罗素悖论
罗素悖论的简单解释
罗素悖论的简单解释引言罗素悖论是由英国哲学家伯特兰·罗素于1901年提出的一种逻辑悖论，它揭示了集合论中的一个矛盾。
罗素悖论在数学和哲学领域都有重要的影响，被视为对集合论基础的一次挑战。
本文将对罗素悖论进行简单解释，并探讨其含义和影响。
罗素悖论的表述首先，让我们来看看罗素悖论的具体表述。
罗素悖论可以通过以下方式来描述：“设想一个集合，其中包含所有不包含自身的集合。
换句话说，假设我们有一个集合A，它包含了所有不包含自身的集合。
那么问题来了：A是否包含自己？”这个问题听起来似乎很简单，但如果我们仔细思考就会发现其中存在矛盾。
矛盾之处假设A是一个满足上述条件的集合。
现在我们来思考A是否包含自己。
- 如果A 包含自己，则根据定义，A应该是那些不包含自身的集合之一。
但这与前提条件相矛盾，因为A包含自己。
- 如果A不包含自己，则根据定义，A应该是那些不包含自身的集合之一。
但这同样与前提条件相矛盾，因为A不包含自己。
无论我们如何判断，都会导致矛盾的结果。
这就是罗素悖论的核心问题所在。
罗素悖论的意义和影响罗素悖论揭示了集合论的一个重要问题：是否存在一个集合，它包含所有满足某个特定条件的集合？这个问题在数学和哲学领域引发了广泛的讨论。
在数学领域，罗素悖论迫使数学家重新思考集合论中的基本假设和公理系统。
它促使人们提出了新的公理系统（如ZF公理系统），以解决罗素悖论带来的矛盾。
在哲学领域，罗素悖论引发了对逻辑和语义基础的深入思考。
它挑战了传统逻辑中对于自我参照和集合定义的理解，并促使人们重新审视语言和符号系统中可能存在的潜在矛盾。
此外，罗素悖论还对计算机科学和人工智能领域产生了重要影响。
它揭示了自指问题的困境，即一个系统如何描述或处理自身的问题。
这对于设计具有自我学习和自适应能力的计算机系统具有重要意义。
解决罗素悖论的方法为了解决罗素悖论带来的矛盾，数学家和哲学家提出了多种方法和策略。
一种常见的方法是限制集合论中的公理系统，排除可能导致矛盾的假设。
至今无解的五大悖论
至今无解的五大悖论
1. 罗素悖论（Russell's paradox）：该悖论由哲学家罗素提出，主要问题是给出一个集合，判断该集合是否包含所有不包含自己的集合。
这个悖论挑战了集合论的基本原理，至今无法通过集合论的框架解决。
2. 微观-宏观悖论（micro-macro paradox）：该悖论涉及到微观和宏观级别之间的相互关系。
在某些情况下，系统的微观特征和行为可能无法解释系统的宏观特征和行为。
这个悖论挑战了科学上的归纳和解释问题，尚未找到一致的解决方案。
3. 悖论性时间旅行（paradoxical time travel）：时间旅行悖论涉及到回到过去或者未来的可能性。
一些悖论性时间旅行的情况可以导致逻辑上不一致的结果，如可以回到过去杀死自己的祖父。
这个悖论挑战了时间的可逆性和因果关系，目前尚未解决。
4. 游戏理论的囚徒困境（prisoner's dilemma）：囚徒困境是博弈论中的一个经典模型，涉及到囚徒之间的合作和背叛。
在囚徒困境中，合作对于每个囚徒来说都是最好的选择，但是如果每个囚徒都选择背叛，结果却是最糟糕的。
这个悖论挑战了个体最大化利益和整体最优化的矛盾，至今没有一个一致的解决方案。
5. 质量和能量守恒悖论（mass-energy conservation paradox）：根据物理学中的质能等价原理，质量和能量在物理系统中应该是守恒的。
然而，一些现象，如黑洞的蒸发和宇宙加速膨胀，
似乎违背了质量和能量守恒原理。
这个悖论挑战了现有物理理论对于质能守恒的解释，目前还没有一种普遍接受的解决方案。
罗素悖论的哲学意义
罗素悖论的哲学意义摘要：一、罗素悖论的概述二、罗素悖论在哲学中的意义1.逻辑自洽性问题2.语言哲学与意义理论3.知识论与怀疑主义三、罗素悖论对现实生活的启示四、总结正文：罗素悖论是20世纪初逻辑学家伯特兰·罗素提出的一个哲学悖论，它揭示了逻辑系统内部的矛盾。
罗素悖论的核心内容可以概括为：“所有不涉及自身的命题都是真的，而涉及自身的命题都是假的。
”这样一个看似简单的命题，却在哲学、逻辑学和数学等领域产生了深远的影响。
罗素悖论的哲学意义主要体现在以下几个方面：1.逻辑自洽性问题：罗素悖论揭示了逻辑系统中可能存在的矛盾。
它使人们意识到，一个完整的逻辑体系必须保证自身的自洽性，否则就会陷入悖论。
这对于逻辑学的发展具有重要的启示作用，促使逻辑学家们不断寻求更为严谨的逻辑体系。
2.语言哲学与意义理论：罗素悖论引发了关于语言哲学和意义理论的讨论。
悖论的出现说明，语言和概念本身可能包含着矛盾。
因此，哲学家们开始关注语言的本质、意义的来源以及概念的构成等问题，试图找到解决悖论的方法。
3.知识论与怀疑主义：罗素悖论对知识论领域产生了重要影响。
它揭示了人类知识的局限性，使得怀疑主义思潮在哲学领域崛起。
悖论提醒我们，人类认识世界的过程中可能存在永远无法解决的矛盾，这使得知识的确定性成为了一个备受争议的问题。
在现实生活中，罗素悖论也给人们带来了启示。
它使我们认识到，在面对复杂问题时，应保持谦逊和谨慎的态度，意识到自己的认知界限。
同时，罗素悖论也强调了逻辑思维的重要性，只有遵循严谨的逻辑推理，才能避免陷入错误的结论。
总之，罗素悖论作为一个哲学悖论，不仅揭示了逻辑体系内部的矛盾，还对哲学、语言学和知识论等领域产生了深远的影响。
罗素悖论
第三次数学危机
16级水保一班林南屏
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什么是罗素悖论 罗素悖论的例子
罗素悖论的影响
悖论的解决
什么是罗素悖论
发现背景：
20世纪之初，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中， 科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基 本建成。 例如，德国物理学家基尔霍夫(G．R．Kirchhoff)就曾经说过：“物理 学将无所作为了，至多也只能在已知规律的公式的小数点后面加上几个 数字罢了。” 英国物理学家开尔文(L．Kelvin)在1900年回顾物理学的发展时也说： “在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只能做一些零碎的修补 工作了。” 法国大数学家亨利•彭迦莱(Jules Henri Poincaré)在1900年的国际数学 家大会上也公开宣称，数学的严格性，现在看来可以说是实现了。 然而好景不长，时隔不到两年，科学界就发生了一件大事，这件大 事就是罗素(Russell)悖论的发现。
NBG公理系统
冯· 诺伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系统等。在该公理系统 中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称 为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以 至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。
悖论的解决
• ZF公理系统：
1908年，策梅罗（Ernst Zermelo）在自己这一原则基础上提出第一 个公理化集合论体系。这一公理系统在通过弗兰克尔（Abraham Fraenkel） 的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在 一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集 合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集； 并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛 盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。
罗素悖论用逻辑符号证明
罗素悖论用逻辑符号证明标题：深入理解罗素悖论：逻辑符号证明与哲学思考【引言】作为逻辑学和哲学的经典难题，罗素悖论一直以来都引发了学者们的广泛关注。
它揭示了命题逻辑自身的内在矛盾，挑战了我们对真理和自指的理解。
本文将以逻辑符号证明的方式，深入探讨罗素悖论，并分享一些个人的观点和理解。
【1. 罗素悖论的定义】罗素悖论最初由英国哲学家伯特兰·罗素提出，其核心思想是自指命题与自指命题的真值判断出现矛盾。
具体来说，设P为一个命题，表示“P是假的”。
若P为真，则根据定义，P为假，与前提相矛盾；若P 为假，则根据定义，P为真，同样与前提相矛盾。
这一悖论以精妙的逻辑构思揭示了命题逻辑的局限性。
【2. 逻辑符号证明】在逻辑学领域中，为了对罗素悖论进行深入研究，学者们善用逻辑符号进行证明。
我们可以运用谓词逻辑中的“属于”符号和“不属于”符号，来形成数学化的证明过程。
假设x为一个集合，使用R(x)表示“x属于自己”，则根据罗素悖论的设定，R(x)既不能为真，也不能为假。
但通过理性推导，我们可以证明R(x)在任何情况下都必须为真或必须为假，这与罗素悖论的设定相矛盾。
【3. 罗素悖论的启示】罗素悖论对哲学思考带来了深远的影响。
它揭示了命题逻辑的局限性，同时挑战了我们关于真理和自指的传统观念。
通过深入思考罗素悖论，我们不仅可以对逻辑学的发展进行反思，还能够拓宽对自我认知和哲学思辨的思路。
【4. 个人观点与理解】在我看来，罗素悖论不仅是一道逻辑上的困惑，更是对我们思维方式和认知能力的一种严峻考验。
它引发了人们对自指问题和真理本质的思考，促使我们反思人类对世界的认识是否存在根本性的局限。
虽然我们无法完全解决罗素悖论，但通过思辨和讨论，我们能够提升我们的哲学素养，并在日常生活中更加谨慎地运用逻辑思维。
【5. 总结】通过逻辑符号证明的方式，我们深入研究了罗素悖论这一命题逻辑的经典难题。
从定义上，我们了解了罗素悖论的内在矛盾，从证明上我们得到了逻辑上的严谨解释。
数学史上的经典悖论节选
悖论影响：罗素的这条悖论使集合论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及 的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学 界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿 付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列 结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰 到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃 了。”罗素悖论的提出导致了数学的第三次危机。 悖论解决：罗素悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能 够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需 要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必 须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论 主要有两种选择，ZF公理系统和 NBG公理系统。
②一个人从A点走到B点，要先走完路程 的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的 1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。 另附：《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭。”
三：希尔伯特悖论
• 人物生平：戴维·希尔伯特，又译大卫·希尔伯特，D.（David Hilbert，1862～1943），德国著名数学家。他于1900年8月8 日在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努 力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的至高点，对这些 问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远 的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的 一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”，他是天才中 的天才。
维特根斯坦 罗素悖论
维特根斯坦罗素悖论维特根斯坦维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）是20世纪最重要的哲学家之一，被誉为分析哲学的奠基人。
他的思想对于逻辑、语言、心灵和现实等方面都有着深远的影响。
早期哲学思想维特根斯坦早期主要关注语言和逻辑问题，他在1913年发表了《逻辑哲学论》，提出了“事实是语言中的形式”的观点。
他认为语言是描述事实的唯一方式，而且语言本身就包含着逻辑结构。
此外，维特根斯坦还提出了“私语”（private language）的概念，即个人使用的只有自己能够理解的语言。
他认为私语是不可能存在的，因为它没有任何公共标准可供参考。
晚期哲学思想在晚年，维特根斯坦转向了伦理和宗教问题，并发表了两部重要著作：《哲学探究》和《文化与价值》。
在《哲学探究》中，维特根斯坦强调了语言与现实之间密切的联系。
他认为大部分哲学问题都源于语言的误解，只有通过理解语言的真正含义，才能解决这些问题。
而在《文化与价值》中，维特根斯坦探讨了伦理和宗教问题。
他认为价值观是基于文化和社会背景的，没有普遍适用的标准。
同时，他也否定了宗教信仰的合理性，并提出了“沉默”（silence）的概念，即对于某些问题我们应该保持沉默而不是试图用语言去描述或解释。
维特根斯坦对哲学思想的影响维特根斯坦的思想对20世纪哲学有着深远影响。
他强调了语言与现实之间密切的联系，并提出了“语言游戏”（language game）和“家族相似性”（family resemblance）等概念，为后来分析哲学奠定了基础。
此外，他还对逻辑、心灵和文化等方面做出了重要贡献，并影响了许多领域如人工智能、认知科学和文化研究等。
罗素悖论罗素悖论（Russell's paradox）是一种逻辑悖论，由英国哲学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）在1901年提出。
它揭示了集合论中的一个矛盾，对于数理逻辑和基础数学产生了深远的影响。
罗素悖论的内容罗素悖论可以简单地描述为：设S为所有不包含自身的集合的集合，即S={A|A不是S的成员}。
数学四大悖论
数学四大悖论数学是一门充满了美感和逻辑性的学科，但在这个领域中也存在着一些看似矛盾、荒诞的悖论。
以下是数学四大悖论：1.罗素悖论罗素悖论是由英国数学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）于1901年提出的。
他构思了一个集合，这个集合包含所有不包含自身的集合。
根据传统的集合论，这个集合应该是存在的。
但当我们试图将这个集合是否包含自身这一要素套入其中时，会陷入一个矛盾的局面：如果这个集合不包含自身，那么它应该包含在这个集合中；但如果它包含自身，那么它又不可能包含在这个集合中，因为它包含了一个包含自身的集合。
这就是罗素悖论。
2.贝尔悖论贝尔悖论是由美国逻辑学家诺尔曼·L·贝尔（Norman L. Geisler）提出的。
这个悖论涉及了一个涉及到无限序列的问题。
假设有一个无限序列A1,A2,A3…，这个序列中所有的数字都是0或1。
接下来，我们可以构建一个新的序列B，它的第n位是A(n+1)的相反数。
比如，如果A序列是0,1,0,1…那么B序列就是1,0,1,0…接下来，我们来讨论一个问题：在这个新序列B中，有没有一个长度为n的子序列与A相同？如果存在，那么根据B的定义，这个子序列中的每一位都与A的相应位不同，所以这个子序列在B中不可能出现。
但是，如果不存在这样的子序列，那么B序列就不可能与A序列相反，因为每个长度为n的子序列都会在B序列中出现。
3.高斯悖论高斯悖论是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在1796年提出的。
这个问题涉及到一个三元数列：1,-1,1,-1…。
我们可以将这个数列进行逐项相乘得到一个新的数列：1,-1,-1,1,1,-1,-1,1…。
如果我们将每个数取绝对值并相加，就可以得到一个数列：1,1,1,1,1,1,1,1…但这与原来的数列被称为奇异级数，因为它相加得到的和是无限大，但我们的答案确是一个有限的数。
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罗素悖论1900年前后，在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。
此外罗素悖论还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。
这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。
触发了第三次数学危机。
什么是悖论让我们先了解下什么是悖论。
悖论（paradox）来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题。
即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
今天九天地聿从人类的精神意识解析中再次的解析了悖论的生成和法则。
主要形式悖论有三种主要形式：1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
芝诺悖论：芝诺是第一个提出悖论的人，如：二分法，飞矢不动，以及名题“阿基利斯和乌龟”。
芝诺悖论的基础是“芝诺时”，在正常时间可以运算的基础上，"芝诺时"会到达无限。
罗素悖论例子《唐·吉诃德》世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事：（罗素悖论）唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。
他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。
对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。
有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。
”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。
既然他说错了，就应该被处相关书籍绞刑。
但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩。
小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。
他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。
这又是一条悖论。
理发师悖论由著名数学家伯特兰·罗素（Bertrand A.W. Russell，1872—1970）提出的悖论与之相似：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。
我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。
可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
理发师悖论与罗素悖论是等价的：因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。
那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。
那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。
反过来的变换也是成立的。
影响十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。
但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。
数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。
因而集合论成为现代数学的基石。
“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。
1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”可是，好景相关书籍不长。
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。
它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。
所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。
德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的《算数的基本法则》完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。
他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。
他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。
”1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。
到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。
就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。
于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）：1、理查德悖论2、培里悖论3．格瑞林和纳尔逊悖论。
问题的解决罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。
人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。
“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。
”解决这一悖论在本质上存在两种选择，theZermelo-Fraenkel alternative 和the von Neum相关书籍ann-Bernays alternative。
1908年，策梅罗（Ernst Zermelo）在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。
这一公理系统在通过Abraham Fraenkel的改进后被称为Zermelo-Fraenkel(ZF) axioms。
在该公理系统中，由于限制公理（The Axion Schema of Comprehension或Subset Axioms）：P(x）是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x）；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的。
因此罗素悖论在该系统中被避免了。
除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼（von Neumann)等人提出的NBG 系统等。
在the von Neumann-Bernays alternative中，所有包含集合的collection都能被称为类（class），因此某些集合也能被称为class，但是某些collection太大了（比如一个collection 包含所有集合）以至于不能是一个集合，因此仅仅是个class。
这同样也避免了罗素悖论。
公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。
但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。
它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。
而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。
如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
巨大作用以上简单介绍了数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。
有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。
它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。
人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模相关书籍范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。
如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。
而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。
数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用。
逻辑主义理性不能回答关于其自身的问题，这个问题在康德时期就发现了。
逻辑存在无法弥补的漏洞，却是人了解世界的唯一途径。
到头来你会发现，不是否定理性就是否定信仰。
因为所谓唯心唯物之争都是建立在这样不完备的逻辑体系上的纯粹理性科学。
既然理性无法对其自身做出判断，那么选择立场就不能以理性为依据，从而变成一种实质上的迷信。
当然如果你坚持要说自己的立场是合乎所谓的科学或实践的，那么其实你既不属于唯物也不属于唯心，本质上只是一种泛经验主义或者泛逻辑主义罢了。
当然，这里的逻辑主义当然不是罗素的那个，只是一个形象点的称呼而已。
不同思考这个问题的动机原是这样：是否所有能导致两难推理的悖论（包括一些所谓的语义学悖论）都有相同结构？如果不是，能不能把它们按照逻辑结构来分类？从而能够更加清晰地看清每一类悖论产生的根源。
比如罗素悖论，用符号表示出来，就可看出，它用了这样一个定义模式：x是S的，如果x不是x的。
（稍微严格一点写成这样：xRS，如果非xRx.R 为一个二元谓词。
）而在定义S时，S本身又可以用它自己的定义来判定，即可以把定义中的x换成S，导致这样一个语句：S是S的，如果S不是S的。
注意在定义中的两个语句互为充要条件，所以原来的定义中就蕴含了一个“P等价于非P”的结论，从而导致两难推理。
这种定义模式本身是逻辑中的漏洞，康托的朴素集合论正因为没有防范的机制而陷入了这个逻辑漏洞，才导致了集合论形式的罗素悖论。
罗素悖论已被消除，包含自己的集合是不可能存在的！解决悖论的意义虽然不能说逻辑类型论已经完全解决了上述悖论，但却可以说它极大地促进了逻辑的发展。