时间序列分析入门概述
时间序列分析入门
xt t t1 2t2 3t3
均值为零？ 是否平稳？ 方差为有限常数？
自协方差与t无关？
AR(1)平稳旳条件
xt t t1 2t2 3t3
• 均值
E(t ) 0 E(xt ) 0
成立
• 方差
Var( xt
)
2
(1
2
4
6
)
(1)t充分大时Var(
xt
)
1
2
2
自协方差函数
1
r0
1
2
(1 11)(1 1 12
1 )
2
r2 E[xt2 (1xt1 t 1t1)] 1r1
rk 1rk1 (k 2)
ARMA(1,1)旳自有关函数
k
(1 11 1 12
)(1 1 211
)
1 k 1
k 1 k2
ARMA(p,q)旳自有关函数与AR(p)一样，具有拖尾性
③ 滞后算子形式
xt 1xt1 2xt2 p xtp t 1t1 2t2 qtq
p (B)xt q (B)t
xt
1 p
(
B)
q
(
B)
t
t
1 q
(
B)
p
(
B)
xt
性质总结
模型
• 自有关 • 函数 • 偏自有
关函数
• 平稳旳 条件
• 可逆旳 条件
AR(p) 拖尾
MA(q) 截尾
ARMA(p,q) 拖尾
① 自回归模型旳定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间旳相互关系 xt 1xt1 2 xt2 p xt p t 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不有关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
时间序列分析的基础知识
时间序列分析的基础知识时间序列分析是一种用于研究时间序列数据的统计方法。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，例如股票价格、气温变化、销售额等。
通过对时间序列数据的分析，我们可以揭示数据的趋势、季节性、周期性以及随机性等特征，从而进行预测和决策。
一、时间序列的基本概念1. 时间序列：时间序列是按照时间顺序排列的一系列观测值。
时间序列可以是连续的，例如每天的股票价格；也可以是离散的，例如每月的销售额。
2. 趋势：趋势是时间序列数据长期变化的方向和幅度。
趋势可以是上升的、下降的或者平稳的。
3. 季节性：季节性是时间序列数据在一年内周期性重复出现的规律。
例如，冬季的销售额通常比夏季的销售额要高。
4. 周期性：周期性是时间序列数据在超过一年的时间范围内周期性重复出现的规律。
周期性可以是几年、几十年甚至几百年。
5. 随机性：随机性是时间序列数据中无法解释的不规律的波动。
随机性是由于各种不可预测的因素引起的，例如自然灾害、政治事件等。
二、时间序列分析的方法1. 描述性分析：描述性分析是对时间序列数据进行可视化和统计描述的过程。
通过绘制时间序列图、计算均值、方差等统计量，我们可以对数据的特征有一个直观的认识。
2. 平稳性检验：平稳性是时间序列分析的基本假设之一。
平稳时间序列的均值、方差和自相关函数不随时间变化。
我们可以通过绘制自相关图、偏自相关图以及进行单位根检验等方法来检验时间序列的平稳性。
3. 分解：分解是将时间序列数据分解为趋势、季节性、周期性和随机性四个部分的过程。
分解可以帮助我们更好地理解时间序列数据的组成部分，并进行更精确的预测。
4. 预测：预测是时间序列分析的重要应用之一。
通过建立合适的模型，我们可以利用历史数据对未来的趋势进行预测。
常用的预测方法包括移动平均法、指数平滑法和ARIMA模型等。
三、常用的时间序列模型1. 移动平均模型（MA）：移动平均模型是一种基于过去观测值的加权平均的方法。
时间序列分析基础知识
时间序列分析基础知识什么是时间序列分析时间序列是按照时间顺序排列的数据点序列，它在各个领域都有着广泛的应用，如经济学、气象学、金融学等。
时间序列分析就是利用统计技术对时间序列数据进行建模、预测和分析的过程。
通过时间序列分析，我们可以揭示数据中的潜在规律、趋势、周期性等重要信息。
时间序列数据的特点时间序列数据与横截面数据或面板数据有着明显的区别。
时间序列数据的主要特点包括趋势性、季节性、周期性和随机性。
趋势性：时间序列数据通常会呈现出长期的上升或下降趋势，反映了数据的总体变化方向。
季节性：某些时间序列数据会受到季节变化的影响，呈现出周期性的规律性变化。
周期性：除了季节性外，时间序列数据还可能存在其他周期性的变化，如经济周期等。
随机性：时间序列数据中随机噪声的存在使得数据并不完全规律可循，需要通过合适的模型来捕捉规律。
时间序列分析的基本步骤进行时间序列分析通常需要经历以下几个基本步骤：数据收集：首先需要采集相应领域的时间序列数据，保证数据的完整性和准确性。
数据预处理：对采集到的原始数据进行清洗、处理，包括去除异常值、填补缺失值等操作。
模型识别：根据时间序列数据的特点，选择合适的模型类型，如平稳模型、非平稳模型等。
参数估计：利用已选定的模型对数据进行参数估计，找出最符合实际情况的参数值。
模型检验：通过对模型残差和预测结果进行检验来验证模型是否合适，是否能够较好地拟合原始数据。
模型预测：基于已建立和验证的模型，对未来一段时间内的数据进行预测。
常用的时间序列分析方法统计方法统计方法是最早被应用于时间序列分析中的方法之一。
通过统计学原理对时间序列数据进行描述、估计和推断，常用的方法包括移动平均法、指数平滑法、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）等。
机器学习方法随着人工智能和机器学习技术的发展，机器学习方法在时间序列分析中也得到了广泛应用。
包括支持向量机（SVM）、神经网络（NN）、随机森林（Random Forest）等算法被应用于时间序列预测与建模中。
时间序列分析基础
时间序列分析基础时间序列分析是一种重要的统计分析方法，用于研究随时间变化的数据序列。
时间序列分析可以帮助我们理解数据的趋势、季节性变化和周期性波动，从而进行预测和决策。
本文将介绍时间序列分析的基础知识，包括时间序列的概念、特征、分解方法和常用模型等内容。
一、时间序列的概念时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据点的集合。
在时间序列分析中，时间是一个重要的因素，数据点的取值取决于时间点的顺序。
时间序列可以是连续的，也可以是离散的，常见的时间序列包括股票价格、气温变化、销售额等。
二、时间序列的特征时间序列通常具有以下几种特征：1. 趋势性：时间序列数据在长期内呈现出的总体上升或下降的趋势。
2. 季节性：时间序列数据在短期内呈现出的周期性波动，通常与季节变化相关。
3. 周期性：时间序列数据在长期内呈现出的周期性波动，但不是固定的季节性。
4. 随机性：时间序列数据中除了趋势性、季节性和周期性外的随机波动。
三、时间序列的分解方法为了更好地理解时间序列数据的趋势、季节性和周期性，常常需要对时间序列进行分解。
常用的时间序列分解方法包括加法模型和乘法模型。
1. 加法模型：加法模型假设时间序列数据是由趋势性、季节性、周期性和随机性的总和构成的。
即 Y(t) = T(t) + S(t) + C(t) +ε(t)，其中Y(t)为时间t的观测值，T(t)为趋势性分量，S(t)为季节性分量，C(t)为周期性分量，ε(t)为随机性分量。
2. 乘法模型：乘法模型假设时间序列数据是由趋势性、季节性、周期性和随机性的乘积构成的。
即 Y(t) = T(t) * S(t) * C(t) *ε(t)。
四、常用的时间序列模型时间序列分析中常用的模型包括移动平均模型（MA）、自回归模型（AR）、自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）等。
1. 移动平均模型（MA）：MA模型假设时间序列数据是由随机误差项的线性组合构成的，表示为Y(t) = μ + ε(t) + θ1*ε(t-1) + θ2*ε(t-2) + ... + θq*ε(t-q)。
时间序列分析基础
时间序列分析基础什么是时间序列分析时间序列分析是一种用于预测未来发展趋势的统计分析方法。
它通过对一系列按时间顺序排列的观测数据进行分析，以发现数据背后的规律和趋势。
时间序列分析可以应用于各个领域，如经济、金融、气象等，用于预测销售额、股票价格、天气变化等。
时间序列分析的基本步骤时间序列分析主要包括以下几个步骤：1.数据收集在进行时间序列分析之前，首先需要收集相应的时间序列数据。
这些数据可以是按照一定时间间隔收集的观测值，如每日销售额或每月股票价格。
2.数据预处理收集到的时间序列数据可能存在缺失值、异常值或噪声等问题，需要对数据进行预处理。
常见的预处理方法包括填充缺失值、平滑数据以减少噪声等。
3.数据可视化将预处理后的时间序列数据进行可视化是理解数据和发现趋势的重要手段。
可以绘制折线图、散点图、柱状图等图表来展示数据的变化情况。
4.模型选择选择适合的时间序列模型是进行预测的基础。
常用的时间序列模型有平稳时间序列模型、非平稳时间序列模型、自回归移动平均模型等。
根据数据的特性选择合适的模型。
5.参数估计与模型检验根据选定的时间序列模型，需要估计模型的参数，并对模型进行检验。
常见的参数估计方法包括最大似然估计法和最小二乘法。
模型检验可以通过残差分析和模型诊断统计检验来进行。
6.模型预测通过已训练好的时间序列模型，可以进行未来的预测。
预测结果可以通过可视化方法展示，并进行误差分析以评估模型的准确性。
时间序列分析的应用场景时间序列分析在实际应用中具有广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用场景：1.经济预测时间序列分析可以用于预测经济指标，如国内生产总值、消费者物价指数等。
根据历史数据，可以构建经济模型来进行未来的预测，从而为政策制定和决策提供参考。
2.股票市场分析时间序列分析可以帮助分析股票市场的涨跌趋势和价格预测。
通过对历史股价数据的分析，可以发现规律并预测未来的股票价格，供投资者参考。
3.环境气象预报时间序列分析可以用于气象数据分析和天气预报。
时间序列分析
时间序列分析时间序列分析是一种重要的统计学方法，用于研究随时间变化的数据。
它可以帮助我们了解数据的趋势、周期性和季节性，预测未来的变化趋势，并做出相应的决策。
本文将介绍时间序列分析的基本概念、常见的方法和应用领域。
一、时间序列的基本概念时间序列是按时间先后顺序排列的一组观察数据。
它可以是连续的，例如每天的股票价格；也可以是离散的，例如每月的销售量。
时间序列的分析要求数据点之间存在一定的相关性和规律性。
二、时间序列的组成部分时间序列通常由三个主要组成部分构成：趋势、季节性和随机性。
趋势是时间序列在长期内呈现的整体变化趋势；季节性是时间序列在较短的时间内出现的重复周期性变化；随机性是时间序列中无法解释的随机波动。
三、时间序列分析的方法1. 描述性分析描述性分析是对时间序列数据进行可视化和概括的方法。
常用的方法包括绘制折线图、直方图和自相关图等，以帮助我们了解数据的分布和相关性。
2. 平稳性检验平稳性是时间序列分析的基本假设。
平稳序列的统计特性在时间上是不随时间变化的，包括均值、方差和自相关性等。
常见的平稳性检验方法有单位根检验和ADF检验。
3. 建立模型建立时间序列模型是对数据进行预测和分析的关键步骤。
常用的时间序列模型有ARIMA模型、AR模型和MA模型等。
通过对历史数据的拟合，我们可以得到模型的参数，从而进行未来值的预测。
4. 模型诊断与改进在建立模型之后，需要对其进行诊断和改进。
常见的诊断方法包括残差检验、模型稳定性检验和模型比较等。
根据诊断结果，我们可以对模型进行改进，提高预测的准确性。
四、时间序列分析的应用领域时间序列分析在许多领域都有广泛的应用，例如经济学、金融学、气象学和市场营销等。
在经济学中，时间序列分析可以用于预测经济增长趋势和通货膨胀率。
在金融学中，它可以帮助我们预测股票价格和利率走势。
在气象学中，时间序列分析可以用于预测天气变化和自然灾害。
在市场营销中，它可以帮助我们预测销售量和用户行为。
时间序列分析的基本概念与方法
时间序列分析的基本概念与方法时间序列分析是一种常用的统计方法，用于研究时间上连续观测数据的模式和趋势。
它广泛应用于经济学、金融学、气象学、交通运输等众多领域。
本文将介绍时间序列分析的基本概念和常用方法，为读者提供初步了解和应用的指导。
一、基本概念时间序列是按一定时间间隔测量或观测的一组数据序列。
它的特点是数据点之间存在时间上的先后顺序，并且相对于统计的其他数据类型（如横截面数据）而言，时间序列数据还具有数据间存在相关性和趋势性的特征。
常见的时间序列分析概念包括：1. 趋势：时间序列在长期内的整体变化趋势，可以是增长、下降或平稳。
2. 季节性：时间序列在固定时间周期内的重复模式，通常是指一年内的周期性变化。
3. 循环性：时间序列在较长时间内的周期性变化，不以固定时间周期为基础。
4. 随机性：时间序列中无法通过趋势、季节性和循环性解释的随机波动成分。
二、方法介绍时间序列分析的方法主要包括描述性分析、平稳性检验、模型拟合和预测等。
1. 描述性分析描述性分析是对时间序列数据进行统计性描述的方法，常用的统计指标包括均值、方差、标准差、最大值、最小值等。
通过描述性分析，可以初步了解时间序列数据的分布特征和基本统计性质。
2. 平稳性检验平稳性是进行时间序列分析的重要假设，它要求时间序列在长期内的统计性质保持不变。
平稳性检验可以通过观察时间序列的图形、自相关函数和单位根检验等方法进行。
如果时间序列不满足平稳性要求，则需要进行差分处理或其他转换方法，使其达到平稳性条件。
3. 模型拟合时间序列分析中常用的模型包括自回归移动平均模型（ARIMA模型），指数平滑模型、季节性模型等。
模型拟合要求选择适当的模型，并利用最大似然估计等方法，对模型参数进行估计和拟合。
拟合后的模型可以用于描述时间序列的趋势、季节性和随机波动。
4. 预测时间序列预测是时间序列分析的重要应用之一，它利用历史数据的模式和规律，对未来一段时间内的数据进行预测。
数学建模中的时间序列分析
数学建模中的时间序列分析时间序列分析是数学建模中的重要工具之一，它研究随着时间变化的数据序列，并通过分析过去的数据来预测未来的趋势。
在各个领域中都有广泛的应用，如经济学、金融学、气象学等。
本文将介绍时间序列分析的基本概念、常用方法和实际应用。
一、时间序列分析的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的数据序列，它包含了趋势、季节性、周期性和随机性等多个成分。
时间序列分析的目的是通过对这些成分进行建模和分析，从中提取出有用的信息，以实现预测和决策等目标。
1.1 趋势分析趋势是时间序列中的长期变化趋势，可以是递增的、递减的或者平稳的。
常用的趋势分析方法有移动平均法、线性回归法和指数平滑法等。
1.2 季节性分析季节性是时间序列中的周期性变化，通常以一年为周期。
季节性分析可以帮助我们了解每年的周期性波动，以及确定季节影响因素。
常用的季节性分析方法有季节性指数法、季节分解法和差分法等。
1.3 周期性分析周期性是时间序列中的较长期的波动，常用的周期性分析方法有傅立叶分析和自相关函数分析等。
1.4 随机性分析随机性是时间序列中无法解释的部分，它是由各种不可预测的因素引起的。
随机性分析可以帮助我们确定模型的合理性，以及检验模型的适用性。
二、时间序列分析的常用方法时间序列分析中常用的方法有自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。
2.1 ARMA模型ARMA模型是由自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）组成的线性模型。
AR模型描述的是当前值与过去若干个值之间的线性关系，而MA模型描述的是当前值与过去若干个随机误差之间的线性关系。
2.2 ARIMA模型ARIMA模型是ARMA模型的扩展，它引入了差分操作，可以应对非平稳时间序列。
ARIMA模型包括自回归阶数（p）、差分次数（d）和移动平均阶数（q）三个参数。
2.3 SARIMA模型SARIMA模型是针对季节性时间序列的ARIMA模型的扩展，它引入了季节性差分操作。
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2 3 0
MA(q) 的自相关函数
1
k
k
1k1 2k1 qkq
1 12
2 2
2 q
0
k大于q时k为零，称作截尾性
k=0 k=1,2,···,q k>q
举例
ρk 1
yt 2 t 0.8t1
1
1
0.8 0.82
0.49
0.5
0123
k
yt 2 t 0.8t1 的序列
1 1 2 1 p p1 2 11 2 p p2
p 1 p1 2 p2 p
对一个自回归序列求ˆ ，ˆ ，
1
2
假设p 1，得ˆ ˆ ，记ˆ
1
1
1
1
假设p 2，得ˆ ,ˆ，如果ˆ 不显著为零，记ˆ
12
2
2
2
序列 ， ， ，称为偏自相关函数
1
2
3
对于p阶自回归模型，当j p时，a 0 j
• 当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
等,则称xt 为随机过程 • 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2，或 T 1，2，等，则称xt 为随机序列
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···, xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实
• 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
(2) 时间序列的统计性质(特征量)
• 均值函数：某个时刻t的性质
E(xt ) t xpt (x)dx
pt (x)是xt 的概率密度函数
时间序列的统计性质
• 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质
rt,s Cov(xt , xs ) E(xt Ext )(xs Exs ) rt,s rs,t
0 1 平滑常数
本期预测值是前期实际值和预测值的加权和
二. 随机时间序列模型及其性质
• 随机时间序列 • 平稳时间序列 • 随机时间序列模型
1. 随机时间序列
• 随机过程与随机序列 • 时间序列的性质
(1) 随机过程与随机序列
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
t xt f (i j , xs )
非线性最小二乘估计
(3) 模型阶数的确定
——MA(q)或AR(p)
• 自相关函数的截尾
q
q
1/ T (1 2 ˆi2 ) ˆk 1/ T (1 2 ˆi2 )
i 1
i 1
• 偏自相关函数的截尾
2 1/ T kk 2 1/ T
模型阶数的确定——ARMA(p,q)
yt 5
3
1
-1
t
③ 滞后算子形式
xt t 1t1 2t2 qtq q (B)t
t
1 q
(
B)
xt
其中 q (B) 11B 2B2 q Bq
AR(p)与MR(q)的比较
AR(1) xt xt1 t MR(1) xt 1t1 t
(3) 自回归移动平均模型
• 定义 • 性质 • 滞后算子形式
，与t无关
满足这两个
(2) 1时，Var(xt )为有限常数 条件成立
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
rt,tk Cov(xt , xtk )
E(xt xtk )
2 k (1 2 4 6 )
t充分大时，rt ,t k
2 k 1 2
k Var(xt )
仅与k有关，与t无关
时间序列分析入门
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列模型及其性质 • 时间序列模型的估计和预测
一. 确定性时间序列模型
• 时间序列：各种社会、经济、自然现象 的数量指标按照时间次序排列起来的统 计数据
• 时间序列分析模型：解释时间序列自身 的变化规律和相互联系的数学表达式
确定性时间序列模型
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系 xt 1xt1 2 xt2 p xt p t 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
② (一阶)自回归序列平稳的条件
xt xt1 t xt1 xt2 t1
• 平稳条件：与AR (p)相同 • ARMA(1,1)
xt 1xt1 t 1t1
平稳条件
1 1 t充分大
ARMA(1,1)的自相关函数
r0 E[(1xt1 t 1t1)2 ]
12 r0
211
2
12
2
2
r0
112 211 1 12
2
r1 E[xt1(1xt1 t 1t1)]
① 自回归移动平均模型
• 自回归模型与移动平均模型的综合
xt 1xt1 2xt2 p xt p t 1t1 2t2 q tq
计为ARMA(p,q)
AR( p) ARMA( p,0) MA(q) ARMA(0, q)
② ARMA(p,q)的性质
• ARMA(p,q)兼有AR (p)和ARMA(q)的性 质
13
212 122 12
AR(p) 自相关函数的拖尾性
• 对AR(p)模型，其自相关函数不能在某一 步之后为零（截尾），而是按指数衰减， 称其具有拖尾性
举例
ρk 1
yt 2 0.9 yt1 t
k 0.9k
0
k
yt
yt 2 0.9 yt1 t 的序列
20 t
④ 偏自相关函数
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
2)
Varxt
2 (与t无关的有限常数) x
3) 对任意整数t和k， r t,t+k只和k有关rt,tk rk
• 随机序列的特征量随时间而变化，称为非平 稳序列
xt t
xt t
平稳序列的特性
• 方差
rt ,t
r0
E[( xt
)
2
]
2 x
• 自相关函数：
k
rk
2 x
rk r0
0 1, k k , k 1
rt,t Var(xt )
时间序列的统计性质
• 自相关函数
t,s
rt , s rtt rss
t,s s,t
t,t 1
2. 平稳时间序列
• 所谓平稳时间序列是指时间序列
{xt, t=0,±1,±2,···}
对任意整数t，
Ex2 ，且满足以下条件： t
1) 对任意t，均值恒为常数 Ext (与t无关的常数)
件
位圆外
位圆外
可逆的条 无条件可逆 特征根在单 特征根在单
件
位圆外
位圆外
三. 时间序列模型的估计和预测
• 模型识别与参数估计 • 时间序列预测
1.模型识别与参数估计
• 模型识别 • 参数估计 • 阶数的确定 • 模型检验
模型识别 参数估计
模型检验
判断模型
否
是否可取
是
确定模型 具体形式
(1) 模型识别
AIC准则 (Akaike info criterion)
AIC
(
p,
q)
lg
ˆ
2
xt t t1 2t2 3t3
均值为零？ 是否平稳？ 方差为有限常数？
自协方差与t无关？
AR(1)平稳的条件
xt t t1 2t2 3t3
• 均值
E(t ) 0 E(xt ) 0
成立
• 方差
Var( xt
)
2
(1
2
4
6
)
(1)t充分大时Var(
xt
)
1
2
2
AR(p)的偏自相关 函数具有截尾性
⑤ AR(p)的滞后算子形式
引进滞后算子B： Bxt xt1
一般有： Bn xt xtn B0 1
AR(p) xt 1xt1 2 xt2 p xt p t
(1 1B 2B p B p )xt t 记 p (B) 11B 2B p B p
p (B)xt t
或
xt
1 p
(
B)
t
(2) 移动平均模型及其性质
• 定义 • 自相关函数 • 滞后算子形式
① 移动平均模型的定义
• 在序列{xt}中， xt表示为若干个白噪声的 加权平均和
xt t 1t1 2t2 qtq
其中{εt}是白噪声序列，这样的模型称为 q阶移动平均模型，计为MA(q)
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通 过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势 预测更准确
(3) 二次滑动平均模型
yˆˆt
yˆt
yˆt1 N
yˆtN 1
tN
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
(4) 指数平滑模型
yˆt yˆt1 ( yt1 yˆt1) yˆt yt1 (1 ) yˆt1
两边同除以r0 • 自相关函数
k
rk r0
1k1 2 k2 p k p
AR(p)的自相关函数
k
rk r0
1k1 2 k2
p k p
k k , 0 1
耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程
1 1 2 1 p p1 2 11 2 p p2
p 1 p1 2 p2 p
结论： 1 时，一阶自回归序列渐进平稳
③ AR(p)的自相关函数
• 自协方差函数
rk E(xt xtk )
Ext (1xtk1 2 xtk2 p xtk p tk ) Ext1xtk1 Ext2 xtk2 Ext xp tk p 1 rk1 2rk2 prk p