高等数学题集第十章

三、典型例题解析

例1 判定下列级数的收敛性，若收敛，求其和． （1

）221(0)n a ∞

=>∑；

（2）111

16611

(54)(51)

n n +++

+

??-+；

（3）

22

111111232323n n

-+-++

-+．

分析 （1）一般项是两项之差，前n 项的和n s 可以通过消项来求得；（2）一般项需先拆项，然后前n 项的和n s 可以通过消项来求得；（3）级数前n 项的和n s 不容易求得，因此，lim n

n s →∞

不易求出．但级数前2n 项的部分和2n s 和前(21)n -项的部分和21n s -却容易求出，于是可求出2lim n n s →∞

和21lim n n s -

→∞

，从而可求出lim n n s

→∞

．

解

（1）由于

2122

2 ) ((n n

n s a a -=+

++

++2=a ．

故2lim lim()n n n s a →∞

→∞

=2lim n a →∞

=1a =-，即原级数收敛且其和为1a -．

（2）由于 11

1

16611

(54)(51)

n s n n =

+++

??-+

=11111111

(1)()()56561155451

n n -+-++--+ =111111(1)566115451n n -+-++--+ =1111(1)55155(51)

n n -=-++． 故111lim lim 55(51)5n n n s n →∞

→∞=

-=+，即原级数收敛且和为1

5

． （3）级数

22

1111

11232323n n

-+-++

-+前2n 项的部分和为

222111111232323

n n n s -+-+-=

+ =2211

111122

2333n n ????+++-+++ ? ?????

=

111111223311112

3

n

n ????--

? ?????-

--=11

12223n n -+?，

故21lim 2n n s →∞

=

，又因为2121lim lim()3n n n n n s s -→∞→∞=-12=，从而1lim 2n n s →∞=．故原级数收敛且和为12

．

例2 设级数1

n n a ∞

=∑收敛，问级数21

n n a ∞

=∑是否收敛？为什么？

解 级数1

n n a ∞

=∑收敛，级数2

1

n n a ∞

=∑

可能收敛也可能发散．如级数1

(1)n

n ∞

=-∑收敛，但级

数11n n ∞

=∑却发散；又如级数11(1)n n n ∞=-∑收敛，级数211n n

∞

=∑也收敛．

错误解答 由于级数1n n a ∞

=∑收敛，所以lim 0n n a →∞

=，故2

lim

0n n n

a a →∞=，从而由比较审敛法知级数21

n n a ∞

=∑收敛．

错解分析 比较审敛法只适用于正项级数，而题目中并未告知级数1

n n a ∞

=∑是正项级数，

故此种解法是错误的．

例3 判别下列级数是否收敛？

（1）12(1)2n

n n ∞=+-∑； （2

）1n e ∞

=∑； （3）22tan

2n

n n π

∞

=∑； （4

）n ∞

=．

分析 （1）所给级数是正项级数，其一般项是2(1)2n

n n

u +-=，由于

112()()22n n n u =?+-，211

3()22

n n n u +≤=?，

故此级数的收敛性可用收敛级数的性质、比较审敛法或根值审敛法等方法来判别．

（2

）所给级数是正项级数，其一般项是n u e =

01lim lim lim 1n n n n n

u

e

e u ρ+→∞→∞

→∞

=====，

故比值审敛法失效，可用比较审敛法．

（3）所给级数是正项级数，其一般项是2tan

2n n

u n π

=，注意到当n →∞时，

2

2

tan

22n n

n

n u n π

π=，

因此原级数与级数2

22n

n n π∞

=∑

同时收敛同时发散．故只需判别级数2

2

2n

n n π∞

=∑

的收敛性就可以了．

（4

）所给级数是正项级数，其一般项是n u =

故用比较审敛法来判别其收敛性为宜．

解 （1）解法1 由于112()()22n n

n u =?+-，而级数112()2n n ∞=?∑和11()2n n ∞

=-∑都收敛，由

收敛级数的性质可知所给级数收敛．

解法2 由于2(1)0 (1,2,)2n

n n

u n +-=>=，故所给级数是正项级数．又由于

211

3()22

n n n u +≤=?，

且正项级数1

1

3()2n n ∞

=?∑收敛，故由比较审敛法知所给级数收敛．

解法3 由于2(1)0 (1,2,)2n

n n

u n +-=>=，故所给级数是正项级数．又由于

1

12

n n ρ=<，

故由根值审敛法知原级数收敛．

错误解答 因为极限

11

112(1)212(1)lim lim lim 22(1)22(1)n n n n n n n n n n n

u u ++++→∞→∞→∞+-+-=?=+-+- 不存在.（因为，若令12(1)2(1)n n n

x ++-=+-，则它有两个子数列：213k x -→，21

3k x →（k →+∞）．因此，1

2(1)lim lim 2(1)n n n

n n x +→∞→∞+-=+-不存在．）由比值审敛法可知原级数的收敛性不能确定．

错解分析 在比值审敛法中，极限1lim n n n

u

u +→∞存在仅仅是判别正项级数收敛性的充分条件，

而不是必要条件．

（2

）由于0 (1,2,)n u e n =>=，故所给级数是正项级数．由幂级数展开式：

21... ()2!!

n

x

x x e x x n =+++++

-∞<<+∞，

可得

2

24

n u n =

<

， 而正项级数2

124

n n

∞

=∑

收敛，由比较审敛法知原级数收敛． （3）由于2tan

0 (2,3,4,)2

n n

u n n π

=>=，故所给级数是正项级数．又由于当n →∞

时

2

2

tan

22n n

n

n u n π

π=，

令2

2n n

n v π=

，由比较审敛法知原级数与正项级数2

n n v ∞=∑同时收敛同时发散．注意到

2112(1)2lim lim 2n n n n n n

v n v n πρπ++→∞→∞+==?22(1)1

lim 122n n n →∞+==<， 可知级数2

n n v ∞

=∑

收敛，因此原级数也收敛．

（4）由于0 (1,2,3,)n u n =

>

=，故所给级数是正项级数．又由于

20

1

2

n n

u n

xdx

=

≤

=

=?

， 且正项级数2

12

n n

∞

=∑

收敛，故由比较审敛法知原级数收敛． 注1 用比较审敛法来判别正项级数的收敛性时

a ．若用不等式形式，则应该将原级数的一般项放大为一个收敛级数的一般项（此时可断定原级数收敛），或者将原级数的一般项缩小为一个发散级数的一般项（此时可断定原级数发散）．

b ．若用极限形式，则应该考察级数一般项趋于无穷小时的阶．当它是1

n

的 (1)k k >阶无穷小时，则可断定原级数收敛；当它是

1

n

的同阶或低阶无穷小时，则断定原级数发散． 注2 判别级数收敛性时必须先确定级数的类型，然后用相应的审敛法． 例4 判别下列级数的收敛性：

（1）2

1(!)(2)!n n n ∞=∑； （2）2n n n αβ∞

=∑（α为任意实数，0β≥）；

（3）1

!

n n n a n n ∞

=∑ （0a >）．

分析（1）所给级数是正项级数，其一般项是2

(!)(2)!

n n u n =，含有阶乘，故用比值审敛法比

较好．

（2）所给级数是正项级数，其一般项是n n u n αβ=，含有n 次幂，故可用根值审敛法也可用比值审敛法来判别．

（3）所给级数是正项级数，其一般项是!

n n n a n u n =，含有阶乘，故用比值审敛法判别收

敛性比较好．

解 （1）由于2

(!)>0(2)!

n n u n =，

（1,2,3,n =），故所给级数是正项级数．又由于

2212[(1)!](2)!(1)1

lim lim lim 1[2(1)]!(!)(22)(21)4n n n n n

u n n n u n n n n ρ+→∞→∞→∞++=?==<+++=， 故由比值审敛法知原级数收敛．

（2）由于0 (2,3,4,)n n u n n αβ=≥=，故所给级数是正项级数．又由于

n n n ρββ===，

或

11(1)1lim lim lim ()n n n n n n n

u n n u n n αα

αβρβββ++→∞→∞→∞++====， 故由根值审敛法(或比值审敛法)知：当01β≤<时，原级数收敛；当>1β时，原级数发散；而当=1β时，原级数变为1n n α∞

=∑，当1α<-时，级数收敛；当1α≥-时，级数发散．

综上所述：当01β≤<，α为任意实数时，原级数收敛；当1β>，α为任意实数时，原级数发散；当=1β，1α<-时，原级数收敛；当=1β，1α≥-时，原级数发散．

（3）由于!

>0 (0,1,2,3,)n n n a n u a n n

=>=，故所给级数是正项级数．又由于

111(1)!lim lim lim 1(1)!(1)

n n n n n n n n n n u a n n a a

u n a n e n

ρ+++→∞→∞→∞+==?==++， 故由比值审敛法知当0a e <<时，原级数收敛；当a e >时，原级数发散；当a e =时，考察

1 (1,2,3,)1(1)

n n n

u e

n u n

+==+,

的值．由极限1lim(1)n n e n →∞+=的推导过程可知：数列1

(1)(1,2,3,)n n n +=是单调增加的，并且

有上界e ，即有

1

(1) (1,2,3,)n e n n

+<=，

因此有

111(1)

n n n

u e

u n

+=>+，

由此可得1 (1,2,3,)n n u u n +>=．而1u e =，故lim 0n n u →∞

≠，由级数收敛的必要条件可知原级

数发散．

综上所述：当0a e <<时，原级数收敛；当a e ≥时，原级数发散．

例5 证明级数 2111(1)3n n n n ∞

=+∑收敛，并由此证明2

1111lim (1)03

n k k x k n k →∞=+=∑．

分析 所给级数是正项级数，其一般项是211(1)3n n n u n

=+，含有n 次幂，故用根值审敛法来判别其收敛性．注意到2111(1)3n k k k k =+∑刚好是级数2

111(1)3n n n n ∞

=+∑的部分和n s ，若级数收

敛，则n s 有界，从而可得所要证的结论．

证明 由于

211(1)>0 (1,2,3,)3n n n u n n

=

+=， 故所给级数是正项级数．又由于

11lim (1)133

n n n n e

n ρ→∞=+=<，

故由根值审敛法知所给级数收敛．由此可知该级数的部分和数列{}n s 有界，所以

211111

lim (1)lim 03

n k n k n n k s n k n →∞→∞=+==∑． 注 在证明级数2111(1)3

n n

n n ∞

=+∑

收敛时，若用比值审敛法，则求ρ时较复杂． 例6 （1）下列说法正确的是（ ）． A ．若1n n u ∞

=∑收敛，则1n n u ∞

=∑收敛．

B ．若1n n u ∞

=∑收敛，则21

n n u ∞

=∑收敛．

C ．若1n n u ∞

=∑收敛，则lim 0n n nu →∞

=．

D ．若1n n u ∞

=∑收敛且lim 1n

n n

u v →∞=，则1n n v ∞=∑不一定收敛．

（2）（06研）若级数1

n n a ∞

=∑收敛，则级数（ ）．

A ．1n n a ∞=∑收敛．

B ．1(1)n n n a ∞

=-∑收敛．

C ．11

n n n a a ∞

+=∑收敛．

D ．1

1

2n n n a a ∞

+=+∑

收敛． 解 （1）

取(1)n

n u =-，则可知A ，B 及C 错误．故选D ．另外，

如果取(1)n

n u =-

，

1

(1)

n

n v n =-+，则可知虽然级数1n n u ∞=∑收敛且有lim 1n n n

u v →∞=，但级数1n

n v ∞

=∑

发散；若级数1n n u ∞

=∑收敛且lim 1n

n n

u v →∞=，当1n n u ∞=∑和1n n v ∞

=∑都是正项级数时，由比较审敛可

知1

n n v ∞

=∑也收敛。这从另一方面说明了D 是正确的．

（2）因为级数1

n n a ∞=∑收敛，故级数11

n n a ∞

+=∑也收敛，由收敛级数的性质可知D 正确．另外，

如果取(1)n

n a =-A ，B 及C 错误．

例7 判别下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

（1）1

1(1)n p

n n -∞=-∑； （2

）1

(1)n n ∞

=-∑； （3）1

1(1)(1)!n n

n n n +∞

=-+∑； （4

）n n ∞

=．

分析 这些级数都是交错级数，属任意项级数范畴．判别其收敛性的一般方法是：先根据正项级数的审敛法来判定是否绝对收敛，若是，则该级数本身收敛，判别工作完成；若不是，再判别该级数本身是否收敛．若它满足莱布尼茨定理的两个条件，则它本身收敛，即条件收敛，判别工作完成；若它不满足莱布尼茨定理的两个条件，则需要另找方法判别它的收敛性．值得注意的是，在用比值审敛法或根值审敛法判别绝对收敛的过程中，若1ρ>，则该级数不仅不绝对收敛，而且其本身一定发散．

解 （1）1(1)n n p u n --=，1

n p u n =．故当1p >时，1n n u ∞

=∑收敛，即原级数绝对收敛；当

01p <≤时，1

n n u ∞

=∑发散，但由莱布尼茨定理知1

n n u ∞

=∑收敛，即原级数条件收敛；当0p ≤时，

lim 0n n u →∞

≠，原级数发散．

（2

）(1)n n u =-

，2n u n

=

=

（n →∞），而

n ∞

=发散，故由比较审敛法知1

n n u ∞=∑发散．注意到1

n n u ∞

=∑收敛（满足莱布尼茨定理条件），

故原级数条件收敛．

（3）1(1)(1)!n n

n n u n +=-+，1

(1)!

n n n u n +=+．由于

21

111

(1)(1)!1(1)lim

lim lim (2)!2n n n n n n n n n

u n n n n u n n n n ρ+++++→∞

→∞→∞++++==?=?++ 111

lim

(1)(1)12n n n e n n n

→∞+=?++=>+，

故由比值审敛法知1

n n u ∞

=∑发散，注意到1lim

1n n n

u u +→∞

>，lim 0n n u →∞

≠，因此原级数发散．

（4） 解法

1 1(1)1+o()]2n n

n

n n u n n -=

-

1

)n

n

n ，

因为n

n ∞

=

条件收敛，级数n ∞

=

和1

)n

n n ∞

=绝对收敛，故原级数条件收敛． 解法2 因为

n n u =

n u =

≥

1

(2,3,)1

n n >

=+， 故级2

n n u ∞

=∑发散．（虽然原级数是交错级数，但不满足莱布尼茨定理条件，因此不能用莱布

尼茨定理来判别其收敛性），下面用收敛定义来判别

.

2

2

n s n =-

+

+

(

2

n =

+++

+

+

，

由此可见2{}n

s 是单调减少的．注意到

2

2

n s n

=-

-

-+

(

2n =++

++

- >，

故数列2{}n s 有界，因而存在极限，不妨设2lim n n s s →∞

=．又21lim 0n n u +→∞

=，因此有

21221lim lim()n n n n n s s u s ++→∞

→∞

=+=，

从而数列{}n s

有极限lim n n s s →∞

=，即原级数条件收敛．

例8 设正项级数1

n n a ∞=∑与1

n n b ∞=∑均收敛，证明级数n ∞

=

证明 正项级数1

n n a ∞=∑与1

n n b ∞

=∑均收敛，故由收敛级数的性质知级数1

2n n

n a b ∞

=+∑

收敛．由于>0, >0n n a b ，则