二次函数最值问题圆的性质讲义
二次函数最值问题专题PPT课件
(1)求g a 的函数表达式；（2）求g a 的最大值。
解：⑴ f x 2x2 2ax 3
2(x a )2 a2 3 22
⑵
①当 a 2 时
g(a) 2a 5 1
g(a)
f ( 1)
f (a) 2
f (1)
2a 5
(a 2
1a
2)
a2 2
3( 1
a 2
1
2 a 2)
a 9(x
⑴当
a
13
)2 即
2a
a
6
1时
331
f (x)min
a2 5
f(
0
) 30Βιβλιοθήκη a 1a⑶当即a
3
f(
a2
3
x)min
4a
f
(
1) 3
5
1时
0
0
a
5或a 5
a5
⑵当 1 a 1 即 1 a 1时
333
a
f (x)min
2a
f( ) 0
63 0
(a
a
5)(a1或1)a
0
5
a5
综上：a 5或a 5
思3、 考已讨知论函：数f x 2x2 2ax 3
2a
5
(a 2
1
a
2)
②当
g(a)
③当a
g(a)
2a2
a2 3 2
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增,
∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3 2
o 1 2x a
例2 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最
《二次函数的最值问题》教案
二次函数的最值问题一、内容与内容解析1.内容含参二次函数在m x n ≤≤内的最值问题.２.内容解析本节课在讨论了影响0a ＞时二次函数在m x n ≤≤内最值的因素后对0a ＞时含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题进行探究.主要的研究方法是从函数图像入手，通过几何画板动态演示，确定分类标准，进行分类讨论,进而对分类标准进行优化，得到解决此类问题的一般方法，并运用此方法解决相关的最值问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从函数图像入手，运用分类讨论思想求含参二次函数在m x n ≤≤内最值.二、目标和目标解析1.目标(1)通过复习二次函数图像的特征和性质，能够借助二次函数的图像研究二次函数的最值.(2)通过对二次函数在m x n ≤≤内最值问题初探、对含参二次函数在m x n ≤≤内最值问题的探究，经历直观感知、抽象概括、运算求解、反思与构建等思维过程，体会函数思想，分类讨论等数学思想方法，发展数学感知、数学表征、抽象概括、运算能力等.2.目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助二次函数的图像研究二次函数在m x n ≤≤内的最值，并能由此得到二次函数在m x n ≤≤内最值的影响因素，进一步体会函数思想.达成目标(2)的标志是：借助二次函数的图像求解含参二次函数在m x n ≤≤内最值，进一步体会函数思想和分类讨论的思想.三、教学问题诊断分析学生已学习了二次函数的概念、图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力、数学说理能力，这为本节课的学习奠定了基础.但对于含参二次函数在m x n ≤≤内的图像及最值问题，由于其抽象程度较高，学生可能会在为什么要进行分类讨论以及如何确定分类标准这两个问题上产生一定的困难.基于以上分析，本节课的教学难点是：如何确定分类标准.四、教学过程设计引言:(展现生活实例，体现研究二次函数在m x n ≤≤内最值的必要性)本节课，我们将结合二次函数的相关知识深入研究二次函数的最值问题.1.复习导入，自主发现问题1如图，(5,),(8,),(1,),( 3.9,)A B C D A y B y C y D y --在二次函数2134y x x =--的图像上，请比较：(1)B y A y ；（2） D y C y ；（3）D y B y ；（4）C y A y .问题2根据问题1的结论填空：（1）二次函数2134y x x =--（58x ≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（2）二次函数2134y x x =-- ( 3.91x -≤≤-)，当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（3）二次函数2134y x x =--（ 3.98x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.（4）二次函数2134y x x =--（15x -≤≤），当x =时，y 取到最大值；当x =时，y 取到最小值.师生活动: 教师提出问题，学生尝试用已有知识解决这些问题，并交流问题中蕴含的函数知识和对这些知识的理解.追问1：这些二次函数的图像是完整的抛物线吗？追问2：为什么有的（二次函数的）最值能在顶点处取到，有的却不能呢？追问3：通过对上面问题的研究，你认为二次函数在 内的最值的取得与什么有关？师生活动:通过对前面问题的研究，自主发现影响二次函数在 内的最值的因素：对称轴和m x n ≤≤的相对位置.若对称轴不在m x n ≤≤内时，最值在端点处取得；对称轴在m x n ≤≤内时，最值在顶点和端点处分别取得.遇到这类问题时，我们通常要结合函数图象进行分析.设计意图：引导学生通过观察函数图像，直观地发现对称轴和 的相对位置影响了二次函数的最值.为下一步解决0a ＞时含参二次函数在 内的最值问题做铺垫. 2.问题剖析，合作探究探究1：求二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值. 师生活动:教师引导学生先观察函数解析式，分析参数t 的变化对二次函数图像的影响，然后借助计算机软件，直观感受对称轴和m x n ≤≤的相对位置如何影响二次函数的最小值.最后全班交流，确定分类标准，学生独立补全解题过程.追问1：观察本题中的函数解析式与前面 有什么区别？ m x n ≤≤2134y x x =--m x n ≤≤m x n ≤≤m x n ≤≤追问2：随着参数t 的变化，二次函数2134y x tx =--图象的开口方向和开口大小会改变吗？对称轴呢？追问3：二次函数2134y x tx =--（21x -≤≤）的最小值是唯一确定的吗？ 师生活动:关注学生是否明确此处为什么要进行分类讨论，体会分类讨论的必要性. 追问4：如何确定分类标准？如何用数学符号表达这种关系呢？师生活动: 师生共同讨论写出分类标准.教师规范格式以后要求学生将过程补齐. 设计意图：探究0a ＞时含参二次函数在 内的最小值问题，让学生体会解决这一类问题的基本方法.培养学生直观感知、抽象概括、数学表征能力，激发自主学习的积极性和探究意识.引导观察，发现分类依据，培养探究意识.探究2：已知关于x 的二次函数y 1＝x 2+bx +c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x ＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b 2﹣c ＝0，当b ﹣3≤x ≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2＝2x 2+x +m ，若在（1）的条件下，当0≤x ≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．师生活动：要求学生独立解决，写出分析过程，小组内交流讨论，最后全班汇报交流.对于学生展示的分类方法，教师适当引导和纠正，让学生理解如何进行分类讨论（不重复，不遗漏），并对分类方法进行优化.最后共同归纳出求含参二次函数在m x n ≤≤内最值的一般方法：一般先确定对称轴与m x n ≤≤的相对位置关系，分别画出示意图，确定分类标准，再进行分类讨论.设计意图：在探究1的基础上进一步探究 时含参二次函数在 内的最大值问题，重点体会解题过程中分类标准的确定.师生活动：回顾探究1和探究2的过程，体会它们的相同与不同之处.追问1：为什么有时候分3类，有时候分2类就可以了？什么时候分2类，什么时候分3类呢？追问2：你能直接判断它们分别分几类进行讨论吗：师生活动：通过类比探究1和探究2归纳：求二次函数在m x n ≤≤上的最值不仅min 2min min 2min 10242,12,2211,2321111,1,2422(1)13()2111()42x t t t x y t t t x t y t t t x y t t t y t t t t =--=-=---==---==--⎧⎪--⎪⎪=---⎨⎪⎪--⎪⎩解：＞，对称轴：（1）当2＜即＜时：（2）当2≤2≤即1≤≤时：，（3）当2＞即＞-时：＜综上所述：1≤≤＞-m x n≤≤m x n ≤≤0a ＞要看对称轴与m x n ≤≤的相对位置，还要看开口方向.开口向下时，可类比开口向上的数学模型进行讨论.设计意图：讨论0a ＞时含参二次函数在 内最小值的分类问题，体会开口方向对函数最值的影响.3.归纳总结师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们研究了哪些问题？（2）我们是如何分析、解决这些问题的？（3）在研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？设计意图：通过小结，理清本节课的研究内容和研究方法.让学生体会提出问题、分析问题、解决问题的方法.4.课外作业(1) 必做题：①求二次函数223y x ax =--+（45x -≤≤）的最值.②已知二次函数221y ax ax =++（12x -≤≤）有最大值4，求实数a 的值.(2) 选做题：求二次函数223y x x =-+（2t x t ≤≤+）上的最值.（3）兴趣作业：通过本节课的学习，你能自己提出一个二次函数最值相关的问题并进行解答吗？试试看，和同伴交流你的想法.设计意图：巩固本节课所学内容，利用前面归纳的结论来解决二次函数最值的相关问题，加深对含参二次函数在 内的最值问题的认识.体会函数思想.提升学生分析问题，解决问题的能力.m x n ≤≤m x n≤≤。
专题30 圆与二次函数结合(解析版)
专题30 圆与二次函数结合1．一动点P 在二次函数2111424y x x =-+的图像上自由滑动，若以点P 为圆心，1为半径的圆与坐标轴相切，则点P 的坐标为______．【答案】(1,1)-或(3,1)或(1,0)【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，则得一元二次方程，解方程即可；②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则可得点P 的坐标，综上即可求解． 【详解】解：如图所示：则可分两种情况：①当P 与x 轴相切时，则点P 的纵坐标为1，令21111424x x -+=，解得11x =-，23x =，此时点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)，②当P 与y 轴相切时，点P 的横坐标为1或-1，则此时点P 的坐标为：(1,1)-或(1,0)， 综上所述：点P 的坐标为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)， 故答案为：(1,1)-或(3,1)或(1,0)．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．2．如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点．若二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A ，B ，试确定此二次函数的解析式为 ____________．【答案】y=x 2-4x +3【分析】过点C 作CH ⊥AB 于点H ，然后利用垂径定理求出CH 、AH 和BH 的长度，进而得到点A 和点B 的坐标，再将A 、B 的坐标代入函数解析式求得b 与c ，最后求得二次函数的解析式． 【详解】解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则AH=BH ，∵C （2，3）， ∴CH=3， ∵半径为2， ∴AH=BH=()2223-＝1，∵A （1，0），B （3，0），∴二次函数的解析式为y=（x ﹣1）（x ﹣3）=x 2﹣4x +3， 故答案为：y=x 2-4x +3．【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C 作CH ⊥AB 于点H ，利用垂径定理求出点A 和点B 的坐标． 3．如图，抛物线2143115y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．【答案】26【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可. 【详解】令214311515y x x =--中y=0，得x 1=-3，x 2=53， ∴直线AC 的解析式为313y x =--， 设P （x ，313x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1 ∴PQ 2=PB 2-BQ 2， =(x-53)2+（313x ）2-1， =242837533x x ， ∵43a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()3326443，∴PQ 的最小值是26， 故答案为：26，【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.二、解答题4．如图，在平面直角坐标系中，以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A 、B 两点，且6AB =．(1)求经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式； (2)设抛物线的顶点为F ，证明直线FA 与D 相切；(3)在x 轴下方的抛物线上，是否存在一点N ，使CBN 面积最大，最大值是多少，并求出N 点坐标． 【答案】(1)215442y x x =-+ (2)证明见解析 (3)存在．当4n =时，BCNS 最大，最大值为16，此时()4,2N -．【分析】（1）连接CD ，由y 轴是D 的切线，可得DC y ⊥轴，过点D 作DE AB ⊥于点E ，根据垂径定理可得3AE BE ==，连接AD ，在Rt ADE △中可求出AD ，即圆的半径，然后利用矩形的判定证明四边形OCDE 是矩形，得到4CO =，2OA =，8OB =，从而得到C 、A 、B 三点的坐标，再利用待定系数法即可确定经过点C 、A 、B 三点的抛物线的解析式；（2）因为点D 为圆心，点A 在圆周上，5r AD ==，利用勾股定理的逆定理证明90DAF ∠=︒即可； （3）设存在点N ，过点N 作NPy 轴，交BC 于点P ，求出直线BC 的解析式，设点N 的坐标215,442n n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则可得点P 的坐标为1,42n n ⎛⎫-+⎪⎝⎭，从而根据BCN PNC PNB S S S =+△△△，表示出BCN △的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点N 的坐标． (1)解：如图，连接CD ，AD ，过点D 作DE AB ⊥于点E ， ∴90DEO ∠=︒，∵以()5,4D 为圆心的圆与y 轴相切于点C ，且6AB =，90COB ∠=︒，∴DC y ⊥轴，1AE BE AB 32===，4DE =，∴90DCO ∠=︒，2222435DA DE AE A =+=+=， ∴四边形OCDE 是矩形， ∴4CO DE ==，5==OE CD ，∴2OA OE AE =-=，8OB OA AB =+=， ∴()0,4C ，()2,0A ，()8,0B ，设经过点C 、A 、B 三点的抛物线解析式为：2y ax bx c =++， 将点C 、A 、B 三点的坐标代入可得：42064804a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得：14524a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴经过C 、A 、B 三点的抛物线的解析式为：215442y x x =-+．(2)证明：∵点D 为圆心，点A 在圆周上， 由（1）知，5r DA ==， 抛物线解析式为：215442y x x =-+，且顶点F 的坐标为95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又∵()5,4D ，与D 相切．N ，使CBN 面积最大，N 作NP y 轴，交()8,0B ，的解析式为：y kx =NPy 轴，交的坐标为142n =-+BCN PNC S =△当4n =时，BCNS最大，最大值为16，此时()4,2N -．【点睛】本题考查了二次函数及圆的综合应用，涉及垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定与性质，勾股定理及勾股定理逆定理，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识．由BCN PNC PNB S S S =+△△△得到BCNS与n 的函数关系是解题的关键．5．定义：平面直角坐标系xOy 中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．(1)已知点P （2，2），以P 5P 是不是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数y ＝x 2﹣4x +4图像的顶点为A ，坐标圆的圆心为P ，如图1，求△POA 周长的最小值； (3)已知二次函数y ＝ax 2﹣4x +4（0＜a ＜1）图像交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ，与坐标圆的第四个交点为D ，连接PC ，PD ，如图2．若∠CPD ＝120°，求a 的值． 【答案】(1)⊙P 是二次函数y ＝x 2﹣4x +3的坐标圆，理由见解析 (2)△POA 周长的最小值为6 (3)43312a +=【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，5为半径的圆上，即可作出判断．（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+P A+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．（3）连接CD，P A，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得P A=PC=2m，CE=3m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt△P AF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），∵点P（2，2），∴P A＝PB＝PC＝5，∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．（2）如图1，连接PH，∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），∴△POA周长＝PO+P A+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周长的最小值为6．（3）如图2，连接CD ，P A ，设二次函数y ＝ax 2﹣4x +4图像的对称轴l 与CD 交于点E ，与x 轴交于点F ，由对称性知，对称轴l 经过点P ，且l ⊥CD ， ∵AB ＝161641a aa a--=， ∴AF ＝BF ＝21aa-， ∵∠CPD ＝120°，PC ＝PD ，C （0，4）， ∴∠PCD ＝∠PDC ＝30°，设PE ＝m ，则P A ＝PC ＝2m ，CE ＝3m ，PF ＝4﹣m ， ∵二次函数y ＝ax 2﹣4x +4图像的对称轴l 为2x a=， ∴23m a=，即23a m =，在Rt △P AF 中，P A 2＝PF 2+AF 2， ∴222214(4)()a m m a-=-+， 即22224(1)34(4)43mm m m -=-+，化简，得(823)16m +=，解得843m =+， ∴2433123a m+==．【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．6．已知抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）经过A （3，0）、B （4，1）两点，且与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线与x 轴的另一个交点为D ，在抛物线上是否存在点P ，使△P AB 的面积是△BDA 面积的2倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），连接AC ，E 为线段AC 上任意一点（不与A 、C 重合），经过A 、E 、O 三点的圆交直线AB 于点F ，当△OEF 的面积取得最小值时，求面积的最小值及E 点坐标．【答案】（1）215322y x x =-+；（2）存在，点P 坐标（7172-，5172-）或（7172+，5172+）；（3）面积的最小值为94，E 点坐标（32，32） 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式求出点D 的坐标，取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，得到直线EP 为y ＝x ﹣1，联立方程组求解即可；（3）作BD ⊥OA 于D ，得到OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1，证明EF 是△AEO 的外接圆的直径，得到△EOF 是等腰直角三角形，当OE 最小时，△EOF 的面积最小，计算即可； 【详解】（1）将点A （3，0），B （4，1）代入可得： 933014431a b a b ++⎧⎨++⎩＝＝，解得：1252a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故函数解析式为215322y x x =-+； （2）∵抛物线与x 轴的交点的纵坐标为0， ∴2153022x x -+=，解得：x 1＝3，x 2＝2， ∴点D 的坐标为（2，0），取点E （1，0），作EP ∥AB 交抛物线于点P ，∵ED ＝AD ＝1，∴此时△P AB 的面积是△DAB 的面积的两倍， ∵直线AB 解析式为y ＝x ﹣3， ∴直线EP 为y ＝x ﹣1，由2115322y x y x x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩解得71725172x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或71725172x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴点P 坐标（7172-，5172-）或（7172+，5172+）． （3）如图2中，作BD ⊥OA 于D ．∵A （3，0），C （0，3），B （4，1）， ∴OA ＝OC ＝3，AD ＝BD ＝1， ∴∠OAC ＝∠BAD ＝45°， ∵∠OAF ＝∠BAD ＝45°， ∴∠EAF ＝90°，∴EF 是△AEO 的外接圆的直径， ∴∠EOF ＝90°，∴∠EFO ＝∠EAO ＝45°， ∴△EOF 是等腰直角三角形， ∴当OE 最小时，△EOF 的面积最小， ∵OE ⊥AC 时，OE 最小，OC ＝OA ，∴CE ＝AE ，OE ＝12AC ＝322， ∴E （32，32），S △EOF ＝1323292224⨯⨯=．∴当△OEF 的面积取得最小值时，面积的最小值为94，E 点坐标（32，32）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的性质、圆的综合应用，准确计算是解题的关键． 7．如图，在直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于点A (－3,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数表达式．（2）在抛物线上是否存在点D ，使得△ABD 的面积等于△ABC 的面积的53倍？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点，点F 是AE 的中点，请直接写出线段OF 的最大值和最小值．【答案】（1）224x 233y x =+-；（2）存在，理由见解析；D (－4, 103)或（2，103）；（3）最大值13122+；最小值13122- 【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入函数解析式计算即可得到；（2）点D 应在x 轴的上方或下方，在下方时通过计算得∴△ABD 的面积是△ABC 面积的43倍，判断点D 应在x 轴的上方，设设D (m ,n )，根据面积关系求出m 、n 的值即可得到点D 的坐标；（3）设E(x,y)，由点E 是以点C 为圆心且1为半径的圆上的动点,用两点间的距离公式得到点E 的坐标为E 2(,12)x x,再根据点F 是AE 中点表示出点F 的坐标2312(,)22x x ，再设设F(m,n),再利用m 、n 、与x 的关系得到n=21(23)22m ，通过计算整理得出22231(1)()()22n m ，由此得出F 点的轨）时，02C （，-）4533<，所以设D (m ,n ), △∴n ＝103∴223m +y=212x ,2,12)x x ,是AE 的中点, 的坐标2312(,)22x x ,,n=2122x ,n=21(23)22m ,∴2n+2=21(23)m ,∴(2n+2)2=1-(2m+3)2, ∴4(n+1)2+4(32m)2=1, ∴22231(1)()()22n m, ∴F 点的轨迹是以3(,1)2--为圆心，以12为半径的圆，∴最大值：2231131(0)12222， 最小值：2231131(0)12222最大值13122+；最小值13122- 【点睛】此题是二次函数的综合题，考察待定系数法解函数关系式，图像中利用三角形面积求点的坐标，注意应分x 轴上下两种情况，（3）还考查了两点间的中点坐标的求法，两点间的距离的确定方法：两点间的距离的平方=横坐标差的平方+纵坐标差的平方.8．如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线y ＝16x 2+bx+c 过点A 和B ，与y 轴交于点C ．(1)求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A 、B 、C ，开口方向、顶点和对称轴相对准确）(2)点Q （8，m ）在抛物线y ＝16x 2+bx+c 上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB 的最小值；(3)CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【答案】（1）C （0，2），图象见解析；（2）PQ+PB 的最小值210；（3）OE 的解析式为y=12x -． 【详解】试题分析：（1）根据题意可知点A ，B 的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C 的坐标；（2）根据图象可得PQ+PB 的最小值即是AQ 的长，所以抛物线对称轴l 是x=4．所以Q （8，m ）抛物线上，∴m=2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK=2，AK=6，求的AQ 的值即可；（3）此题首先要证得OE ∥CM ，利用待定系数法求得CM 的解析式，即可求得OE 的解析式． 试题解析：（1）由已知，得A （2，0），B （6，0），∵抛物线y=16x 2+bx+c 过点A 和B ，则2212206{16606b c b c ⨯++⨯++＝＝ 解得4{32b c -＝＝ 则抛物线的解析式为y=16x 2-43x+2．故C （0，2）．（说明：抛物线的大致图象要过点A 、B 、C ，其开口方向、顶点和对称轴相对准确） （2）如图①，抛物线对称轴l 是x=4． ∵Q （8，m ）在抛物线上，∴m=2．过点Q 作QK ⊥x 轴于点K ，则K （8，0），QK=2，AK=6， ∴AQ=22=210AK QK +．又∵B （6，0）与A （2，0）关于对称轴l 对称， ∴PQ+PB 的最小值=AQ=210． （3）如图②，连接EM 和CM ．由已知，得EM=OC=2．∵CE是⊙M的切线，∴∠DEM=90°，则∠DEM=∠DOC．又∵∠ODC=∠EDM．故△DEM≌△DOC．∴OD=DE，CD=MD．又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．则OE∥CM．设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），∴40 {2k bb+＝＝解得1 {22 kb-＝＝直线CM的解析式为y＝−12x+2．又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，∴OE的解析式为y=−12x或y=0.5x．9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；（3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为．（直接写出答案）【答案】（1）y=﹣x 2+2x+3；（2）当x=32时，CD 最大=94；（3）x=±12或x=±2；（4）1．【详解】分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）先确定出直线AB 解析式，进而得出点D ，C 的坐标，即可得出CD 的函数关系式，即可得出结论；（3）先确定出CD=|-x2+3x|，DP=|-x+3|，再分两种情况解绝对值方程即可；（4）利用四个点在同一个圆上，得出过点B ，C ，P 的外接圆的圆心既是线段AB 的垂直平分线上，也在线段PC 的垂直平分线上，建立方程即可． 本题解析：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴正半轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B （0，3），∴﹣9+3b+c=0，c=3，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）∵A （3，0），B （0，3），∴直线AB 解析式为y=﹣x+3， ∵P （x ，0）．∴D （x ，﹣x+3），C （x ，﹣x 2+2x+3）， ∵0＜x ＜3，∴CD=﹣x 2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x 2+3x=﹣（x ﹣32）2+94，当x=32时，CD 最大=94； （3）由（2）知，CD=|﹣x 2+3x|，DP=|﹣x+3|①当S △PDB =2S △CDB 时，∴PD=2CD ，即：2|﹣x 2+3x|=|﹣x+3|，∴x=±12或x=3（舍），②当2S △PDB =S △CDB 时，∴2PD=CD ，即：|﹣x 2+3x|=2|﹣x+3|，∴x=±2或x=3（舍）， 即：综上所述，x=±12或x=±2； （4）直线AB 解析式为y=﹣x+3，∴线段AB 的垂直平分线l 的解析式为y=x ， ∵过点B ，C ，P 的外接圆恰好经过点A ，∴过点B ，C ，P 的外接圆的圆心既是线段AB 的垂直平分线上，也在线段PC 的垂直平分线上， ∴2232x x x -++=，∴x=±3，故答案为3± 10．如图，已知抛物线的对称轴为直线l ：4,x =且与x 轴交于点(2,0),A 与y 轴交于点C (0,2).（1）求抛物线的解析式；（2）试探究在此抛物线的对称轴l 上是否存在一点P ，使AP CP +的值最小？若存在，求AP CP +的最小值，若不存在，请说明理由；（3）以AB 为直径作⊙M ,过点C 作直线CE 与⊙M 相切于点E ，CE 交x 轴于点D ，求直线CE 的解析式． 【答案】解：（1）如图，由题意，设抛物线的解析式为：2y a x 4a 0k =-+≠（）（）∵抛物线经过(2,0)A 、C (0,2).∴24)204)2(0{(2a k a k --+=∴+= 解得：a=16，23k =-.∴212(4)63y x =--，即：214263y x x =-+. （2）存在.令0y =，得28120,x x -+=即(2)(6)0x x --=，122, 6.x x ∴== ∴抛物线与x 轴的另－交点(6,0)B .如本题图2，连接CB 交l 于点P ，则点P 即是使AP CP +的值最小的点.因为A B 、关于l 对称，则AP BP =,AP CP CB ∴+=,即AP CP +的最小值为BC . ∵6,2OB OC ==,226240210.BC ∴=+==AP CP ∴+的最小值为210；（3）如图3，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线,∴90ME CE CEM ，⊥∠=︒,由题意，得2.OC ME ODC MDE ==∠=∠， ∵在COD MED ∆∆与中,{COD MED ODC EDM OC EM∠=∠∠=∠=， ∴AAS COD MED ∆∆≌（）， OD DE DC DM ∴==，,设OD x =，则4CD DM OM OD x ==-=-, 则在Rt △COD 中，又222OD OC CD +=，∴2224(4)x x +=-,解得32x =，∴D （32，0） 设直线CE 的解析式为y mx b =+，∵直线CE 过C （0，2）、D （32，0）两点， ∴3{22m b b +==，解方程组得：4{32m b =-=. ∴直线CE 的解析式为y 423x =-+.【详解】试题分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为2y a x 4a 0k =-+≠（）（），将(2,0)A 、C (0,2)代入解析式，即可求出a ，k 的值，得出抛物线的解析式，令0y =，即可求出抛物线与x 轴另－交点(6,0)B ；（2）连接CB 交l 于点P ，则点P 即是使AP CP +的值最小的点. 则AP CP +的最小值为BC ，在Rt △OBC 中，根据勾股定理即可求出BC 的值；（3）连接ME ，根据已知条件可得COD MED ∆∆≌，根据全等三角形的对应边相等可得OD DE DC DM ==，，在Rt △COD 中，根据勾股定理求出OD ，即可得出D 点坐标，设直线CE 的解析式为y mx b =+，代入C ，D 两点坐标，即可解得直线CE 的解析式. 考点：二次函数的综合题.点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，也考查了二次函数与圆的综合，本题综合性强，有一定难度.11．如图，已知二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3-，0），与y 轴的正半轴交于点C ．(1)求二次函数23y ax bx =++的表达式；(2)点D 是线段OB 上一动点，过点D 作y 轴的平行线，与BC 交于点E ，与抛物线交于点F ，连接CF ，探究是否存在点D 使得△CEF 为直角三角形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．y x．3∥OB关于抛物线对称轴直线x=）②当∠ECF =90°时，作FG ⊥y 轴于G ， 由OB =OC ，∠BOC =90°，可知∠BCO =45° ∵CF ⊥CB ， ∴∠FCG =45°，∴△CFG 是等腰直角三角形， 设CG =a ，则点F 坐标为(-a ,a +3)，代入223y x x =--+得：23()2()3a a a +=----+ 解得11a =，20a =（舍去） 点F （-1，4），此时点D 坐标为（-1，0）．综上所述：存在这样的点D ，点D 坐标为（-2，0）或（-1，0） （3）解：①当点P 在BC 上方时，过点P 作PG ⊥BC 于点G ，作PM ⊥x 轴，交BC 于点N ，过点P 作直线PH ∥BC ．则PNG 是等腰直角三角形，∵PG =2， ∴PN =2， ∵PM ⊥x 轴，∴直线PH 由直线BC 向上平移两个单位长度得到， ∴直线PH 的解析式为5y x =+． 联立直线PH 和抛物线的解析式，得：2235y x x y x ⎧=--+⎨=+⎩， 解得：14x y =-⎧⎨=⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．∴点P 坐标为(-1，4)或(-2，3) ．②当点P 在BC 下方时，同理可得直线PH 由直线BC 向下平移两个单位长度得到， ∴直线PH 的解析式为1y x =+．2231y x x y x ⎧=--+⎨=+⎩， 解得：31721172x y ⎧-+=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩或31721172x y ⎧--=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩．∴点P 坐标为(31711722，-+-+)或(31711722----，)． 综上所述：点P 坐标为(-1，4)或(-2，3)或(31711722，-+-+)或(31711722----，)． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度适中．12．已知二次函数的图象交x 轴于点A （3，0），B （－1，0），交y 轴于点C （0，－3），P 这抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ．(1)求抛物线的解析式：(2)当△P AC 是以AC 为直角边的直角三角形时，求点P 的坐标：(3)抛物线上是否存在点P ，使得以点P 为圆心，2为半径的圆既与x 轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P 的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度；若不存在，请说明理由．（写出过程） 【答案】(1)223y x x =--(2)点P 的坐标为（-2，5）或（1，-4）；(3)点P 的坐标为()122--，或()122+-，，抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度为22【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分当∠P AC =90°时，当∠PCA =90°时，两种情况讨论求解即可；（3）由圆P 的半径为2，且圆P 与抛物线对称轴有交点，且与x 轴相切，可得点P 的纵坐标为-2，由此求出点P 的坐标即可；过点P 作PE ⊥MN 于E ，由垂径定理可得MN =2ME ，利用勾股定理求出ME 即可得到答案．(1)解：设抛物线解析式为()()13y a x x =+-，把点C （0，-3）代入得，()()01033a +-=-，∴1a =，∴抛物线解析式为()()21323y x x x x =+-=--；(2)解：如图所示，当∠P AC =90°时，设P A 与y 轴交点为D ， ∵点A 坐标为（3，0），点C 坐标为（0，-3）， ∴OA =OC =3， ∵∠AOC =90°， ∴∠CAO =45°， ∴∠DAO =45°， ∴OA =OD =3，∴点D 的坐标为（0，3）， 设直线AD 的解析式为y kx b =+，∴303k b b +=⎧⎨=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AD 的解析式为3y x =-+，联立2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得25x y =-⎧⎨=⎩或30x y =⎧⎨=⎩（舍去），∴点P 的坐标为（-2，5）；当∠PCA =90°，设直线PC 与x 轴的交点为E ， 同理可证∠ECO =45°，即OE =OC ， ∴点E 的坐标为（-3，0），同理可以求出直线PC 的解析式为3y x =--，联立2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩， 解得14x y =⎧⎨=-⎩或03x y =⎧⎨=-⎩（舍去），∴点P 的坐标为（1，-4），综上所述，点P 的坐标为（-2，5）或（1，-4）；(3)解：∵抛物线解析式为()222314y x x x =--=--， ∴抛物线对称轴为直线1x =，∴点A 和点B 到抛物线的对称轴的距离都为2，∵圆P 的半径为2，且圆P 与抛物线对称轴有交点，且与x 轴相切， ∴点P 的纵坐标为-2， 当2y =-时，2232x x --=-， 解得121212x x =-=+，，∴点P 的坐标为()122--，或()122+-，， 过点P 作PE ⊥ME 交抛物线对称轴于E ，∴1212PE =+-=或()112=2--，2MN ME =， ∴222ME MP PE =-=， ∴22MN =，∴点P 的坐标为()122--，或()122+-，，抛物线的对称轴所截的弦MN 的长度为22【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，圆与函数综合，待定系数法求函数解析式等等，正确理解题意，利用分类讨论和数学结合的思想求解是解题的关键．13．如图，二次函数24y ax =+的图象与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OA=OC(1)求二次函数的解析式；(2)若以点O 为圆心的圆与直线AC 相切于点D ，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P 使得以P 、A 、D 、O 为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2144y x =-+(2)点D 的坐标为()2,2-(3)存在，点1P 的坐标为()8,12-，点2P 的坐标为()225,225----【分析】（1）由题意可知C 坐标，根据题意得到三角形AOC 为等腰直角三角形，确定出A 坐标，代入二次函数解析式求出a 的值，即可确定出解析式；（2）由题意连接OD ，作DE ∥y 轴，交x 轴于点E ，DF ∥x 轴，交y 轴于点F ，如图1所示，由圆O 与直线AC 相切于点D ，得到OD 垂直于AC ，由OA =OC ，利用三线合一得到D 为AC 中点，进而求出DE 与DF 的长，确定出D 坐标即可；（3）根据题意分两种情况考虑：经过点A 且与直线OD 平行的直线的解析式为y =-x -4，与抛物线解析式联立求出P 坐标；经过点O 且与直线AC 平行的直线的解析式为y =x ，与抛物线解析式联立求出P 坐标即可． (1)解：∵二次函数24y ax =+的图象与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为()0,4，∵二次函数24y ax =+的图象与x 轴交于点A ，tan ∠OAC ＝1， ∴∠CAO ＝45°， ∴OA ＝OC ＝4， ∴点A 的坐标为()4,0-， ∴()2044a =-+，∴14a =-，∴二次函数的解析式为2144y x =-+；(2)连接OD ，作DE 轴，交x 轴于点E ，DF 轴，交y 轴于点F ，如图1所示，∵⊙O 与直线AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ， ∵OA ＝OC ＝4， ∴点D 是AC 的中点，∴122DE OC ==，122DF OA ==，∴点D 的坐标为()2,2-； (3)直线OD 的解析式为y ＝－x ，如图2所示，则经过点A 且与直线OD 平行的直线的解析式为y ＝－x －4，解方程组24144y x y x =--⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得24320x x --=，即()()840x x -+=， ∴18x =，24x =-（舍去）， ∴y ＝－12，∴点1P 的坐标为()8,12-；直线AC 的解析式为y ＝x ＋4， 则经过点O 且与直线AC 平行的直线的解析式为y ＝x ，解方程组2144y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩， 消去y ，得24160x x +-=，即225x =-+， ∴1225x =--，2225x =-+（舍去）， ∴225y =--，∴点2P 的坐标为()225,225----．【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，坐标与图形性质，直线与抛物线的交点，直线与圆相切的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．14．如图，已知二次函数213442y x x =-++的图像与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ；(1)求顶点D 的坐标； (2)求直线BC 的解析式；(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE ，CE ，求△BCE 面积的最大值； (4)以AB 为直径，M 为圆心作圆M ，试判断直线CD 与圆M 的位置关系，并说明理由 【答案】(1)25(3,)4(2)142y x =-+(3)16(4)直线与圆M 相交，理由见解析【分析】（1）利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式；（2）先解得(2,0),(8,0)A B -，(0,4)C ，再利用待定系数法，代入点B 、C 的坐标即可解答； （3）根据中点公式解得点M 的坐标，再利用两点间的距离公式解得CM ，MD 的长，比较MD <CM ，得到直线与圆M 有两个交点，据此解答． (1)解：222213114612264=()4()445949(3)44y x x x x x x x --=-++-+=-+--+=+-即顶点D 的坐标25(3,)4； (2)由（1）知(0,4)C 令0y =得201(3)254=4x -+- 解得128,2x x ==-(2,0),(8,0)A B ∴-设直线BC 的解析式：y kx b =+，代入点B 、C480b k b =⎧⎨+=⎩124k b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ 142y x ∴=-+ (3)如图，设21(,)3442E x x x ++-（0<x <8），过点E 作EH x ⊥于H ， BCE BOC COBE S S S=-四边形 BHE BOC COHE SS S =+-梯形 1()1222EH CO OH BH EH BO CO +⋅=⋅+-⋅223432421(4)1114(8)()842422x x x x x x -+⋅=-⋅-+-++⨯+⨯+ 2=8x x -+2(4)16=x --+即当x =4时，△BCE 面积的最大值为16；(4)直线与圆M 的位置是相交，理由如下，如图，M 为BC 的中点，0804(,)22M ++∴ 即(4,2)M222225305(04)(42)25,(34)(2)44CM MD ∴=-+-==-+-= 32030532025,444=< MD MC ∴<∴直线CD 与圆M 有两个交点，即直线与圆M 的位置是相交．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 15．如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ． （1）二次函数的表达式为 ；（2）点M 在直线BC 上，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）若点E 在二次函数的图象上，以E 为圆心的圆与直线BC 相切于点F ，且EF ＝65，请直接写出点E 的坐标． 【答案】（1）239344y x x =-++；（2）点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）；（3）点E 的坐标为3626,4⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或3626,4⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或3222,34⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或3222,34⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）根据A 、B 两点的坐标，应用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）首先通过BC 两点坐标，求出直线BC 的解析式，再根据三角形△ABM 是等腰三角形，分3种情况考虑，得到关于M 点横坐标x 的方程，解之即可得到x 的值，进而得到M 点坐标；（3）利用面积法求出O 到直线BC 的距离，结合EF 的长度可知P 1为线段OC 中点，可得P 1的坐标，进而可得P 2坐标，结合直线BC 的表达式，可求出直线EP 的表达式，联立直线EP 和抛物线的函数表达式，组成方程组，即可解得点E 的坐标．【详解】解：（1）将A （﹣1，0），B （4，0）代入y ＝ax 2＋bx ＋3得：3016430a b a b -+=⎧⎨++=⎩， ∴a ＝34-，b ＝94， ∴239344y x x =-++， 故二次函数表达式为：239344y x x =-++； （2）当x ＝0时，y ＝3，∴点C 的坐标是（0，3），设直线BC 的表达式为：y ＝kx ＋c （k ≠0），将B （4，0），C （0，3）代入y ＝kx ＋c 得：4303k c +=⎧⎨=⎩， ∴343k c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为：334y x =-+，使得△ABM 为等腰三角形，存在如图所示的三种情况：过点M 1作M 1D ⊥AB ，∵A （﹣1，0），B （4，0），∴AD ＝12AB ＝52， ∴OD ＝32， 设M 1（x ，﹣34x ＋3）， ∴M 1（32，158）， ∵△ABM 为等腰三角形，∴AB ＝BM 2＝5或AB ＝BM 3＝5，设M 2（x 1，﹣34x 1＋3）， ∴BM 2＝()22113434x x ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭＝5， 解得x 1＝8或0，当x 1＝0时，y ＝3，当x 1＝8时，y ＝﹣3，∴点M 为（0，3）或（8，﹣3）或（32，158）； （3）过点E 作EP ∥BC ，交y 轴于点P ，这样的点有两个，分别记为P 1，P 2，如图所示：∵OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝22OB OC +＝5，∴点O 到直线BC 的距离为：125OB OC BC ⋅=， ∵以E 为圆心的圆与直线BC 相切于点F ，且EF ＝65， ∴点E 到直线BC 的距离是65， ∴点P 1为线段OC 的中点，∴CP 1＝CP 2，∴P 2（0，92）， ∵直线BC 的函数表达式为y ＝﹣34x ＋3， ∴直线EP 的函数表达式为y ＝﹣34x ＋32或y ＝﹣34x ＋92， 联立直线EP 和抛物线的表达式方程组，得：2334239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩或2394239344y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩， 得1126364x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或2226364x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或33223234x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩或44223234x y ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩， ∴点E 的坐标为36264⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，或36264⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或322234⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，或322234⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合应用．解题的关键要熟练掌握代入法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、两点间的距离公式及勾股定理等．。
专题13 隐圆(含阿氏圆)求最值问题-2022中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)
专题13 隐圆（含阿氏圆）求最值问题1．（2020·北京市中考模拟预测）如图，抛物线2815y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，对称轴与x 轴交于点C ，点(0,2)D -，点(0,6)E -，点P 是平面内一动点，且满足90DPE ∠=︒，M 是线段PB 的中点，连结CM ．则线段CM 的最大值是（ ）．A ．3BC ．72D ．5【答案】C 【分析】解方程x 2−8x ＋15＝0得A （3，0），利用抛物线的性质得到C 点为AB 的中点，再根据圆周角定理得到点P 在以DE 为直径的圆上，圆心Q 点的坐标为（−4，0），接着计算出AQ ＝5，⊙Q 的半径为2，延长AQ 交⊙Q 于F ，此时AF 的最大值为7，连接AP ，利用三角形的中位线性质得到CM ＝12AP ，从而得到CM 的最大值． 【详解】解方程x 2−8x ＋15＝0得x 1＝3，x 2＝5，则A （3，0）， ∵抛物线的对称轴与x 轴交于点C ， ∴C 点为AB 的中点， ∵∠DPE ＝90°，∴点P 在以DE 为直径的圆上，圆心Q 点的坐标为（−4，0），AQ 5，⊙Q 的半径为2，延长AQ 交⊙Q 于F ，此时AF 最大，最大值为2＋5＝7， 连接AP ，∵M 是线段PB 的中点， ∴CM 为△ABP 为中位线， ∴CM ＝12AP ，∴CM 的最大值为72． 故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理． 2．（2021·天津河北·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2134y x bx =-++的对称轴是直线2x =，与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（I ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（II ）M 为第一象限内抛物线上的一个点，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，交BC 于点D ，连接CM ，当线段CM CD =时，求点M 的坐标；（III ）以原点O 为圆心，AO 长为半径作O ，点P 为O 上的一点，连接BP ，CP ，求23PC PB+的最小值．【答案】（I ）21(2)44y x =--+，抛物线的顶点坐标为(2,4)；（II ）点M 的坐标为(2,4)；（III ）23PC PB +的最小值为【分析】（1）根据对称轴公式可求得抛物线的解析式，再写出顶点坐标即可（2）先写出A 、B 、C 的坐标再写出直线BC 的解析式，利用两点之间的距离公式列方程即可求解;(3)先证明POG COP ∽，再由当B ，P ，G 三点共线时，PB PG +的值最小，最小值即为BG 的值，利用勾股定理即可 【详解】 （I ）∵22b x a=-= ，14a =-，∴1b =．∴抛物线的解析式为2134y x x =-++ ． ∴22113(2)444y x x x =-++=--+， ∴抛物线的顶点坐标为(2,4)；（II ）连接CM ，过点C 作CE MN ⊥于点E ，∵2134y x x =-++，令0x =，则3y =， ∴(0,3)C ．令0y =，即21304x x -++=，解得16x =，22x =-． ∴(2,0)A -，(6,0)B ．设直线BC 的解析式为y kx b =+， 将(6,0)B ，(0,3)C 代入y kx b =+，得603k b b +=⎧⎨=⎩，解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为132y x =-+．∵点M 在抛物线上，点D 在BC 上，MN x ⊥轴，∴设点M 的坐标为21,34m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，点D 坐标为1,32m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴2113342MD m m m ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭21342m m =-+．∵CM CD =，3OC EN ==，∴122332MD ED m m ⎡⎤⎛⎫==⨯--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又∵21342MD m m =-+，∴21342m m m -+=，即(2)0m m -=，解得2m =或0m =（不合题意，舍去）， ∴2m =，当2m =时，2122344y =-⨯++=，∴点M 的坐标为(2,4)．（III ）如图，连接OP ，在OC 上截取OG ，使得23OG OP OP OC ==， 连接PG ，BG ，此时43OG =，40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭． ∵OG OPOP OC=，POG COP ∠=∠， ∴POG COP ∽． ∴23PG OG PC OP ==，即23PG PC =． ∴22333()3PC PB PC PB PB PG +=+=+． ∴当B ，P ，G 三点共线时，PB PG +的值最小，最小值即为BG 的值．∴BG =，∴23PC PB +的最小值为 【点睛】本题考查抛物线解析式及顶点坐标、有抛物线的对称轴，相似三角形、最值问题、勾股定理，一元二次方程，熟练进行等角的转换是关键3．（2021·河南·中考试题研究）如图，直线l ：33y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线22y x x b =-++过点B ．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为1d ，2d ，当12d d +最大时，求直线l '旋转的角度（即BAC ∠的度数）．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，S 的最大值为258；（3）①5(2，7)4；②45° 【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值； （2）设M 的坐标为2(,23)m m m -++，然后根据面积关系将ABM ∆的面积进行转化； （3）①由（2）可知52m =，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值； ②可将求12d d +最大值转化为求AC 的最小值． 【详解】解：（1）令0x =代入33y x =-+，3y ∴=，(0,3)B ∴，把(0,3)B 代入22y x x b =-++并解得：3b =，∴二次函数解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）令0y =代入2y x 2x 3=-++，2023x x ∴=-++，1x ∴=-或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为1-和3，M 在抛物线上，且在第一象限内，03m ∴<<，令0y =代入33y x =-+， 1x ∴=，A ∴的坐标为(1,0)，由题意知：M 的坐标为2(,23)m m m -++，()221111525312313()222228AOB OBM OAM AOB OAMB S S S S S S m m m m ∆∆∆∆=-=+-=⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯=--+四边形，∴当52m =时，S 取得最大值258． （3）①由（2）可知：M '的坐标为5(2，7)4； ②过点M '作直线1//l l '，过点B 作1BF l ⊥于点F ，根据题意知：12d d BF +=， 此时只要求出BF 的最大值即可，90BFM ∠'=︒，∴点F 在以BM '为直径的圆上，设直线AM '与该圆相交于点H ， 点C 在线段BM '上，F ∴在BM H '上，∴当F 与M '重合时，BF 可取得最大值，此时1BM l '⊥，(1,0)A ，(0,3)B ，5(2M '，7)4，∴由勾股定理可求得：10AB，M B '，M A ' 过点M '作M G AB '⊥于点G ， 设BG x =，∴由勾股定理可得：2222M B BG M A AG '-='-，∴2285125)1616x x -=-，x ∴=cos BG M BG M B ∠'='， 1//l l '，45MBG ∠=︒，90BCA ∴∠=︒，∴45BAC ∠=︒． 【点睛】本题属于二次函数的综合问题，考查待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目．4．已知抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）如图1，点D 为抛物线顶点，以点A 为圆心，1为半径作⊙A ，点E 为⊙A 上的动点，连接DE 、BE ，求12DE BE +的最小值；（2）如图2，若点H 是直线AC 与抛物线对称轴的交点，以H 为圆心，以1为半径作⊙H ，点Q 是⊙H AQ +的最小值；（3）如图3，点D 是抛物线上的点，且横坐标为2，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，点P 是以O 为圆心，1为半径的⊙O 上的动点，连接DP 、PE ，求12PD PE -的最大值．【答案】（1）4（2（3 【分析】（1）先求出()3,0A ，()1,0B -，4AB =，将拋物线解析式化为顶点式为()214y x =--+，得出()1,4D ，先证明EAF BAE △∽△，推出14EF BE =，当D 、E 、F 三点共线时，14DE BE DE EF DF +=+=，即14DE BE +取得最小值，最小值为DF 的长，根据14AF =，求出点E 坐标为11,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据74PF =，4DP =，求出DF ==出14DE BE +的最小值；（2）先求出由直线AC 的解析式为3y x =-+，然后求出点H 坐标为（1，2），连接OH ，与H交于点D ，在OH 上截取HN HD =N 作NE x ⊥轴于点E ，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，连接AN 交H 于点Q ，先证明QHN OHQ △∽△，得出QN HN OQ HQ ==AQ QN AQ +=+，要使5AQ +最小，则QN AQ +取最小值．即点A 、Q 、N 三点在一条直线上时，值最小，最小值为AN 的长，易得直线OH 的解析式为2y x =，设点N横坐标为x ，则其纵坐标为2x ，根据HN ==ON OH HN =-==，根据NE x ⊥轴，HF x ⊥轴，得出OE ON OF OH =，求出45x =，可得点N 坐标为48,55⎛⎫⎪⎝⎭，根据点A 的坐标为（3，0），即可求出AN ，可得出答案；（3）先证明四边形OCDE 为矩形，在OA 上取一点H ，使得12OH =，连接DH 并延长交O 于点P ，连接EP ，证明POH EOP △∽△，得出12PH EP =，当点P 在DH 的延长线上时，12PD PE -的值最大，最大值为DH 的长，根据1,02H ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,3D ，求出3DE =，32EH =，即可求出DH =，即可得出答案． 【详解】解：（1）令0y =，则2023x x =-++， 解得11x =-，23x =， ∴()3,0A ，()1,0B -， ∴4AB =，将拋物线解析式化为顶点式为()214y x =--+， ∴()1,4D ，如图，在x 轴上截取14AF =，则14AF AE =，设抛物线对称轴与x 轴交于点P ， ∵14AEAB，且EAF BAE ∠=∠， ∴EAF BAE △∽△， ∴14EF AE BE AB ==， ∴14EF BE =， ∴当D 、E 、F 三点共线时，14DE BE DE EF DF +=+=， 即14DE BE +取得最小值，最小值为DF 的长， ∵14AF =， ∴114OF OA AF =-=， ∴点E 坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭，∴74PF =，4DP =，∴DF ==∴14DE BE +的最小值为4； （2）由抛物线()214y x =--+， 可得拋物线对称轴为直线1x =， 设直线AC 的解析式为y kx b =+， 将()3,0A ，()0,3C 代入y kx b =+， 易得直线AC 的解析式为3y x =-+， ∵点H 为直线AC 与抛物线对称轴的交点， ∴点H 坐标为（1，2），如图，连接OH ，与H 交于点D ，在OH 上截取HN HD =过点N 作NE x ⊥轴于点E ，设抛物线对称轴与x 轴交于点F ，连接AN 交H 于点Q ，∵()1,2H ，∴1OF =，2HF =，∴OH 又∵1HQ =，HD HQ =，∴HN HN HQ HD HQ OH == 又∵NHQ QHO ∠=∠， ∴QHN OHQ △∽△，∴QN HN OQ HQ =∴QN =，AQ QN AQ +=+，AQ +最小，则QN AQ +取最小值．即点A 、Q 、N 三点在一条直线上时，值最小，最小值为AN 的长，易得直线OH 的解析式为2y x =，∵点N 在直线OH 上，∴设点N 横坐标为x ，则其纵坐标为2x ，∵HN ==∴ON OH HN =-==， ∵NE x ⊥轴，HF x ⊥轴， ∴OE ON OF OH =，∴1x 解得45x =， ∴点N 坐标为48,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∵点A 的坐标为（3，0），∴AN ==AQ + （3）∵点D 是抛物线上的点，且横坐标为2，∴()2,3D ，∵()0,3C ，∴CD y ⊥轴，∵DE x ⊥轴，∴易证四边形OCDE 为矩形，∴2OE CD ==，如图，在OA 上取一点H ，使得12OH =，连接DH 并延长交O 于点P ，连接EP ，易得直线DH 的解析式为21y x =-，∴()0,1P ， ∵12OH OP =，12OP OE =，且POH EOP ∠=∠， ∴POH EOP △∽△， ∴12PH OP EP OE ==， ∴12PH EP =， 当点P 在DH 的延长线上时，12PD PE -的值最大，最大值为DH 的长， ∵1,02H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,3D ， ∴3DE =，32EH =，∴DH =，∴12PD PE -． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键5．（2021·湖南·长沙市开福区中考二模）已知二次函数的图象经过点A （2，0），B （4-，0），C （0，4），点F 为二次函数第二象限内抛物线上一动点，FH x ⊥轴于点H ，交直线BC 于点D ，以FD 为直径的圆⊙M 与BC 交于点E ．（1）求这个二次函数的关系式；（2）当三角形EFD 周长最大时．求此时点F 点坐标及三角形EFD 的周长；（3）在（2）的条件下，点N 为⊙M 上一动点，连接BN ，点Q 为BN 的中点，连接HQ ，求HQ 的取值范围．【答案】（1）2142y x x =--+；（2）F （2-，4），△EFD的周长为2；（3HQ≤≤． 【分析】（1）根据A 、B 点的坐标可设交点式，然后代入C 点坐标求解即可；（2）由题意可直接判断出△FDE ∽△BCO ，从而可知FDE BCO C FD C BC=△△，然后通过设点表示出FD 的长度，从而列出关于△FDE 周长的二次函数解析式，利用二次函数的性质进行求解判断求解即可；（3）连接ON ，根据（2）的条件可确定出HQ 为△BON 的中位线，由此可先确定ON 的取值范围，从而确定HQ 的取值范围即可．【详解】（1）∵抛物线与x 轴交于A （2，0），B （4-，0）两点，∴设抛物线的解析式为：()()24y a x x =-+，由抛物线经过C （0，4），∴将C （0，4）代入()()24y a x x =-+，解得：12a =-， ∴抛物线的解析式为：()()1242y x x =--+，即：2142y x x =--+；（2）∵FH x ⊥轴，∴FH ∥y 轴，∠FDE =∠BCO ，∴△FDE ∽△BCO ，则FDE BCO C FD C BC =△△， 根据B （4-，0），C （0，4），可得直线BC 的解析式为：4y x =+， 设21,42F m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，则(),4D m m +， ∴2122F D FD y y m m =-=--， 在△BCO 中，OB =OC =4，BC =∴8BCO C =+△212m m --=，整理得：)222FDE C m =++△，∵0<， ∴当2m =-时，FDE C △取得最大值，最大值为2，将2m =-代入抛物线解析式可得：4y =，∴点F 的坐标为F （2-，4），△EFD的周长为2；（3）由（2）可知，F （2-，4），D （-2，2），∴H （-2,0），BH =OH ，即H 为BO 的中点，∵FD 为⊙M 的直径，∴M （-2，3），∵Q 为BN 的中点，∴如图所示，连接ON ，则HQ 为△BON 的中位线， ∴12HQ ON =，即求出ON 的取值范围即可，①∵点N在⊙M运动，∴当O、M、N三点共线的时候，ON最长，如图所示，此时，ON=OM+MN，∵OM=MN=MD=1，∴ON1；②当O、N、M三点共线时，ON最短，如图所示，此时，ON=OM-MN，即：1ON=，∴可得ON 11ON ≤≤，∴由12HQ ON =，得HQ HQ ≤≤． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，相似三角形的判定与性质，灵活求解函数解析式，熟练掌握函数法求几何图形面积或周长的最值问题，以及数形结合的思想进行转化是解题关键． 6．（2021·四川·成都实外九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线213442y x x =--， y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）如图1，连接BC ，点D 是抛物线上一点，若∠DCB =∠ABC ，求点D 的坐标；（3）如图2，若点P 在以点O 为圆心，OA 长为半径作的圆上，连接BP 、CP ，请你直接写出12CP +BP 的最小值．【答案】（1）()20A -，，()80B ，，()0,4C -；（2）()16,4D -，234100,39D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3【分析】（1）通过解方程213442x x --=0可得A 点和B 点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C 点坐标；（2）根据题意可得两种情况：①AB //CD ，点C 与点D 关于抛物线对称轴对称，由点C 坐标可得点D 坐标；②AB 与CD 不平行时，求出CD 的解析式，联立方程组求解即可； （3）证明△MOP POC ∆得12MP PC =，12PC BP MP BP +=+，根据M P B 、、三点共线即可得到结论．【详解】解：（1）将y =0代入213442y x x =--得，213442y x x =--=0， 解得x 1=-2，x 2=8，∴点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（8，0）；将x =0代入213442y x x =--得y =-4， ∴点C 的坐标为（0，-4）；（2）如图，①∵∠ABC =∠BCD 1∴AB //CD 1∴点C 与点D 1关于抛物线对称轴对称，由A ，B 两点坐标可知抛物线的对称轴为(28)32x -+== ∵C （0，-4）∴D 1（6，-4）②当∠ABC =∠BCD 2时，CD 2与x 轴交于E ，则有CE =BE ，设BE =CE =x ，则OE =8-x在Rt △OCE 中，222OE OC CE +=∴2224)8(x x -+=，解得，x =5∴OE =8-5=3∴E (3，0)设CD 2的解析式为y =kx +b把C (0，-4)，E (3，0)代入得430b k b =-⎧⎨+=⎩解得，434k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴CD 2的解析式为443y x =- 联立得244313442y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩， 解得04x y =⎧⎨=-⎩，3431009x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴234100,39D ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）在OC 上截取OM ，使OM =12OP =1，∵∠MOP POC =∠，12OM OP OP CO ==， ∴△MOP POC ∆， ∴12MP PC =， ∴12PC BP MP BP +=+， 当M P B 、、三点共线时，12PC BP MP BP MB +=+=，最短，=【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，三角形相似的判断和性质等，第（3）问，构造相似三角形求解是关键．7．（2021·广东·铁一中学中考二模）如图，抛物线y=ax 2－2ax+c 与x 轴分别交于点A 、B (点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C ，连接BC ，点(12，34-a －3)在抛物线上． （1）求c 的值；（2）已知点D 与C 关于原点O 对称，作射线BD 交抛物线于点E ，若BD=DE ，①求抛物线所对应的函数表达式 ；②过点B 作BF ⊥BC 交抛物线的对称轴于点F ，以点C 为圆心，以C ，点T 为⊙C 的最小值．【答案】（1）3c =-；（2）①抛物线的解析式为233384y x x =--【分析】（1）将13324a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入22y ax ax c =-+中即可求得c 的值； （2）①根据题意，设点(),0B m ，则点(),6E m -，将两点坐标代入223y ax ax =--中即可求得a 的值，进而即可求得函数解析式；②根据题意，令y =0求出4OB =，再由FQB BOC ∆≅∆及勾股定理求得5BF BC ==，接着由GCT TCB ∆∆∽得到TG =，再根据当点F ，T ，G TF +的值最小，最小值为线段GF 的长进而即可求得最小值．【详解】解：（1）∵点13324a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在抛物线上 231132422a a a c ⎛⎫∴--=⋅-⨯+ ⎪⎝⎭ 3c ∴=-；（2）①如图，由题意，得点()0,3C -点D 与点C 关于原点O 对称∴点()0,3DBD DE =设点(),0B m ，则点(),6E m -将(),0B m ，(),6E m -代入抛物线223y ax ax =--得22230236am am am am ⎧--=⎨+-=⎩解得38a = ∴抛物线的解析式为233384y x x =--；②∵抛物线()2233327318488y x x x =--=--∴抛物线的对称轴为直线1x =令0y =，则()23271088x --= 解得11x =-或24x =4OB ∴=如图，设直线1x =与x 轴的交点为Q ，则90FQB ∠=︒90QFB QBF ∴∠+∠=︒BF BC ⊥90FBC ∴∠=︒90OBC QBF ∴∠+∠=︒QFB OBC ∴∠=∠ 413BQ =-=，3OC =BQ OC ∴=又90FQB BOC ∠︒∠==FQB BOC ∴∆≅∆BF BC ∴=在Rt BOC ∆中，4OB =，3OC =，由勾股定理得5BC =5BF BC ∴==在CB 上截取，1CG =，取514GB =-=15CG CT ==，CT CB =CG CTCT CB∴= 又GCT TCB ∠=∠GCT TCB ∴∆∆∽CG CT TG CT CB TB ∴===TG =TF TG TF +=+ 点F ()1,4为定点∴当点F ，T ，G TF +的值最小，最小值为线段GF 的长在Rt GBF ∆中，4GB =，5BF =，由勾股定理得：GF =【点睛】本题主要考查了二次函数及圆的几何综合，熟练掌握函数解析式的求解方法，三角形全等及相似的性质与判定，几何最值问题的求解方法等相关内容是解决本题的关键．8．（2021·江苏·沭阳县怀文中学九年级月考）如图，直线2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标； （2）若点P 为直线OD 上一动点，求APB ∆的面积；（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作M ，点Q 是M 上一动点，求QB '的最小值．【答案】（1）；（2）3；（3【分析】（1）根据菱形的性质可得OD =OC ，求出m D 点坐标可求出；（2）联立直线与抛物线求出交点A 、B 的坐标，然后求出AB 的长，再根据AB ∥OD 求出两平行线间的距离，最后根据三角形的面积公式列式计算即可；（3）根据A 、B 的坐标求出AM 、BM 的长，再求出点M 的坐标，从而得到⊙M 的半径为2，取MB 的中点N ，连接QB 、QN 、QB ′，然后利用两边对应成比例夹角相等两三角形相似求出△MNQ 和△MQB 相似，再根据相似三角形对应边成比例求出QN ，然后根据三角形任意两边之和大于第三边判断出Q 、N 、B ′三点共线时QB 最小，然后根据勾股定理列式计算即可． 【详解】 (1)(,)D m m，OD =， 菱形CODM2OD OC ∴===m ∴=(2)①2y x =+与抛物线222y x mx m m =-++交于,A B 两点，∴联立，222y x mx m m =-++，2y x =+解得1111x m y m =-⎧⎨=+⎩，2224x m y m =+⎧⎨=+⎩ ∵点A 在点B 的左侧(1,1)A m m ∴-+，(2,4)B m m ++AB ∴=∴直线OD 的解析式为y x =，直线AB 的解析式为2y x =+//AB OD ∴，两直线,AB OD之间距离2h ==11322APBSAB h ∴=⋅=⨯=(3) (1,1)A m m -+，(2,4)B m m ++1AM ∴==2BM ==由M 点坐标(,2)m m +，D 点坐标(,)m m 可知以MD 为半径的圆的半径为(2)2m m +-= 取MB 的中点N ，连接,,QB QN QB '，则12MN BM ==⨯MN QMMN QM QM BM ==QMN BMQ ∠=∠， ~MNQ MQB ∴，QN MN OB OM ∴==QN ∴=由三角形三边关系，当,,Q N B '三点共线时2QB '+最小， ∵直线AB 的解析式为2y x =+， ∴直线AB 与对称轴夹角为45°， ∵点,B B '关于对称轴对称， 90BMB '︒∴∠=，由勾股定理得，QB '最小值【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数解析式的转化，联立两函数解析式求交点坐标，勾股定理的应用，三角形的面积的求解，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．9．（2021·广西柳江·中考二模）如图，抛物线2y x bx c =-++经过点()4,4A --，()0,4B ，直线AC 的解析式为162y x =--，且与y 轴相交于点C ，若点E 是直线AB 上的一个动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ． （1）求抛物线2y x bx c =-++的解析式；（2）点H 是y 轴上一动点，连结EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E ，H 的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E 上以动点，求12AM CM +的最小值．【答案】（1）224y x x =--+；（2）()2,0E -，()0,1H -；（3【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可（2）先利用待定系数法求出直线AB 的解析式，可判断出AB AC ⊥，当四边形EAFH 是平行四边形时，可使四边形EAFH 是矩形，分别设出点E ，点H ，点F 的坐标，在利用中点坐标公式求解即可；（3）先去EG 的中点P ，进而判断出PEM MEA ∽△△，即可得出12PM AM =，连接CP 交圆E 于点M ，再求出点P 的坐标即可得出结论．【详解】（1）将点()4,4A --，()0,4B 代入抛物线2y x bx c =-++得：16444b c c --+=-⎧⎨=⎩ 解得：24b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为224y x x =--+． （2）如图：设直线AB 的解析式为y kx n =+则444k n n -+=-⎧⎨=⎩ ∴24k n =⎧⎨=⎩∴直线AB 的解析式为24y x =+ 又∵直线AC 的解析式为162y x =--∴AB AC ⊥∴当四边形EAFH 是平行四边形时，可使四边形EAFH 是矩形，此时对角线EF 与AH 互相平分设(),24E m m +，()0,H t 则1,62F m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∵()4,4A --∴()()()1140221112464222m m m m t ⎧+=-+⎪⎪⎨⎛⎫⎪+--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得21m t =-⎧⎨=-⎩∴()2,0E -，()0,1H - (3)如图：由（2）知()2,0E -，()0,1H -，()4,4A --∴EHAE =设AE 交E 于点G ,取EG 的中点P，则PE =设(),24P k k +，()2,0E -∴()()()222222452PE k k k =+++=+=． ∴52k =-或32k =-（舍去）．∴5,12P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∵()0,6C -∴PC ==连接PC 交E 于点M ，连接EM． 则EM EH ==∴12PE ME =又∵12ME AE == ∴PE MEME AE= ∵PEM MEA ∠=∠∴PEM MEA ∽△△ ∴12PM ME AM AE == ∴12PM AM = ∴12AM CM PM CM PC +=+=∴12AM CM +． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用中点坐标公式构建方程，以及构造相似三角形．10．（2021·广东深圳·中考一模）如图1，经过点B (1，0)的抛物线()23219y a x +＝﹣与y 轴交于点C ，其顶点为点G ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线对称轴于点D ，线段CO 上有一动点M ，连接DM 、DG ．（1）求抛物线的表达式；（2）求GD DM +的最小值以及相应的点M 的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，以点A (﹣2，0)为圆心，以AM 长为半径作圆交x 轴正半轴于点E ．在y 轴正半轴上有一动点P ，直线PF 与⊙A 相切于点F ，连接EF 交y 轴于点N ，当PF ∥BM 时，求PN 的长．【答案】（1）28168993y x x =+-；（2M (0，53-)；（3． 【分析】（1）将点B 的坐标代入解析式即可求出a 的值，即可确定函数解析式；（2）过点O 作直线l 与x 轴夹角为α，且sin α=α＝45°，过点M 作MH ⊥直线l 于H ，推出GD DM DG DH +=+，则当D 、M 、H 共线时，GD DM +的值最小，最后求出DH 的长即可解答；（3）连接BM ，延长F A 交y 轴于J ．想办法求出FJ ，根据tan ∠FPJ ＝tan ∠OMB ，可得FJPF＝OBOM，由此构建方程求出PF ，再证明PN ＝PF 即可解决问题． 【详解】解：（1）∵抛物线()23219y a x +＝﹣，经过点B (1，0)，∴0＝4a ﹣329， ∴a ＝89∴28168993y x x =+-．（2）如图1：过点O 作直线l 与x 轴夹角为α，且sin α=α＝45°，过点M 作MH ⊥直线l 于H ，则有sin MH OM α==∴MH =，∴GD DM DG DM MH +=++，∴GD DM DG DH +=+， ∴当D ，M ，H共线时，2GD DM MO ++的值最小， ∵D (﹣1，﹣83)，直线l 的解析式为y ＝﹣x ，∴直线DH 的解析式为y ＝x ﹣53，由53y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得5656x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴H (56，﹣56)，M (0，53-)，∴DH∵DG ＝﹣83+329＝89，∴GD DM +的最小值=89（3）如图2中，连接BM ，延长F A 交y 轴于J ．∵A (﹣2，0)，M (0，﹣53)，∴AM ＝AF，∵B (1，0)，∴直线BM 的解析式为y ＝53x ﹣53， ∵PF 是⊙A 的切线，∴PF ⊥AF ，∵PF ∥BM ，∴AF ⊥BM ，∴直线AF 的解析式为y ＝﹣35x ﹣65， ∴J (0，﹣65)， ∴AJ， ∴FJ ＝AF +AJ， ∵PF ∥BM ， ∴∠FPJ ＝∠OMB ，∴tan ∠FPJ ＝tan ∠OMB ， ∴FJ PF ＝OB OM，∴5PF＝153，∴PF， ∵AF ＝AE ，∴∠AFE ＝∠AEF ，∵∠AFE +∠PFN ＝90°，∠AEN +∠ONE ＝90°，∠PNF ＝∠ENO ，∴∠PFN ＝∠PNF ，∴PN ＝PF． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、一次函数的性质、垂线段最短，解直角三角形等知识，正确利用垂线段最短解决最值问题是解答本题的关键．11．（2020·湖北黄冈·中考二模）如图，一条抛物线与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C ，D 为抛物线的顶点，点P 在x 轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；（3）过点P 作直线l AC 交抛物线于Q ，是否存在以点A ，P ，Q ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）坐标平面内一点M 到点B 的距离为1个单位，求13DM OM +的最小值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭或（6，0）；（3）Q （2，3）或(13)+-或(13)--；（4）133． 【分析】解：（1）把A ，B ，C 三点坐标代入求出解析式即可；（2）先求出直线DB 的解析式，再分①当点P 在点B 左侧时，②当点P 在点B 右侧时，分别求出P 点坐标即可；（3）分①当四边形APQC 为平行四边形时，②当四边形AQPC 为平行四边形时两种情况求出Q 点坐标；（4）先证△MBE ∽△OBM 得到13DM OM DM ME +=+，则当点D 、M 、E 在同一直线上时，13DM OM DM ME DE +=+=最短，求出最小值即可. 【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，∴设此抛物线的解析式为y =a （x +1）（x -3），将点C （0，3）代入，得a =-1，∴2(1)(3)23y x x x x =-+-=-++，（2）∵2223(1)4y x x x =-++=--+，∴顶点D （1，4），设直线DB 解析式为y ＝kx +b ，将D （1，4），B （3，0）代入得，430k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：k ＝﹣2，b ＝6，∴直线DB解析式为y＝﹣2x+6，①如图1﹣1，当点P在点B左侧时，∵∠PCB＝∠CBD，∴CP∥BD，设直线CP解析式为y＝﹣2x+m，将C（0，3）代入，得m＝3，∴直线CP解析式y＝﹣2x+3，当y＝0时，32x=，∴3,02P⎛⎫ ⎪⎝⎭，②如图1﹣2，当点P在点B右侧时，作点P关于直线BC的对称点N，延长CN交x轴于点P'，此时∠P'CB＝∠CBD，∵C（0，3），B（3，0），∴OC＝OB，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠CPB＝45°，∴∠NBC＝45°，∴△PBN为等腰直角三角形，∴33322 NB PB==-=，∴33,2N⎛⎫ ⎪⎝⎭，将C（0，3），33,2N⎛⎫⎪⎝⎭代入直线CN解析式y＝nx+t，得：3332t n t =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得，12n =-，t ＝3， ∴直线CN 解析式为132y x =-+， 当y ＝0时，x ＝6，∴P '（6，0）；综上所述，点P 坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭或（6，0）； （3）①如图2﹣1，当四边形APQC 为平行四边形时，∴CQ ∥AP ，CQ ＝AP ，∵y C ＝3，∴y Q ＝3，令﹣x 2+2x +3＝3，解得：x 1＝0，x 2＝2，∴Q （2，3），②如图2﹣2，当四边形AQPC 为平行四边形时，AC ∥PQ ，AC ＝PQ ，∴y C ﹣y A ＝y P ﹣y Q ＝3，∵y P ＝0，∴y Q ＝﹣3，令﹣x 2+2x +3＝﹣3，解得，11x =，21x =∴1(13)Q -，2(13)Q -综上所述，点Q 的坐标为Q （2，3）或(13)-或(13)-；（4）∵点M 到点B 的距离为1个单位，∴点M 在以点B 为圆心，半径为1的圆上运动，如图3在x 轴上作点8,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接BM 、EM 、DE ， ∴81333BE OB OE =-=-=， ∵BM ＝1， ∴11313BE BM BM OB===， ∵∠MBE ＝∠OBM ，∴△MBE ∽△OBM ， ∴13ME BM OB OB ==， ∴13ME OM =， ∴13DM OM DM ME +=+， ∴当点D 、M 、E 在同一直线上时，13DM OM DM ME DE +=+=最短， ∵D （1，4），∴133DE ==， ∴13DM OM +的最小值为133． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，本题难度较大，属于中考压轴题．12．（2021·湖南·长沙市九年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线55y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线2y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为B ． （1）求抛物线解析式；（2）若点M 为x 轴下方抛物线上一动点，MN ⊥x 轴交BC 于点N ，当点M 运动到某一位置时，线段MN 的长度最大，求此时点M 的坐标及线段MN 的长度；（3）如图2，以B 为圆心，2为半径的⊙B 与x 轴交于E 、F 两点（F 在E 右侧），若P 点是⊙B 上一动点，连接P A ，以P A 为腰作等腰Rt PAD △，使90PAD ∠=︒（P 、A 、D 三点为逆时针顺序），连接FD ．①将线段AB 绕A 点顺时针旋转90°，请直接写出B 点的对应点的坐标；②求FD 长度的取值范围．【答案】（1）265y x x =-+；（2）当M 运动到515(,)24- 时，线段MN 的长度最大为254；（3）①(1,4)-；②22FD ≤≤．【分析】（1）先求得直线与坐标轴的交点坐标，然后代入到抛物线解析式即可求解；（2）设设2(,65)M m m m -+，则(,5)N m m -+，则2(5)(65)MN m m m =-+--+，整理可得225255()24MN m m m =-+=--+，可求得当52m =时，MN 的最大值为254，进而求得M 坐标；（3）①由（1），（2）可求得514AB AB OB OA '==-=-=，从而求得点B '坐标；②根据点P的运动情况，来确定点D 的运动轨迹，是与点P 半径相等的圆，圆心为B '，作射线FB '，与⊙B '交于1D ，2D ，从而确定FD 的范围．【详解】解：（1）∵直线55y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，C 两点，∴当0x =时，5y =，所以(0,5)C ，当0y =时，1x =，所以(1,0)A ，∵抛物线2y x bx c =++经过A ，C 两点，∴5c =，150b ++=，解得6b =-，∴抛物线解析式为265y x x =-+．（2）令0y =，∴265=0-+x x ，解得：11x =，25x =，∴(5,0)B ，∴直线BC 的解析式为：5y x =-+，设2(,65)M m m m -+，则(,5)N m m -+，∴2(5)(65)MN m m m =-+--+， ∴225255()24MN m m m =-+=--+， ∴当52m =时，MN 的最大值为254， ∴当M 运动到515(,)24- 时，线段MN 的长度最大为254．（3）①将线段AB 绕A 点顺时针旋转90°，∴B A BA '⊥，∵(1,0)A ，(5,0)B ，∴514AB AB OB OA '==-=-=，∴(1,4)B '-；②连接PB ，B D '，由①可得4AB AB '==，又已知PAD △是等腰直角三角形，90BAB PAD '∠=∠=︒，AD AP =，∴(SAS)DAB PAB '≌△△，∴2B D BP '==，∴当P 点在⊙B 上运动时，点D 在以B '为圆心，半径为2的圆上，∴作射线FB '，与⊙B '交于1D ，2D 两点，情况一：当交点为1D 时，1FD 为最小值，即11FD FB B D ''=-，已知(1,0)A ，(5,0)B ，2BF =，∴426AF AB BF =+=+=,4AB AB '==,∴在Rt AFB '△中，FB '=,即FB '=∴12FD =；情况二：当交点为2D 时，2FD 为最大值，即22FD FB B D ''=+，已知(1,0)A ，(5,0)B ，2BF =，∴426AF AB BF =+=+=,4AB AB '==,∴在Rt AFB '△中，FB '=,即FB '=∴22FD =；综上22FD ≤≤．【点睛】本题考查二次函数的综合问题，待定系数法确定函数解析式，抛物线与线段最值问题，以及瓜豆原理在二次函数中的应用问题，其中利用点P ，确定点D 的运动轨迹是本题的解题关键．13．（2021·湖南·长沙市九年级月考）我们约定：对角线相等的四边形称之为：“等线四边形”． （1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中一定是“等线四边形”的是___________________；②如图1，若四边形ABCD 是“等线四边形”， ,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，依次连接,,,E F G H ，得到四边形EFGH ，请判断四边形EFGH 的形状：______________________； （2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，已知()()()2,0,8,0,9,8A B P --，以AB 为直径作圆，该圆与y 轴的正半轴交于点C ，若Q 为坐标系中一动点，且四边形AQBC 为“等线四边形”．当PQ 的长度最短时，求经过,,A B Q 三点的抛物线的解析式；（3）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是“等线四边形”， A 在x 轴的负半轴上，D 在y 轴的负半轴上，且AD ,B C 分别是一次函数334y x =-+与y 轴，x 轴的交点，动点P 从点D 开始沿y 轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为t 秒，以P 点为圆心，半径4855R t =+，单位长度作圆，问：①当P 与直线BC 初次相切时，求此时运动的时间0t ；②当运动的时间t 满足0t t >且CP ≤P 与直线BC 相交于,M N ，求弦长MN 的最大值．【答案】（1）①矩形，正方形；②菱形；（2）213442y x x =--；（3）①02t =；②当6t =时，MN 有最大值max MN =【分析】 （1）①依据矩形，正方形的性质即可得出结论；②根据三角形中位线定理，菱形的判定定理可知它一定是菱形；（2）连接CP ，与圆相交于一点，当点Q 在直线PC 上时，PQ 的长度为最短；利用勾股定理先求出C 点坐标，再求出直线PC 的方程，从而算出点Q 的坐标，然后得到抛物线的解析式；（3）根据题意可知点B 、C 坐标，设出点A 、D 坐标，由AD A 、D 坐标，然后求得点P 的坐标，再分别讨论BC 与圆P 的关系，从而求出时间；再求出弦MN 的长度的最大值.【详解】解：（1）①在我们学习过的四边形中，矩形和正方形属于等对角线四边形；故答案为；矩形，正方形.②如图，四边形ABCD 是等线四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，∵E 、F 、G 、H 分别是各边中点，∴EF =GH =1AC 2，EH =FG =1BD 2， ∵AC =BD∴EF =GH =EH =FG ，∴四边形EFGH 是菱形.（2）如图，连接CP 与圆E 相交于一点，连接CE ，∵A (-2，0)，B （8,0）∴圆心E 坐标为()3,0，52AB CE AE ===，∴Rt COE ∆中4OC =，∴点C 坐标为()0,4，∴直线PC 解析式为4:43PC l y x =-+， ∴圆心E （3,0）刚好在PC 上.当点Q 在线段CP 上时PQ 最小，此时点Q 在第四象限，∴()22x 3y 25443y x ⎧-+=⎪⎨=-+⎪⎩， 解得：64x y =⎧⎨=-⎩点Q 坐标为()6,4-，∴设过AB 、抛物线为()()28y a x x =+-则 14164a a -=-∴=，， ∴()()2113284442y x x x x =+-=--； （3）依题，如图由直线方程令x =0，y =0可得，B C 、坐标分别为()()0,34,0B C ，，设点A 坐标为(),0a -，∵AC =BD ，∴点D 坐标为()0,1a --，∴Rt AOD ∆中，()222141AD a a =++=，∴15a =-（舍去），24a =，∴点A D 、坐标分别为()()4,0,0,5A D --，∴点P 坐标为()0,25t -；①∴当P 与BC 初次相切时()4t <，()0044882555P BC d t t -==-=+∴02t =；②当24t <<时，MN 逐渐增大，当CP =8OP =，此时 6.5t =，当4 6.5t ≤<时，28BP DP DB t =-=-，过P 作PQ BC ⊥于点Q ，则()4832sin 28555PQ BP OBC t t =∠=-=-∴2MN MQ ====∴当6t =时，MN 有最大值max MN =【点睛】 本题考查了圆的综合问题和二次函数的综合问题，解题的关键是利用直线方程与圆方程求出动点坐标，然后根据动点的运动情况，得出弦MN 的最大值.。
二次函数的最值问题
初高中数学衔接系列教材第五讲 二次函数的最值问题【思维导图】【知识梳理】一、二次函数基础知识点汇总1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点 3.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：2()y a x h k =-+的形式，其中2bh a=-，244ac b k a -=. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k ). 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，系数c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0b a >时,对称轴在y 轴左侧；③0ba<时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c ): ① 0c =，抛物线经过原点; ②0c >,与y 轴交于正半轴；③0c <,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0ba<. 8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.图像特征如下：9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
圆中最值问题的常见解法
分析：由于 都不是定值，加之平方式，所以直接用函数、均值不等式、几何法求解，都无能为力.于是考虑先设点 的坐标，先代数化，再看有没有几何意义.
解：设点 ，则
， 表示点 到定点 距离的平方,而
， 的最大
值是 ，此时点 的坐标满足 .
一.利用三角形性质求最值
众所皆知：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，极端情况下，当三点共线时，两边之和等于第三边，两边之差等于第三边，这正是取得最值的时刻，这就是圆中解决最值问题的常用方法之一.主要模型是：求一定点与圆上动点之间距离的最大值与最小值.即有：设圆心为C，圆的半径为 ，定点为A,圆上动点为P，则 =
的最小值是 ，此时点 的坐标满足
.
评析：在几何方法受阻的情况下，可以先做代数化处理，在构造几何意义，本题的解决，得
益于构造圆外一点到圆上动点距离的最值模ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
相关问题：（1）已知圆 ,圆 , 分别是圆 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为（ ）A
A． B． C． D．
（2）P为双曲线 的右支上一点,M、N分别是圆 ，
解决圆中最值问题的常见方法
圆问题是高中解析几何中的重点问题，在这类问题中的最值问题又是常见题型，由于在解决过程中所需要的数学素养层次比较高，特别是对学生的直观想象素养、抽象素养、运算素养、逻辑推理素养有较高要求，所以学生在学习中常常感到比较困难.基于此，非常有必要对这类问题的常见解法做一些总结，以供参考.
.
例1.点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，求 .
分析：由于有两个动点，所以需要分步完成，可以先固定点 ，这样就可以利用三角形性质求得 ，然后再利用函数法求得最终结果.
二次函数的最值问题及性质
二次函数知识点一、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用a，b，c的代数式作用字母的符号图象的特征a 1. 决定抛物线的开口方向；2. 决定增减性a>0 开口向上a<0 开口向下c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)c>0 交点在x轴上方c=0 抛物线过原点c<0 交点在x轴下方决定对称轴的位置，对称轴是直线ab>0 对称轴在y轴左侧ab<0 对称轴在y轴右侧b2-4ac 决定抛物线与x轴公共点的个数b2-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点b2-4ac=0 顶点在x轴上b2-4ac<0 抛物线与x轴无公共点1.求二次函数解析式的方法(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件.当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组求解.当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解. (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.2.确定二次函数最值的方法确定二次函数的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.①若自变量的取值范围是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是；图 (2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是.②若自变量的取值范围不是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.图(1)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图 (2)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图 (3)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图 (4)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图 (5)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值.类型一：二次函数的最值1．（1）求下列函数的最大值或最小值.①；②.（2）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A、有最小值0，有最大值3B、有最小值﹣1，有最大值0C、有最小值﹣1，有最大值3D、有最小值﹣1，无最大值2．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高40%，经试销发现，销售量(件)与销售单价(元/件)符合一次函数，且时，；时，；(1)求出一次函数的解析式；(2)若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？类型二：用待定系数法确定二次函数的解析式3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A(0，-1)，B(1，0)，C(-1，2)；(2)已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)；(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)，(5，0)，且与y轴交于点(0，-3)；(4)已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4.4．有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为 6m，跨度为 8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)若要在隧道壁上点P (如图)安装一盏照明灯，灯离地面高 4.5 m.求灯与点B的距离.课堂练习：1、二次函数y=-（x-1）2+3图像的顶点坐标是（）A．（-1，3）B．（1，3）C．（-1，-3）D．（1，-3）2、二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0时y=-4则y的最值是（）A．最大值-4 B．最小值-4C．最大值-3 D．最小值-33、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②c>0；•③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4、根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y•的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=a x 2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04A ．6<x<6.17B ．6.17<x<6.18C ．6.18<x<6.19D ．6.19<x<6.205、如图，在坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a ≠0）的图象过正方形ABOC •的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．6、如图，P 为抛物线y=34x 2-32x+14上对称轴右侧的一点，且点P 在x 轴上方，过点P 作PA垂直x 轴于点A ，PB 垂直y 轴于点B ，得到矩形PAOB ．若AP=1，求矩形PAOB 的面积．7、已知二次函数y =ax 2+bx +c ，当x =1时，y 有最大值为5，且它的图像经过点（2，3），求这个函数的关系式.8、已知二次函数y = -x 2+bx +5，它的图像经过点（2，-3）. （1）求这个函数关系式及它的图像的顶点坐标.（2）当x 为何值时，函数y 随着x 的增大而增大？当为x 何值时，函数y 随着x 的增大而减小？9、已知抛物线y =x 2-2x +a 的顶点A 在直线y =-x +3上，直线y =-x +3与x 轴的交点为B 点，点O 为直角坐标系的原点.（1）求点B 的坐标与a 的值. （2）求△AOB 的面积.10、二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于点A （-8,0）、B （2 0），与y 轴交于C ，∠ACB=90°.（1）、求二次函数的解析式；（2）、求二次函数的图像的顶点坐标；11.抛物线y= (k 2-2)x 2+m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= -21x+2上，求函数解析式。
专题12二次函数的核心知识点精讲(讲义)中考数学一轮复习(原卷版)
专题12 二次函数的核心知识点精讲1.了解二次函数的知识结构框架，进一步巩固二次函数概念2.掌握用待定系数法求二次函数的解析式；3.掌握二次函数的图像性质，并灵活运用二次函数的图像性质解决问题；4.通过探究进一步体会函数的一般研究方法及数形结合等思想，提高分析问题、解决问题的能力。
考点1:二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．考点2：二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．考点3：二次函数的图象及性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴 x =–2b a顶点 （–2b a ，244ac b a-）a 的符号 a >0a <0图象开口方向 开口向上 开口向下最值 当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a- 当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a- 最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba 时，y 随x 的增大而减小；当x >–2b a 时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba 时，y 随x 的增大而增大；当x >–2b a时，y 随x 的增大而减小考点4：抛物线的平移二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．考点5：二次函数与一元二次方程的关系1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．【题型1：确定二次函数解析式】【典例1】（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．1．（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．2．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．【题型2：二次函数的图像和性质】【典例2】（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣31．（2023•安徽）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A．y＝x2+1B．y＝﹣x2+1C．y＝2x+1D．y＝﹣2x+12．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．或4B．或﹣C．﹣或4D．﹣或43．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y34．（2022•绍兴）已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4B．1，5C．1，﹣5D．﹣1，55．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．6．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．下列说法：①abc＜0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a﹣b（m为任意实数），其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型3：二次函数的图像变换】【典例3】（2022•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．1．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣3）2+4B．y＝（x+3）2+4C．y＝（x﹣3）2﹣4D．y＝（x+3）2﹣42．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4C．y＝﹣x2+2021x﹣2022D．y＝﹣x2+x+13．（2022•玉林）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：①向右平移2个单位长度②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【题型4：二次函数与方程、不等式】【典例4】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤31．（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝42．（2020•无锡）二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn ＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为．一．选择题（共9小题）1．抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（3，﹣4）2．将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣7C．y＝（x+3）2﹣7D．y＝（x﹣6）2+23．下列关于二次函数y＝﹣x2+x+2的图象和性质的说法中，正确的是（）A．图象开口向上B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标是（﹣1，2）D．（﹣1，0）在此函数图象上4．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为（）A．B．C．D．5．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象上．若x1＞x2＞1，则y1与y2的大小关系是（）A．y1≥y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．y1＜y26．关于二次函数y＝（x﹣3）2+1，下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是（﹣3，1）C．当x＞3时，y随x的增大而减小D．该函数图象与y轴的交点坐标是（0，10）7．在抛物线y＝﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x≤1B．x＜1C．x＞1D．x＞﹣18．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c ＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（）A．x1＝﹣4，x2＝3B．x1＝﹣5，x2＝2C．x1＝﹣2，x2＝1D．x1＝﹣3，x2＝2二．填空题（共6小题）10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为．11．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移2个单位后，得到的抛物线所对应的函数表达式为．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是．13．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线是x＝1，它与x轴的一个交点是（3，0），则它与x轴的另一个交点是．14．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n＞ax2+bx+c的解集为．15．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a，若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为．三．解答题（共2小题）16．已知二次函数y＝﹣x2+4x+3．（1）在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并求该函数图象的顶点坐标；（2）当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．17．如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过A（0，6），且对称轴是直线x＝2.5．（1）求该函数解析式；（2）在抛物线上找点P，使△PBC的面积1，求出点P的坐标．1．抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴有两个交点，则c的值可能为（）A．﹣1B．1C．3D．42．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣2，0），（6，0），则这条抛物线的对称轴是直线（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝2D．x＝﹣23．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表，下列结论正确的是（）x﹣2﹣101y0466A．抛物线的开口向上B．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）C．（a﹣b+c）（4a+2b+c）＞0D．a＝b4．若点A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，且y2＜y3＜y1，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜1B．m＜﹣3或m＞1C．3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜15．已知抛物线（m为整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB，则m等于（）A．B．C．2D．﹣26．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＜1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（）A．①②③B．②③④C．③④⑤D．①④⑤7．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．抛物线y＝x2﹣2x ﹣3与直线y＝x﹣7的“和谐值”为．8．已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若新图象与直线y＝x+m 无公共点，则m的取值范围是．9．如图，一段抛物线y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……如此进行下去．则点A2023的坐标是．10．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+4，当a≤x≤a+1时，函数值y的最小值为1，则a的值为．11．把二次函数y＝x2+4x﹣10的图象向左平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度（m＞0），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么m应满足条件．12．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且经过点A（﹣1，0），与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的表达式；（2）点M是抛物线上的一点，且到y轴的距离小于3，求出点M的纵坐标y M的取值范围．1．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）2．（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）15．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣13．（2022•哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（）A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）4．（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4）B．（﹣2，﹣4）C．（﹣4，2）D．（4，﹣2）5．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣16．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．7．（2023•台湾）坐标平面上有两个二次函数的图形，其顶点P、Q皆在x轴上，且有一水平线与两图形相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，若AB＝10，BC＝5，CD＝6，则PQ的长度为何（）A．7B．8C．9D．108．（2023•巴中）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与抛物线y＝x2交于A、B两点，设A（x1，y1），B （x2，y2），则下列结论正确的个数为（）①x1•x2＝﹣4．②y1+y2＝4k2+2．③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2．④若点N（0，﹣1），则AN⊥BN．A．1B．2C．3D．49．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．或4B．或﹣C．﹣或4D．﹣或410．（2021•雅安）定义：min{a，b}＝，若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．411.（2021•广元）将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y＝x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（）A．或﹣3B．或﹣3C．或﹣3D．或﹣312．（2023•眉山）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列四个结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④当﹣3＜x＜1时，ax2+bx+c＜0．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．14．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是．15．（2023•广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）16．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝．17．（2020•温州）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值．（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本章开头的问题：
1 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,
但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多
种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
（1）利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
（2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量最大?
2 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
解最值问题的步骤：
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
例一：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，
每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，
如何定价才能使利润最大？
（6250或6050）
例二： 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球
的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水
平距离为9米 ．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为
30o，O、A两点相距83米．
（1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（y=274 x2+ 38x）
（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 ．
3．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护
眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看
作一次函数：10500yx．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（35）
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（30或则40）
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获
得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
（3600）
1．圆的基本概念
（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，
定长叫半径。
（2）确定圆的条件；①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一条直线上的三点确定一个圆；
③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；
（3）点和圆的位置关系 设圆的半每径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位
置关系有三种。
①点在圆外d＞r； ②点在圆上d=r； ③点在圆内 d＜r；
【例1】两个圆心均在点O的甲、乙两圆，半径分别为r1和r2，且r1＜OA＜r2，那么点
A在（ ）
A．甲圆内 B．乙圆外 C．甲圆外，乙圆内 D．甲圆内，乙圆外
【例2】一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是
cm．
【例3】如图，Rt△ABC的两条直角边BC=3，AC=4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆
心，分别以r1=2cm，r2=2．4cm，r3=3cm为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系．
（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最
大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。
（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或
等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。
2．圆的基本性质
（1）圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都
是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，
因此圆还具有旋转不变性。
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
几何语言表达形式
① CD是直径、AB是弦 ① AE=BE
②
② CD⊥AB ③
推论1 ①平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理可总结为：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的
劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径
除外），要求理解掌握。
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。
证明：
判断题：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
．
【例1】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．
【例2】．同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于
E
D
C
O
A
B
AC=BC
AD=BD
1，那么两个同心圆的半径之比为（ ）
A．3：2 B．5：2 C．5：2 D．5：4
【例3】
：E、F为⊙O的弦AB上两点，且AE=BF，连结OE、OF，求证：OE=OF．
（7分）
【例4】 已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.