人教版高中数学必修一函数知识点精简版
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人教版高中数学必修一函数知识点精简版
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
函数常考知
识点汇总
函数的概念
1、函数的概念
设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A .
【定义域补充】 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是 (1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法
(1)定义域一致;(2)表达式相同 (两点必须同时具备)
注意:两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。
4、函数图象知识 (Ⅰ)对称变换 ①将y= f(x)在x 轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如:书上P21例5
②y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y 轴对称。如1x
x
x
y a y a
a -⎛⎫=== ⎪⎝⎭
与 ③y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x 轴对称。如1log log log a a a
y x y x x ==-=与
6、函数的解析式 A 、如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;
B 、已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;
C 、若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)
函数单调性与最大(小)值
1、函数的单调性定义
设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1 【注意】(1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; (2)必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1 3、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法①任取x 1,x 2∈D ,且x 1 ④定号(即判断差f(x 1)-f(x 2)的正负); ⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:同增异减 4、判断函数的单调性常用的结论 ⑤函数()f x 、()g x 都是增(减)函数,则()()f x g x +仍是增(减)函数; ⑥若()0,()0f x g x >>且()f x 与()g x 都是增(减)函数,则()()f x g x 也是增(减)函数; 若()0,()0f x g x <<且()f x 与()g x 都是增(减)函数,则()()f x g x 也是减(增)函数; 5、函数的最大(小)值定义 (ⅰ)一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x ∈I ,都有f(x)≤M ; (2)存在x 0∈I ,使得f(x 0) = M 那么,称M 是函数y=f(x)的最大值. 6、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 ○ 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a ,b]上单调递增,在区间[b ,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b); 函数的奇偶性 1、偶函数定义 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 【注意】 ②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 ③由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是 即定义域关于原点对称. 3、有奇偶性的函数图象特征 :偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.且f(0)=0 (在原点处有意义时) 4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 :①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定f(-x)与f(x)的关系; ③作出结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;同理则是奇函数. 5、函数奇偶性的性质 ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数是怎样的? ⑥复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. 第二章 基本初等函数 指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 1、根式的概念: 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0 =0. 【注意】 (1)n a = (2)当 n a = ,当 n 是偶数时, ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨ -<⎩ 2、分数指数幂 (1 )正数的正分数指数幂的意义,规定: 0,,,1)m n a a m n N n *=>∈>且 (2)正数的正分数指数幂的意义:_ 1 (0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3、实数指数幂的运算性质 (1)(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ (2)()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ (3)(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 2 对数与对数运算 1、对数的概念一般地,如果x a N = ,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作:log a x N = ( a —底数 N —真数) 【注意】 (1)注意底数的限制,a>0且a ≠1;(2)真数N>0; 2、两个重要对数(1)常用对数:以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ; (2)自然对数:以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为.e ≈ 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =⇔= (1)负数和零没有对数 (2)log a a=1, log a 1=0,特别地,lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 (3)对数恒等式:log N a a N = 4、如果a > 0,a ? 1,M > 0,N > 0 有 【有时可逆向运用公式】 (1)log M N log log a a a M N •=+() (2)N M N M a a a log log log -=