求约束力
FB q 2 a a 2 qa 3 a qa 2a 7 2 qa ( )
2
D
a
3 2 qa
FB a
a
a 2
FD
F D 4 qa
7 2
qa
1 2
qa ( )
D
FD
FD
F Ax 1 2 2 ( kN )( )
A
FAx
FAy
2m
F Ay 5 3 2 kN ( )
例题
例 题 4
5kN B
§9 变形体静力学概述 及一般杆件内力分析
4kN· m C
2.作内力图 D 3kN 轴力图： AB段 F N 2 kN
1m
1m
(F S )
1 qa
2
2.作内力图
1 2 qa
M
7 2
1 4 qa
2
B
2 qa
2
2qa (M)
qa
8
常规梁的弯矩和剪力函数及内力图
常见简单荷载下梁的内力图、内力函数及函数最大值
（源于材料力学知识）
第一组：简支梁
其内力图可将其拆分后，按叠加法由第1组和第2组中的图形得到。
附录一.内力图的特点：
1.q＝0，F s=常数，剪力图为水平直线；
M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。
2.q＝常数，F s(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；
M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。
当q>0（分布载荷向上），抛物线呈凹
形；而当q<0（分布载荷向下），抛物线呈下凸形。
3.剪力F s=0处，弯矩取极值。
4.集中力作用处，剪力图有突变；从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，
突变幅度为集中力的大小。
弯矩图在集中力作用处为尖点。
5.集中力偶作用处，弯矩图突变;从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向下（上）突变，突变幅度为集中力偶的大小。
剪力图在集中力偶的作用点处剪力没有变化。
附录二.微分关系绘制剪力图与弯矩图的步骤：
1.根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。
2.应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。
3.建立F S一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。
4.应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
简支梁剪力和弯矩
简支梁剪力和弯矩
简支梁的剪力和弯矩取决于多个因素，包括材料的性质、梁的形状和大小、负载的大小和位置等。
一般来说，简支梁在承受垂直于梁轴线的横向负载时，会产生剪力和弯矩。
剪力是在梁的截面上由横向负载引起的平行于梁轴线的力，而弯矩则是由横向负载引起的垂直于梁轴线的力矩。
对于简支梁，弯矩是沿着梁的长度方向分布的，其最大值通常出现在梁的中间位置。
而剪力则是在梁的两端为零，并沿着梁的长度方向逐渐增大，在梁的中间位置达到最大值。
此外，简支梁还具有一些其他的力学特性，例如在受到横向负载作用时，梁会产生挠曲变形，导致梁的中性轴向下移动。
此外，当负载被移除后，简支梁会恢复到原来的位置。
在实际工程中，简支梁广泛应用于各种结构中，如桥梁、房屋和机械等。
在设计简支梁时，需要考虑材料的性质、梁的形状和大小、负载的大小和位置等因素，以确保其具有足够的强度和刚度。
剪力图和弯矩图4例题-弯矩图例题
02 在绘制剪力图时，需要将剪力值标在相应的位置 上，并使用箭头表示剪力的方向。
03 剪力图应与弯矩图一起绘制，以便更好地理解斜 梁的受力情况。
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简支梁的弯矩图绘制
根据简支梁的受力分析，可以确定跨 中截面和支座截面的弯矩值。
将确定的弯矩值按照比例绘制在相应 的位置上，连接各点即可得到弯矩图 。
简支梁的剪力图绘制
剪力图是表示剪力随截面位置变 化的图形。
根据简支梁的受力分析，可以确 定跨中截面和支座截面的剪力值。
将确定的剪力值按照比例绘制在 相应的位置上，连接各点即可得
剪力图和弯矩图4例题-弯矩图例 题 弯矩图例题二：悬臂梁 • 弯矩图例题三：连续梁 • 弯矩图例题四：斜梁
01 弯矩图例题一：简支梁
简支梁的受力分析
01
简支梁在均布载荷作用下，其跨 中截面只承受正弯矩，而支座截 面只承受负弯矩。
02
简支梁在集中载荷作用下，其跨 中截面和支座截面均承受弯矩， 但弯矩值不同。
到剪力图。
02 弯矩图例题二：悬臂梁
悬臂梁的受力分析
悬臂梁一端固定，另 一端自由，主要承受 垂直于梁轴线方向的 力。
悬臂梁的受力分析需 要考虑梁的长度、截 面尺寸、材料属性等 因素。
悬臂梁在自由端受到 集中力作用时，会产 生弯曲变形，并产生 弯矩。
悬臂梁的弯矩图绘制
根据受力分析，确定弯矩零点位置，通常在固定 端和自由端。
03
斜梁的剪力和弯矩随梁的长度和倾斜角度而变化。
斜梁的弯矩图绘制
根据斜梁的受力分析，可以确定弯矩的大小和 方向。
在绘制弯矩图时，需要将弯矩值标在相应的位 置上，并使用箭头表示弯矩的方向。
弯矩和剪力的关系
弯矩和剪力的关系弯矩和剪力是结构力学中两个重要的概念，它们在工程设计和结构分析中起着至关重要的作用。
本文将从理论和实践两个方面，详细介绍弯矩和剪力之间的关系。
我们先来了解一下什么是弯矩和剪力。
弯矩是指在杆件或梁上，由于外力或载荷的作用，使得截面上的材料产生弯曲变形所产生的力矩。
而剪力是指作用在截面上的垂直于该截面的力，用来抵抗杆件或梁在垂直于截面方向上的剪切应力。
弯矩和剪力之间的关系可以通过结构力学的基本原理来推导。
在理论上，可以通过对杆件或梁进行受力分析和弹性力学的基本公式，得出弯矩和剪力之间的关系。
具体来说，对于一根梁，可以通过受力平衡和几何关系，得到弯矩和剪力的关系方程。
在实际工程中，为了计算和分析结构的强度和稳定性，常常需要求解弯矩和剪力的数值。
这可以通过使用结构分析软件、数值计算方法或者进行实验测试来实现。
在设计和施工过程中，准确计算和控制弯矩和剪力的大小，对保证结构的安全和可靠性至关重要。
弯矩和剪力之间的关系在结构设计和分析中有着重要的应用。
首先，它们可以用来确定结构的截面尺寸和材料强度。
在设计阶段，根据结构的受力情况和要求，可以通过计算弯矩和剪力的大小，来选择合适的截面形状和材料。
其次，弯矩和剪力还可以用来评估结构的安全性和可靠性。
通过对弯矩和剪力进行分析和比较，可以判断结构是否满足设计要求，是否需要进行加固或调整。
此外，弯矩和剪力还可以用来确定结构的变形和挠度。
在结构分析中，通过计算弯矩和剪力的分布，可以得到结构的变形和挠度情况，从而进行结构的优化和调整。
需要注意的是，弯矩和剪力在结构中的分布是不均匀的。
在梁上，通常会出现最大弯矩和最大剪力的情况。
这是由于外力或载荷的作用位置和大小不同，导致截面上的应力分布不均匀。
因此，在结构设计和分析中，需要合理考虑和控制最大弯矩和最大剪力的位置和数值。
弯矩和剪力是结构力学中重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
通过理论分析和实践应用，可以计算和控制弯矩和剪力的大小，用来评估结构的安全性和可靠性，确定结构的截面和材料，以及分析结构的变形和挠度。
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(Internal forces in beams)
FRA
A E c a
F1
C
F2
D F d
FSF
B MF F d
FRB
B
b
l
计算F 横截面处的剪力FSF 和弯矩 MF .
F 0, M 0,
y F
FSF FRB 0 M F FRB d 0
解得：
FSF FRB
FRA = 4kN FRB = - 4kN （2）求1-1截面的内力
A 1 1m C
FRB
B
FS 1 FSC左 FRA 4kN
2.5m
M 1 M C左 FRA 1 4kN m
（3）求 2-2 截面的内力
M
1 C
13
FS 2 FSC右 FRB ( 4) x) x ( 0 x a ) ( 2) l Fa M ( x) ( l x ) ( a x l ) ( 4) l
由（2），（4）式可知，AC、 CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线.
Fb l
+
Fa l
+
Fba l 23
(Internal forces in beams)
一、剪力方程和弯矩方程 (Shear- force & bendingmoment equations)
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律， 分别称作剪力方程和弯矩方程. 1.剪力方程(Shear- force equation) FS= FS(x) M= M(x)
14
2.弯矩方程(Bending-moment equation)
-
m
m
（受压）4
(Internal forces in beams)
例题2 图示梁的计算简图.已知 F1、F2, 且 F2 > F1 , 尺寸a、b、c
和 l 亦均为已知. 试求梁在 E 、 F 点处横截面处的剪力和弯矩.
（1）求梁的支反力 FRA 和 FRB 解：
M
A
0
FRA
A
FRB l F1a F2b 0
m dx
3
+
FS
m
FS
m dx
-
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时, 横截面 m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时, 横截面 m-m上的弯矩为负.
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[例] 已知 F，a，l. 求距 A 端 x 处截面上内力. 解: 求支座反力
17
(Internal forces in beams)
ql FS ( x ) qx 2
剪力图为一倾斜直线
(0 x l )
A
q B l
ql x=0处， FS 2 x = l 处 , F ql S 2
绘出剪力图
FRA
ql/2
FRB
+
ql/2
18
(Internal forces in beams)
8
M F FRB d +
(Internal forces in beams)
三、计算规律 (Simple method for calculating shearforce and bending-moment)
1.剪力 (Shear force)
FS
Fi i 1 左（右）
n
左侧 梁段：向上的外力引起正值的剪力 向下的外力引起负值的剪力 右侧 梁段：向下的外力引起正值的剪力 向上的外力引起负值的剪力
右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩
顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
10
(Internal forces in beams)
例题3 轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN， a = 230mm，b = 100 mm 和 c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面 上的剪力和弯矩. F1=F
l x 2
+
ql 8
2
ql 8
2
l/2
19
(Internal forces in beams)
q
由图可见，此梁在跨中截
A
x
B l
面上的弯矩值为最大
FRA
ql/2
FRB
ql M max 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上 剪力绝对值为最大
+
l/2
ql 8
2
FS max
解： （1） 求支反力
A
q
B
x
FRA FRB
ql 2
l
（2）列剪力方程和弯矩方程. FRA
FRB
ql FS ( x ) FRA qx qx (0 x l ) 2 x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx (0 x l ) 2 2 2
9
(Internal forces in beams)
2.弯矩(Bending moment)
n m
M
Fi ai M k i 1 左（右） k 1 左（右）
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，
而向下的外力则引起负值的弯矩. 左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩
a
F1
C E
F2
D F
FRB
B d
MB 0
c b
FRAl F1 ( l a ) F2 ( l b ) 0
F1 ( l a ) F2 ( l b ) l FRB
l
FRA
F1a F2b l
5
(Internal forces in beams)
记 E 截面处的剪力为 F RA FSE 和弯矩 ME ，且假设 FSE 和弯矩ME 的指向和转 向均为正值.
ql 2
20
(Internal forces in beams)
例题7 图示的简支梁在 C点处受集中荷载 F 作用. 试作此梁的剪力图和弯矩图. FRA 解: （1）求梁的支反力 F FRB
B b l
FRA
Fb l
FRB
Fa l
A a
C
因为AC 段和CB 段的内力方程不同，所以必须分段列剪 力方程和弯矩方程. 将坐标原点取在梁的左端.
A a
F
B l
F
x
0,
FRAx 0
Fa M A 0 , FRB l FRAx A F (l a ) Fy 0 , FRAy l FRAy
F
B
1 FRB
(Internal forces in beams)
求内力 —— 截面法
F
y
0,
C
FS FRAy
F (l a ) l
C A b a c D B
FRA
FRB
F2=F
解： （1）求支座反力
FRA FRB F 60kN
11
(Internal forces in beams)
（2）计算C 横截面上的剪力FSC 和弯矩 MC 看左侧
FSC F1 60kN M C F 1 b 6 .0kN m FSD FRA F 1 60 60 0
M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧, 负值画在 x 轴下侧
弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在 x 轴下侧
x
15
O
O
(Internal forces in beams)
例题5 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁
的剪力图和弯矩图.
A
F
B x
解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程
x qlx qx 2 M ( x ) FRA x qx 2 2 2
弯矩图为一条二次抛物线
(0 x l )
q
B
x
x 0， M 0 x l, M 0
A
FRA
l
FRB
dM ( x ) ql qx 0 令 dx 2
l 得驻点 x 2
弯矩的极值 M max M 绘出弯矩图
(Internal forces in beams)
二、剪力图和弯矩图 (Shear-force&bending-moment diagrams)
以平行于梁轴的横坐标 x 表示横截面的位置, 以纵坐标表示
相应截面上的剪力和弯矩. 这种图线分别称为剪力图和弯矩图
FS(x)
M(x)
x FS 图的坐标系
FRAy
A
m
F
B
M
0,
M FRAy x
剪力
m
x
弯曲构件内力 弯矩 1.弯矩(Bending moment) M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 直于截面的内力偶矩. 2. 剪力(Shear force) FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力. FRAy M FS M