数学物理方法复习资料及参考答案(二)

数学物理方法复习资料及参考答案（二）

一、选择题：

1. 函数()f x 以0z 为中心的Taylor 展开的系数公式为：（ ）

A ξξξπd z f i k C c k ⎰-=)()

(20 B !

)(0)(k z f C k k =

C ξξξπd z f i C c k k ⎰+-=

10)()(21 D ξξξπd z f i k C c k k ⎰+-=10)

()

(2 2. ⎰

=-l dz a z )(（ ） (其中l 表示以为a 中心ρ为半径的周围)。

A i ⋅π

B i

C i ⋅-π

D 0 3. 非齐次边界条件)(),(0t u t u l x x νμ====，转化为齐次边界条件的方法：（ ）

A )()(t

B x t A + B x t A )(

C )(t B

D x t B x t A )()(2

+ 4. )(t f 是定义在半无界区间),0(∞上的函数，⎩⎨

⎧<<<=)

(0

)0()(t T T t h

t f

在边界条件0)0(='f 下，把)(t f 展为实数形式傅立叶积分：（ ） A

w h 12π B w wT h cos 2π C w wT h sin 2π D w

wT

h cos 12-π 5. 齐次边界条件0,00

====l x x x

u u 的本征值和本征函数：

（ ） A ),3,2,1,0(cos )(,222Λ===n l x

n C x X l n n

n n ππλ

B ),3,2,1(sin )(,2

22Λ===n l x

n C x X l n n

n n ππλ

C ),3,2,1,0()21

(cos )(,)21(2

22Λ=+=+=n l x

n C x X l

n n n n ππλ

D ),3,2,1,0()21(sin )(,)21(2

22Λ=+=+=n l x

n C x X l n n

n n ππλ

6. 若集合是（ ），则该集合是区域。

A 开集

B 连通开集

C 连通闭集

D 连通集 7. 设a 是)(z f 的可去奇点，则有：（ ）

A

lim ()

Z a

f Z →存在且有限 B

lim ()

Z a

f Z →不存在

C )(z f 在a 点的主要部分只有有限项

D )(z f 在a 点的主要部分有无限多项

8. 方程2

1

()z e f z z -=在奇点z=0的留数是：（ ）

A 1

B 0

C -1

D 2 9. 当C 为（ ）时，

01=-⎰c z dz

A Z .-=31

B Z .-=11

C Z .-=12

1

D Z .+=12

1

10. 方程（ ）是n 阶贝塞耳方程：

A x y xy n n y .()()'''12102--++=

B x y xy x n y .()'''2220+++=

C x y xy n n m x y .()[()]'''1211022

2--++-

-= D x y xy x n y .()'''2220++-=

二、简答题：

1、何谓解析函数？它有什么特点？

2、简述施图姆－刘维尔本征值问题的共同性质。 三、基础题：

1、已知解析函数()f z 的实部3

2

3),(y y x y x u -=，1)(-=i f ，求虚部和这个解析函数。 2、计算实变函数定积分()1cos 2120

2

<+-=

⎰

εεεπ

x dx

I

3、用达朗贝尔解法求定解问题（简要给出推导过程）

u a u x t u x x u x x x tt xx t

=-∞<<+∞>=-∞<<+∞=-∞<<+∞⎧⎨⎪

⎩⎪20000(,)(,)()(,)()()ψ

4、用拉普拉斯变换法求解积分方程f t t f t d t

()()sin()=+-⎰τττ

四、综合题： 1、求解定解问题

u a u x l t u t u l t u x u x U tt xx

x t o

=<<>====⎧⎨⎪

⎩⎪20000000(,)(,)(,)(,)(,)

2、求解定解问题

u u u a u a B A A ρρρϕϕρρ

ρϕϕϕ++=>=+-⎧

⎨⎪⎩⎪

110

3432()(,)sin sin

3、求解定解问题

u r u r

u u r u rr r +++=<=+⎧⎨⎪⎩

⎪2102222(cos sin )()

(,)sin cos θθθθθθθθ

参考答案

一、选择题：

1.B

2.D

3.A

4.C

5.C

6.B

7.A

8.A

9.A D 10.D 二、简答题： 1.

解析函数：

若函数)(z f 在点0z 及其邻域上处处可导，则称)(z f 在0z 点解析。 若)(z f 在区域B 上每一点都解析，则称)(z f 是区域B 上的解析函数。 特点：

①区域B 上的解析函数，其实部和虚部在该区域上为共轭调和函数。

②区域B 上的解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=，则由=),(y x u 常数，=),(y x v 常数，得到的xoy 平面上的两族曲线是互相正交的。 2.

①有无穷多个本征值：ΛΛ≤≤≤321λλλ

相应地有无穷多个本征函数：ΛΛ),(),(),(321x y x y x y ②所有的本征值都大于或等于零：0≥n λ

③相应于不同本征值m λ和n λ的本征函数)(x y m 和)(x y n ，在区间[]b a ,上带权重)(x ρ正交，即：

⎰

=b

a

n m dx x x y x y 0)()()(ρ

④本征函数族ΛΛ),(),(),(321x y x y x y 是完备的。

三、基础题： 1．解：

xy x

u

y x y

u

6,

3322=∂∂-=∂∂ …（2分） 由R C -条件，得：

2233y x y

u x v +-=∂∂=∂∂， 则：)(3)33(2

3

2

2

y xy x dx y x v ϕ++-=+-=⎰