计算机图形学_几何对象与变换
计算机图形学_ 二维图形变换_53 二维图形变换原理及齐次坐标_
为什么要采用齐次坐标？
在笛卡儿坐标系内，向量（x,y）是位于z=0的平面上的点 ；而向量（x,y,1）是位于z=1的等高平面上的点
对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面矩阵运 算提供了可行性和方便性
假如变换前的点坐标为（x,y），变换后的点坐标为（x*,y* ），这个变换过程可以写成如下矩阵形式：
x*, y*x,
x* a1x b 1 y c1
y•M
x*, y*x
a1
y
1
b 1
c1
a2 b2 c2
上两式是完全等价的。对于向量（x,y,1），可以在几何意义 上理解为是在第三维为常数的平面上的一个二维向量。
这种用三维向量表示二维向量，或者一般而言，用一个n+1维 的向量表示一个n维向量的方法称为齐次坐标表示法
n维向量的变换是在n+1维的空间进行的，变换后的n维结果 是被反投回到感兴趣的特定的维空间内而得到的。
如n维向量（p1,p2,...,pn）表示为（hp1,hp2,...,hpn,h）， 其中h称为哑坐标。 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”：
变换图形就是要变换图形的几何关系，即改变顶点的坐 标；同时，保持图形的原拓扑关系不变
仿射变换（Affine Transformation或 Affine Map）是一 种二维坐标到二维坐标之间的线性变换 （1）“平直性”。即：直线经过变换之后依然是直线
（2）“平行性”。即：平行线依然是平行线，且直线上 点的位置顺序不变）
采用了齐次坐标表示法，就可以统一地把二维线形变换表示 如下式所示的规格化形式：
几何变换与变换矩阵
几何变换与变换矩阵几何变换是计算机图形学中常用的一种技术，用于对二维或三维图形进行平移、旋转、缩放和剪切等操作。
这些操作可以通过变换矩阵来描述和计算。
本文将介绍几何变换的基本概念及其与变换矩阵的关系。
一、几何变换的基本概念1. 平移变换平移变换是将图形沿着指定的方向移动一定的距离。
在二维空间中，平移变换可以通过在原始坐标上加上一个向量来实现。
例如，将原始坐标(x, y)进行平移变换得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x + dxy' = y + dy其中，dx和dy分别为在x和y方向上的平移距离。
2. 旋转变换旋转变换是将图形绕指定的点或轴旋转一定的角度。
在二维空间中，旋转变换可以通过将原始坐标(x, y)绕着指定点(xc, yc)逆时针旋转θ角度得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = (x - xc) * cosθ - (y - yc) * sinθ + xcy' = (x - xc) * sinθ + (y - yc) * cosθ + yc其中，(xc, yc)为旋转中心点，θ为旋转角度。
3. 缩放变换缩放变换是将图形沿着指定的方向进行放大或缩小。
在二维空间中，缩放变换可以通过将原始坐标(x, y)分别乘以指定的缩放因子sx和sy得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x * sxy' = y * sy其中，sx和sy分别为在x和y方向上的缩放因子。
4. 剪切变换剪切变换是将图形沿着指定的方向进行截取或拉伸。
在二维空间中，剪切变换可以通过将原始坐标(x, y)进行线性变换得到新的坐标(x', y')，可以表示为：x' = x + kx * yy' = y + ky * x其中，kx和ky分别为在x和y方向上的剪切因子。
二、变换矩阵的基本概念与计算方法变换矩阵是一种矩阵表示方法，用于描述几何变换的转换规则。
计算机图形学中的渲染管线
计算机图形学中的渲染管线计算机图形学是一门研究如何使用计算机来生成、处理和展示图像的学科。
在计算机图形学中，渲染是一个重要的概念。
渲染是将三维模型转化为二维图像的过程。
图形学中的渲染管线是一系列的步骤，用于将三维世界的几何形状、质地、颜色转化为最终的二维图像。
本文将深入探讨计算机图形学中的渲染管线。
几何阶段图形学中的渲染管线可以分为几何阶段和光栅化阶段。
几何阶段是将三维模型转换成二维形状和位置的阶段。
在几何阶段中，处理器会对几何图形进行变换、照明计算以及裁剪。
变换在渲染管线的变换阶段中，三维场景中的对象应用变换矩阵以确定其在二维屏幕上的位置。
在计算机图形学中，变换可以包括平移、旋转和缩放等操作。
照明计算将照明计算应用于场景中的所有几何对象，并确定它们在屏幕上的颜色。
计算机图形学中使用的模型通常有一个或多个灯光源，在图形对象上产生高亮和阴影区域，以产生更真实的效果。
裁剪裁剪是在计算机图形学中常用的技术之一。
在渲染管线中，裁剪的主要目的是针对视锥体的物体进行裁剪，去除不显示的部分，提高渲染效率。
对于物体较少、角度固定、不需要真实场景的虚拟现实应用中可以省略.光栅化阶段在几何阶段后,还需要进行光栅化阶段。
光栅化是将图形对象转化为像素的过程。
在这个阶段，计算机图形学将在每个像素位置执行颜色计算，确认最终的屏幕颜色。
在光栅化阶段，渲染管线将有效地记录屏幕空间中每个像素的位置和颜色。
三角形网格化在渲染管线的三角形网格化阶段中，计算机图形学将所有几何对象分解为三角形。
三角形是计算机图形学中的主要图形类型。
因为它们可以用线段轻松描述，并且可以在屏幕上轻松呈现。
在计算机图形学中，处理器可以将其他几何对象分解为三角形，从而使材质贴图和其他高级渲染技术易于执行。
像素处理像素处理是渲染管线最后一个重要的阶段。
在这个阶段中，计算机图形学将在屏幕空间的每个像素位置计算适当颜色。
这种计算过程通常包括多项式光照计算和其他相关技术，以增强图像的真实感。
第4章二维变换
• 性质
U •V = V •U U •V = 0 ⇔ U ⊥ V U •U = 0 ⇔ U = 0
变换的数学基础(3/4) 变换的数学基础
– 矢量的长度
• 单位矢量 • 矢量的夹角
2 U = U • U = u x + u y + u z2 2
U •V cos θ = U •V
– 矢量的叉积
i U ×V = ux vx
– 在世界坐标系（ 在世界坐标系（WCS）中指定的矩形区域 ， ） 用来指定要显示的图形 。
2. 视区
– 在设备坐标系（屏幕或绘图纸） 在设备坐标系（屏幕或绘图纸）上指定的矩形区域 ， 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。 用来指定窗口内的图形在屏幕上显示的大小及位置。
3. 窗口到视区的变换
P′＝P＋Tm 等价于
[x’ y’]=[x y] +[Mx My]
图形变换的特点（ 4.3.1 图形变换的特点（续）
比例变换 P′＝P×Ts
Sx 0 Ts＝ 0 Sy Sx、Sy分别表示比例因子。 cosθ sinθ Tr＝ -sinθ cosθ θ＞0时为逆时针旋转 θ＜0时为顺时针旋转
旋转变换 P＇＝P×Tr
变换后的 顶点坐标
P
变换前的 顶点坐标
•
T2D
二维变换矩阵
二维变换矩阵中： a b 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换。 c d [ l m] 是对图形进行平移变换
• 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义，包括观 计算机图形场景中所有图形对象的空间定位和定义， 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。 察者的位置视线等，是其它坐标系的参照。
2.模型坐标系（Modeling Coordinate System，也称局部坐标系） 模型坐标系
几何变换中的相似性质
几何变换中的相似性质几何变换是数学中的一个重要概念，它描述了一个几何对象在平面或空间中的转化过程。
这个转化过程可以是旋转、翻转、平移等操作，而相似变换则是其中一种特殊的变换，它保持对象的形状和大小不变，只是改变了它的位置和方向。
本文将从相似变换的定义入手，探讨它所涉及到的性质和应用。
1. 相似变换的定义相似变换又称为等比变换，它是指在平面或空间中，将一个几何对象按照一定比例进行拉缩、旋转、平移等操作，使得它的形状和大小不变的变换。
这里所谓的比例指的是一个恒定的系数k，而且它必须是正数，称为相似比。
因此，对于图形A和B，如果存在一个相似变换T，可以将A变为B，那么我们可以用以下符号来表示：A~B （A相似于B）2. 相似变换的性质相似变换在几何中有许多重要的性质，下面我们将从三个方面进行探讨。
2.1. 比例不变性相似变换的最主要的性质是比例不变性，也就是说，经过相似变换变换后，图形中任意两个点之间的距离与原始图形中的距离比例相等。
这个性质可以用以下公式来表示：AB' = kAB其中，AB和AB'分别是原始图形和经过相似变换后的新图形上两个不同点的距离，k是相似比，它满足k>0。
2.2. 角度不变性除了比例不变性之外，相似变换还保持了图形中角度的不变性。
也就是说，在相似变换之前和之后，图形中任意两个线段的夹角是相等的。
这个性质可以用以下符号来表示：∠A = ∠A'其中，∠A和∠A'分别是原始图形和变换后的图形上两条线段之间的夹角。
2.3. 三条边成比例在相似图形中，任意一对对应的边的长度是成比例的。
这个性质可以定义为：如果A~B，则有：AB'/AB = BC'/BC = AC'/AC = k其中，k是相似比，AB、BC和AC是对应的三条边。
3. 相似变换的应用相似变换在几何中有许多重要的应用，下面列举了一些具体的例子。
3.1. 测量在地理学和地图制图中，相似变换可以用于确定两个不同比例的地图之间的比例尺。
简单的几何变换翻转和拉伸
简单的几何变换翻转和拉伸几何变换是计算机图形学中的重要概念，它可以改变图像或物体的形状、大小和位置。
在几何变换中，常见的操作包括翻转和拉伸，本文将介绍简单的几何变换翻转和拉伸的原理和应用。
一、几何变换翻转翻转是指将图像或物体绕某个轴线或中心点进行对称的操作。
常见的翻转方式包括水平翻转、垂直翻转和对角线翻转。
1. 水平翻转水平翻转是将图像或物体以垂直于水平方向的轴线为对称轴进行反转。
实现水平翻转的方法是将图像或物体上下翻转，即将上半部分与下半部分对调。
这样可以通过改变图像或物体的像素位置来实现。
2. 垂直翻转垂直翻转是将图像或物体以水平方向的轴线为对称轴进行反转。
实现垂直翻转的方法是将图像或物体左右翻转，即将左半部分与右半部分对调。
同样地，通过改变像素位置来实现垂直翻转。
3. 对角线翻转对角线翻转是将图像或物体以某个对角线为对称轴进行反转。
实现对角线翻转的方法是将图像或物体按照对角线进行翻转，即将左上角的像素与右下角的像素进行对调，将右上角的像素与左下角的像素进行对调。
二、几何变换拉伸拉伸是指改变图像或物体的尺寸大小，可以按照比例进行正向拉伸或反向压缩。
在几何变换中，常见的拉伸方式包括等比例拉伸和非等比例拉伸。
1. 等比例拉伸等比例拉伸是指保持图像或物体各个方向的比例不变进行拉伸。
实现等比例拉伸的方法是将图像或物体的各个方向上的像素按照相同的比例进行拉伸或压缩。
这样可以保持图像或物体的形状不变，只是改变了尺寸大小。
2. 非等比例拉伸非等比例拉伸是指在拉伸过程中改变图像或物体各个方向的比例。
实现非等比例拉伸的方法是将图像或物体的各个方向上的像素按照不同的比例进行拉伸或压缩。
这样会改变图像或物体的形状，使其变得更加宽胖或窄瘦。
三、几何变换翻转和拉伸的应用几何变换翻转和拉伸在计算机图形学和计算机视觉领域有广泛的应用。
1. 计算机图形学在计算机图形学中，几何变换翻转和拉伸可以用来实现对图像的编辑和处理。
例如，通过水平翻转可以实现左右镜像效果，通过垂直翻转可以实现上下颠倒效果，通过对角线翻转可以实现旋转效果。
图形变换概述
0 1 ty
100÷÷÷÷÷÷÷÷÷
(x',y') (x,y)
0
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
X
《计算机图形学》
平移变换的特性
二维图形变换 平移是不产生变形而移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的每个点移动相同的坐标
几何变换
直线的平移是将平移方程加到线的每个端点上
平移变换
平移变换 旋转变换 放缩变换 错切变换
关于原点的对称变换 关于直线y=x的对称变换 关于直线y= –x的对称变换
对称变换 复合变换
视象变换
(-x,y) Y(x,y)
视窗变换
(y,x)
(-y,-x)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(-x,-y) (x,-y)
《计算机图形学》
旋转变换的特性
二维图形变换 旋转是一种不变形地移动物体的刚体变换,物体上
图形变换概述 的所有点旋转相同的角度
几何变换
直线段旋转是将每个端点旋转指定的旋转角
平移变换 旋转变换 放缩变换
多边形的旋转则是将每个顶点旋转指定的旋转角 曲线的旋转则是旋转控制取样点
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
(xⅱ y
1)= (x
y
1)骣 ççççççç桫100
0 -1 0
100÷÷÷÷÷÷÷÷
Y (x,y)
X
辽宁师范大学计算机与信息技术学院 宋传鸣
(x,-y)
《计算机图形学》
对称(Mirror)变换
二维图形变换 关于Y轴进行对称变换的解析表示
图形变换概述
x'= –x
图形变换（转）
图形变换（转）主要内容：图形处理是CAD/CAM中的关键技术，包括图形⽣成、编辑和图形变换。
计算机图形学计算机图形学的概念计算机图形学的研究内容图形变换点的变换⼆维图形的变换⼆维图形的齐次变换⼆维图形的基本变换复合变换三维图形的齐次变换三维图形的基本变换复合变换1、什么是计算机图形学计算机图形学（Computer Graphics）是近30年来发展迅速、应⽤⼴泛的新兴学科，是计算机科学最活跃的分⽀之⼀。
计算机图形学是研究在计算机中如何表⽰图形，以及利⽤计算机进⾏图形的计算、处理和显⽰的相关原理与算法的⼀门学科。
随着计算机技术的发展，计算机图形学在CAD/CAM等计算机应⽤领域中占有越来越重要的地位。
计算机图形学的研究内容是⼗分丰富的。
虽然许多研究⼯作已经进⾏了多年，取得了不少成果，但随着计算机技术的进步和图形显⽰技术应⽤领域的扩⼤和深⼊，计算机图形学的研究、开发与应⽤还将得到进⼀步的发展。
2、图形变换的概念根据需要将已定义的图形从屏幕的某⼀位置移动到另⼀位置，或改变图形的⼤⼩和形状或利⽤已有的图形⽣成复杂的图形，这种图形处理的⽅法称为图形的⼏何变换，简称图形变换。
图形变换是计算机图形学的核⼼基础，通过图形变换，能够很⽅便地由简单图形派⽣出所需要的图形。
图形变换主要包括⼆维图形和三维图形的⼏何变换，投影变换等。
图形变换通常采⽤矩阵变换的⽅法，图形变换不同，其变换矩阵也不同，本节将重点介绍图形变换的矩阵⽅法及图形变换的程序设计。
2.1 点的变换在计算机绘图中，常常要进⾏诸如⽐例、对称、旋转、平移、投影等各种变换，图形可以⽤点集来表⽰，也就是点集定了，图形也就确定了。
如果点的位置变了，图形也就随之改变。
因此，要对图形进⾏变换，只要变换点就可以了。
由于点集可以⽤矩阵的⽅法来表达，因此对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即旧点（集）×变换矩阵矩阵运算新点（集）。
2.2 ⼆维图形变换⼆维图形变换主要包括⽐例，对称、错切、旋转、平移等。