2019年高考全国3卷理科数学试题预测卷

2019年高考试卷★预测卷

理科数学（全国Ⅲ卷）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。 1．设集合A ={x |x 2≤x }，B ={x |1

x

≥1}，则A ∩B = A ．(1]-∞， B ．[01]，

C ．(01]，

D ．(1]-∞，∪(01]，

2．已知i 为虚数单位，则2i

1i

+-= A ．

31i 22- B ．31i 22+

C ．

13

i 22

- D ．

13i 22

+ 3．“0

D ．既不充分也不必要条件

4．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A ，从集

合A 中任取一个元素a ，则函数a

y x =在(0，+∞)上是增函

数的概率为

A ．12

B ．3

5 C ．45 D ．34

5．若函数()x f x a =(a >0，且a ≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则实数a =

A

．

2

B

C ．

1

2

D ．2

6．我国古代木匠精于钻研，

技艺精湛，常常设计出巧夺天工的建筑，如图．在一座宫殿中，有一件特别的“柱脚”的三视图如右图所示．则其体积为

A ．83+4π

B ．83

+8π

C ．8+4π

D ．8+8π

7．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，

若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p = A ．1

B

C ．2

D ．4

8．

将函数()sin 22f x x x =的图象向右平移?(?>0)个单位，再向上平移1个单位，所得图象经过点(8

π

，1)，则?的最小值为 A ．

512

π

B ．

712

π C ．

524

π

D ．

724

π 9．已知双曲线22

221x y a b

-=(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作x 2+y 2=a 2的切

线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45o，则双曲线的离心率为

A

B

C ．2

D ．3 10．有一个长方体木块，三个侧面积分别为8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，

则该正四面体模型棱长的最大值为 A ．2

B

． C ．4 D

．11．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (0，2)，|OB |2+|OA |2=20，若平面

内点P 满足3PB PA =，则|PO |的最大值为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

12．已知A 、B 是函数2e ()e x a

x x a f x x a

--?≥?=?

，(其中a >0)图象上的两个动点，点P (a ，0)，若

PA PB ?的最小值为0，则函数()f x 的最小值为

A ．21

e -

B ．1e -

C ．21e

D ．1e 主视图

左视图

俯视图

二、填空题：本大题共4小题 每小题5分，共20分。

13．已知函数2log 1()(3)1x x f x f x x >?=?

+≤?

，，

，，则(2)f -=________．

14．已知向量a ，b 的夹角为45o，若a =(1，1)，|b |=2，则|2a +b |=________．

15．记7270127(()(2)11()1)x a a x a x a x +=+++++???++，则12a a ++6a ???+=________． 16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且a cos C -c cos A =3

5

b ，则tan(A -C )

的最大值为________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：（共60分） 17．（本小题满分12分）

设等比数列{a n }的公比为q ，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 1+2，2a 2，a 3+1成等差数列，且S 3=4a 2-1，q >1．

（1）求{a n }的通项公式； （2）记数列{

n

n

a }的前n 项和为T n ，试问是否存在n ∈N *使得T n <3？如果存在，请求出n 的值；如果不存在，请说明理由． 18．（本小题满分12分）

为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某高校入驻该园区．为了解教职工意愿，该高校在其所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：

???y

bx a =+（?b 保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数；

（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴研发区进行实地考察，记X 为考察团中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求X 的分布列及数学期望．

??a y b x =-?，8

1

16310i i i x y ==∑

，8

21

20400i

i x ==∑

． 19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱ADE -BCF 中，侧面ABCD 是为菱形， E 在平面ABCD 内的射影O 恰为线段BD 的中点．

（1）求证：AC ⊥CF ；

（2）若∠BAD =60o，AE =AB ，求二面角E -BC -F 的平面角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆E ：22221x y a b

+=(a >b >0)

，A 、B 分别为E 的左顶点和上顶点，

若AB 的中点的纵坐标为

1

2

．F 1，F 2分别为E 的左、右焦点． （1）求椭圆E 的方程；

（2）设直线L ：2

2

m x my =+与E 交于M ，N 两点，△MF 1F 2，△NF 1F 2的重心分别

为G ，H ．若原点O 在以GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数2()(1)ln f x a x x =-+(a ∈R )，且()f x 在(0，+∞)上满足()f x ≤0恒成立． （1）求实数a 的值； （2）令()()f x ax

g x x x a

+=?

-在()a +∞，上的最小值为m ，求证：11()10f m -<<-．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22． [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，P (2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=，点Q (ρ，θ)(0≤θ≤π)为C 上的动点，M 为PQ 的中点．

（1）请求出M 点轨迹C 1的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为A (1，π)，若直线l 经过点A 且与曲线C 1交于点E ，F ，弦EF 的中点为D ，求

AD

AE AF

?的取值范围．

23． [选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a >0，b >0．

（1）若关于x 的不等式|x +3|-|x -1|≤a 2-3a 对任意实数x 都成立，求实数a 的最小值；

（2

． 理科数学（全国Ⅲ卷）参考答案及评分标准

A

B

C

D

E

F

O

一、选择题：每小题5分，共60分．

1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．D 9．B 10．B 11．B 12．D 二、填空题：每小题5分，共20分．

13．2 14．

15．126 16．3

4

三、解答题：共70分．

17．解：（1）∵ a 1+2，2a 2，a 3+1成等差数列，

∴ 4a 2=a 1+2+a 3+1= a 1+a 3+3，

即 4a 1q =a 1+a 1q 2+3，①…………………………………………………………………2分 由S 3=4a 2-1可得a 1+a 1q +a 1q 2=4a 1q -1，即a 1-3a 1q +a 1q 2+1=0，②…………………3分 联立①②及q >1解得a 1=1，q =2，

∴ 12n n a -=．……………………………………………………………………………5分 （2）T n =0121

1232222

n n

-+++???+，

12T n =1231123122222

n n n n --+++???++， 两式作差得12T n =0121111122222

n n n -+++???+-

=

1

122212212

n n n n n -

+-=--， 于是1

2

42n n n T -+=-

．……………………………………………………………………8分 ∵ n ≥2时，1121

21440222

n n n n n n n n

T T ----++-=-

-+=>， ∴ {T n }(n ∈N *)单调递增．……………………………………………………………10分 而T 1=1<3，T 2=2<3，T 3=

114<3，T 4=13

4

>3， ∴ 当n =1，2，3时，T n <3．…………………………………………………………12分

18．解：（1）由已知有45x =，36y =，1

2

2

2

1

..1631084536

?0.8020400845

.n

i i i n

i

i x y n x y

b

x

n x ==--??==

≈-?-∑∑，

?360.80450a

=-?=，…………………………………………………………………4分 故变量y 关于变量x 的线性回归方程为y =0.80x ，……………………………………5分 所以当x =2500时，y =2500×0.80=2000． ………………………………………… 6分 （2）由题意可知X 的可能取值有1，2，3，4．……………………………………7分

22

534

8

3

(2)7C C P X C ?===，

4

54

8

1

(4)14C P X C ===． …………………………………11分 所以X 的分布列为

E (X )=13315

12341477142

?

+?+?+?=． ……………………………………………12分 19．（1）证明：如图，连接AC ，易知AC ∩BD =O ．

∵ 侧面ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ．

又由题知EO ⊥面ABCD ，AC ?面ABCD ， ∴ EO ⊥AC ，

而EO ∩BD =O ，且EO ，BD ?面BED ， ∴ AC ⊥面BED ． ∴ AC ⊥ED ． ∵ CF //ED ，

∴ AC ⊥CF ．……………………………………………………………………………5分 （2）解：由（1）知AO ⊥BO ，OE ⊥AO ，OE ⊥BO ，于是以O 为坐标原点，OA ，OB ，OE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AB =AE =2． ∵ 在菱形ABCD 中，∠BAD =60o， ∴ AO

BO =1．

在Rt △EAO 中，EO

．

于是O (0，0，0)，A

，0，0)，B (0，1，0)，E (0，0，1)，C (

，0，0)， ∴ AB =(

1，0)，BE =(0，-1，1)，BC =(

-1，0)．…………………7分 又由EF AB =， 可解得F (

，1，1)，于是BF =(

0，1)． ……………8分 设平面BCE 的法向量为n 1=(x 1，y 1，z 1)， 则由n 1?BE =0，n 1?BC =0得

111100y z y -+=???

-=??

，

，令y 1=1，则x 1

=， z 1=1，即n 1

=(，1，1)．…………10分 同理可得平面BCF 的法向量n 2

，-1，1)． ∴ cos=

1212??n n n n =1

7

故二面角E -BC -F 的平面角的余弦值为

1

7

．…………………………………………12分 20．解：（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意有A (-a ，0)，B (0，b )，

于是

c a =

，且1

22

b =， 结合a 2=b 2+

c 2，解得a =2，b =1，

∴ 椭圆E 的方程为2

214

x y +=．

………………………………………………………4分 （2）设11()M x y ，，22()N x y ，，

由已知联立方程222214

m x my x y ?=+????+=??，，

消去x ，得4223

(4)404m m y m y +++-=，

由0?>可得424160m m --<，解得m 2

<2+

且3412122

21644(4)m m y y y y m m --+==++，， ………………………………………………7分 由题意得△MF 1F 2，△NF 1F 2 的重心1122()()3333x y x y

G H ，，，，……………………8分

∵ 原点O 在以GH 为直径的圆内，

∴ 0OG OH ?<，即

1212

09

x x y y +<．………………………………………………9分 ∵ 34

2

12121212(1)()24m m x x y y m y y y y +=++++

4334

2

2216(1)()0244(4)4

m m m m m m m --=+++<++，

整理得422

161604(4)

m m m --<+， 即m 4-16m 2

-16=0， 变形为22(54)(4)0m m +-<， 即m 2<4，满足m 2

……………………11分

故-20时，原函数可化为()(1)2ln f x a x x =-+，则22()ax

f x a x x

-'=

-=

， ………………………………………………1分

当a ≤0时，()f x '>0，故()f x 在(0)+∞，上单调递增，

由于(1)=0f ，所以当1x >时，()(1)0f x f >=，不合题意．………………………2分

当0a >时，2

()

()a x a f x x

--'=

， ∴ 当20x a <<

时，()0f x '>；当2

x a

>时，()0f x '<， 所以()f x 在2

(0)a ，上单调递增，()f x 在2()a +∞，上单调递减，

即max 2

()()f x f a

=22ln22ln a a =-+-．

所以要使()f x ≤0在(0)+∞，时恒成立，则只需max ()f x ≤0，

亦即22ln22ln a a -+-≤0．…………………………………………………………3分 令()22ln 22ln a a a ?=-+-，则22

()1a a a a

?-'=-

=

， ∴ 当02a <<时，()0a ?'<；当2a >时，()0a ?'>， 即()a ?在(02)，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增．

又(2)0?=，所以满足条件的a 只有2，即2a =．…………………………………5分 （2）由（1）知a =2，()222ln f x x x =-+，

∴ ()()f x ax g x x x a +=?-22ln (2)2

x x x

x x +=>-，

于是2

2(2ln 4)

()(2)x x g x x --'=

-．…………………………………………………………6分

令()2ln 4s x x x =--，则22

()1x s x x x

-'=-

=

， 由于2x >，所以()0s x '>，即()s x 在(2)+∞，上单调递增； 又(8)0s <，(9)0s >，

∴ 0(89)x ?∈，，使得0()0s x =，即002ln 4x x =-， 且当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >， 即()g x 在0(2)x ，上单调递减；在0()x +∞，上单调递增， ∴ min

0()()g x g x =000022ln 2

x x x x +=

-2

00

0022x x x x -==-．……………………………10 分 即0m x =，

∴ 0()()f m f x =000222ln 2(1110)x x x =-+=--∈--，，

即11()10f m -<<-．…………………………………………………………………12分 22．解：（1）∵ C 的直角坐标方程为x 2+y 2=4，…………………………………………1分

∴ 点Q (x 0，y 0)满足x 2+y 2

=4(y ≥0)． …………………………………………………2分

设M (x ，y )，则00222

x y

x y +=

=，，即x 0=2x -2，y 0=2y ， ∴ (2x -2)2+(2y )2=4(y ≥0)，

整理得C 1的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1(y ≥0)．…………………………………………5分 （2）直线l 过点A (-1，0)，

所以直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=-+??=?，，

(θ为参数，θ为倾斜角，[0)6π

θ∈，)

代入C 1：24cos 30t t θ-+=，

则12124cos 3t t t t θ+=??

=?，

，

∴

12

122cos 22(]

..333

t t AD AM AN t t θ+==∈，． ……………………………………10 分

23．解：（1）∵|x+3|-|x-1|=|x+3|-|1-x|≤|(x+3)+(1-x)|=4，……………………………3分∴a2-3a≥4，

解得a≥4，或a≤-1（舍去）．

∴a的最小值为4．……………………………………………………………………5分

+

（2）∵

2

∴

)．…………………………………………………………10分