高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
求函数值域的解题方法总结(16种)
在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
一、观察法:
通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+
=的值域。
点拨:根据算术平方根的性质,先求出()x 3-2的值域。
解:由算术平方根的性质知
()0x 3-2≥,故()3x 3-23≥+。
点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)、被开方数的非负性,(2)、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧发。
练习:求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。(答案:{}5,4,3,2,1,0)
二、反函数法:
当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例:求函数2
x 1
x y ++=的值域。
点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。 解:显然函数2
x 1
x y ++=
的反函数为:y y --=112x ,其定义域为1y ≠的实数,
故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这
种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数x
-x -x
x 10101010y ++=的值域。(答案:{}1y 1-y |y 或)。
三、配方法:
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求函数的值域。
例:求函数()
2x x
-y 2
++=
的值域。
点拨:将被开方数配方成平方数,利用二次函数的值求。
解:由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=
4
921-x -2
+??? ?? ()
232x x
-02
≤
++≤
∴,即原函数的值域为????
??
≤23y 0|y
点评:求函数的值域的不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域
对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习:x 4-155-x 2y +=的值域。(答案:{}3y |y ≤)
四、判别式法:
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数,可用判别式法求函数的值域。
例:求函数22(1)(2)(1)
x y x x +=
--的值域。 点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式法求原函数的值域。
解:由22(1)(2)(1)x y x x +=
--=2(2)(1)x x --=2
2
32
x x -+ 得 23220yx yx y -+-=
∵当0y =时,-2 = 0 ,不成立
当0y ≠时,由0?≥,得2(3)4(22)y y y ---=280y y +≥ ∴8y ≤-或0y ≥ 由于0y ≠ ∴函数2
2(1)(2)(1)
x y x x +=
--的值域为{}|80y y y ≤->或。 点评:把函数关系化为二次方程()0y x =,F ,由于方程有实数解,故其判别
式为非负数,可求得函数的值域。常适用于f
ex dx c bx ax y 22++++=及e dx cx b ax y 2++±+=。
练习:求函数22y=
3x x +的值域。(答案:|y y ??≤???
?
?)。 五、最值法:
对于闭区间[]b a ,上的连续函数()x f y =,可以求出()x f y =在区间[]b a ,内的较值,并与边界()()b f a f ,作比较,求出函数的值,可得到函数y 的值域。 例:已知()()01x x 33-x -x 222≤++,且满足1y x =+,求函数x 3xy z +=的值域。
点拨:根据已知条件求出自变量x 的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。
解:01x x 32 ++,上述分式不等式与不等式03-x -x 22≤同解,解之得
23x 1-≤
≤,又1y x =+,将y=1-x 代入x 3xy z +=中,得??
?
?
?
≤≤+=23x 1-x 4-x z 2, ()42-x -z 2
+=∴且??????∈231-x ,,函数z 在区间??
????231-,上连续,故只需比较边
界的大小。
当x=-1时,z=-5;当23x =
时,4
15
z =。 ∴函数z 的值域为????
??
≤≤415z 5-|z 。
点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的值。对开区间,若存在值,也可通过求值而获得函数的值域。
练习:若x 为实数,则函数5-x 3x y 2+=的值域为( )
A.()+∞∞-,
B.[)∞+-,7
C.[)∞+,0
D.[)∞+-,5 (答案:D ) 六、单调法:
利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。 例:求函数x 3-1-x 4y =的值域。
点拨:由已知的函数是复合函数,即()x 3-1-x g =,()()x g x f y +=其定义域为
3
1
x ≤
,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。 解:设f(x)=4x,()x 3-1-x g =,(3
1
x ≤),易知它们在定义域内为增函数,从而
()()x g x f y +==x 3-1-x 4在定义域为31
x ≤上也为增函数,而且
3
4
31g 31f y =??? ??+??? ??≤,因此,所求的函数值域为{y|y ≤34}。
点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区
间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。
练习:求函数x -43y += 的值域。(答案:{y|y ≥3})
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例1:求函数x
x
e e 1y -=的值域。
解:由原函数式可得:1
-y 1y e x +=
∵ 1
1y -+∴
y 解得:1y 1- 故所求函数的值域为(-1,1)
例2: 求函数3
-sinx cosx y =的值域。
解:由原函数式可得:,可化为:
即
0e x
>y 3x cos x sin y =-y 3)x (x sin 1y 2=β++1
y y 3)x (x sin 2+=
β+
∵
∴
即
解得: 故函数的值域为
十四、数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例1:求函数
的值域。
解:原函数可化简得:
上式可以看成数轴上点P (x )到定点A (2),间的距离之和。 由上图可知,当点P 在线段AB 上时, 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, 故所求函数的值域为:
例2:求函数
的值域。 解:原函数可变形为:
上式可看成x 轴上的点到两定点的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,,
故所求函数的值域为
例3:求函数
的值域。 解:将函数变形为:
R x ∈]1,1[)x (x sin -∈β+1
1y y 312
≤+≤
-42y 4
2≤
≤-
????
?
???-42,422
2)8x ()2x (y ++-
=|8x ||2x |y ++-=)8(B -10|AB ||8x ||2x |y ==++-=10|AB ||8x ||2x |y =>++-=],10[+∞5x 4x 13x 6x y 2
2++++-=2
222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=)0,x (P )1,2(B ),2,3(A --43
)12()23(|AB |y 22min =+++==],43[
+∞5x 4x 13x 6x y 22++-+-=2
222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=
上式可看成定点A (3,2)到点P (x ,0)的距离与定点到点的距离之差。 即: 由图可知:(1)当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有
即:
(2)当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有 综上所述,可知函数的值域为:
注:由上例可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A 、B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A ,B 两点在x 轴的同侧。
如:例3的A ,B 两点坐标分别为:(3,2),,在x 轴的同侧;例18的A ,B 两点坐标分别为(3,2),,在x 轴的同侧。
十五、一一映射法
原理:因为
在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中,若知道一
个变量范围,就可以求另一个变量范围。 例:求函数
的值域。 解:∵定义域为 由得 故
或
解得
故函数的值域为
十六、多种方法综合运用
例1:求函数
的值域。
)1,2(B -)0,x (P |BP ||AP |y -='P 'ABP ?26
)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-26y 26<<-26|AB |||BP ||AP ||==-]26,26(-)1,2(--)1,2(-)0c (d cx b
ax y ≠++=
1x 2x
31y +-=
??
??
??
->-<21x 21x |x 或1x 2x 31y +-=3y 2y
1x +-=2
1
3y 2y 1x ->+-=
2
1
3y 2y 1x -<+-=
23
y 23y -
>-<或?
??
??+∞-??? ?
?-∞-,2323, 3x 2
x y ++=
解:令,则
(1)当时,
,当且仅当t=1,即时取等号,所以
(2)当t=0时,y=0。
综上所述,函数的值域为:
注:先换元,后用不等式法
例2: 求函数的值域。 解:
令,则
∴当
时, 当时,
此时
都存在,故函数的值域为 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用的有界性。
)0t (2x t ≥+=1t 3x 2
+=+0t >21
t 1t 11t t y 2≤
+=+=
1x -=21y 0≤
?????21,042432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=
423
4
242x x 21x x x
x 21x x 21y +++++++-=22
22
x 1x x 1x 1++???? ?
?+-=2tan x β=β
=???? ??+-22
22cos x 1x 1β=+sin 21
x 1x 21
sin 21
sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴161741sin 2
+
??? ??
-β-=41sin =β1617y max =
1
sin -=β2y min -=2tan
β?????
?-1617,2βsin