海淀区2018届高三一模数学(文)试题及答案
海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（文科） 2018.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{0,},{12}A a B x x ==-<< | ，且A B ?，则a 可以是
(A) 1- （B ） 0 （C ） 1 （D ）2 （2）已知向量(1,2),(1,0)==-a b ，则+2=a b
(A) (1,2)- （B ） (1,4)- （C ） (1,2) （D ） (1,4) （3）下列函数满足()()0f x f x -+=的是
(A) ()f x x = （B ） ()ln f x x = （C ） 1
()1
f x x =
- （D ） ()cos f x x x =
（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为
(A) 2 （B ）6 （C ） 8 （D ）10
（5）若抛物线2
2(0)y px p =>上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是
(A) 1p < （B ） 1p > （C ） 2p < （D ） 2p > （6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为,(,)M P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为 (A) 1 （B ） 2 （C ） 1- （D ） 2-
（7）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（8）已知直线l ：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB 中点，则M 到直线3460x y --=的距离的最大值为
(A) 2 （B ） 3 （C ） 4 （D ） 5
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）复数
2i
1i
=+____. （10）已知点(2,0)是双曲线:C 22
21x y a
-=的一个顶点，则C 的离心率为 .
（11）在ABC ?中，若2,3,6
c a A π
==∠=
，则sin C = ，cos2C = .
（12）某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是____.
1
13
主视图俯视图
11
左视图
（13）已知函数1
()cos f x x x
=
+，给出下列结论： ①()f x 在(0,)2
π上是减函数；②()f x 在(0,π)上的最小值为2π
； ③()f x 在(0,2)π上至少有两个零点.
其中正确结论的序号为____.(写出所有正确结论的序号)
（14）将标号为1，2，……，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片.把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为a ；把每行标号最大的卡片选
出，将这些卡片中标号最小的数设为b .
甲同学认为a 有可能比b 大，乙同学认为a 和b 有可能相等.那么甲乙两位同学中说法正确的同学是___________.
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）
已知等比数列{}n a 满足11a =，521=8
a a . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）试判断是否存在正整数n ，使得{}n a 的前n 项和
n S 为
5
2
？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由.
（16）（本小题13分）
函数()3sin()(0,||)2
f x x ω?ω?π
=+><的部分图象如图所示，其中0x 是函数()f x 的零点. （Ⅰ）写出,ω?及0x 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2
π
-
上的最大值和最小值.
（17）（本小题13分）
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%%55时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市,获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在%%a b 时记为区间[)a,b .
组号 1
2
3
4
5
6
7
8
分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95) 频数
2 3 15 30 50 75 120 5
（Ⅰ）求上述数据中空气相对湿度使病菌死亡较快的频率；
（Ⅱ）从区间[15,35)的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25,35)的概率； （Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对湿度的平均数在第几组（只需写出结论）.
（18）（本小题14分）
如图，四棱锥
ABCD E -中，BC AD //，
1
12
AD AB AE BC ===
=， 且⊥BC 平面ABE ，M 为棱CE 的中点. （Ⅰ）求证：//DM 平面ABE ；
（Ⅱ）求证：平面CDE ⊥平面CBE ；
（Ⅲ）当四面体D ABE -的体积最大时，判断直线AE 与直线CD 是否垂直，并说明理由.
（19）（本小题14分）
已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为12
. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点A 是椭圆C 的右顶点，过点1F 的直线与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,AP AQ 与直线4x =-分别交于M 、N 两点. 求证：点1F 在以MN 为直径的圆上.
（20）（本小题13分）
已知函数()e sin x
f x x ax =-.
（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）当0a ≤时，判断()f x 在3[0,
]4
π
上的单调性，并说明理由； （Ⅲ）当1a <时，求证：3[0,
]4
x π
?∈，都有()0f x ≥.
2018文科参考答案
一．选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项．
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C A
D D D B C C
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．1i 10．52 11．
31
33，
12．3+32π
13．①③ 14. 乙
三．解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．解：（Ⅰ）设
{}n a 的公比为q ，
因为 52
1=8a a ，且3
52=a a q ，
所以
31
8q =
， ………………2分
得
21
=
q ………………4分
所以
111
1
(1,2,)
2n n n a a q n --==
= ………………6分
（Ⅱ）不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S
为5
2 ………………7分
因为
11
a =，
21
=
q ，
所以
??
?
??-=-?
?? ??-=n n
n S 2112211211 ………………10分
方法1：
令
52n S =
，则15
2(1)22n -=
得24n
=-，该方程无解. ………………13分
所以不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S
为5
2.
方法2：
因为对任意*
∈N n ，有
1211<-
n ，
所以 22112
??
-=n
n S ………………13分
所以不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S
为52。
16．解：（Ⅰ）
0112,,.
6
12x π
π
ω?==
=
………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
()3sin(2)
6f x x π
=+ ………………7分 因为
[,0]
2
x π
∈-
，
所以
52[,]
6
66x π
ππ
+
∈-
………………9分
当
2=,
6
2x π
π
+
-
即 =3x π
-
时，()f x 的最小值为3-. ………………11分
当2=
,
6
6x π
π
+
即 =0x 时，()f x 的最大值为3
2. ………………13分
17．解：（Ⅰ）由已知，当空气相对湿度在45%%55时，病毒死亡较快.
而样本在[45,55)上的频数为30，
所以所求频率为301=
30010 ………………3分
（Ⅱ）设事件A 为“从区间[15,35)的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于
[25,35)” …………………….…4分
设区间[15,25)中的两个数据为
12
,a a ，区间[25,35)中的三个数据为
123
,,b b b ，
因此，从区间[15,35)的数据中任取两个数据， 包含
12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)
a a a
b a b a b a b a b a b b b b b b b
共10个基本事件， …………………….…6分 而事件A 包含
111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,)
a b a b a b a b a b a b 共6个基本事件，
…………………….…8分
所以
63()105P A =
=
. …………………….…10分
（Ⅲ）第6组. …………………….…13分
18．（Ⅰ）证明：取线段EB 的中点N ，连接,MN AN .D
A
B
C
M
E
N
因为M 为棱CE 的中点，
所以在CBE ?中//MN BC ，
12MN BC =
. …………………….…1分
又//AD BC ，
1
2AD BC =
,
所以//,MN AD MN AD =.
所以四边形DMNA 是平行四边形,
所以//DM AN . …………………….…2分 又DM ?平面ABE , AN ?平面ABE ,
所以//DM 平面ABE . …………………….…4分 （Ⅱ）因为AE AB =,N 为EB 中点,
所以AN BE ⊥. …………………….…5分 又BC ⊥平面ABE ,AN ?平面ABE ,
所以BC AN ⊥ .…………………….…6分 又BC
BE B =,
所以AN ⊥平面
BCE . …………………….…7分
又//DM AN ，
所以DM ⊥平面BCE . …………………….…8分 因为DM ?平面CDE ,
所以平面CDE ⊥平面CBE . .…………………….…9分 （Ⅲ）AE CD ⊥. .…………………….…10分 设EAB θ∠=，
则四面体D ABE -的体积 sin V AE AB AD θ????11=321sin 6θ=. (11)
分
当90θ=?，即AE AB ⊥时体积最大. .…………………….…12分 又BC ⊥平面ABE ,AE ?平面ABE ,
所以AE BC ⊥. .…………………….…13分 因为BC
AB B =,
所以AE ⊥平面ABC . 因为CD ?平面ABCD ，
所以AE CD ⊥. .…………………….…14分
19．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为22
2
21(0)x y a b a b +=>> ，
则222112c c a a b c =???=???=+? .…………………….…2分
得
2, 3.a b == .…………………….…4 ，
所以椭圆方程为22
1.43x y += .…………………….…5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(2,0)A .
当直线PQ 不存在斜率时，可得
33
(1,),(1,)
22P Q --- 直线AP 方程为
()1
22y x =--，令4,x =-得(4,3)M -,
同理，得(4,3)N --. 所以()()
113,3,3,3F M F N =-=--,
得
110F M F N ?=.
所以
190MF N ∠=?,
1
F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…7分
当直线PQ 存在斜率时，设PQ 方程为
()
1y k x =+ ，()11,y x P 、()22,y x Q .
由()
22
1143y k x x y =+???+=??可得()22223484120k x k x k +++-=.
显然0?>,
2212122
28412,3434k k x x x x k k -+=-=++, .…………………….…8分 直线AP 方程为
11(2)2y y x x =
--，得
1
16(4,)2y M x --- ,
同理，
2
26(4,
)
2y N x ---. .…………………….…9分 所以
12
111266(3,
),(3,)22y y F M F N x x --=-=---.
12
1112369(2)()y y F M F N x x ?=+
--2 .…………………….…10分
因为
()()
11221,1y k x y k x =+=+
所以212121
2123636(1)(1)
(2)()(2)()y y k x x x x x x ++----=
22 .…………………….…11分 ()()212121212222
2
2
2
22
2
22
3612()441283436()3441216121634936369k x x x x x x x x k k k k k k k k k k k +++=
-++--+++=-++++-?=
=-
所以
110F M F N ?= ..…………………….…13分
所以90MFN ∠=?,F 在以MN 为直径的圆上. .…………………….…14分 综上，F 在以MN 为直径的圆上.
20．解：（Ⅰ）当0a =时，()sin x
f x e x =,
'()(sin cos )x f x e x x x R =+∈，. .…………………….…1分
得'(0) 1.f = .…………………….…2分
又
(0)sin 0=0f e =, .…………………….…3分 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为.y x = .…………………….…4分 方法1：
（Ⅱ）因为
()sin x
f x e x ax =-， 所以
'()(sin cos )x
f x e x x a =+-. 2sin(+)4x e x a
π
=- .…………………….…5分
因为
3[0,
]4x π∈，
所以
[,]44x π
π
π+
∈. .…………………….…6分
所以2sin()0
4x e x π
+≥. .…………………….…7分
所以 当0a ≤时，'()0f x ≥，
所以()f x 在区间
3[0,
]
4π
单调递增. .…………………….…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，()f x 在区间
3[0,
]
4π单调递增，
所以
3[0,
]
4x π∈时，()(0)0f x f ≥=. .…………………….…9分
当01a <<时，设()'()g x f x =，
则
'()(sin cos )(cos sin )2cos x x x
g x e x x e x x e x =++-=， (),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：
x
(0,)2π
2π 3(,)
24ππ 34π
'()g x
+ 0
-
()g x 1a -
极大值
a -
所以
'()f x 在[0,]2π上单调递增，在3(,]
24ππ
上单调递减 .…………………….…10分 因为
'(0)10f a =->，
3'(
)04f a π
=-<，
所以存在唯一的实数
03(,)
24x ππ∈，使得0'()0f x =， .…………………….…11分 且当0(0,)
x x ∈时，
'()0f x >，当
03(,
]
4x x π
∈时，'()0f x <，
所以()f x 在0[0,]
x 上单调递增，()f x 在
03[,
]
4x π
上单调递减. .…………………….…12分
又 (0)0f =，33244323232()30
42422e f e a e ππ
ππ-=?->?->>,
所以当01a <<时，对于任意的
3[0,
]
4x π
∈，()0f x ≥. 综上所述，当1a <时，对任意的3[0,
]
4x π∈，均有()0f x ≥.
.…………………….…13分
方法2：
（Ⅱ）因为
()sin x
f x e x ax =-， 所以
'()(sin cos )x
f x e x x a =+-. .…………………….…5分 令()'()
g x f x =，
则
'()(sin cos )(cos sin )2cos x x x g x e x x e x x e x =++-=， .…………………….…6分 (),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：
x
(0,)2π
2π 3(,)
24ππ 34π
'()g x
+ 0
-
()g x 1a -
极大值
a - .…………………….…7分
当0a ≤时，3
(0)10,()0
4g a g a π=->=-≥.
所以
3[0,
]
4x π
∈时，()0g x ≥，即'()0f x ≥，
所以()f x 在区间
3[0,
]
4π单调递增. .…………………….…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当0a ≤时，
()f x 在区间
3[0,
]
4π单调递增，
所以
3[0,
]
4x π∈时，()(0)0f x f ≥=. .…………………….…9分
当01a <<时， 由（Ⅱ）可知，'()f x 在
[0,]2π上单调递增，在3(,]
24ππ上单调递减， 因为'(0)10f a =->，
3'(
)04f a π
=-<，
所以存在唯一的实数
03(,)
24x ππ∈，使得0'()0f x =， .…………………….…11分 且当
0(0,)
x x ∈时，'()0f x >，当
03(,
]
4x x π
∈时，'()0f x <， 所以()f x 在0[0,]
x 上单调递增，()f x 在
03[,
]
4x π上单调递减.
.…………………….…12分
又 (0)0f =，33244323232()30
42422e f e a e ππ
ππ-=?->?->>,
所以当01a <<时，对于任意的
3[0,
]
4x π
∈，()0f x ≥.
综上所述，当1a <时，对任意的3[0,
]
4x π∈，均有()0f x ≥. .……………….…13分