2-2静电场的基本方程
电动力学的第一章总结
第一章 电磁现象的普遍规律本章重点：从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场能量，能流并讨论电磁能量的传输。
§1. 电荷和静电场一、 库仑定律和电场强度1. 库仑定律一个静止点电荷Q 对另一静止点电荷Q '的作用力为:34rrQ Q F o πε'=⑴ 静电学的基本实验定律 （2）两种物理解释超距作用： 一个点电荷不需中间媒介直接施力与另一点电荷。
场传递： 相互作用通过场来传递。
对静电情况两者等价。
2. 点电荷电场强度每一电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自己周围空间激发电场。
它的基本性质是：电荷对处在其中的其它电荷具有作用力。
对库仑定律重新解释:描述一个静止点电荷激发的电场对其他任何电荷的电场力。
描述电场的函数——电场强度定义：试探点电荷F ，则30()4F Q rE x Q rπε==' 它与试探点电荷无关，给定Q ，它仅是空间点函数，因而是一个矢量场——静电场。
3．场的叠加原理（实验定律）n 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：3110()4nni ii i i i Q r E x E r πε====∑∑。
4．电荷密度分布体密度： ()0limV Q dQx V dVρ∆→∆'==''∆ 面密度： ()0lim S Q dQx S dS σ∆→∆'==''∆ 线密度 ： ()0lim l Q dQx l dl λ∆→∆'==''∆ ()dQ x dV ρ''=()()(),,VSLQ x dV Q x dS Q x dl ρσλ''''''===⎰⎰⎰5．连续分布电荷激发的电场强度()30()4Vx r E x dV r ρπε''=⎰或()30()4S x r E x dS rσπε''=⎰ 或 ()30()4L x rE x dl r λπε''=⎰ 对于场中的一个点电荷，受力F Q E '=仍然成立。
第02章 静电场分析(图片版)
则认为，在该处有一点电荷。 当带电体的尺寸<< 研究点到带电体的距离时，则可认 为带电体是一电量为q的点电荷。
第二节 库仑定律与电场强度
• 库仑定律
由实验得到的库仑定律是静电 场理论的基础，它给出了源点对 场点电荷的作用力。
q ' q (r r ) F (r ) 4 0 r r 3
第三节 真空中静电场的基本规律
• • • • • 静电场的基本方程 电位 真空 介质 无限空间 有限空间 能量
描述静电场的变量
(r ) 电荷密度——源变量 E (r ) 电场强度——场变量 D(r ) 电位移——场变量
(C / m 2 )
产生原因：电介质内 束缚电荷在外电场力 作用下发生位移，由 麦克斯韦通过实验证 实
E
l
束缚电荷
无极分子
q
点偶极子
电偶极矩 p ql
• 电介质的极化强度
p P = lim V 0 V
C/m
2
• 例：一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是 P0 ez ，求极 化电荷分布
• 电介质中的基本方程（高斯定理、介电常数） 真空中：
E =0
• 介电常数
实验证明：P e 0 E
由于E在顶面底面均无分量，即对两个面的通量 为零由高斯定理得： q 2 rhE er , 其中q h h
1
arLeabharlann bl b 又U E dr ln a 2 a 2U 即：l = 则E =er
b
ln b / a
U , D= E， 即可求得We r ln(b / a)
若闭合曲面内有多个点电荷，则
• 例题：真空中，假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为 0 的电荷，试求任意点的电场强度。
真空中静电场的基本方程
V=4r3/3 dv=4r2dr
r0
r 0
r2
r4 a2
4
r 2 dr
4r0
r3 3
r5
5a2
D内
r0
r 3
r3 5a2
r=a时 (连续)
D内
D外
2 15
r0a
解法二： 微分形式解 • Dvr r r 球坐标
∵对称性,D外仅有er 分量：
evr ev 0 evr ev 0
在球外 r r 0
1 r2 r
r 2 D外
0
D外
C2 r2
当 r ∞ 时可看成点电荷：
D外
1
4
q r2
1
4
8
15
r
0
a
3
1 r2
C2
2 15
r0a3
D外
2 15
r0
a3 r2
球内(r≤a):
1
r2
r
r 2D内
r0
1
r2 a2
r 2D内
2r 0
r0 1
r2 a2
r
2dr
q
4e 0 R
c
点
1
4e
0
1
rd c
R
sds c
4e
0
1
4e0
s l
R
rl dl
R
c
体 面 线
式子中： R r r为场与源的距离
电位——电场的表示式对比
f 1 rd c 3.7
4e 0 R
Er
1
4e
0
r r
1 R
d
2.6
可见f 的计算式简便得多 标量积分，
静电场的基本特性
静电场的基本特性一、静电场的定义与基本概念1.静电场：由静止电荷产生的电场，称为静电场。
2.电场：电场是一种特殊形态的物质，存在于电荷周围。
3.电场强度：描述电场强度的物理量，单位为牛顿/库仑（N/C）。
4.电势：描述电场势能状态的物理量，单位为伏特（V）。
5.电势差：两点间电势的差值，单位为伏特（V）。
二、静电场的基本性质1.库仑定律：静电场中，两个静止点电荷之间的作用力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
2.电场线的特点：电场线从正电荷出发，终止于负电荷；电场线不相交；电场线的疏密表示电场强度的大小。
3.电势的分布：电势在空间中的分布反映了电场势能的状态；电势随着距离的增加而减小。
4.电场强度与电势的关系：电场强度的方向是电势降低最快的方向。
三、静电场的基本方程1.高斯定律：描述静电场中电荷与电场之间的关系，指出通过任何闭合曲面的电通量与该闭合曲面所包围的净电荷量成正比。
2.电场强度与电势的关系：E = -dV/dr，其中E为电场强度，V为电势，dr为距离变化量。
四、静电场中的常见问题1.静电力的计算：利用库仑定律计算两个点电荷之间的作用力。
2.电场强度的计算：利用高斯定律计算闭合曲面内的电场强度。
3.电势的计算：利用电场强度与电势的关系计算电势。
4.电势差与电场强度的关系：ΔV = E·Δl，其中ΔV为电势差，E为电场强度，Δl为路径长度。
五、静电场的实际应用1.静电除尘：利用静电场将带电粒子吸附在带电板上，实现除尘。
2.静电喷涂：利用静电场将涂料粒子带电，使其在喷涂过程中均匀分布，提高喷涂效果。
3.静电复印：利用静电场将墨粉吸附在鼓上，实现复印。
六、注意事项1.静电场是一种客观存在的物质，存在于电荷周围。
2.掌握静电场的基本概念、性质和方程，能够解决实际问题。
3.注意静电场与电流场的区别，理解它们在现实生活中的应用。
习题及方法：1.习题：两个点电荷分别为+5μC和-3μC，它们之间的距离为10cm，求它们之间的库仑力。
2.2-2.3 电位及其方程
(r ) aU / r
思考并验证：Q‐表面电荷密度 电位‐表面电荷密度
Dn n
电磁场与电磁波
24
A
E
B A
B
(1E ) dl
B点到A点,电位差＝电场力对单位电荷做的功 只与起点和终点位置有关，与路径无关! 类似物体下落！
电磁场与电磁波
3
4. 电位的参考点——测量的参考点！
B A
A
B
E dl
B
B
参考点
E dl
电磁场与电磁波
E ar Er ?
z
回忆：讲电场强度时所举的例2……
利用：E‐Gauss’s Law
0 V
1 E dS
S
0 V
dV
z
Q
0
球外(r>a)： 1 dV ? Q
2 E dS E (4 r )
r r
场点
y
电磁场与电磁波
6
例2. 书P27 例题2.5
半径为a的带电圆盘, 求中心垂直轴线上的场强.
分析：
① 有没有对称性？
——有!
z
② 能否使用E‐Gauss？
工程电磁场复习题
一填空题1.麦克斯韦方程组的微分形式是：、、和。
2.静电场的基本方程为：、 .3.恒定电场的基本方程为：、。
4.恒定磁场的基本方程为：、。
5.理想导体（媒质2)与空气(媒质1）分界面上，电磁场边界条件为: 、、和。
6.线性且各向同性媒质的本构关系方程是：、、 .7.电流连续性方程的微分形式为: .8.引入电位函数是根据静电场的特性。
9.引入矢量磁位是根据磁场的特性。
10.在两种不同电介质的分界面上，用电位函数表示的边界条件为：、。
11.电场强度的单位是，电位移的单位是；磁感应强度的单位是，磁场强度的单位是。
12.静场问题中,与的微分关系为: ，与的积分关系为： .13.在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量成比,与观察点到电荷所在点的距离平方成比.14.XOY平面是两种电介质的分界面,分界面上方电位移矢量为 C/m2，相对介电常数为2，分界面下方相对介电常数为5,则分界面下方z方向电场强度为__________，分界面下方z方向的电位移矢量为_______________。
15.静电场中电场强度，则电位沿的方向导数为_______________，点A（1，2，3）和B（2，2,3）之间的电位差__________________。
16.两个电容器和各充以电荷和,且两电容器电压不相等,移去电源后将两电容器并联，总的电容器储存能量为，并联前后能量是否变化 .17.一无限长矩形接地导体槽，在导体槽中心位置有一电位为U的无限长圆柱导体，如图所示。
由于对称性,矩形槽与圆柱导体所围区域内电场分布的计算可归结为图中边界、、、和所围区域内的电场计算。
则在边界_____________上满足第一类边界条件,在边界_____________上满足第二类边界条件。
18.导体球壳内半径为a，外半径为b，球壳外距球心d处有一点电荷q，若导体球壳接地，则球壳内表面的感应电荷总量为____________，球壳外表面的感应电荷总量为____________。
静电场约束方程
静电场约束方程1. 引言静电场是指电荷分布保持不变或者变化缓慢的情况下，产生的电场。
在物理学中，研究静电场的性质和行为是非常重要的。
为了描述和分析静电场，我们需要使用一些数学工具和方程来描述和计算。
本文将介绍静电场约束方程，即通过这些方程可以求解静电场的分布情况。
我们将从基本概念开始讨论，并逐步深入到具体的约束方程。
2. 静电场基本概念在理解静电场约束方程之前，我们首先需要了解一些基本概念。
2.1 电荷在静电学中，最基本的概念就是电荷。
电荷可以是正的或者负的，并且具有相互作用力。
同样符号的电荷会相互排斥，而不同符号的电荷会相互吸引。
2.2 电场在存在一个或多个电荷时，周围会存在一个由这些电荷产生的力场，称为电场。
它可以用来描述在某一点上单位正电荷所受到的力。
2.3 静电场当电荷分布保持不变或者变化缓慢时，产生的电场称为静电场。
在静电场中，电荷之间的作用力可以通过一个方程来描述，即库仑定律。
3. 库仑定律库仑定律是描述点电荷之间作用力的基本方程。
它可以用来计算两个点电荷之间的力大小和方向。
库仑定律可以表示为：F=k⋅q1⋅q2r2其中，F表示两个点电荷之间的力大小，k是库仑常数，q1和q2分别表示两个点电荷的大小，r表示两个点电荷之间的距离。
4. 静电场约束方程静电场约束方程是指一组方程，通过这些方程可以求解静电场分布情况。
根据库仑定律和高斯定理，我们可以得到几个重要的约束方程。
4.1 高斯定理高斯定理是描述通过一个闭合曲面（也称为高斯面）的总通量与该曲面内部所包围的总电荷量之间关系的定理。
它可以表示为：∮E⃗S ⋅dA=Q内ε0其中，∮S 表示对曲面S进行的闭合曲线积分，E⃗表示电场强度矢量，dA表示曲面元素的面积矢量，Q内表示被曲面S包围的总电荷量，ε0是真空介电常数。
高斯定理可以用来计算某一点上的电场强度。
通过选择适当的高斯面和计算总通量，我们可以得到关于静电场约束方程的信息。
4.2 泊松方程泊松方程是描述电荷分布情况下静电场约束方程之一。
电磁场10_静电学2_泊松方程和边界条件
ˆ s
1 2
E2
ˆ n
1
2
E1
S 0
tˆ
Research Institute of Antennas & RF Techniques
10.5 介质分界面上电位边界条件
利用电位与电场的关系 E ，可得
South China University of Technology
ˆ S ( D1 D2 ) n
h 0
Research Institute of Antennas & RF Techniques
同时
Q
South China University of Technology
V
dv hS s S
h 0
ˆ 是由介质2指向介质1。 注意: n
0 x 2 U 0 0 d ˆx E a 2 0 d d 6 0
Research Institute of Antennas & RF Techniques
10.2 静电场的边界条件
已经得到静电场和电位满足的方程
South China University of Technology
解：根据题意，有泊松方程 0 x 2 0 xd 0d 且满足
0, x 0 U 0 , x d
因为 分布仅为x的函数，故 ( x)
Research Institute of Antennas & RF Techniques
故
1
2
介质交界面 金属边界
Research Institute of Antennas & RF Techniques
第2章--电磁场基本方程---2
l
a 2
2 a
故 E ˆ U
ln
b a
同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处:
EM
U a ln
b a
c) EM最大值发生于
dEM da
U (a ln
b a
)2
(ln
b a
1)
0
得
ln b 1
b e
a
a
故
a b 1.8 0.662cm
e 2.718
15
电磁场
第二章 电磁场基本方程
例 3 设有二块无限大带电平行平面, 面上分别带有均匀 电荷, 上极板电荷密度是-ρs(C/m2), 下极板为+ρs(C/m2), 两 极板间距离为d(m), 如图3 - 3所示。试求平行板内、外各 点的电场强度。
解: 由高斯定理的微分形式 E ， 得电荷密度为 0
0 E
用球坐标中的散度公式
A
1 r2
(r 2 Ar ) r
1
r sin
(sin A )
1
r sin
A
可得
0
(r>a)
o E0
15 2a3
(a2
r2)
(r<a)
21
电磁场
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .4 比奥-萨伐定律, 磁通密度
H dl I
l －－－－安培环路定律
物理意义: 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所
包围的电流I。
I: 传导电流的代数和。
可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。
因为S面是任意取的, 所以
( H ) ds J ds
s
S
H J 32
大学物理静电学总结
大学物理静电学总结静电学是物理学中的一个重要分支，主要研究静止电荷之间的相互作用和电荷分布规律。
在大学物理课程中，静电学通常是一个重要的章节，涵盖了基本概念、定理、公式和应用。
本文将简要总结大学物理静电学的主要内容。
一、基本概念1、电荷：电荷是物质的基本属性，可以分为正电荷和负电荷。
电荷的量称为电荷量，用符号Q表示，单位为库仑（C）。
2、电场：电场是电荷周围存在的一种特殊物质，它可以对放入其中的电荷施加作用力。
电场强度E是描述电场性质的一个物理量，单位为牛/库仑（N/C）。
3、电势：电势是描述电场中某一点电场强度大小的物理量，用符号V表示，单位为伏特（V）。
4、电容：电容是描述电容器储存电荷能力的物理量，用符号C表示，单位为法拉（F）。
5、静电荷分布：静电荷分布是指电荷在空间中的分布情况，可以用电荷密度、电荷线密度和电荷面密度来描述。
二、基本定理和公式1、高斯定理：高斯定理表明，穿过一个封闭曲面的电场强度通量等于该曲面内电荷量的代数和除以真空介电常数。
2、静电场基本方程：静电场基本方程表明，电势V和电场强度E之间存在关系▽·E=ρ/ε0和▽×E=0，其中ρ表示电荷密度，ε0表示真空介电常数。
3、静电场中的能量：静电场中的能量可以用电势能EP和电场能量WE来表示。
其中，电势能EP=QV，电场能量WE=1/2ε0E²。
4、电容器的充电和放电：电容器的充电过程是指将电荷加到电容器两极板上，放电过程是指将电荷从电容器两极板上移走。
充电和放电过程中，电流I与电压U之间存在关系I=dQ/dt=U/R和U=dQ/dt=I×R，其中R表示电阻。
5、静电感应：当一个导体置于电场中时，由于静电感应，导体内部会产生相反的电荷分布，使得导体表面出现电荷。
静电感应的原理可以用安培环路定律和法拉第电磁感应定律来解释。
6、静电屏蔽：静电屏蔽是指将一个导体置于电场中时，由于静电感应，导体表面会产生相反的电荷分布，使得外部电场对导体内部的影响减弱。