2018-2019学年江苏省扬州中学高一下学期期中考试数学

一、选择题（每小题5分，合计50分）

1．若直线过点(3,－3)和点(0,－4),则该直线的方程为（ ★ ） A ．y ＝

33x －4 B. y ＝33x ＋4 C . y ＝3x －6 D. y ＝3

3x ＋2 2. 不等式

201

x -<+的解集为（ ★ ） A. {}12>-

}

12<<-x x C. {}

21>-

21<<-x x 3．如果A (3, 1)、B (－2, k )、C (8, 11)在同一直线上，那么k 的值是（ ★ ） A. －6 B. －7 C. －8 D. －9 4．下列四个命题中错误的是( ★ )

A ．若直线a ，b 互相平行，则直线a ，b 确定一个平面

(

B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线

C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面

5. 在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ★ ）

A ．无解

B ．一解

C ．二解

D ．不能确定

6．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：

①

???

?α∥βα∥γ?β∥γ；②

???

?α⊥β m ∥α?m ⊥β；③

???

?m ⊥αm ∥β?α⊥β；④

???

?m ∥n n ?α?m ∥α.其中正

确的命题是( ★ ) A ．①④ B ．②③ C ．①③

D ．②④

7. 在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ★ ）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AD 的中点，则异面直线C 1E 与BC 所成的角

的余弦值是( ★ )

A. 13 C. 10

9．已知b>a >0且a ＋b=1，则有（ ★ ） A ． a ab b a b >>>+>2122

B ． a ab b a b >>>+>22

22 C ． ab a b b a 22

>>>

>+ D ． a 2＋b 2＞b ＞a ＞12＞2a b 10．三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且BC AB ⊥，21===AA BC AB ，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ★ ）

A ．π48

B ．π32

C ．π12

D ．π8 二、填空题（每小题5分，合计30分）. %

11．不等式2680x x -+->的解集为___▲____.

12．若圆锥的母线长是5，高是 4，则该圆锥的体积是__▲____.

13．过点)1,2(-P ，在x 轴上和y 轴上的截距分别是b a ,且满足b a 3=的直线方程为

___▲____.

14. 若钝角三角形ABC 三边长分别是,1,2()a a a a N ++∈，则三角形ABC 的周长为__▲___. 15．已知直线l :320mx y m -++=()m R ∈,则l 恒过定点___▲____.

16. 在ABC ?中，若sin 2cos cos C A B =，则22

sin sin A B +的最小值为_ ▲ _.

三、解答题（10分+12分+12分+12分+12分+12分=70分）

17．(5分+5分)在直三棱柱111C B A ABC -中, AB BC ⊥, D 为棱1CC 上任一点. (1)求证：直线11A B ∥平面ABD ； (2)求证：平面ABD ⊥平面11BCC B .

（

18. (4分+8分)在锐角ABC △中，已知22

sin A =

. (1) 求cos()B C +的值； (2) 若2a =，2ABC S =△，求b 的值.

19. (6分+6分)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD=DB ，点C 为圆O 上一点，且BC=AC ．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD=DB ．

（1）求证：PA ⊥CD ；

（2）求二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值．

20．(4分+8分)直线l 过点)1,2(-P 且斜率为k k (＞)1，将直线l 绕P 点按逆时针方向旋转45°得直线m ，若直线l 和m 分别与y 轴交于Q ，R 两点．（1）用k 表示直线m 的斜率；（2）当k 为何值时，PQR ?的面积最小并求出面积最小时直线l 的方程．

—

21．(4分+8分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π

3．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC .记∠CBD ＝θ（π3≤

θ＜π2

）．

（1）试用θ表示BD 的长；

（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.

22. (6分+6分)已知函数21

()21

x x f x -=+,

（1）若存在0,2πθ??∈????

，使得不等式22

(sin sin )(2sin )f f k θθθ-<-有解，求实数k 的取值范围；

（2）若函数()g x 满足[]()()222x x

f x

g x -?+=-，若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式

(2)()10g x m g x ?-≥恒成立，求实数m 的最大值．

高一数学期中试卷答案一选择题:

(第21题图)

A C D C

D A B C

二、填空题:

11. {}

24x x << 12. π12 13. 013=++y x 或02=+y x ； 14. 9

15. (2,3)- 16.

- 三、解答题:

17. (1)证明:由直三棱柱111C B A ABC -,得11

//A B AB ………………………………2分

11ABD,AB ABD,A B ??而面面 11//ABD,

A B 所以平面………………………5分

(2)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱,所以1AB BB ⊥,又AB BC ⊥, 而1BB ?面11BCC B ,BC ?面11BCC B ,且1BB BC B =,

所以AB ⊥面11BCC B ……………8分

又AB ABD ?面,所以平面ABD ⊥平面11BCC B …………………………………10分

】

18. 解：（1）因为锐角△ABC 中，22sin 3

A =，所以1cos 3

A =

又A ＋B ＋C ＝π

，所以1

cos()cos 3

B C A +=-=-. ……….4分

（2）1122sin 22ABC S bc A bc ?==?，12222bc ∴?=，即3

c b

=，

……….6分

将2a =，1cos 3A =，3

c b

代入余弦定理：222a b c 2bccosA ＝＋－得： 42690b b -+=， ……….11分即b =3. ………..12分

19. 解析：（1）连接OC ，由AD=BD 知，点D 为AO 的中点，又∵AB 为圆的直径，∴AC ⊥BC ，

∵

AC=BC ，∴∠CAB=60°，

∴△ACO 为等边三角形，∴CD ⊥AO ． ……….2分

∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ?平面ABC ， ∴PD ⊥CD ，PD ∩AO=D ， ∴CD ⊥平面PAB ，PA ?平面PAB ，

∴PA ⊥CD ． ……….6分（2）过点D 作DE ⊥PB ，垂足为E ，连接CE ，由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ?平面PAB ， ∴CD ⊥PB ，又DE ∩CD=D ，

…

∴PB ⊥平面CDE ，又CE ?平面CDE ， ∴CE ⊥PB ，

∴∠DEC 为二面角C ﹣PB ﹣A 的平面角．……….9分设AB=4,则由（1）可知CD=，PD=BD=3， ∴PB=3

，则DE=

，

∴在Rt △CDE 中，tan ∠DEC==，

∴cos ∠DEC=15，即二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值为15．……….12分

20. 解：(1)设直线l 的倾斜角为α，则直线m 的倾斜角为?+45α，

k m -+=

-+=

+?=11tan 1tan 1)45tan(ααα ………4分