数学建模之回归分析法
数学建模——线性回归分析实用精品教案
数学建模——线性回归分析实用精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第四章“数据的拟合与回归”第二节“线性回归分析”。
详细内容包括：线性回归模型的建立，最小二乘法求解线性回归方程，线性回归方程的显著性检验，以及利用线性回归方程进行预测。
二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的建立方法。
2. 学会运用最小二乘法求解线性回归方程，并能解释线性回归方程的参数意义。
3. 能够对线性回归方程进行显著性检验，利用线性回归方程进行预测。
三、教学难点与重点教学难点：最小二乘法的推导和应用，线性回归方程的显著性检验。
教学重点：线性回归模型的建立，线性回归方程的求解及其应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件，黑板，粉笔。
学具：计算器，草稿纸，直尺，铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一组关于身高和体重的数据，引导学生思考身高和体重之间的关系。
2. 例题讲解：（1）建立线性回归模型，引导学生根据散点图判断变量间的线性关系。
（2）利用最小二乘法求解线性回归方程，解释方程参数的意义。
（3）对线性回归方程进行显著性检验，判断方程的有效性。
3. 随堂练习：（1）给出另一组数据，让学生尝试建立线性回归模型并求解。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程进行预测。
六、板书设计1. 线性回归模型2. 最小二乘法3. 线性回归方程的显著性检验4. 线性回归方程的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的数据，建立线性回归模型，求解线性回归方程。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程预测某学生的体重。
2. 答案：（1）线性回归方程为：y = 0.8x + 50（2）显著性检验：F = 40.23，P < 0.01，说明线性回归方程具有显著性。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对线性回归分析的理解和应用能力得到了提升，但仍有个别学生对最小二乘法的推导和应用感到困难，需要在课后加强辅导。
数学建模之回归分析
实际帐目数——x2 同类商品竞争数——x3 地区销售潜力——x4
第二十九页，共56页。
X= x1
11
5.5
2
2.5
31
8.0
41
3.0
51
3.0
6
2.9
7.
8.0
8.
9.0
9 10
.
4.0 6.5
11 1
5.5
12 13
1
5.0 6.0
14 1
5.0
15 16
1
3.5 8.0
17 1
问题分析：
钢材消费量--------试验指标(因变量)Y； 国民收入-----------自变量 x；
建立数据拟合函数 y = E（Y | x）= f(x)； 作拟合曲线图形分析。
第四页，共56页。
y=a+bx
钢材消费量y与国民收入x的散点图
第五页，共56页。
回归分析是研究变量间相关关系的一种统计分析。
输入：[Y,delta]=polyconf(p,x,S);Y
结果： Y= 22.5243
28.3186 27.0450 22.5243 26.0582 27.0450 24.1689
26.0582 24.1689 27.9896 19.6904
27.9896 19.6904 28.3186
拟合效果图：
假设：
1、因变量Y是随机变量，并且它服从正态分布； 2、f(x1,x2,x3,x4)是线性函数(非线性)；
模型： Y 0 1 x1 2 x2 3 x3 4 x4 ~ N (0, 2 )
第三十一页，共56页。
知识介绍
2、多元线性回归模型
回归分析方法-数学建模
1、插 值 法
在生产和实验中，常常需要根据一张表格表示的函 数推算该表中没有的函数值.解决此类问题的简单途径之 一利用插值法。
插值在数学发展史上是一个老问题，它是和Gauss, Lagrange, Newton等在著名数学家连在一起的。它最初 来源于天体计算——由若干观测值计算人一时刻星球的 位置。现在，插值法在工程技术和数据处理有许多直接 应用，而且也是数值积分、数值微分的基础。
1.2.2 分段线性插值
分段线性插值： matalb调用格式：
分段线性插值的构造：
yi=interp1(x,y,xi,’linear’)
设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在[a,b]上节点 a= x0<为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn 。
1.1 插值概念与基础理论
1.1.1 插值问题的提法 对于给定的函数表
x
x0 x1
Y=f(x) y0 y1
……. xn …….. yn
（1）
(其中 y f (x)在[a,b]上连续， x0， x1，…，xn 是 [a,b]上的 n+1个互异的点)，在某函数类{(x) }中求一个函数(x) ，使
成一个n+1维线性空间。其基有各种不同的取法。因此 尽管满足条件（4）的n次插值多项式是唯一的，然而它 的表达式可以有多种不同的形式。如果取满足条件：
0, i k
l k( xi) 1, i k
（9）
的一组n次多项式l0 x,l1 x,l2 x,,ln x 作为上述
折线段带代替曲线,故分段线性插值又称为折线插值.
实际上是连接点(xk , yk ) , i 0,1, , n的一条折线
分段线性插值曲线图：
数学建模方法回归分析
i 1
i 1
最小二乘法就是选择 0 和 1 的估计 ˆ0 ， ˆ1 使得
Q(ˆ0
,
ˆ1
)
min
0 ,1
Q( 0
,
1
)
ˆ
0
y
ˆ1 x
ˆ
1
xy x y x2 x2
n x i x y i y
或 ˆ 1 i 1 n
.
.
令 xi xi ，i=1，2，…，k 多项式回归模型变为多元线性 回归模型.
三、多元线性回归中的检验与预测
1．线性模型和回归系数的检验
假设
H0 : 0 1 k 0
（Ⅰ）F 检验法
当 H0 成立时， F U / k ~ F(k, n k 1)
Qe /(n k 1)
2 e
分别与
ˆ0
、
ˆ1
独立.
ˆ e 称为剩余标准差.
三、检验、预测与控制
1．回归方程的显著性检验
对 回 归 方 程 Y 01 x的 显 著 性 检 验 ， 归 结 为 对 假 设 H 0:1 0 ;H 1:1 0
进 行 检 验 .
假设 H0 : 1 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.
第9讲 回归分析
1．回归分析的基本理论. 2．用数学软件求解回归分析问题.
回归分析
一元线性回归
多元线性回归
* *
* *
数 学 模 型 及 定 义
数学建模之回归分析法
什么就是回归分析回归分析(regression analysis)就是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛,回归分析按照涉及的自变量的多少,可分为一元回归分析与多元回归分析;按照自变量与因变量之间的关系类型,可分为线性回归分析与非线性回归分析。
如果在回归分析中,只包括一个自变量与一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量与自变量之间就是线性关系,则称为多元线性回归分析。
回归分析之一多元线性回归模型案例解析多元线性回归,主要就是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系,跟一元回归原理差不多,区别在于影响因素(自变量)更多些而已,例如:一元线性回归方程为:毫无疑问,多元线性回归方程应该为:上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止,代表有P个自变量,如果有“N组样本,那么这个多元线性回归,将会组成一个矩阵,如下图所示:那么,多元线性回归方程矩阵形式为:其中:代表随机误差, 其中随机误差分为:可解释的误差与不可解释的误差,随机误差必须满足以下四个条件,多元线性方程才有意义(一元线性方程也一样)1:服成正太分布,即指:随机误差必须就是服成正太分别的随机变量。
2:无偏性假设,即指:期望值为03:同共方差性假设,即指,所有的随机误差变量方差都相等4:独立性假设,即指:所有的随机误差变量都相互独立,可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程,下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。
通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟合多元线性回归模型。
数据如下图所示:(数据可以先用excel建立再通过spss打开)点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面:将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内, 将“车长,车宽,耗油率,车净重等10个自变量拖入自变量框内,如上图所示,在“方法”旁边,选择“逐步”,当然,您也可以选择其它的方式,如果您选择“进入”默认的方式,在分析结果中,将会得到如下图所示的结果:(所有的自变量,都会强行进入)如果您选择“逐步”这个方法,将会得到如下图所示的结果:(将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选,最先进入回归方程的“自变量”应该就是跟“因变量”关系最为密切,贡献最大的,如下图可以瞧出,车的价格与车轴跟因变量关系最为密切,符合判断条件的概率值必须小于0、05,当概率值大于等于0、1时将会被剔除)“选择变量(E)" 框内,我并没有输入数据,如果您需要对某个“自变量”进行条件筛选,可以将那个自变量,移入“选择变量框”内,有一个前提就就是:该变量从未在另一个目标列表中出现！,再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可,如下图所示:点击“统计量”弹出如下所示的框,如下所示:在“回归系数”下面勾选“估计,在右侧勾选”模型拟合度“与”共线性诊断“两个选项,再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”,(设定异常值的依据,只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值) 点击继续。
数学建模-回归分析
一、变量之间的两种关系 1、函数关系：y = f (x) 。
2、相关关系：X ，Y 之间有联系，但由 其中一个不能唯一的确定另一个的值。 如： 年龄 X ，血压 Y ； 单位成本 X ，产量 Y ； 高考成绩 X ，大学成绩 Y ； 身高 X ，体重 Y 等等。
二、研究相关关系的内容有
1、相关分析——相关方向及程度（第九章）。 增大而增大——正相关； 增大而减小——负相关。 2、回归分析——模拟相关变量之间的内在 联系，建立相关变量间的近似表达式 （经验 公式）（第八章）。 相关程度强，经验公式的有效性就强， 反之就弱。
三、一般曲线性模型 1、一般一元曲线模型
y = f ( x) + ε
对于此类模型的转换，可用泰勒展开 公式，把 在零点展开，再做简单的变 f ( x) 换可以得到多元线性回归模型。 2、一般多元曲线模型
y = f ( x1 , x2源自,⋯ , xm ) + ε
对于此类模型也要尽量转化为线性模 型，具体可参考其他统计软件书，这里不 做介绍。
ˆ ˆ ˆ ˆ y = b0 + b1 x1 + ⋯ + bm x m
2、利用平方和分解得到 ST , S回 , S剩。 3、计算模型拟合度 S ，R ，R 。 （1）标准误差（或标准残差）
S =
S剩 ( n − m − 1)
当 S 越大，拟合越差，反之，S 越小， 拟合越好。 （2）复相关函数
R =
2
仍是 R 越大拟合越好。 注： a、修正的原因：R 的大小与变量的个数以及样本 个数有关； 比 R 要常用。 R b、S 和 R 是对拟合程度进行评价，但S与 R 的分 布没有给出，故不能用于检验。 用处：在多种回归模型（线性，非线性）时， 用来比较那种最好；如：通过回归方程显著性检验 得到：
数学建模之回归分析法
28 400
32
225
W8 1
70 3
192 9
14 114
18 225
0
32
225
1069
70 6
192 0
S甌
29 725
0
42 000
35
210
1146
7U
196 6
20.397
22 25?
0
23 990
1.8
150
1026
632
17S.0
18780
23.555
0
33 950
2.8
200
108.7
0
19.390
3.4
1BD
110.6
72.7
197.9
点击“分析”一一回归一一线性一一进入如下图所示的界面:
将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个
自变量 拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以 选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的
毫无疑问， 多元线性回归方程应该为
—/?
上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样 本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：
代表随机误差， 其中随机误差分为： 可解释的误差 和 不可解释的误差, 随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）
“选择变量（E）"框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选， 可以将那个自变量，移入“选择变量框”内， 有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列 表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：
数学建模——线性回归分析实用教案
数学建模——线性回归分析实用教案一、教学内容本节课选自《数学建模与数学实验》教材第十章“回归分析”中的第一节“线性回归分析”。
具体内容包括线性回归模型的建立、参数估计、模型的检验及运用，重点探讨变量间线性关系的量化表达和预测分析。
二、教学目标1. 理解线性回归模型的基本概念，掌握线性回归方程的建立和求解方法。
2. 学会运用最小二乘法进行线性回归参数的估计，并能解释其实际意义。
3. 能够对线性回归模型进行显著性检验，评估模型的可靠性。
三、教学难点与重点难点：线性回归方程的求解方法，最小二乘法的原理及运用，模型的显著性检验。
重点：线性回归模型的建立，参数估计，模型的运用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，投影仪，黑板。
2. 学具：计算器，教材，《数学建模与数学实验》。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）展示一组数据，如某商品的需求量与价格之间的关系，引导学生思考如何量化这种关系。
2. 理论讲解（15分钟）介绍线性回归模型的基本概念，引导学生了解线性关系的量化表达。
讲解线性回归方程的建立，参数估计方法，强调最小二乘法的作用。
3. 例题讲解（15分钟）选取一个实际例子，演示如何建立线性回归模型，求解参数，并进行模型检验。
4. 随堂练习（10分钟）学生分组讨论，根据给出的数据，建立线性回归模型，求解参数，进行模型检验。
六、板书设计1. 黑板左侧：线性回归模型的基本概念，参数估计方法。
2. 黑板右侧：例题解答过程，模型检验步骤。
七、作业设计1. 作业题目：给出一组数据，要求学生建立线性回归模型，求解参数，进行模型检验。
讨论线性回归分析在实际问题中的应用。
2. 答案：线性回归模型参数的求解过程及结果。
模型检验的统计量及结论。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握线性回归分析的基本方法，但部分学生对最小二乘法的理解仍需加强。
2. 拓展延伸：探讨非线性回归模型的建立和应用。
引导学生了解其他数学建模方法，如时间序列分析、主成分分析等。
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什么是回归分析
回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
回归分析之一多元线性回归模型案例解析
多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为：
毫无疑问，多元线性回归方程应该为：
上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：
那么，多元线性回归方程矩阵形式为：
其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）
1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。
2：无偏性假设，即指：期望值为0
3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等
4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为
例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。
通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。
数据如下图所示：（数据可以先用excel建立再通过spss打开）
点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：
将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入）
如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于，当概率值大于等于时将会被剔除）
“选择变量(E)" 框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选，可以将那个自变量，移入“选择变量框”内，有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：
点击“统计量”弹出如下所示的框，如下所示：
在“回归系数”下面勾选“估计，在右侧勾选”模型拟合度“ 和”共线性诊断“ 两个选项，再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3”，（设定异常值的依据，只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值）点击继续。
提示：
共线性检验，如果有两个或两个以上的自变量之间存在线性相关关系，就会产生多重共线性现象。
这时候，用最小二乘法估计的模型参数就会不稳定，回归系数的估计值很容易引起误导或者导致错误的结论。
所以，需要勾选“共线性诊断”来做判断
通过容许度可以计算共线性的存在与否容许度TOL=1-RI平方或方差膨胀因子（VIF): VIF=1/1-RI平方，其中RI平方是用其他自变量预测第I个变量的复相关系数，显然，VIF为TOL的倒数，TOL的值越小，VIF的值越大，自变量XI与其他自变量之间存在共线性的可能性越大。
提供三种处理方法：
1：从有共线性问题的变量里删除不重要的变量
2：增加样本量或重新抽取样本。
3：采用其他方法拟合模型，如领回归法，逐步回归法，主成分分析法。
再点击“绘制”选项，如下所示：
上图中：
DEPENDENT( 因变量）ZPRED(标准化预测值）ZRESID(标准化残差）DRESID(剔除残差）ADJPRED(修正后预测值）SRSID(学生化残差）SDRESID(学生化剔除残差）
一般我们大部分以“自变量”作为X 轴，用“残差”作为Y轴，但是，也不要忽略特殊情况，这里我们以“ZPRED（标准化预测值）作为"x" 轴，分别用“SDRESID（血生化剔除残差）”和“ZRESID(标准化残差）作为Y轴，分别作为两组绘图变量。
再点击”保存“按钮，进入如下界面：
如上图所示：勾选“距离”下面的“cook距离”选项（cook 距离，主要是指：把一个个案从计算回归系数的样本中剔除时所引起的残差大小，cook距离越大，表明该个案对回归系数的影响也越大）
在“预测区间”勾选“均值”和“单值” 点击“继续”按钮，再点击“确定按钮，得到如下所示的分析结果：(此分析结果，采用的是“逐步法”得到的结果）。