新北师大九年级数学上册期中考试题
北师大版九年级上册数学期中考试试题及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（）A．3(x+1)2=-2(x+1)B．2x2-3x=2(x-1)2C．ax2+bx+c=0D．94+x-2=02．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断3．用配方法解方程y2-94y-1=0，正确的是（）A．（y-94）2=134，y=94B．（y-32）2=134，y=32C．（y-32）2=134，y=32D．（y-98）2=14564，y=984．如图，下列条件能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A．①③B．②③C．③④D．①5．下列命题中错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．矩形的对角线相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形6．根据下列表格的对应值：x… 6.17 6.18 6.19 6.20…ax2＋bx＋c…－0.02－0.010.010.04…判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的取值范围是（）A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.207．若关于x的方程x2﹣x+a=0有实根，则a的值可以是（）A．2B．1C．0.5D．0.258．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，已知ΔABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．10B．15C．20D．309．如图，矩形纸片ABCD，长AD＝9m，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长为（）A．7cm B．6cm C．5.5cm D．5cm10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF 沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N，有下列四个结论：①DF=CF；DEF，其中，将正确结论的序号全部选②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△对的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题11．一个口袋中有3个红球、7个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是_______．12．某种水果的原价为15元/箱，经过连续两次增长后的售价为30元/箱．设平均每次增长的百分率为x ，根据题意列方程是________．13．若关于x 的一元二次方程x 2-mx-n=0有一个根是2，则2m+n=_______．14．已知方程（x-3）（x+m ）=0与方程x 2-2x-3=0的解完全相同，则m=______．15．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程()()240x x --=的一个根，则这个三角形的周长是__________．16．如图，在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则可列方程为____．17．如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是___．18．M 为矩形ABCD 中AD 的中点，P 为BC 上一点，PE ⊥MC ，PF ⊥MB ，当AB 、BC 满足_________时，四边形PEMF 为矩形．三、解答题19．解方程：(用适当的方法解方程)（1）解方程：x 2﹣6x+2=0．（2）（2x+5）-3x （2x+5）=020．列方程解应用题某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果衬衫每降价5元，商场平均每天就可多售出10件．（1）如果衬衫每降价4元，则商场平均每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天要想盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？21．已知关于x的一元二次方程3x2+ax-2=0．（1）若该方程的一个根为-2，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．22．如图，在正方形ABCD中，E为CD上点，F为BC延长线上一点，CE=CF，（1）猜想线段BE与DF的关系，并证明你的结论．（2）连接EF，若∠BED=120°，求∠EFD的度数．23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）24．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，AC＝FD，∠CEF＝90°.(1)求证：△ABF≌△DEC；(2)求证：四边形BCEF是矩形.25．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．26．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面积．参考答案1．A【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，据此将选项中的方程化成一般形式后，再判断即可．【详解】解：∵方程()()23121x x +=-+化简后得：23850x x ++=，∴是一元二次方程；方程()222321x x x -=-化简后得：20x -=，∴是一元一次方程；∵方程20ax bx c ++=中，当0a =时，∴是一元一次方程；∵方程9420x +-=化简后得：104x +=，∴是一元一次方程；综上所述，只有A 选项是一元二次方程；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，熟悉相关定义，将方程化成一般式，是解题的关键．2．B【解析】【分析】把a=1，b=-2，c=1代入△=b 2-4ac ，然后计算△，最后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：∵a=1，b=-2，c=1，∴△=b 2-4ac=（-2）2-4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．D【解析】【分析】方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解．【详解】解：y 2-94y-1=0，方程移项得：y 2-94y=1，配方得：y 2-94y+8164=1+8164，即（y-98）2=14564，则y-98=±8∴y=98±8，故选：D ．【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．A【解析】【分析】根据菱形的判定定理以及所给条件证明平行四边形ABCD 是菱形，菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．【详解】解：①▱ABCD 中，AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故①正确；②▱ABCD 中，∠BAD ＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故②错误；③▱ABCD 中，AB ＝BC ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故③正确；④▱ABCD 中，AC ＝BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故④错误．故正确的为①③故选：A ．【点睛】此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．5．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定逐个判断即可求解．【详解】解：平行四边形的对边相等，故A 正确；对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形，故B 错误；矩形的对角线相等，故C 正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故D 正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定，熟练掌握各知识点是解题的关键．6．C【解析】【分析】根据在6.18和6.19之间有一个值能使ax 2+bx+c 的值为0，于是可判断方程ax 2+bx+c=0一个解x 的范围．【详解】解：由2y ax bx c =++，得 6.17x >时y 随x 的增大而增大，得 6.18x =时，0.01y =-，6.19x =时，0.01y =，∴20ax bx c ++=的一个解x 的取值范围是6.18 6.19x <<，故选：C ．【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．7．D【解析】【详解】∵关于x 的方程式x 2﹣x+a=0有实根，∴△=（﹣1）2﹣4a≥0，解得a≤0.25．故选D ．8．C【解析】【分析】依题意，依据菱形对角线的性质可得，菱形ABCD 中，AC 平分角120BAD ∠=︒，然后可知ABC ∆为等边三角形，可得5AB =，即可求解；【详解】解：由题知，在菱形ABCD 中，AB BC CD AD ===，AC 为菱形的对角线，依据菱形对角线的性质可得，AC 平分角BAD ∠，∴60BAC ∠=︒；又AB BC CD AD ===，∴ABC ∆为等边三角形，又因为ABC ∆的周长为15；∴5AB BC AC ===；∴菱形ABCD 的周长为：20；故选：C【点睛】本题主要考查菱形的基本性质，属于基础性应用，关键在结合三角形的性质进行实际计算；9．D【解析】【分析】由矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理得出方程，解方程即可.【详解】由折叠的性质得：BE＝DE，设DE长为xcm，则AE＝(9﹣x)cm，BE＝xcm，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，根据勾股定理得：AE2+AB2＝BE2，即(9﹣x)2+32＝x2，解得：x＝5，即DE长为5cm，故选：D.【点睛】此题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理；熟练掌握矩形和翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解题的关键．10．B【解析】【分析】根据矩形与折叠性质得出DF=MF，根据角平分线性质得出CF=MF，可判断①，利用等角余角性质得出∠BFM=∠BFC，再证∠BFE=∠BFN即可判断②，证明△DEF≌△CNF可判断③，推出BM=3EM即可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，DF=MF．∵BF平分∠EBC，∴CF=MF．∴DF=CF．故①正确，符合题意．∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC．∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN．∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN．故②正确，符合题意．∵在△DEF和△CNF中，易由ASA得△DEF≌△CNF，∴EF=FN．∴BE=BN．但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形．故③错误，不符合题意．∵∠BEM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM．∴BM=3EM．∴S△BE F=3S△EMF=3S△DEF．故④正确，符合题意．综上所述，正确的结论是①②④．故选B．【点睛】本题考查矩形性质，角平分线性质，线段中点，折叠性质，三角形全等判定与性质，掌握矩形性质，角平分线性质，线段中点，折叠性质，三角形全等判定与性质是解题关键．11．7 10【解析】【分析】由一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵一个口袋中有3个红球，7个白球，这些球除色外都相同，∴从口袋中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是：77 3710=+，故答案为：710．【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．()215130x +=【解析】【分析】设平均每次涨价的百分率为x ，利用经过两次涨价后的价格=原价(1⨯+涨价的百分率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，据此求解即可．【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x ，依题意得：()215130x +=．故答案为：()215130x +=．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．4【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义把2x =代入20x mx n --=得到420m n --=得24m n +=，然后利用整体代入的方法进行计算．【详解】把2x =代入方程20x mx n --=得：420m n --=，即24m n +=，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．14．1【解析】【分析】利用因式分解法把方程x2-2x-3=0变形，根据解完全相同可求m值．【详解】解：把方程x2-2x-3=0左边因式分解得，（x-3）（x+1）=0，∵方程（x-3）（x+m）=0与方程x2-2x-3=0的解完全相同，∴m=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．15．13【解析】【分析】解方程（x-4）（x-2）=0，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，然后计算三角形的周长．【详解】解：（x-4）（x-2）=0，x-4=0或x-2=0，所以x1=4，x2=2，因为2+3＜6，所以x=2舍去，所以三角形第三边的长为4，所以三角形的周长=3+6+4=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法．先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．16．(80+2x)(50+2x)=5400【解析】【分析】整个挂图的面积=挂图的长×挂图的宽=（原矩形风景画的长+2x）×（原矩形风景画的宽+2x），列出方程即可．【详解】解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x，∴可列方程为(80+2x)(50+2x)=5400．故答案为：(80+2x)(50+2x)=5400．【点睛】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，用x的代数式表示挂图的长和宽是解题的关键．17．2【解析】【分析】连接AE，由折叠的性质可得AF=AB=AD，BG=GF，易证Rt△ADE≌Rt△AFE，得到DE=EF，设DE=x，在Rt△CEG中利用勾股定理建立方程求解．【详解】如图所示，连接AE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=6，∠B=∠C=∠D=90°∵G为BC的中点∴BG=GC=3由折叠的性质可得AF=AB=6，BG=GF=3，在Rt△ADE和Rt△AFE中，∵AE=AE，AF=AD=6∴Rt △ADE ≌Rt △AFE （HL ）∴DE=EF设DE=EF=x ，则EC=6-x在Rt △CEG 中，GC 2+EC 2=GE 2，即()()222363x x +-=+解得2x =故答案为：2．【点睛】本题考查正方形中的折叠问题，利用正方形的性质证明DE=EF ，然后利用勾股定理建立方程是解题的关键．18．12AB BC =##2BC AB=【解析】【详解】∵在矩形ABCD 中，M 为AD 边的中点，AB=12BC ，∴AB=DC=AM=MD ，∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠MCD=45°，∴∠BMC=90°，又∵PE ⊥MC ，PF ⊥MB ，∴∠PFM=∠PEM=90°，∴四边形PEMF 是矩形．故答案为：AB=12BC ．19．（1）x1，x 2（2）x 1=-52，x 2=13．【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：（1）x 2﹣6x+2=0，移项得：x 2-6x=-2，配方得：x 2-6x+9=-2+9，即（x-3）2=7，开方得：，∴原方程的解是：x 1，x 2；（2）（2x+5）-3x （2x+5）=0，∴（2x+5）（1-3x ）=0，∴2x+5=0或1-3x =0，∴x 1=-52，x 2=13．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（1）1008元；（2）20元【解析】【分析】（1）根据题意可得，降价4元，每天就可多售出的件数是：41085⨯=(件)，再利用衬衣平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售这种衬衣利润，直接求解即可；（2）设每件衬衫应降价x 元，则每天就可多售出的件数是2x ，利用衬衣平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程，然后解答即可．【详解】解：（1）根据题意可得，降价4元，每天就可多售出的件数是：41085⨯=(件)，则，商场平均每天可盈利：()()2084041008+⨯-=(元)；（2）设每件衬衫应降价x 元，则每天就可多售出的件数是2x ，依题意得()()202401200x x +-=，解得120x =，210x =，因为尽快减少库存，所以取120x =答：若商场每件衬衫降价4元，商场每天可盈利1008元，每件衫应降价20元，商场平均每天要想盈利1200元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，能根据平均每天售出的件数⨯每件盈利=每天销售的利润计算，是解题关键．21．（1）a=5，x=13；（2）见解析【解析】【分析】（1）解：设方程的另一根为t ，利用根与系数的关系得到-2+t=3a -，-2t=23-，然后通过解方程组可得到a 和t 的值；（2）先计算判别式的值得到Δ=a 2-4×3×(-2)=a 2+24，然后利用非负数的性质得到Δ＞0，则根据判别式的意义可判断不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【详解】（1）解：设方程的另一根为t ，根据题意得-2+t=3a -，-2t=23-所以解得t=13，所以a=5；（2）证明：Δ=a 2-4×3×(-2)=a 2+24∴Δ＞0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a-，x 1x 2=c a．也考查了根的判别式．22．（1）BE=DF ，BE ⊥DF ，证明见解析；（2）∠EFD 的度数是15°．【解析】【分析】（1）可利用边角边证明BE、DF所在的两个直角三角形全等，进而证明这两条线段相等且垂直；（2）由（1）中的全等可得∠DFC=∠BEC=60°，易得∠CFE=45°，相减即可得到所求角的度数．【详解】解：（1）BE=DF．BE⊥DF，理由如下：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°，又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF，∴BE=DF，∠EBC=∠FDC，延长BE交DF于点G，∵∠BEC=∠DEG，∴∠DGE=∠BCE=90°，∴BE=DF．BE⊥DF；（2）∵△BCE≌△DCF，∠BED=120°，∴∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°，∵∠DCF=90°，CE=CF，∴∠CFE=45°，∴∠EFD=∠DFC-∠CFE=15°．【点睛】本题综合考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质．用到的知识点为：考查两条线段的大小关系，一般考虑相等，证明这两条线段所在的三角形的全等是常用的方法．23．（1）见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）∠A＝45°．【解析】【分析】（1）根据∠ACB=90°，DE⊥BC可得DE//AC，即可证明四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AD＝BD=CD，可得BD=CE，根据AB//MN可证明BECD是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论；（3）根据正方形的性质可得∠CBD=45°，根据∠ACB=90°可得△ABC为等腰直角三角形，可得答案．【详解】（1）∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD．（2）四边形BECD是菱形，理由如下：∵D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝BD=CD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵BD=CD，∴四边形BECD是菱形．（3）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下：由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠BDC=90°时，四边形BECD 是正方形，∴∠CBD ＝45°，∵∠ACB=90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形BECD 是正方形．24．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)首先根据AB ∥DE 得到∠A ＝∠D ，然后利用SAS 定理判定全等即可；(2)首先判定四边形BCEF 为平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形为矩形判定矩形即可.【详解】证明：(1)∵AB ∥DE ，∴∠A ＝∠D ，∵AC ＝FD ，∴AC ﹣CF ＝DF ﹣CF ，即AF ＝CD ，在△ABF 与△DEC 中，AF DC A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DEC(SAS)；(2)∵△ABF ≌△DEC ，∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA ，∴∠ECF ＝∠BFC ，∴EC ∥BF ，∴四边形BCEF 是平行四边形，∵∠CEF ＝90°，∴平行四边形BCEF 是矩形.25．（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．【解析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）108.【解析】（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF；（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；（3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解.【详解】（1）如图1，在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF，∴CE=CF；（2）如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG，∴GE=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD；（3）如图：过点C作CF⊥AD于F，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝90°，∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD，∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12，∴四边形ABCF是正方形，∴AF＝12，由（2）可得DE＝DF＋BE，∴DE＝4＋DF，在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2，∴（12−4）2＋（12−DF）2＝（4＋DF）2，∴DF＝6，∴AD＝6，∴S四边形ABCD ＝12(AD＋BC)×AB＝12×(6＋12)×12＝108．。
新北师大版九年级数学上册期中考试题
最新北师大版数学九年级上册期中考试试卷班级：姓名：一．选择题（3*10=30分）1、关于x 的方程0232x ax 是一元二次方程，则（）．A ．a ＞0B ．a ≠0C ．a ＝1D ．a ≥02．已知粉笔盒里有4支红色粉笔和n 支白色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同，现从中任取一支粉笔，取出红色粉笔的概率是52，则n 的值是（）. A ．4 B ．6 C ．8 D ．103.若关于x 的方程kx 2-6x+9=0有实数根，则k 的的取值范围是（） A ．k B ．k C ．k 且k D ．k 且k4、一元二次方程0422x x 的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根5.顺次连结等腰梯形各边中点得到的四边形是（）A 、矩形B 、菱形C 、正方形D .平行四边形6.如图，有一矩形纸片ABCD ，A B =10，A D =6，将纸片折叠，使AD 边落在A B 边上，折痕为A E ，再将△A E D 以DE 为折痕向右折叠，A E 与BC 交于点F ，则△C E F 的面积为（）。
A 、4 B 、6 C 、8 D 、107.如图，已知△ABC 和△C D E 都是等边三角形，AD 、B E 交于点F ，则∠A F B 等于（）A. 50°B.60°C.45°D.∠BCD 8.用配方法解方程x 2-4x+2=0,下列配方法正确的是（A.(x-2)2=2 B ．(x+2)2=2 C.(x-2)2= -2 D ．(x-2)2=69.2017年某市政府投资2亿元人民币建设了廉租房 2.5万平方米，预计到2019年底三年共累计投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x ，根据题意，列出方程为（）.A ．2(1+x)2=9.5 B.2(1+x)+2(1+x)2=9.5 C.2+2(1+x)+2(1+x)2=9.5 D.2.5+2.5(1+x)+2.5(1+x)2=1010.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标的背面是一张哭脸，若翻到哭脸就不得奖金，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会(翻过的牌不能再翻)。
北师大版九年级数学上册期中试卷
2024—2025学年北师大版数学九年级上册期中模拟考试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知1-是关于x 的方程240x x m +-=的一个根，则这个方程的另一个根是()A ．3-B ．−2C ．1-D ．32．方程23510x x --=的两根为1x 、2x ，下列各式正确的是（）A ．121251,33x x x x +==-B ．121251,33x x x x +=-=C ．12125,1x x x x +==-D ．121251,33x x x x +==3．袋子中有42个除颜色外完全相同的小球．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录颜色后放回，将球摇匀．重复上述过程180次后，共摸到红球30次，由此可以估计口袋中的红球个数是（）A ．6B ．7C ．8D ．94．关于x 的一元二次方程2304x x m --=有实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．13m >-B ．13m ≥-C ．13m >-且0m ≠D ．13m ≥-且0m ≠5．如图，M 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点M 作//EF AB ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，2DE =，5EM =，则阴影部分的面积是（）A ．5B ．10C ．12D ．146．如图，△ABC 中，∠C ＝900，∠CAB ＝600，AD 平分∠BAC ，点D 到AB 的距离DE ＝3cm ，则BC 等于（）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm7．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上一点，且CD DE =，连接BE ，分别交AC ，AD 于点F 、G ，连接OG ，则下列结论：①12OG AB =；②ABF ODGF S S >△四边形；③由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形；④4ACD BOG S S =△△，其中正确的结论是（）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④8．如图，在ABC V 中，AB AC =，36A ∠=︒．按照如下步骤作图：①分别以点,A B 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点,M N ；②作直线MN ，交AC 点D ；③以D 为圆心，BC 长为半径作弧，交AC 的延长线于点E ；④连接,BD BE ．下列说法错误的是()A ．AD DE =B ．12CBE A ∠=∠C ．2BC AC CD =⋅D ．35CE CD =二、填空题9．小明和小红两人分别从M ，N 两个博物馆中选择一个参观，则小明和小红选到同一博物馆的概率为．10．如图，已知等腰ABC V ，AB AC ==，4BC =，AD 为BC 边上的高，将ADC △绕点A 顺时针旋转90°得到AEF △（点D 的对应点为点E ，点C 的对应点为点F ）．连接DE ，点M 为DE 的中点，点P 为直线AD 上一动点，将FPM 沿PM 翻折，使点F 的对应点G 恰好落在直线AD 上，则DG 的长为．11．如图，连结正方形ABCD 和正三角形的顶点C 、E,则∠BCE 为12．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，点E 在AD 上，1DE =．若EC 平分BED ∠，则BC 的长为．13．如图，在正方形ABCD 中，F 为AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，且AF EC =，连接EF DE DF 、、，M 是EF 的中点，连接MC BD 、，EF 与BD 和DC 分别相交于点G 和N ，则下列四个结论：FGD BGE ①∽；②若4BF =，则22CE =；CME CDE ∠=∠③；2DG GN GE =⋅④；其中正确的是．三、解答题14．（1）解一元二次方程：x 2﹣3x ＝10（2）解方程：2x 2﹣4x ﹣1＝0（用配方法）15．如图，在平面直角坐标系中，▲ABC 的三个顶点坐标分别为()1,3A -，()2,3B --，()2,1C -．(1)画出▲ABC 关于x 轴对称的111A BC △，点1C 的坐标为；(2)以原点O 为位似中心，在x 轴上方画出▲ABC 放大2倍后的222A B C △，点2C 的坐标为．16．为响应东方市教育教学研究培训中心关于开展中考英语词汇检测的通知，某校举行“百词竞赛，备战中考”学生英语词汇比赛，每位学生听写单词100个．随机抽取了部分学生的听写结果，绘制成如图的图表．组别正确单词数x 人数A020x ≤<10B2040x ≤<15C4060x ≤<25D6080x ≤<m E 80100x ≤≤n根据以上信息完成下列问题：(1)统计表中的m =_________，n =___________；(2)扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是_________；(3)已知该校九年级共有400名学生，如果听写正确的单词个数少于40个定为不合格，请你估计该校九年级本次听写比赛不合格的学生人数有__________；(4)甲、乙两同学表现出色，被选中参加全市初中英语学习经验交流会，该活动随机将选送的同学分配到A 、B 组两个小组，则甲、乙两人恰好分在同一小组的概率是_________．17．大疆农业无人机在全球多个国家和地区获得政府政策支持和市场认可，2022年，我国S 省农业科技综合服务平台计划用47万元购买A 、B 两款大疆农业无人机共25架，服务于全省农作物洒水、施肥、喷农药等农田与果园工作．每架A 款农业无人机为2万元，每架B 款农业无人机比A 款少2000元．(1)求2022年S 省农业科技综合服务平台计划购买A 、B 两款大疆农业无人机各多少架？(2)大疆农业无人机始终保持技术的选代升级．2024年A +、B +款农业无人机以更智能、更高效、更安全的方式革新农业生产方式．对比2022年S 省计划购买的A 、B 两款农业无人机，2024年H 省购买A +款农业无人机比S 省购买A 款农业无人机的单价高12，购买数量多m 个；H 省购买B +款农业无人机比S 省购买B 款农业无人机的单价高10m 万元，购买数量少5m ．2024年H 省购买A +款、B +款农业无人机共花费55.8万元，求m 的值．18．已知，正方形ABCD 中，45,MAN MAN ∠=︒∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），求证BM DN MN+=(1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整．证明：延长MB 至点P ，使BP DN =，连接AP ，如图1(2)当MAN ∠旋转到BM DN ≠时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系，若正方形的周长为4，则CMN 的周长是：(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．19．如图1，在正方形ABCD 中，点P 为AD 延长线上一点，连接AC 、CP ，过点C 作CF ⊥CP 交于C ，交AB 于点F ，过点B 作BM ⊥CF 于点N ，交AC 于点M ．（1）若AP=78AC ，BC=4，求S △ACP ；（2）若CP ﹣BM=2FN ，求证：BC=MC ；20．小昆和小明玩摸牌游戏，游戏规则如下：有3张背面完全相同，牌面标有数字1、2、3的纸牌，将纸牌洗匀后背面朝上放在桌面上，随机抽出一张，记下牌面数字，放回后洗匀再随机抽出一张．（1）请用画树形图或列表的方法（只选其中一种），表示出两次抽出的纸牌数字可能出现的所有结果；（2）若规定：两次抽出的纸牌数字之和为奇数，则小昆获胜，两次抽出的纸牌数字之和为偶数，则小明获胜，这个游戏公平吗？为什么？答案解析：1．A【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设240x x m +-=的另一个根为1x ，根据根与系数的关系得出114x -+=-，求出1x 的值是解题的关键．【详解】解：设方程240x x m +-=的另一个根为1x ，由根与系数的关系得：114x -+=-，解得：13x =-，故选A ．2．A【分析】本题考查了一元二次方程200ax bx c a ++=≠（）的根与系数的关系：若方程的两根为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．根据根与系数的关系直接求解即可．【详解】解：∵方程23510x x --=的两根为1x 、2x ，∴1253x x +=，1213x x =-，故选：A ．3．B 【分析】根据摸球的情况可以求出摸到红球的频率为30180，而袋子中有42个小球，从而求出袋子中红球的大约数量；【详解】 摸了180次后，共摸到红球30次∴摸到红球的频率为：3011806=又 袋子中有42个小球∴口袋中的红球个数大约为：14276⨯=（个）故选：B.【点睛】本题主要考查用频率去估计概率，熟练掌握这一方法是解决本题的关键.4．B【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式与方程解的情况的关系，熟练掌握根的判别式的意义是解题的关键．根据一元二次方程有实数根，即0∆≥，得出关于m 的一元一次不等式，进行求解即可．【详解】解：∵一元二次方程2304x x m --=有实数根，∴()()23141304m m ∆=--⨯⨯-=+≥解得13m ≥-．故选：B ．5．B【分析】矩形的性质可证明S △DEM =S △BFM ，即可求解．【详解】解：作PM ⊥AB 于P ，交DC 于Q ．则有四边形DEMQ ，四边形QMFC ，四边形AEMP ，四边形MPBF 都是矩形，∴S △DEM =S △DQM ，S △QCM =S △MFC ，S △AEM =S △APM ，S △MPB =S △MFB ，S △ABC =S △ADC ，∴S △ABC -S △AMP -S △MCF =S △ADC -S △AEM -S △MQC ，∴S 四边形DEMQ =S 四边形MPBF ，∴2S △DEM =2S △MFB ∵DE =CF =2，EM =5，∴S △DEM =S △MFB =12×2×5=5，∴S 阴=5+5=10，故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S 四边形DEMQ =S 四边形MPBF ．6．C【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE ，然后根据BC=BD+CD 计算即可得解．【详解】解：∵∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠B=90°-60°=30°，∵DE ⊥AB ，∴BD=2DE=2×3=6cm ，∵AD 平分∠BAC ，∠C=90°，DE ⊥B ，∴CD=DE=3cm ，∴BC=BD+CD=6+3=9cm ．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质以及直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．7．C【分析】①由AAS 证明△ABG ≌△DEG ，得出AG =DG ，证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG =12AB ，①正确；③先证明四边形ABDE 是平行四边形，证出△ABD 、△BCD 是等边三角形，得出AB =BD =AD ，因此OD =AG ，得出四边形ABDE 是菱形，③正确；②连接FD ，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F 到△ABD 三边的距离相等，则S △BDF =S △ABF =2S △BOF =2S △DOF =S 四边形ODGF ，则S 四边形ODGF =S △ABF ，②错误；即可得出结论．④∵连接CG ，由O 、G 分别是AC ，AD 的中点，得到=AOG COG ACG DCG S S S S =△△△△，，则S △ACD ＝4S △AOG ，再由S △AOG ＝S △BOG ，得到S △ACD ＝4S △BOG ，故④正确；【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD ，∴∠BAG ＝∠EDG ，∵CD ＝DE ，∴AB ＝DE ，在△ABG 和△DEG 中，AGB DGE BAG EDG AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△DEG （AAS ），∴AG ＝DG ，∴OG 是△ABD 的中位线，∴OG ＝12AB ，故①正确；∵AB ∥CE ，AB ＝DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∵∠BCD ＝∠BAD ＝60°，∴△ABD 、△BCD 是等边三角形，∴AB ＝BD ＝AD ，∠ODC ＝60°，∴平行四边形ABDE 是菱形，故③正确；∵连接CG ，∵O 、G 分别是AC ，AD 的中点，∴=AOG COG ACG DCG S S S S =△△△△，，∴S △ACD ＝4S △AOG ，∵OG AB ∥，∴S △AOG ＝S △BOG ，∴S △ACD ＝4S △BOG ，故④正确；连接FD ，如图：∵△ABD 是等边三角形，AO 平分∠BAD ，BG 平分∠ABD ，∴F 到△ABD 三边的距离相等，∴S △BDF ＝S △ABF ＝2S △BOF ＝2S △DOF ＝S 四边形ODGF ，∴S 四边形ODGF ＝S △ABF ，故②错误；正确的是①③④，故选C ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．8．D【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得72ABC ACB ∠=∠=︒，再根据题意可得：BC DE =，MN 是A 的垂直平分线，从而可得DA DB =，进而可得36A DBA ∠=∠=︒，然后利用角的和差关系可得36DBC ∠=︒，从而利用三角形的外角性质可得72CDB ACB ∠=∠=︒，进而可得BD BC =，再根据等量代换可得BD DE =，从而可得54DBE DEB ∠=∠=︒，进而可得18CBE ∠=︒，即可判断A 、B ，然后证明BCD ACB ∽，从而利用相似三角形的性质可得BC CD AC CB =，即可判断C ，根据等腰三角形的性质相似三角形的性质，可得CD DE =D ．【详解】解：AB AC = ，36A ∠=︒，()1180722ABC ACB A ∴∠=∠=︒-∠=︒，由题意得：BC DE =，MN 是A 的垂直平分线，DA DB ∴=，36A DBA ∴∠=∠=︒，36DBC ABC DBA ∴∠=∠-∠=︒，72CDB A DBA ∴∠=∠+∠=︒，72CDB ACB ∴∠=∠=︒，BD BC ∴=，AD DB BC DE ∴===，故A 正确；BD DE = ，()1180542DBE DEB CDB ∴∠=∠=︒-∠=︒，18CBE DBE DBC ∴∠=∠-∠=︒，∴12CBE A ∠=∠，故B 正确；36CBD A ∠=∠=︒ ，DCB ACB ∠=∠，BCD ACB ∴ ∽，∴BC CD AC CB=，∴2BC AC CD =⋅，故C 正确；设1,AD CD x ==，则1AC x =+，1BC DB AD ===∴()11x x =+解得：x =负值舍去)又∵1DE BC ==∴1122CE CD -==，故D 选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰的性质，作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．9．12【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式n P m=，即可求解；会用画树状图法或列表法求概率是解题的关键．【详解】解：列表如下：小红小明M N M (),M M (),M N N (),N M (),N N 共有4种等可能结果，其中两人选到同一博物馆的有2种结果，∴两人选到同一博物馆的概率为：2142P ==；故答案：12．10．2【分析】由旋转的性质可得6AE AD ==，90AED ∠=︒，2EF BD ==，90AEF ADB ∠=∠=︒，由三角形中位线定理可得132MN AE ==，MH AE ∥，3AH DH ==，由折叠的性质可得FM MG ==【详解】解：如图，取AD 的中点H ，连接HM ，并延长HM 交直线EF 于N ，∵AB AC ==4BC =，AD BC ⊥，∴2BD CD ==，∴6AD ===，∵将ADC △绕点A 顺时针旋转90°得到AEF △，∴6AE AD ==，90EAD ∠=︒，2EF BD ==，90AEF ADB ∠=∠=︒，∴DE =45AED ∠=︒，∴45NEM ∠=︒，∵点M 为DE 的中点，点H 为直线AD 的中点，∴132MH AE ==，MH AE ∥，3AH DH ==，∴90MPA EAD ∠=∠=︒，∴四边形AHNE 是矩形，∴90N ∠=︒，∴45NEM EMN ∠=∠=︒，∴NN MN =，∵点M 为DE 的中点，6AE AD ==，90EAD ∠=︒，∴EM DM AM ===∴3EN MN ==，∴1FN =，∴FM ==，∵将FPM 沿PM 翻折，∴FM MG =∴1HG ===，当点G 在线段DH 上时，312DG =-=，当点G 在线段AH 上时，314DG =+=（不符合题意舍去），故答案为：2．【点睛】本题考查了旋转的性质，折叠的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．11．15°.【详解】试题分析：由正方形的性质可得线段相等及∠ABC 的度数，由等边三角形的性质可得线段相等及∠ABE 的度数，利用三角形内角和及等腰三角形的性质可求得答案．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=90°，∵△AEB 是对边三角形，∴BC=AB ，∠ABE=60°，∴BE=BC ，∴∠BEC=∠BCE ，又∵∠EBC=90°+60°=150°，∴∠BCE=（180°-150°）=15°.考点：1.正方形的性质；2.等边三角形的性质．12．5【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，由矩形的性质可得AD BC ∥，AD BC =，由角平分线和平行线的性质可证BE BC =，由勾股定理可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵EC 平分BED ∠，∴BEC CED ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴DEC BCE ∠=∠，∴BEC BCE ∠=∠，∴BE EC =，设BC BE x ==，则1AE x =-，在Rt ABE △中，222BE AB AE =+，∴()22231x x =+-，解得：5x =，∴5BC =，故答案为：5．13．①③④【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形的性质，三角形的中位线性质；根据SAS 证明DAF DCE ≌得到ADF CDE ∠=∠，DE DF =，再证明DEF 是等腰直角三角形，可得45DEF DFE ∠=∠=︒，由BD 是正方形的对角线可得45DBC ∠=，得45DFG EBG ∠=∠=︒，又FGD BGE ∠=∠，故可得FGD BGE ∽，故①正确；连接DM BM 、，过点M 作MH BC ⊥于点H ，证明MH 是BEF △的中位线，求出2MH =，根据直角三角形的性质得到MD MB =，根据SSS 证明DCM BCM ≌，得到1452BCM DCM BCD ∠=∠=∠=︒，得出CM =②错误；根据三角形内角和定理可得③正确；证明DGN EGD ∽可判断④正确；熟记各性质与定理并作出辅助线是解题的关键．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形中，∴AD CD =，90A ABC BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，∴90DCE A ∠=∠=︒，又∵AF CE =，∴()SAS AFD CED ≌，∴ADF CDE ∠=∠，DE DF =，∴90CDE FDC ADF FDC ADC ∠+∠=∠+∠=∠=︒，即90EDF ∠=︒，又∵DE DF =，∴45DFE DEF ∠=∠=︒，∵BD 是正方形ABCD 的对角线，∴45DBC ∠=︒，∴45DFG CBG ∠=∠=︒，∵FGD BGE ∠=∠，∴~FGD BGE ，故①正确；连接DM BM 、，过点M 作MH BC ⊥于点H，如图，∵MH BF ∥，∴EM EH MF HB=，∵M 是EF 的中点，∴EM MF =，∴1EH HB=，即EH HB =，∴H 是EB 的中点，∴MH 是BEF △的中位线，∴122MH BF ==，∵M 是EF 的中点，∴12MD EF =，12BM EF =，∴MD MB =，在DCM △与BCM 中，DM MB BC CD CM CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS DCM BCM ≌，∴1452BCM DCM BCD ∠==∠=︒，∴45HMC MCH ∠=∠=︒，∴CM ==由于无法判断CM CE =，故②说法错误；∵180MCN CNM CMN ∠+∠+∠=︒，180DEN DNE EDN ∠+∠+∠=︒，又∵45MCN DEN ∠=∠=︒，MNC DNE ∠=∠，∴CME CDE ∠=∠，故③正确；∵45GDN DEG ∠=∠=︒，DGN EGD ∠=∠，∴DGN EGD ∽，∴DG GN GE DG=，∴2·DG GN GE =，故④正确；综上，正确的是①③④，故答案为：①③④．14．（1）x 1＝5，x 2＝﹣2；（2）x 1x 2【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用配方法求解可得．【详解】（1）∵x 2﹣3x ﹣10＝0，∴（x ﹣5）（x+2）＝0，则x ﹣5＝0或x+2＝0，解得：x 1＝5，x 2＝﹣2；（2）∵2x 2﹣4x ＝1，∴x 2﹣2x ＝12，则x 2﹣2x+1＝12+1，即（x ﹣1）2＝32，∴x ﹣1＝±2，则x 1x 2【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法和配方法，解题关键在于掌握运算法则.15．(1)见解析；()2,1(2)见解析；()4,2-．【分析】（1）分别确定A ，B ，C 关于x 轴对称的对称点1A ，1B ，1C ，再顺次连接即可，再根据1C 的位置可得其坐标；（2）分别确定A ，B ，C 关于原点O 的位似对应点2A ，2B ，2C ，再顺次连接即可，再根据2C 的位置可得其坐标；【详解】（1）解：如图，111A BC △，即为所求作的三角形，由图象可得()12,1C ，（2）如图，222A B C △，即为所求作，由图象可得()24,2C -，【点睛】本题考查的是画关于x 轴对称的三角形，画关于原点位似的三角形，以及确定对称与位似的对应点的坐标，掌握“轴对称与位似的性质进行画图”是解本题的关键．16．(1)30，20(2)90︒(3)100(4)12【分析】（1）先求解总人数为100人，再由D 组的百分比乘以100即可得到m ，再由总人数减去各小组的人数可得n 的值；（2）由C 组的百分比乘以360︒即可；（3）由不合格的百分比乘以400即可；（4）先列表得到所有的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.【详解】（1）解：总人数为：1515%100÷=（人），∴10030%30m =⨯=，1001015253020n =----=；（2）2536090100︒⨯=︒；∴扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是90︒；（3）1015400100100+⨯=；∴该校九年级本次听写比赛不合格的学生人数有100人；（4）列表如下：AB A (),A A (),A B B (),B A (),B B ∴所有等可能的结果数有4种，两人分在同一组的情况数有2种，∴甲、乙两人恰好分在同一小组的概率是2142=.【点睛】本题考查的是频数分布表，扇形统计图，利用样本估计总体，利用列表法或画树状图求解随机事件的概率，掌握基础的统计知识是解本题的关键.17．(1)2022年S 省农业科技综合服务平台计划购买A 款大疆农业无人机10架，B 款大疆农业无人机15架；(2)m 的值为1．【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．（1）设2022年S 省农业科技综合服务平台计划购买A 款大疆农业无人机x 架，B 款大疆农业无人机y 架，利用总价=单价⨯数量，结合我国S 省农业科技综合服务平台计划用47万元购买A 、B 两款大疆农业无人机共25架，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总价=单价⨯数量，可列出关于m 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：设2022年S 省农业科技综合服务平台计划购买A 款大疆农业无人机x 架，B 款大疆农业无人机y 架，根据题意得：252(20.2)47x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得：1015x y =⎧⎨=⎩．答：2022年S 省农业科技综合服务平台计划购买A 款大疆农业无人机10架，B 款大疆农业无人机15架；（2）解：根据题意得：()1211020.215155.82105m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯++-+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得：2340m m +-=，解得：11m =，24m =-（不符合题意，舍去）．答：m 的值为1．18．(1)证明见解析(2)MN BM DN =+，2(3)DN BM MN -=，证明见解析【分析】（1）先证明()SAS ADN ABP ≌，可得BAP DAN ∠=∠，AP AN =，再证明(SAS)PAM NAM ≌△△，可得MN MP =，再利用线段的和差可得结论；（2）如图所示，延长CB 至P ，使得BP DN =，连接AP ，再仿照（1）的思路可得结论，再利用结论求解CMN 的周长即可；（3）在DC 上截取DE BM =，连接AE ，由（1）知ADE ABM ≌△△，则DAE BAM ∠=∠，AE AM =，则90EAM BAM BAE DAE BAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，根据45MAN ∠=︒得EAN MAN ∠=∠，根据SAS 可证明MAN EAN ≌△△，则EN MN =，即DN DE MN -=．【详解】（1）证明：延长MB 至点P ，使BP DN =，连接AP ，如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90D ABC ABP ∠=∠=︒=∠，在ADN △和ABP 中，∵AD AB D ABP DN BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADN ABP ≌，∴BAP DAN ∠=∠，AP AN =，∴90PAN BAP BAN DAN BAN ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∵45MAN ∠=︒，∴PAM MAN ∠=∠，∵在PAM △和NAM △中AP AN PAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)PAM NAM ≌△△，∴MN MP =，∵MP BM BP BM DN =+=+，∴BM DN MN +=，（2）如图2所示，延长CB 至P ，使得BP DN =，连接AP，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90D ABC ABP ∠=∠=︒=∠，在ADN △和ABP 中，∵AD AB D ABP DN BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ADN ABP ≌，∴BAP DAN ∠=∠，AP AN =，∴90PAN BAP BAN DAN BAN ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∵45MAN ∠=︒，∴PAM MAN ∠=∠，∵在PAM △和NAM △中AP AN PAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()PAM NAM SAS ≌，∴MN MP =，∵MP BM BP BM DN =+=+，∴BM DN MN +=，∵正方形的周长为4，∴1BC CD ==，∴CMN C CM CN MN=++ CM CN BM DN=+++BC CD=+2=；（3）DN BM MN -=，理由如下：解：如图3，在DC 上截取DE BM =，连接AE ，由（1）知()SAS ADE ABM ≌，∴DAE BAM ∠=∠，AE AM =，∴90EAM BAM BAE DAE BAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∵45MAN ∠=︒，∴EAN MAN ∠=∠．在MAN △和EAN 中AE AM MAN EAN AN AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS MAN EAN ≌，∴EN MN =，即DN DE MN -=，∴DN BM MN -=．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，解题的关键是掌握这些知识点，添加适当的辅助线．19．（1）S △ACP（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出AC ，得出AP ，即可求出S △ACP ；（2）在CF 上截取NG=FN ，连接BG ，则CF-CG=2FN ，证出∠BCF=∠DCP ，由ASA 证明△BCF ≌△DCP ，得出CF=CP ，证出CG=BM ，由SAS 证明△ABM ≌△BCG ，得出∠AMB=∠BGC ，因此∠BMC=∠BGF ，由线段垂直平分线的性质得出BF=BG ，得出∠BFG=∠BGF ，因此∠BMC=∠CBM ，即可得出结论试题解析：（1）∵四边形ABC 是正方形，∴AD ∥BC ，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，∴=，∴AP=78AC=78×=2，∴S △ACP=12AP×CD=12×2；（2）证明：在CF 上截取NG=FN ，连接BG ，如图1所示：则CF﹣CG=2FN，∵CF⊥CP，∴∠PCF=90°，∴∠BCF=∠DCP，在△BCF和△DCP中，ABC CDP BC DCBCF DCP∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCF≌△DCP（ASA），∴CF=CP，∵CP﹣BM=2FN，∴CG=BM，∵∠ABC=90°，BM⊥CF，∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，在△ABM和△BCG中，AB BCABM CBG BM CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△BCG（SAS），∴∠AMB=∠BGC，∴∠BMC=∠BGF，∵GN=FN，BM⊥CF，∴BF=BG，∴∠BFG=∠BGF，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC.点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，综合性较强，由一定的难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论.20．（1）结果见解析；（2）不公平，理由见解析．【分析】（1）根据题意直接列出树形图或列表即可；（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．【详解】解：（1）列表法如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）树形图如下：（2）不公平．理由：因为两纸牌上的数字之和有以下几种情况：1+1=2；2+1=3；3+1=4；1+2=3；2+2=4；3+2=5；1+3=4；2+3=5；3+3=6共9种情况，其中5个偶数，4个奇数．即小昆获胜的概率为49，而小明的概率为595499∴>∴此游戏不公平．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．。
北师大版数学九年级上册期中测试卷(含答案)
期中测试卷(满分120分,时间120分钟)题号一二三总分得分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1.一元二次方程 x²−3x +2=0的两根为x ₁,x ₂,则. x₁+x₂的值是( )A.2B.-2C.3D.-32.下列说法中正确的是( )A.所有的等腰三角形都相似B.有一对锐角相等的两个三角形相似C.相似三角形都是全等的D.所有的等边三角开都相似3.如果2 是方程 x²−3x +c =0的一个根，那么c 的值是( )A.4B.-4C.2D.-24.如图在平行四边形 ABCD 中,AB=3cm,BC=5cm,对线AC,BD 相交于点O,则OA 的取值范围是( ) A.2cm <OA<5cm B.2cm <OA<8cm C.1 cm<OA<4 cm D.3cm<OA<8cm5.小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为( ) A. 16B. 13C. 12D.236.一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小、质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是( )A. 25B. 35C. 34D.157.关于x 的一元二次方程( (m−2)x²+2x +1=0有实数根，则m 的取值范围是( )A. m≤3 B. m<3C. m<3且m≠2D. m≤3且m≠28.如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于点E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A. 15B. 14C. 13D.3109.如图,正△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等,点 E 、F 分别在BC 、CD 上,则∠B 的度数是( )A.70° B.75° C.80° D.95°10.如图,E,F,G,H 分别是BD,BC,AC,AD 的中点,且AB=CD,下列结论:①EG⊥FH;②四边形 EFGH 是矩形;③HF 平分∠EH HG;④EG =12(BC−AD );⑤四边形EFGH 是菱形，其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程)11.一元二次方程 x²+x =0的解是 .12.某班要从甲、乙、丙、丁四位班干部(两男两女)中任意两位参加学校组织的志愿者服务活动，则恰好选中一男一女的概率是 .13.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,若∠AOB=60°,AC=10,则AB=.14.如图，把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1，2，3，自由转运转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y，以长度分别为x，y，5 的三条线段能构成三角形的概率为 .15.如图,正方形ABCD的边长为4,∠DAC的平分线交 DC 于点 E,若点 P,Q分别是AD 和AE 上的动点,则DQ+PQ的最小值是 .16.若方程((m+3)x|m|−1+3mx=0是关于x的一元二次方程，则m=.三、解答题(本大题共8小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(6 分)(1)用配方法解方程:x²−6x−7=0;(2)用因式分解法解方程：2x(x--7)=x--7.18.(6分)某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率.19.(6分)一只不透明的袋子中装有红球2个和白球2个，这些球除颜色外其余都相同，小明从袋子中任意摸出一球，记下颜色后不放回，若小明再从剩余的球中任取一球，请你用列表法或树状图的方法，求小明两次都摸出红球的概率.20.(8分)如图,在正方形 ABCD 中,点M 是对角线BD 上的一点,过点 M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD 于点F.求证:AM=EF.21.(8分)一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3、4、5、x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验.实验数据如下表摸球总次数1020306090120180240330450“和为8”出现的频数210132430375882110150“和为8”出现的频率0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33解答下列问题：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近.估计出现“和为8”的概率是 .(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x的值可以取7吗?请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值.22.(8分)(1)如图①，两个正方形的边长均为3，求三角形DBF的面积；(2)如图②,正方形 ABCD 的边长为3,正方形CEFG 的边长为1,求三角形 DBF 的面积;(3)如图③,正方形 ABCD 的边长为a,正方形CEFG 的边长为b,求三角形DBF 的面积.23.(12分)晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程.x(x+4)=6.解：原方程可变形，得[(x+2)−2][(x+2)+2]=6,(x+2)²−2²=6,(x+2)²=6+2²,(x+2)²=10,直接开平方并整理，得x1=−2+10,x2=−2−10.我们称晓东这种解法为“平均数法”.(1)下面是晓东用“平均数法”解方程((x+2)(x+6)=5时写的解题方程：解：原方程可变形，得[(x+□−◯][(x+□)+◯]=5,(x+□)²−◯²=5,(x+□)²=5+◯²,直接开平方并整理，得x₁=☆,x₂=∇.(1)上述过程中“□”,“◯”,“☆”,“▽”表示的数分别是, , , .(2)请用“平均数法”解方程：(x−3)(x+1)=5.24.(12分)已知:平行四边形ABCD的两边AB,AD 的长是关于x的方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根.(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；(2)若AB的长为2,那么▱ABCD的周长是多少?期中测试卷1. C2. D3. C4. C5. B6. A7. D8. B9. C 10. C11. x₁=0,x₂=-1 12.2313.5 14.4/9 15.22 16.317.解(1)移项得x²−6x=7,配方得x²−6x+3²=7+9,即(x−3)²=16,开方得x-3=±4,∴原方程的解是x₁=7,x₂=−1;(2)移项得2x(x−7)−(x−7)=0,提公因式得(x--7)(2x-1)=0,∴x-7=0或2x-1=0,∴原方程的解是x1=7,x2=12.18.解设这个增长率为x.依题意得20(1+x)²−20(1+x)=4.8.解得x₁=0.2,x₂=−1.2(不合题意,舍去).0.2=20%.答：这个增长率是20%.19.解设红球分别为 H₁、H₂,白球分别为.B₁、B₂,列表得：第二球第一球H₁H₂B₁B₂H₁(H₁,H₂)(H₁,B₁)(H₁,B₂)H₂(H₂,H₁)(H₂,B₁)(H₂,B₂)B₁(B₁,H₁)(B₁,H₂)(B₁,B₂)B₂(B₂,H₁)(B₂,H₂)(B₂,B₁)总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到红球的结果有两种.故 P(两次都摸到红球)=212=16.20.证明连接MC.∵在正方形ABCD中,AD=CD,∠ADM=∠CDM,又∵DM=DM,∴△ADM≅△CDM.∴AM=CM.∵ME‖CD,MF‖BC,∴四边形CEMF 是平行四边形.又∵∠ECF=90°,∴BCEMF是矩形.∴EF=MC.又∵AM=CM,∴AM=EF.21.解(1)利用图表得出:实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”的概率是0.33.(2)当x=7时,3455378847995891058910则两个小球上数字之和为9的概率是：212=16,故x 的值不可以取7，3455378847995891058910∵出现和为9的概率是三分之一，即有3种可能，∴3+x=9或5+x=9或4+x=9解得x=4,x=5,x=6,当x=6时，出现9的概率为 16,故x=6舍去，故x 的值可以为4，5其中一个.22.解(1)△DBF 的面积 =12×3×3=92;(2)△DBF 的面积 =3×3+3×1−12×3×3=12×(3+1)×1−12(3−1)×1=92;(3)△DBF 的面积 =a ×a +b ×b−12×a ×a−12×(a + b)×b−12(b−a )×b =a 22.23.解(1)4 2 —1 --7(2)原方程可变形，得[(x--1)-2][(x--1)+2]=5,整理，得( (x−1)²−2²=5, (x−)²=5+2², (x−1)²=9,x--1=±3,∴x₁=4,x₂=−2.24.解(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.又∴Δ=m2−4(m2−14)=m2−2m+1=(m−1)2,当(m−1)²=0时,即m=1时,四边形ABCD是菱形.把m=1代入x2−mx+m2−14=0,得x2−x+14=0.解得x1=x2=12.∴菱形ABCD的边长是1 2 .(2)把AB=2代入x2−mx+m2−14=0,得4−2m+m2−14=0.解得m=52.把m=52代入x2−mx+m2−14=0,得x²−52x+1=0.解得x1=2,x2=12.∴AD=1 2 .∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD的周长是2(2+12)=5.。
2024-2025学年北师大版九年级数学上册期中考试一
2024-2025学年北师大版九年级数学上册期中考试一1.如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（）A．B．C．D．2.一元二次方程的解是（）A．B．C．或D．3.关于双曲线，下列说法正确的是（）A．必经过点B．图象位于一、三象限C．随的增大而增大D．图象关于原点成中心对称4.如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A．B．C．D．5.用配方法解方程x2－4x＋3＝0，下列配方正确的是（）A．（x－2）2＝7B．（x＋2）2＝7C．（x＋2）2＝1D．（x－2）2＝1 6.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A．B．C．且D．且7.菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的周长是（）A．40B．50C．24D．328.反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9.已知函数经过点，如果，那么（）A．B．C．D．10.如图，在中，，于D，，，则（）A．B．C．D．11.在某一时刻，测得一根高为m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为______________m．12.已知点都在反比例函数的图象上，则m的值为________．13.在一个不透明的袋子里有50个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此估计袋中红球的个数为________．14.如图，在四边形中，，平分，若，则的度数是___________．15.计算与解方程：(1)计算：(2)解方程：16.若关于的一元二次方程x 2+4x+2k=0有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值.17.某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）．18.为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c （1）该校初三学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)根据图象直接写出当时，与的大小；(3)连接，求的面积．20.在中，平分交于E．(1)若，求的长；(2)如图1，F是的中点，连接交于O，若，，求；(3)如图2，F是的中点，连接交于O，若，，求．21.已知一元二次方程的一个根为，则c的值为__________．22.有六张正面分别标有数字，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，则抽取的卡片上的数字为不等式组的解的概率为__．23.如图，在中，，，，则的值为___________．24.如图，在矩形中，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折得到，过点A作于点E，直线与直线相交于点F，若，则的长为___________．25.如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为_____．26.某淘宝服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元．(1)甲、乙两种款式的T恤衫各购进了多少件？(2)该网店在两种服装进价的基础上都提高销售，一段时间后，甲种款式全部售完，乙种款式还剩一半，商家决定对余下的乙种款式按标价的五折出售，售完后共获利元，求m的值．27.如图，在中，，，点为延长线上一点，连接，作于，交于点，作于，交于点Q．(1)求证：；(2)点E在的延长线上，且，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，延长交于F，当时，求的值28.如图，一次函数（）的图象与坐标轴交于A，B两点，与反比例函数（）的图象交于M，N两点，过点M作MC⊥y轴于点C，已知CM=1．（1）求的值；（2）若，求反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下，设点P是x轴（除原点O外）上一点，将线段CP绕点P按顺时针或逆时针旋转90°得到线段PQ，当点P滑动时，点Q能否在反比例函数的图象上？如果能，求出所有的点Q的坐标；如果不能，请说明理由．。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．方程x（x+2）＝0的根是（）A．x＝2B．x＝0C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2 2．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）A．12B．13C．14D．153．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．C．36D．4．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=52GC D．EG=2GC5．一元二次方程x（x﹣3）=0的根是（）A．0B．3C．0和3D．1和36．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）A．1B C．2D17．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝12GF×AF；④当AG＝6，EG＝BE）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④8．某校文学小组在举行的图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书向本组其他成员增送一本，全组共互赠了1260本书，设全组共有x名同学，依题意，可列出方程为A．x(x﹣1)＝1260B．x(x+1)＝1260C．2x(x﹣1)＝1260D．12x(x﹣1)＝12609．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（）A．120°B．130°C．140°D．150°10．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．二、填空题11．方程23530x x-=-的一次项系数是__________.12．已知23a cb d==，若b+d≠0，则a cb d++＝_____．13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于7”的概率是_____. 14．已知长方形ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线BD的中点O做BD垂直平分线EF，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为__________cm ．15．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边DCE ，则AEC 的度数是__________．16．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC ＝3，OC ＝，则另一直角边BC 的长为_____．三、解答题17．解下列方程（1）2x 2﹣4x ﹣3＝0（2）（x ﹣1）2＝（1﹣x ）18．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋2bx ＋(a －c)＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．19．袋中装有除数字不同其它都相同的六个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，5，6．（1）从袋中摸出一个小球，求小球上数字小于3的概率；（2）将标有1，2，3数字的小球取出放入另外一个袋中，分别从两袋中各摸出一个小球，求数字之和为偶数的概率．（要求用列表法或画树状图求解）20．在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE AD =,DF ⊥AE ，垂足为F .（1）求证.DF AB=（2）若30FDC ∠=︒,且4AB =,求AD .21．某商店从厂家以每件18元购进一批商品出售，若每件售价为a 元，则可售出（320﹣10a ）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获得400元利润，则售价应定为每件多少元？需售出这种商品多少件？22．在 ABCD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF.（1）求证：四边形BFDE 是矩形；（2）若CF ＝3，BF ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB.23．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B ．（1）求证：AC•CD=CP•BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．24．如图，△ABC 在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为A （0，3）、B （3、4）、C （2，2）（网格中每个正方形的边长是1个单位长度）．（1）以点B为位似中心，在网格内画出△A′BC′，使△A′BC′与△ABC位似，且位似比为2：1，则点C′的坐标是______；（2）△A′BC′的面积是_______平方单位；（3）在x轴上找出点P，使得点P到B与点A距离之和最小，请直接写出P点的坐标．25．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若3DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）参考答案1．C【解析】【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【详解】解：x（x+2）＝0，∴x＝0或x+2＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．故选：C．【点睛】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．2．A【解析】【详解】试题解析：∵骰子六个面中奇数为1，3，5，∴P(向上一面为奇数)31. 62 ==故选A.3．B【解析】【详解】过点A作AE⊥BC于E，如图，∵在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，∴∠BAE=30°，∵AE⊥BC，∴AE=∴菱形ABCD的面积是6⨯=，故选B．4．B【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到答案．【详解】∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，∴31EG DFGC FB＝＝=3．故选B．【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用．根据平行线分线段成比例定理解答是解题的关键．5．C【解析】【详解】试题分析：x=0或x﹣3=0，所以x1=0，x2=3．故选C．考点：因式分解法解一元二次方程6．B【解析】【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠A=120°，∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，作点P 关于直线BD 的对称点P′，连接P′Q ，P′C ，则P′Q 的长即为PK+QK 的最小值，由图可知，当点Q 与点C 重合，CP′⊥AB 时PK+QK 的值最小，在Rt △BCP′中，∵BC=AB=2，∠B=60°，∴sin 2P Q CP BC B ''==⋅=⨯故选B ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．D【解析】【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG ，从而得到GD=DF ，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF ，连接DE ，交AF 于点O ．由菱形的性质可知GF ⊥DE ，OG=OF=12GF ，接下来，证明△DOF ∽△ADF ，由相似三角形的性质可证明DF 2=FO•AF ，于是可得到GE 、AF 、FG 的数量关系，过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF 中依据勾股定理可求得AD 的长，然后再证明△FGH ∽△FAD ，利用相似三角形的性质可求得GH 的长，最后依据BE=AD-GH 求解即可．【详解】解：∵GE ∥DF ，∴∠EGF ＝∠DFG ．∵由翻折的性质可知：GD ＝GE ，DF ＝EF ，∠DGF ＝∠EGF ，∴∠DGF ＝∠DFG ．∴GD ＝DF ．故①正确；∴DG ＝GE ＝DF ＝EF ．∴四边形EFDG 为菱形，故②正确；如图1所示：连接DE ，交AF 于点O ．∵四边形EFDG 为菱形，∴GF ⊥DE ，OG ＝OF ＝12GF ．∵∠DOF ＝∠ADF ＝90°，∠OFD ＝∠DFA ，∴△DOF ∽△ADF ．∴DFAF ＝OFDF ，即DF 2＝FO•AF ．∵FO ＝12GF ，DF ＝EG ，∴EG 2＝12GF•AF ．故③正确；如图2所示：过点G 作GH ⊥DC ，垂足为H ．∵EG 2＝12GF•AF ，AG ＝6，EG ＝∴20＝12FG （FG+6），整理得：FG 2+6FG ﹣40＝0．解得：FG ＝4，FG ＝﹣10（舍去）．∵DF ＝GE ＝AF ＝10，∴AD ＝∵GH ⊥DC ，AD ⊥DC ，∴GH ∥AD ．∴△FGH ∽△FAD ．∴GHAD＝FGAF410，∴GH，∴BE＝AD﹣GH＝故选：D．【点睛】本题考查了四边形与三角形的综合应用，掌握矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．8．A【解析】【分析】设全组共有x名同学，那么每名同学要赠送(x﹣1)本，那么总共送x(x﹣1)本，据此可得出方程.【详解】设全组共有x名同学，那么每名同学送出的图书是（x﹣1）本；则总共送出的图书为x(x﹣1)；又知实际互赠了1260本图书，∴x(x﹣1)＝1260；故选：A.【点睛】此题考查列一元二次方程，本题弄清每名同学送出的图书是（x-1）本是解题的关键．9．C【解析】【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠ADC的度数．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC，∵DH⊥AB，∴OH＝OB＝12 BD，∵∠DHO＝20°，∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝70°，∴∠ABD＝∠OHB＝70°，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD＝140°，故选C．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，证得△OBH是等腰三角形是关键．10．B【解析】【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】解：设小正方形的边长为1，那么已知三角形的三边长分别为，所以三边之比为1：2A、三角形的三边分别为2，，三边之比为3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，1：2C、三角形的三边分别为2，32：3D44，故本选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，属于基础题，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解答本题的关键，难度一般．11．-5【解析】【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；b叫做一次项系数，c叫做常数项可得答案．【详解】方程3x2﹣5x﹣3=0的一次项系数是﹣5．故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．12．23【解析】【分析】分别设a=2m，c=2n，根据23a cb d==可用m、n表示出b、d，代入所给代数式即可得答案.【详解】设a=2m，c=2n，∵23a cb d==，∴b=3m，d=3n，∴a cb d++=2m2n3m3n++=23，故答案为：2 3【点睛】本题考查等比性质的应用，若a c kb d==，则a cb d++=k，熟练掌握等比性质是解题关键.13．15 36【解析】【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出“两枚骰子的点数和小于7”的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中“两枚骰子的点数和小于7”的结果数为15，所以“两枚骰子的点数和小于7”的概率15 36；故答案为：15 36 .【点睛】此题考查列表法与画树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.14．7 8【解析】【详解】连接EB，∵BD垂直平分EF，∴ED=EB，设AE=xcm，则DE=EB=（4﹣x）cm，在Rt△AEB中，AE2+AB2=BE2，即：x2+32=（4﹣x）2，解得：x=78故答案为78cm ．15．45︒【解析】【分析】先求出AED ∠的度数，即可求出AEC ∠.【详解】解：由题意可得，,90,60AD DC DE ADC EDC DEC ︒︒==∠=∠=∠=，,150AD DE ADE ADC EDC ︒=∠=∠+∠= 180150152AED DAE ︒︒︒-∴∠=∠==45AEC CED AED ︒∴∠=∠-∠=故答案为45︒【点睛】本题考查了等腰与等边三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，等边三角行的三条边都相等，三个角都相等，灵活应用等腰及等边三角形的性质是解题的关键.16．9【解析】【分析】过O 作OF ⊥BC ，过A 作AM ⊥OF ，根据正方形的性质得出∠AOB=90°，OA=OB ，求出∠BOF=∠OAM ，根据AAS 证△AOM ≌△BOF ，推出AM=OF ，OM=FB ，求出四边形ACFM 为矩形，推出AM=CF ，AC=MF=3，得出等腰三角形三角形OCF ，根据勾股定理求出CF=OF=6，求出BF ，即可求出答案．【详解】解：过O 作OF ⊥BC 于F ，过A 作AM ⊥OF 于M ，∵∠ACB ＝90°，∴∠AMO ＝∠OFB ＝90°，∠ACB ＝∠CFM ＝∠AMF ＝90°，∴四边形ACFM 是矩形，∴AM ＝CF ，AC ＝MF ＝3，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOF＝90°，又∵∠AMO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠BOF＝∠OAM，在△AOM和△OBF中0AM BOF AMO OFB OA0B∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOM≌△OBF（AAS），∴AM＝OF，OM＝FB，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝，由勾股定理得：CF＝OF＝6，∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，∴BC＝6+3＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.17．（1）x1x2（2）x1＝1，x2＝0．【解析】【分析】（1）利用公式法解方程即可；（2）先移项，利用因式分解法解方程即可.【详解】（1）∵a ＝2，b ＝﹣4，c ＝﹣3，∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，则x 22，即x 1＝22+，x 2＝22；（2）（x ﹣1）2＝（1-x ），（x ﹣1）2+（x ﹣1）＝0，（x ﹣1）•x ＝0，解得：x 1＝1，x 2＝0．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.18．（1）△ABC 是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC 是直角三角形.理由见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a ﹣b=0，即a=b ，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC 是等腰三角形；（2）由判别式的意义得到△=0，整理得222a b c =+，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC 是直角三角形．试题解析：解：（1）△ABC 是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c ）×1﹣2b+（a ﹣c ）=0，∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0，∴a ﹣b=0，∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）△ABC 是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=2(2)4()()0b a c a c -+-=，∴2224440b a c -+=，∴222a b c =+，∴△ABC 是直角三角形．考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．19．（1）13；（2）49．【解析】【分析】（1）先列出摸出一个小球的所有可能的结果，再找出小球上数字小于3的结果，然后利用概率公式求解即可；（2）先用表格列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果，再计算两个小球数字之和，从而得出数字之和为偶数的结果，然后利用概率公式计算即可．【详解】（1）依题意，从袋中摸出一个小球的结果有6种，即1,2,3,4,5,6，它们每一种出现的可能性相等其中，小球上数字小于3的结果有2种，即1,2故小球上数字小于3的概率为2163 P==；（2）依题意，用列表法列出从两袋中摸出小球的所有可能的结果如下：4561（1,4）（1,5）（1,6）2（2,4）（2,5）（2,6）3（3,4）（3,5）（3,6）其中，数字之和为偶数的结果有4种，即(1,5),(2,4),(2,6),(3,5)故两个小球上数字之和为偶数的概率为49 P=．【点睛】本题考查了简单事件的概率计算、利用列举法求概率，依据题意，正确列出事件的所有可能的结果是解题关键．20．（1）证明见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用“AAS”证△ADF≌△EAB即可得；（2）由∠ADF+∠FDC=90°、∠DAF+∠ADF=90°得∠FDC=∠DAF=30°，据此知AD=2DF，根据DF=AB可得答案．【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF，又∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠DFA=∠B，又∵AD=EA，∴△ADF≌△EAB，∴DF=AB．（2）∵∠ADF+∠FDC=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠FDC=∠DAF=30°，∴AD=2DF，∵DF=AB，∴AD=2AB=8．【点睛】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．21．每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【解析】【分析】可根据关键语“若每件售价x元，则每件盈利（x-18）元，则可卖出（320-10x）件”，根据每件的盈利×销售的件数=获利，即可列出方程求解．【详解】解：设每件商品的售价定为x元，则（x﹣18）（320﹣10x）＝400，整理得x2﹣50x+616＝0，∴x1＝22，x2＝28∵18（1+25%）＝22.5，而28＞22.5∴x＝22．卖出商品的件数为320﹣10×22＝100．答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题时可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．22．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，即可证明；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，即可证明．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）253.【解析】【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到BP ABCD CP=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【详解】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB=10，BC=12，∴101210BP =，∴BP=253．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP 转化为证明AB•CD=CP•BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键．24．（1）（1，0）；（2）10；（3）（97，0）．【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点位置，即可得出答案；（2）利用勾股定理逆定理可得△A′BC′是直角三角形，利用三角形面积公式求出△A′BC′面积即可；（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，根据对称性质可得A″B 即为PA+PB 的最小值，根据A″和B 点坐标可得直线A″B 的解析式，令y=0即可得P 点坐标.【详解】（1）如图所示：C′（1，0）；故答案为：（1，0）；（2）∵A′B 2=62+22=40，A′C′2=42+22=20，C′B 2=42+22=20，∴A′B 2=A′C′2+C′B 2，∴△A′BC′是直角三角形，∴△A′BC′的面积是：1210平方单位；故答案为：10（3）作A 关于y 轴的对称点A″，连接A″B ，交x 轴于点P ，∴PA=PA″，∴PA″+PB=PA+PB=BA″，即为PA+PB 的最小值，设A″B 直线解析式为：y ＝kx+b ，把（3，4），（0，﹣3），代入得：343k bb+=⎧⎨=-⎩，解得：733 kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故A″B直线解析式为：y＝73x﹣3，当y＝0时，x＝9 7，故P（97，0）．【点睛】本题考查位似变换以及坐标与图形的性质、待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质，正确得出对应点的坐标是解题关键.25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【详解】（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF ，AE=CE ，OA=OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFO=∠CEO ，在△AOF 和△COE 中，{AFO CEOAOF COEOA OC∠=∠∠=∠=∴△AOF ≌△COE （AAS ），∴AF=CE ，∴AF=CF=CE=AE ，∴四边形AECF 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴在Rt △CDF 中，cos ∠DCF=CDCF ，∠DCF=30°，∴CF=cos 30CD︒=2，∵四边形AECF 是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF 是的面积为：。
九年级上学期期中真题必刷基础60题九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列(北师大版)[含答案]
期中真题必刷基础60题（50个考点专练）一、一元二次方程的定义（共1小题）（2023秋•汨罗市期中）1．若关于x 的方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1=0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）A ．m≠2B ．m=2C ．m≥2D ．m≠0二、一元二次方程的一般形式（共1小题）（2023秋•三元区期中）2．一元二次方程23420x x ++=一次项的系数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5三、一元二次方程的解（共2小题）（2023秋•覃塘区期中）3．已知一元二次方程2210x x -+=，则它的二次项系数为（ ）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2（2023秋•陈仓区校级期中）4．若关于x 的一元二次方程()2210a x a x a -+-=有一个根是1x =，则a =．四、解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）（2023秋•中山市期中）5．一元二次方程 210x -=的根是．五、解一元二次方程-配方法（共2小题）（2024春•东阳市期中）6．用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（ ）A ．210x +=（）B ．210x -=（）C ．212x +=（）D ．212x -=（）（2023秋•长安区校级期中）7．已知方程260x x q -+=可以配方成()27x p -=的形式，那么262x x q -+=可以配方成．六、解一元二次方程-公式法（共1小题）（2023秋•莲池区校级期中）8．解是x =的一元二次方程是（ ）A ．22410x x ++=B ．22410x x -+=C ．22410x x --=D ．22410x x +-=七、解一元二次方程-因式分解法（共1小题）（2024春•海淀区校级期中）9．已知方程2230x x +-=的解是1213x x ==-，，则另一个方程()()232330x x +++-=的解是（）A ．1213x x =-=，B ．1213x x ==-，C ．1226x x ==，D ．1226x x =-=-，八、根的判别式（共2小题）（2023春•扶绥县校级期中）10．若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的值可以是（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．3（2024春•鄞州区期中）11．若关于x 的一元二次方程()21230k x kx k --+-=有实数根，则k 的取值范围是 ．九、根与系数的关系（共1小题）（2023秋•东西湖区期中）12．设a ，b 是方程220230x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2024B ．2021C ．2023D ．2022一十．由实际问题抽象出一元二次方程（共1小题）（2023秋•新会区校级期中）13．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛，有若干支队伍参加了单循环比赛(每两队之间都赛一场)，单循环比赛共进行45场，共有多少支队伍参加比赛？设共有x 支队伍参加比赛，则所列方程为（ ）A ．()145x x +=B ．()1452x x +=C ．()145x x -=D ．()1452x x -=一十一、一元二次方程的应用（共1小题）（2023秋•大同期中）14．“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1372万辆．则这两年新能源汽车销售量年平均增长率为( )A ．55%B ．50%C ．45%D ．40%一十二、配方法的应用（共1小题）（2022秋•郸城县期中）15．已知三角形的三条边为a ，b ，c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．8c >B ．58c <<C ．813c £<D ．513c <<一十三、反比例函数的定义（共2小题）（2023秋•株洲期中）16．下列函数中，y 是关于x 的反比例函数的是（ ）A ．y ＝﹣3x +6B ．y =x 2C ．y ＝25x D ．y ＝6x（2023秋•莱州市期中）17．若()252my m x -=-是反比例函数，那么m 的值是 ．一十四、反比例函数的图象（共1小题）（2024春•晋江市期中）18．在同一坐标系中，函数ky x=和2y kx =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．一十五、反比例函数图象的对称性（共1小题）（2023秋•兴宁市校级期中）19．如图，直线L 与双曲线交于A 、C 两点，将直线L 绕点O 顺时针旋转a 度角(045)a <£o o ，与双曲线交于B 、D 两点，则四边形ABCD 形状一定是（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．任意四边形一十六、反比例函数的性质（共1小题）（2023秋•邵阳期中）20．已知反比例函数ky x=的图象在第二、四象限，则k 的值可以是（ ）A ．2B C ．5-D ．0一十七、反比例函数系数k 的几何意义（共1小题）（2023秋•来宾期中）21．在平面直角坐标系中，反比例函数ky x=的部分图象如图所示，AB y ^轴于点B ，点P 在x 轴上，若ABP V 的面积为2，则k 的值为．一十八、反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）（2023秋•百色期中）22．已知双曲线4y x =-，下列各点在该双曲线上的是（ ）A ．()1,4B ．()1,4--C ．()2,2-D ．()2,2--一十九、待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）（2023秋•周村区期中）23．如图，点A 为双曲线2y x=-在第二象限上的动点，AO 的延长线与双曲线的另一个交点为B ，以AB 为边的矩形ABCD 满足:4:3AB BC =，对角线,AC BD 交于点P ，设P 的坐标为(),m n ，则m ，n 满足的关系式为 ．二十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）（2023秋•零陵区期中）24．如图，直线AB 过原点分别交反比例函数5y x=于A 、B ，过点A 作AC x ^轴，垂足为C ，则ABC V 的面积为 ．二十一、根据实际问题列反比例函数关系式（共1小题）（2023秋•朝阳区校级期中）25．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例（即()ky=k 0x¹），已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5m ，则y 与x 之间的函数关系式是 ．二十二、反比例函数的应用（共1小题）（2023秋•常德期中）26．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验（微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（ ）A ．4小时B ．6小时C ．8小时D ．10小时二十三、反比例函数综合题（共1小题）（2022秋•新津县校级期中）27．如图，等腰Rt △ABC 的斜边BC 在x 轴上，顶点A 在反比例函数y ＝3x(x ＞0)的 图象上，连接OA ，则OC 2-OA 2=．二十四、直角三角形斜边上的中线（共1小题）（2023春•南岗区期中）28．如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，20A Ð=度，则BCD Ð= 度．二十五、菱形的性质（共2小题）（2022春•长垣市期中）29．在菱形ABCD 中，80ABC Ð=°，BA BE =，则BAE Ð=（ ）A ．70°B ．40°C ．75°D ．30°（2023秋•新华区校级期中）30．若菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，且菱形的面积为216cm，则菱形的周长为cm．二十六、菱形的判定（共1小题）（2024春•市中区校级期中）31．□ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，那么这个条件可以是（ ）A．AB=CD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD二十七、菱形的判定与性质（共1小题）（2024春•新晃县期中）∥，∥，EO与AB交于点F．32．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE AC AE BD(1)试判断四边形AEBO的形状，并说明你的理由；=．(2)求证：EO DC二十八、矩形的性质（共1小题）（2024春•铜山区期中）33．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为．二十九、矩形的判定（共1小题）（2023秋•南海区校级期中）34．下列图形一定为矩形的是（）A．B．C．D．三十．矩形的判定与性质（共2小题）（2021春•天心区期中）35．如图，在ABC D 中，AC 的中垂线交AC AB ，于点D F BE DF ^，，交DF 延长线于点E ．若30A °Ð=，2BC =，AF BF =，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．（2023秋•沈北新区期中）36．如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm ，点P 和点Q 分别从点B 和点D 出发，按逆时针方向沿矩形ABCD 的边运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和1cm/s ，则最快 s 后，四边ABPQ 成为矩形．三十一、正方形的性质（共1小题）（2024春•天山区校级期中）37．如图，在正方形ABCD 外侧作等边ADE V ，则AEB Ð的度数为（ ）A ．15°B ．22.5°C ．20°D ．10°三十二、正方形的判定（共1小题）（2024春•姑苏区校级期中）38．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的有（ ）①当AB BC =时，它是菱形；②当AC BD ^时，它是菱形；③当90ABC Ð=°时，它是矩形；④当AC BD =时，它是正方形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三十三、正方形的判定与性质（共2小题）（2022秋•和平区校级期中）39．下列说法不正确的是（ ）A ．对角线互相垂直的矩形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．有一个角是直角的平行四边形是正方形D ．邻边相等的矩形是正方形（2021秋•东城区校级期中）40．在Rt ABD V 中，90ABD Ð=°，点C 在线段AD 上，过点C 作CE AB ^于点E ，CF BD ^于点F ，使得四边形CEBF 为正方形，此时3cm AC =，4cm CD =，则阴影部分面积为2cm ．三十四、几何变换的类型（共1小题）（2022秋•栾城区期中）41．如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ）A ．平移B ．轴对称C ．旋转D ．位似三十五、比例的性质（共1小题）（2023秋•新华区校级期中）42．已知23x y =，则下列结论一定正确的是（ ）A ．23x y ==，B ．23x y=C ．35x x y =+D ．53x y y +=三十六、比例线段（共1小题）（2023秋•鲤城区校级期中）43．若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中362a cm b cm c cm ===，，，则d 值为（）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm三十七、平行线分线段成比例（共1小题）（2023秋•东兴区校级期中）44．如图，在ABC V 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若31BF FD =：：，=10BC ，则CE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．103三十八、相似图形（共1小题）（2023秋•甘州区校级期中）45．下列结论不正确的是 （ ）A ．所有的正方形都相似B ．所有的菱形都相似C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的正五边形都相似三十九、相似多边形的性质（共1小题）（2023秋•小店区期中）46．五边形ABCDE ∽五边形A B C D E ¢¢¢¢¢，相似比为13：，若2AB =，则A B ¢¢= ．四十．相似三角形的性质（共1小题）（2022秋•银海区期中）47．若△ABC ∽△DEF ，且S △ABC ：S △DEF =3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为A ．3：4B ．4：3C 2D ．2四十一、相似三角形的判定（共1小题）（2023秋•永春县期中）48．如图，下列条件中，不能判定ACD ABC V V ∽的是( )A ．ADC ACB Ð=ÐB ．B ACD Ð=ÐC ．=CD ADBC ACD ．AC ADAB AC=四十二、相似三角形的判定与性质（共1小题）（2023秋•德化县期中）49．如图，在ABCD Y 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F ，若2EC BE =，则BF FD的值是．四十三、相似三角形的应用（共1小题）（2022春•朝阳区校级期中）50．有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G 正好在书架边框上．每本书的厚度为5cm ，高度为20cm ，书架宽为40cm ，则FI 的长．四十四、作图-相似变换（共1小题）（2022秋•未央区校级期中）51．如图，ABC V 中，100ABC Ð=°，30ACB Ð=°，利用尺规作图在AC 边上求作一点D ，使得ABC BDC ∽△△．（不写做法，保留作图痕迹）四十五、位似变换（共2小题）（2023秋•市南区校级期中）52．如图，在ABC V 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1,0)，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作ABC V 的位似图形A B C ¢¢△，使它与ABC V 的相似比为2:1，设点B 的横坐标是a ，则点B 的对应点B ¢的横坐标是（ ）A ．23a -+B ．21a -+C ．22a -+D ．22a --（2022秋•和平区校级期中）53．如图，已知ABC V 与DEF V 位似，位似中心为O ，且ABC V 的面积与DEF V 的面积之比是169∶，则AOOD= ．四十六、简单几何体的三视图（共1小题）（2023秋•双流区校级期中）54．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图所示是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）A．B．C．D．四十七、平行投影（共2小题）（2020秋•长清区期中）55．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是A．③①④②B．③②①④C．③④①②D．②④①③（2023秋•酒泉期中）56．如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是投影．四十八、中心投影（共2小题）（2023秋•桂平市期中）57．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B 时，人影长度（ ）A．变长3.5m B．变长2.5m C．变短3.5m D．变短2.5m（2023秋•兴宁市校级期中）58．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于()2,2P 处，木杆AB 两端的坐标分别为()()0,1,3,1．则木杆AB 在x 轴上的影长CD 为．四十九、列表法与树状图法（共1小题）（2023秋•历下区期中）59．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）A ．49B ．12C ．59D ．23五十．利用频率估计概率（共1小题）（2023秋•大东区期中）60．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.5，由此可估计袋中红球的个数为（ ）A ．12个B ．10个C ．8个D ．6个1．A【详解】解：∵关于x 的方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1=0是一元二次方程，∴m -2≠0，解得：m ≠2．故选A ．2．C【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，找出一元二次方程的一次项，即可得系数值，解题关键是在找一次项系数时，要带着前面的符号．【详解】解：Q 一元二次方程23420x x ++=一次项是4x ，\一次项的系数是4．故选：C ．3．A【分析】根据二次项系数的定义解决问题．【详解】一元二次方程2210x x -+=的二次项系数为1，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般式为()200ax bx c a ++=¹．4．1-【分析】把1x =代入已知方程，求出a 的值，根据一元二次方程的定义舍去不合题意的值即可．【详解】解：把1x =代入()2210a x a x a -+-=，得210a a a -+-=，解得：11a =，21a =-，∵10a -¹，即1a ¹，∴1a =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．熟知方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．5．11x =，21x =-【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；根据题意，先移项，然后利用直接开平方法即可求解．【详解】解：210x -=21x =11x =，21x =-，故答案为：11x =，21x =-．6．D【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可．【详解】解：利用配方法如下：2210x x --=221x x -=22111x x -+=+()212x -=．故选D ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键．7．()239x -=##()239x -=【分析】此题考查了用配方法的应用，利用配方法，首先移项，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将260x x q -+=配方成()239x q -=-，结合已知条件，求出p 和q 的值，进而即可求解．【详解】解：260x x q -+=Q ，26x x q \-=-，2699x x q \-+=-+，()239x q \-=-，()27x p -=Q ，97q \-=，2q \=，2622x x \-+=，260x x \-=，2699x x \-+=，()239x \-=．故答案为: ()239x -=．8．D【详解】解：A 、因为22410x x ++=，所以xB 、因为22410x x -+=，所以x =，故不符合题意；C 、因为22410x x --=，所以x ，故不符合题意；D 、因为22410x x +-=，所以x =，故符合题意；故选：D()200ax bx c a ++=¹的求根公式x =是解题的关键．9．D【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令3t x =+，则方程()()232330x x +++-=即为方程2230t t +-=，根据题意可得方程2230t t +-=的解是1213，==-t t ，则31+=x 或33x +=-，据此求解即可．【详解】解：令3t x =+，则方程()()232330x x +++-=即为方程2230t t +-=，∵方程2230x x +-=的解是1213x x ==-，，∴方程2230t t +-=的解是1213，==-t t ，∴31+=x 或33x +=-，解得1226x x =-=-，，∴程()()232330x x +++-=的解是1226x x =-=-，，故选：D ．10．A【分析】根据方程的系数结合根的判别式0D >，可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围，对照四个选项即可得出结论．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，\2(2)41440k k D =--´´=->，解得：1k <，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当0D >时，方程有两个不相等的实数根”．11．34k ³且1k ¹【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的定义，()200ax bx c a ++=¹有实数根，则240b ac D =-³是解题的关键．根据10k -¹，()()()224130k k k D =----³，计算求解即可．【详解】解：由题意知，10k -¹，()()()224130k k k D =----³，解得，1k ¹，34k ³，∴k 的取值范围是34k ³且1k ¹，故答案为：34k ³且1k ¹．12．D【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，先根据一元二次方程的解的定义得到22023a a =-+，代入22a a b ++得到2023a b ++，再根据根与系数的关系得到1a b +=-，然后利用整体代入的方法计算．【详解】解：∵a 是方程220230x x +-=的实数根，∴220230a a +-=，∴22023a a =-+，∴22202322023a a b a a b a b ++=-+++=++，∵a ，b 是方程220230x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，∴222023(1)2022a a b ++=+-=，故选：D ．13．D【分析】本题考查了一元二次方程的应用．每一支队伍都要和另外的()1x -支队伍进行比赛，于是比赛总场数=每支队的比赛场数×参赛队伍÷重复的场数，即可解答．【详解】解：共有x 支队伍参加比赛，根据题意，可列方程为()1452x x -=；故选：D ．14．D【分析】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为x ，利用这款新能源汽车2024年的销售量=这款新能源汽车2022年的销售量(1´+这款新能源汽车销售量的年平均增长率2)，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设这款新能源汽车销售量的年平均增长率为x ，依题意得：()270011372x +=，解得：12x 0.420%x 2.4==-=，(不符合题意，舍去)，∴这款新能源汽车销售量的年平均增长率为40%．故选：D ．15．C【分析】本题考查了完全平方公式在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握完全平方公式、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：221016890a a b b -+-+=Q ，()()22102516640a a b b \-++-+=，22(5)(8)0a b \-+-=，2(5)0a -³Q ，2(8)0b -³，50a \-=，80b -=，5a \=，8b =，Q 三角形的三条边为a ，b ，c ，b ac b a \-<<+，313c \<<，又Q 这个三角形的最大边为c ，813.c \£<故选：C ．16．D【分析】根据反比例函数的定义判断即可得到正确答案．【详解】解：A 、36y x =-+是一次函数，不符合题意；B 、y =x 2，不符合题意；C 、25=y x 中，未知数的次数是2-次，不是反比例函数，不符合题意；D 、6y x=是反比例函数，符合题意．故选：D【点睛】本题考查反比例函数的定义，牢记定义内容是解题关键．17．2-【分析】本题考查反比例函数定义求参数，解不等式及绝对值方程等知识，由反比例函数定义得到20m -¹，且251m -=-，求解即可得到2m =-，熟记反比例函数定义是解决问题的关键．【详解】解：Q ()252m y m x -=-是反比例函数，20m \-¹，且251m -=-，2m \=-，故答案为：2-．18．D【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象的知识，比例系数相等，那么这两个函数图象必有交点，进而根据一次函数与y 轴的交点判断正确选项即可．【详解】解：∵两个函数的比例系数均为k ，∴两个函数图象必有交点，2y kx =+交y 轴的正半轴，符合这两个条件的选项只有D ．故选：D ．19．A【分析】根据反比例函数的对称性，可得OA 与OC ，OB 与OD 的关系，可得答案．【详解】解：由反比例函数的对称性，得OA =OC ，OB =OD ，ABCD 是平行四边形，故选A.【点睛】反比例函数的性质，平行四边形的判定,解题的关键是熟练掌握反比例函数图象关于原点对称，对角线互相平分的四边形是平行四边形.20．C 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数k y x =的图象在第二、四象限得出0k <，从而可得出答案．【详解】解：∵反比例函数k y x =的图象在第二、四象限，∴0k <，故选：C ．21．4-【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是12k ．设反比例函数的解析式是：k y x=，设A 的点的坐标是(),m n ，则AB m =-，OB n =，mn k =．根据三角形的面积公式即可求得mn 的值，即可求得k 的值．【详解】解：设反比例函数的解析式是：k y x=，设A 的点的坐标是(),m n ．则AB m =-，OB n =，mn k =．∵AB y ^轴，∴AB x ∥轴，∴2AOB ABP S S ==V V ，∴1•22AB OB =，即122mn -=，∴4mn =-，则4k mn ==-．故答案是：4-．22．C【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是4-的，就在此函数图象上．【详解】解：∵反比例函数4y x=-中，∴4xy =-，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为4-的点在函数图象上，四个选项中只有C 选项符合．故选：C ．23．98mn =【分析】连接OP ，分别过点A 、P 作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，证明AOM OPN ∽V V ，然后利用相似三角形的性质分析求解．【详解】解：连接OP ，分别过点A 、P 作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，∴90AMO PNO Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是矩形，∴90,ABC AP PC Ð=°=，∵OA OB =，∴,2OP BC BC OP =∥，∴AOP ABC ∽V V ，90AOP ABC Ð=Ð=°，∴AO OP AB BC=，∴::4:3AO OP AB BC ==，∴90AOM PON ÐÐ=°＋，∵90AMO Ð=°，∴90AOM MAO ÐÐ=°＋，∴MAO PON Ð=Ð，∴AOM OPN ∽V V ，∴2169AOM OPN S AO S OP æö==ç÷èøV V ，∵点A 为双曲线2y x=- 在第二象限上的动点，设点A 的坐标为2,a a æö-ç÷èø，∵()1212AOM S a a -=´-´=V ，∴916OPN S =V ，∵P 的坐标为(),m n ，∴61291OPN S mn ==V ，∴98mn =，故答案为：98mn =．【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义、相似三角形判定与性质和矩形的性质，恰当的构建相似三角形，利用面积比是相似比的平方是解题关键．24．5【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义；通过反比例函数与一次函数交点关于原点成中心对称，得到OA 与OB 相等，得到AOC V 与BOC V 面积相等，再通过反比例函数的几何意义得到AOC V 的面积等于12k ，即可得到结果．【详解】解：Q 反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，A \、B 两点关于原点对称，OA OB \=，BOC AOC S S \=V V ，又A Q 是反比例函数上的点，且AC x ^轴于点C ，AOC \V 的面积=12k =12552´=，ABC V \的面积5=故答案为：5．25．100y=x．【详解】由于点（0.5，200）适合这个函数解析式，则k=0.5×200=100，∴100y=x ．故眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为：100y=x．26．B 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．先分别设出正比例函数以及反比例函数的解析式，代入点坐标，求出解析式；再令4y =分别得出x 的值，进而得出答案．【详解】解：当04x ££时，设直线解析式为：y kx =，将()4,8代入得：84k =，解得：2k =，故直线解析式为：2y x =，当4x ³时，设反比例函数解析式为：a y x=，将()4,8代入得：84a =，解得：32a =，反比例函数解析式为：32y x =；当04x ££时，令4y =，则2x =；当4x ³时，令4y =，8x =；∴826-=（小时）．故选：B ．27．6【详解】解：过点A 作AD ⊥OC 于点D ，∵△ABC 是等腰Rt △ABC ，AD ⊥BC ，∴AD=CD=BD ，∵在Rt △AOD 中，AD 2+OD 2=OA 2，∴OD 2=OA 2-AD 2，∵OC 2-OA 2=（OD+DC ）2-OA 2=OD 2-OA 2+DC 2+2DO•CD=OA 2-AD 2-OA 2+DC 2+2DO•CD=2DO•CD=2DO•AD ，∵顶点A 在反比例函数y=3x（x ＞0）的图象上， ∴xy=3，∴OC 2-OA 2=2DO•AD=2×3=6．故答案是：6．28．70【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质．在Rt ABC △中，根据CD 是斜边AB 上的中线，得CD AD =，可求出20ACD Ð=°即可解决问题．【详解】解：在Rt ABC △中，CD Q 是斜边AB 上的中线，CD AD \=，20A ACD \Ð=Ð=°，902070BCD ACB ACD \Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：70．29．A【分析】先利用菱形的性质求出∠ABD=40°，再利用等腰三角形的性质求出∠BAE=70°即可．【详解】在菱形ABCD ∵∠ABC=80°，∴∠ABD=40°．∵BA=BE ，∴∠BAE=180402-=70°．故选：A ．【点睛】本题运用了菱形的性质和等腰三角形的性质的知识点，运用知识准确计算是解决问题的关键．30．【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．由菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，且菱形的面积为216cm ，可求得其对角线的长，又由勾股定理，即可求得其边长，继而求得答案．【详解】解：∵菱形的一条对角线长是另一条对角线长的2倍，∴设菱形的一条对角线长为2cm x ，则另一条对角线长为cm x ，∵菱形的面积为216cm ，∴12162x x ××=，解得：4x =（舍去负值），∴菱形的两条对角线长分别为4cm ，8cm ，∴)cm =，∴菱形的周长)4cm =´=．故答案为：．31．C【分析】根据菱形的定义和判定定理逐项作出判断即可．【详解】解：A. AB=CD ，无法判断四边形ABCD 是菱形，不合题意；B. AC=BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断□ABCD 是矩形，不合题意；C. AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断□ABCD 是菱形，符合题意；D. AB ⊥BD ，可以得到∠B=90°，根据有一个角是直角的平行四边形叫矩形可以判断□ABCD是矩形，不合题意．故选：C【点睛】本题考查了菱形的判定，熟知菱形的定义和判定定理是解题的关键．32．(1)矩形，见解析(2)见解析【分析】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定；（1）先证明四边形AEBO 为平行四边形，再由由菱形的性质可证明90BOA Ð=°，从而可证明四边形AEBO 是矩形；（2）依据矩形的性质可得到EO BA =，然后依据菱形的性质可得到AB CD =．【详解】（1）解：四边形AEBO 是矩形，证明如下：∵BE AC AE BD ∥，∥，\四边形AEBO 是平行四边形．又Q 菱形ABCD 对角线交于点OAC BD \^，即90AOB Ð=°．\四边形AEBO 是矩形．（2）证明：Q 四边形AEBO 是矩形EO AB \=，在菱形ABCD 中，AB DC =．EO DC \=．33．4【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得BD ＝AC ＝2OA ，即可得到答案．【详解】∵ABCD 是矩形∴OC ＝OA ，BD ＝AC又∵OA ＝2，∴AC ＝OA+OC ＝2OA ＝4∴BD ＝AC ＝4故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．34．C【分析】根据矩形的判定定理逐一判定即可．【详解】解：A 、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意；B 、只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意；C ．有两个角是直角，可以证明边长为3的两边平行，则该四边形是平行四边形，再由有两个角是直角，可证明该四边形是矩形，符合题意；D 、只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键．35．A【分析】先证明△BCF 是等边三角形，得出CF =BC =2，∠BCF =60°，求出CD ，再证明四边形BCDE 是矩形，即可求出面积．【详解】解：连接CF ，如图所示：∵DE 是AC 的中垂线，∴AF =CF ，∠CDE =90°，∴∠ACF =∠A =30°，∴∠CFB =∠A +∠ACF =60°，∵AF =BF ，∴CF =BF ，∴△BCF 是等边三角形，∴CF =BC =2，∠BCF =60°，∴112DF CF ==，1CD ==，603090BCD Ð=°+°=°∵BE ⊥DF ，∴∠E =90°，∴四边形BCDE 是矩形，∴四边形BCDE 的面积=BC •CD 故选A ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角函数以及等边三角形的判定与性质；证明等边三角形和矩形是解决问题的关键．36．5【分析】先由矩形的性质确定BC 与AD 的关系，根据矩形的判定定理，可得BP=AQ ，列出一元一次方程求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm ，设最快x 秒，四边形ABPQ 成为矩形，∵四边形ABPQ 是矩形∴AQ=BP∴3x=20-x∴x=5故答案为：5【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键．37．A【分析】根据正方形与等边三角形的性质可得AB AE =，150BAE Ð=°，即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD 外侧作等边ADE V ，∴,,90,60AB AD AD AE BAD DAE ==Ð=°Ð=°，\AB AE =，150BAE Ð=°，15\Ð=Ð=°ABE AEB ，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，掌握正方形与等边三角形的性质是解题的关键．38．C【分析】本题考查了特殊四边形的判定．利用菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到答案．【详解】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，当AB BC =时，邻边相等，即平行四边形ABCD 是菱形，①结论正确；当AC BD ^时，对角线垂直，即平行四边形ABCD 是菱形，②结论正确；当90ABC Ð=°时，有一个角是直角，即平行四边形ABCD 是矩形，③结论正确；当AC BD =时，对角线相等，即平行四边形ABCD 是矩形，④结论错误；\结论中正确的是①②③，共3个，故选：C ．39．C【分析】根据既是矩形又是菱形的四边形是正方形进行判断即可．【详解】解：A 、对角线互相垂直的矩形是正方形，该项说法正确，故选项不符合题意；B 、对角线相等的菱形是正方形，该项说法正确，故选项不符合题意；C 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，该项说法错误，故选项符合题意；D 、邻边相等的矩形是正方形，该项说法正确，故选项不符合题意．故选∶C【点睛】本题考查了正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形和矩形，菱形的关系，熟练掌握正方形的判定是解题的关键．40．6【分析】由正方形的性质可得CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，得△AEC ∽△ABD ，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，利用相似三角形对应边成比例得到37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得222AE CE AC +=，求得x 的值，进一步即可求得阴影部分的面积．【详解】解：∵四边形CEBF 为正方形，∴CE BD ∥，CE ＝CF ＝BF ＝BE ，∴△AEC ∽△ABD ，∴AE EC AC AB BD AD==，设CE ＝CF ＝BF ＝BE ＝x ，∴37AE x x AE x FD ==++，解得AE ＝34x ，FD ＝43x ，在Rt △AEC 中，由勾股定理得，。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷含答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）A ．2230x x --=B ．2210x y --=C ．()270x x x -+=D ．20ax bx c ++=2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ：EC ＝1：2，AE 与BD 相交于点F ，若S △BEF ＝2，则S △ABD ＝（）A ．24B ．25C ．26D ．233．若方程（a-2）x²+ax-3=0是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是（）A ．a≥2且a≠2B ．a≥0且a≠2C ．a≥2D ．a≠24．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM 、MC 、CN 、NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是（）A ．12OM AC =B ．MB MO =C ．BD AC ⊥D ．AMB CND∠=∠5．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则AB 的长为（）A ．9cmB ．12cmC ．13cmD ．15cm6ABCD 中，30B ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将△ABE沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于（）A 1B ．1C ．12D ．27．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A ．12个B ．16个C ．20个D ．25个8．如图，矩形ABCD 中，AB=8，BC=4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（）A ．B ．C ．5D ．69．如图，在ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC 的中点，连接EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③S 四边形DEBC =2S △EFB ；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则BF 的值是（）A ．14B ．15C ．16D ．1711．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连按EN 、EF ，有以下结论：①△ABM ∽△NEM ；②△AEN 是等腰直角三角形；③当AE=AF 时，2BEEC=④BE+DF=EF ；⑤若点F 是DC 的中点，则CE 23=CB ．其中正确的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．512．如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA′＝2：3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A ．4：9B ．2：5C ．2：3D二、填空题13．已知菱形的周长为24，较大的内角为120°，则菱形的较长的对角线长为_____．14．方程x 2＝2x 的解是_______．15．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点坐标分别是(0O ，0)，(8A ，0)，(8B ，6)，(0C ，6)，已知矩形111OA B C 与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，则点1B 的坐标是______．16．如图，矩形纸片ABCD ，BC=10，AB=8，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE=5，则GE 的长为____．三、解答题17．解方程：①2x 2﹣4x ﹣3＝0；②5（x+1）2＝7（x+1）．18．（1）解方程(3)30x x x -+-=；（2）解方程2220x x --=；(3)已知a≠0，b≠0，a≠b 且x=1是方程ax²+bx-10=0的一个解，求2222a b a b--的值.19．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边作平行四边形ABDE ，连接AD ，EC ．（1）求证：△ADC ≌△ECD ；（2）当点D 在什么位置时，四边形ADCE 是矩形，请说明理由．20．某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x 元，（1）当定价增加5元时，获利是多少元？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？21．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在边AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE 位置，连接AE（1）求证：AB ⊥AE ；（2）若BC 2=AD•AB ，求证：四边形ADCE 为正方形．22．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.23．已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）证明ABDF是平行四边形；（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长．24．已知如图，矩形ABCD的周长为64，AB=12，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于E、F，连接AF、CE、EF，且EF与AC相交于点O．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求S△ABF 与S△AEF的比值．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B 出发，沿BA方向匀速运动，速度为4cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t 为何值时，△EPQ 为等腰三角形？参考答案1．A 【解析】【详解】试题解析：A 、符合一元二次方程的定义，正确；B 、方程含有两个未知数，错误；C 、原方程可化为-7x=0，是一元一次方程，错误；D 、方程二次项系数可能为0，错误．故选A ．考点：一元二次方程的定义．2．A 【解析】【分析】已知平行四边形ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ：EC ＝1：2，可知△BEF ∽△ADF 得出相似比1==3BE BF EF AD DF AF =，所以211(39S BEF S ADF ==V V 得出18S ADF =V 根据2S BEF =V ，在△BEF 中，把EF 作为底边，在三角形ABF 中，把AF 作为底边，高相等，面积比即是底边的比，即13S BEF EF S ABF AF ==V V ，得出6S ABF =V ，S ABD S ABF S ADF =+V V V 求得答案．【详解】在平行四边形ABCD 中AD=BC ，AD ∥BC ∴△BEF ∽△ADF ，∴1==3BE BF EF AD DF AF =∴211(39S BEF S ADF ==V V ∵2S BEF =V ∴18S ADF =V 在△BEF 中，把EF 作为底边，在三角形ABF 中，把AF 作为底边，高相等，面积比即是底边的比，即13S BEF EF S ABF AF ==V V ∴6S ABF =V 且18S ADF =V ∴61824S ABD S ABF S ADF =+=+=V V V 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，如果两个三角形相似，面积比就等于相似比的平方，可以作为求解三角形面积的方法.3．D 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到a-2≠0，由此求得a 的取值范围．【详解】解：依题意得：a-2≠0，解得a≠2．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．A 【解析】【分析】由平行四边形的性质可知：OA OC =，OB OD =，再证明OM ON =即可证明四边形AMCN 是平行四边形．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，∵对角线BD 上的两点M 、N 满足BM DN =，∴OB BM OD DN -=-，即OM ON =，∴四边形AMCN 是平行四边形，∵12OM AC =，∴MN AC =，∴四边形AMCN 是矩形．故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．C 【解析】【分析】根据正方形的面积求出AC 的长，根据菱形的面积求出BD 的长,再利用菱形的对角线互相垂直平分计算菱形的边长．【详解】解：因为正方形AECF 的面积为50cm 2，所以AC=10cm=因为菱形ABCD 的面积为120cm 2，所以BD=21202410cm ⨯=所以菱形的边长=13cm 故选C ．【点睛】此题考查正方形和菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．6．A 【解析】【分析】在Rt △ABE 中，∠B=30°，BE=32，根据△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置可知BF=3，结合菱形ABCD 32，则利用菱形对边平行即CG ∥AB ，再根据平行线段成比例可得CG CFAB BF ==求得1【详解】∵∠B=30°，AE ⊥BC∴AE=2，BE=32∴BF=3，32，则又∵CG ∥AB ∴CG CFAB BF=33=解得1.【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线段成比例，图形的翻折，解本题的关键是通过利用菱形对边平行发现与要求线段CG 与其他线段成比例的关系.7．B 【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设盒子中有红球x 个，由题意可得：44x +=0.2，解得：x=16，故选B ．．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系8．C 【解析】【详解】连接EF 交AC 于点M ，由四边形EGFH 为菱形可得FM=EM ，EF ⊥AC ；利用“AAS 或ASA”易证△FMC ≌△EMA ，根据全等三角形的性质可得AM=MC ；在Rt △ABC 中，由勾股定理求得AC=tan ∠BAC=12BC AB =；在Rt △AME 中，AM=12AC=，tan ∠BAC=12EM AM =可得Rt △AME 中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．9．D 【解析】【分析】如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．证明△DFE ≌△FCG 得EF=FG ，BE ⊥BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题.【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∴S四边形DEBC∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．10．B【解析】【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵a∥b∥c，AC＝8，CE＝12，BD＝6，∴AC BD AE BF=,即86=812BF +，解得：=15BF，故选：B.【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．11．C【解析】【分析】①如图，证明△AMN ∽△BME 和△AMB ∽△NME ，②利用相似三角形的性质可得∠NAE=∠AEN=45°，则△AEN 是等腰直角三角形可作判断；③先证明CE=CF ，假设正方形边长为1，设CE=x ，则BE=1-x ，表示AC 的长为AO+OC 可作判断；④如图3，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，证明△AEF ≌△AEH （SAS ），则EF=EH=BE+BH=BE+DF ，可作判断；⑤如图4中，设正方形的边长为2a ，则DF=CF=a ，，想办法求出BE ，EC 即可判断．【详解】如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME ，∴△AMN ∽△BME ，∴AM MN BM EN =，∴AM BM MN EN=，∵∠AMB=∠EMN ，∴△AMB ∽△NME ，故①正确，∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN 是等腰直角三角形，故②正确，在△ABE 和△ADF 中，∵90AB AD ABE ADF AE AF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF(HL)，∴BE=DF ．∵BC=CD ，∴CE=CF ，假设正方形边长为1，设CE=x ，则BE=1﹣x ，如图2，连接AC ，交EF 于H ，∵AE=AF ，CE=CF ，∴AC 是EF 的垂直平分线，∴AC ⊥EF ，OE=OF ，Rt △CEF 中，OC 12=EF 22=，在△EAF 中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE ．∵AE=AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AOE(HL)，∴AO=AB=1，∴AC 2==AO+OC ，∴122+x 2=∴x=22-，∴1222222BE EC -==-③如图3，∴将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABH ，则AF=AH ，∠DAF=∠BAH ．∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE ．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H 、B 、E 三点共线，在△AEF 和△AEH 中，AE AE FAE HAE AF AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF ，故④正确，如图4中，设正方形的边长为2a ，则DF=CF=a ，AF =a，∵DF ∥AB ，∴12FN DF AN AB ==，∴AN=NE 23=AF =a ，∴AE =3=a ，∴BE 23=a ，∴EC 43=a 23=BC ，故⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．12．A【解析】【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′＝2：3，∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，故选：A．【点睛】本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.13．【解析】【分析】由菱形的性质可得AB=6，AC⊥BD，BD=2OB，由直角三角形的性质可得AO=1，由勾股定理可求BO的长，即可得BD的长．【详解】解：如图所示：∵菱形ABCD的周长为24，∴AB=6，AC⊥BD，BD=2OB，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=12∠ABC=30°，∴AO=3，∴∴BD=故答案为：.【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．14．x 1＝0，x 2＝2【解析】【分析】先移项得到x 2﹣2x ＝0，再把方程左边进行因式分解得到x （x ﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x ＝0或x ﹣2＝0，即可得到原方程的解为x 1＝0，x 2＝2．【详解】解：∵x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ＝0或x ﹣2＝0，∴x 1＝0，x 2＝2．故答案为：x 1＝0，x 2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并能够根据方程的特征灵活选用合适的方法解答是解题的关键．15．()4,3或()4,3--【解析】【分析】由矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，又由点B 的坐标为（8，6），即可求得答案．【详解】解：如图，∵矩形OA 1B 1C 1与矩形OABC 位似，位似中心为坐标原点O ，位似比为12，∴点B 1的坐标是：（4，3）或（-4，-3）．故答案为：（4，3）或（-4，-3）．【点睛】本题考查了位似图形的性质，注意位似图形是特殊的相似图形，注意数形结合思想的应用．16．955．【解析】【分析】由勾股定理求出AE 的长，证明△ABH ∽△EAD ，得出AH AB DE AE =求出AH 的长，得出AG 的长，即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD=8，AD=BC=10，∠BAD=∠D=90°，∴AE 2222105AD DE =+=+=5由折叠及轴对称的性质可知，△ABF ≌△GBF ，BF 垂直平分AG ，∴BF ⊥AE ，AH=GH ，∴∠BAH+∠ABH=90°，又∵∠FAH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠FAH ，∴△ABH ∽△EAD ，∴AH AB DE AE =，即555AH =解得：AH 855=∴AG=2AH 1655=，∴GE=AE ﹣55555=．【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．17．①x 1＝22，x 2＝22；②x 1＝﹣1，x 2＝25．【解析】【分析】①直接利用一元二次方程的求根公式，求方程的解；②先移项得到5（x+1）2﹣7（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程，即可求解．【详解】①2x 2﹣4x ﹣3＝0，a ＝2，b ＝﹣4，c ＝﹣3，∴△＝b 2﹣4ac ＝16﹣4×2×（﹣3）＝40，∴2b x a -±==，∴x 1x 2；②5（x+1）2﹣7（x+1）＝0，（x+1）（5x+5﹣7）＝0，x+1＝0或5x+5﹣7＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝25．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法和因式分解法解一元二次方程，是解题的关键．18．（1）123,1x x ==-；（2）1211x x ==（3）5.【解析】【分析】（1）提公因式因式分解后可解；（2）把方程左边化为完全平方式的形式，再利用直接开方法求出x 的值即可；（3）把x=1代入方程求得a+b=10，然后将其整体代入化简后的分式并求值．【详解】解：（1）因式分解得(3)(1)0x x -+=，∴123,1x x ==-；（2）∵原方程可化为（x-1）2=3，1x ∴-=1x ∴=±1211x x ∴==（3）解：∵x=1是方程ax²+bx-10=0的根，∴a+b=10，∴225222a b a b a b -+==-,故答案是：5.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法是解题关键．19．（1）证明见解析；（2）点D 在BC 的中点上时，四边形ADCE 是矩形．【解析】【分析】（1）利用等边对等角以及平行四边形的性质可以证得∠EDC=∠ACB ，则易证△ADC ≌△ECD ，利用全等三角形的对应边相等即可证得；（2）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD ，AE ∥CD ，得出平行四边形，根据AC=DE 推出即可．【详解】解：（1）证明：∵AB=AC ，∴∠B=∠ACB ，又∵▱ABDE 中，AB=DE ，AB ∥DE ，∴∠B=∠EDC=∠ACB ，AC=DE ，在△ADC 和△ECD 中，{EDC=ACB DC=CDAC DE=∠∠，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）．（2）点D 在BC 的中点上时，四边形ADCE 是矩形，∵四边形ABDE 是平行四边形，∴AE=BD ，AE ∥BC ，∵D 为边长中点，∴BD=CD ，∴AE=CD ，AE ∥CD ，∴四边形ADCE是平行四边形，∵△ADC≌△ECD，∴AC=DE，∴四边形ADCE是矩形，即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定的应用．20．（1）5250元；（2）当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个【解析】【分析】（1）根据利润＝每件商品利润×销售量，列式即可求解；（2）总利润＝每件商品利润×销售量，销售量为400﹣10x，列方程求解，根据题意取舍；【详解】（1）定价增加5元即为：50+5=55元时，销售量为：400-10×5=350获利为：（50+5﹣40）（400﹣5×10）＝5250元（2）设每个定价增加x元，根据题意（x+10）（400﹣10x）＝6000，整理得：x2﹣30x+200＝0解得，x1＝10，x2＝20，∵要使进货量较少，∴x＝20，∴定价为50+20＝70元，进货量为：400﹣10x＝400﹣200＝200．当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个．【点睛】本题是一元二次方程的实际应用问题，现列出关于x的关系式，求解一元二次方程，根据条件对x值取舍，确定最终符合题意的答案.21．（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论．（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论.（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形.【详解】证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE∵在△BCD和△ACE中，BC AC {BCD ACE CD CE=∠=∠=，∴△BCD≌△ACE（SAS）∴∠B=∠CAE=45°∴∠BAE=45°+45°=90°∴AB⊥AE（2）∵BC2=AD•AB，BC=AC，∴AC2=AD•AB∴AC AD AB AC=∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB∴∠CDA=∠BCA=90°∵∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四边形ADCE为矩形∴四边形ADCE 为正方形.22．（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克,b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.23．（1）证明见解析；（2）485．【解析】【分析】（1）先证得△ADB ≌△CDB 求得∠BCD=∠BAD ，从而得到∠ADF=∠BAD ，所以AB ∥FD ，因为BD ⊥AC ，AF ⊥AC ，所以AF ∥BD ，即可证得．（2）先证得平行四边形是菱形，然后根据勾股定理即可求得．【详解】（1）证明：∵BD 垂直平分AC ，∴AB=BC ，AD=DC ，在△ADB 与△CDB 中，AB BC AD DC DB DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CDB （SSS ）∴∠BCD=∠BAD ，∵∠BCD=∠ADF ，∴∠BAD=∠ADF ，∴AB ∥FD ，∵BD ⊥AC ，AF ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形，（2）解：∵四边形ABDF 是平行四边形，AF=DF=5，∴▱ABDF 是菱形，∴AB=BD=5，∵AD=6，设BE=x ，则DE=5-x ，∴AB 2-BE 2=AD 2-DE 2，即52-x 2=62-（5-x ）2解得：x=75，∴245AE =，∴AC=2AE=485．考点：1．平行四边形的判定；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．24．（1）证明见解析；（2）8：17．【解析】【分析】（1）根据SSS 证明△AOE ≌△COF ，根据全等得出OE=OF ，推出四边形是平行四边形，再根据EF ⊥AC 即可推出四边形是菱形；（2）由（1）知S △AEF =S △ACF ，再分别求得S △ABF 与S △AEF 的面积即可得到其比值．【详解】∴AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF．∵EF垂直平分AC，∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE=OF，∴四边形AFEC是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AFEC是菱形；（2）∵△AOE≌△COF，∴S△AEF=S△ACF∵S△ABF=3BF，S△AEF=3FC，∴S△ABF：S△AEF=BF：FC．∵矩形ABCD的周长为64，AB=12，∴BC=20，设FC=x，则AF=x，BF=20﹣x在Rt△ABF中，由勾股定理122+(20﹣x)2=x2解得：x68 5 =，BF32 5 =，∴S△ABF：S△AEF=BF：FC=8：17．【点睛】此题主要考查了矩形的性质、线段的垂直平分线性质、菱形的判定以及勾股定理等知识的综合应用．熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．25．（1）4114s或4013s；（2）t＝1或3或207或196秒【解析】【分析】（1）①当PQ⊥AB时，△PQE是直角三角形．证明△PQE∽△ACB，将PE、QE用时间t 表示，由三角形对应线段成比例的性质即可求出t值；②当PQ⊥DE时，证明△PQE∽△DAE，（2）分三种情形讨论，①当点Q在线段BE上时，EP＝EQ；②当点Q在线段AE上时，EQ＝EP；③当点Q在线段AE上时，EQ＝QP；④当点Q在线段AE上时，PQ＝EP，分别列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝16cm，∴AB20cm．∵D、E分别是AC、AB的中点．∴AD＝DC＝6cm，AE＝EB＝10cm，DE∥BC且DE＝12BC＝8cm，①如图1中，PQ⊥AB时，∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，∴△PQE∽△ADE，∴PE QE AE DE=，由题意得：PE＝8﹣2t，QE＝4t﹣10，即82410 108t t--=，解得t＝41 14；②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，∴PE QE ED AE=，∴82410 810t t--=，∴t＝40 13，∴当t为4114s或4013s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．（2）①如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得8﹣2t＝10﹣4t，t＝1．②如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得8﹣2t＝4t﹣10，解得t＝3．③如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得12（8﹣2t）：（4t﹣10）＝4：5，解得t＝20 7．④如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得12（4t﹣10）：（8﹣2t）＝4：5，解得t＝19 6．综上所述，t＝1或3或207或196秒时，△PQE是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，注意分类讨论，灵活的用含t的代数式表示线段的长度是解题的关键.。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷及答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．下列说法错误的是（）A ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B ．矩形的对角线相等C ．对角线相等的菱形是正方形D ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形2．一个菱形的两条对角线分别为4和5，则这个菱形的面积是（）A ．8B ．10C ．15D ．203．在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，34ADB ∠=︒，则BAO ∠的度数是A ．46°B ．54°C ．56°D ．60°4．如图，公路AC 、BC 互相垂直，公路AB 的中点M 与点C 被湖隔开，若测得AB 的长为3.2km ，则M ，C 之间的距离是（）A ．0.8kmB ．1.6kmC ．2.0kmD ．3.2km 5．用配方法解方程2640x x ++=时，原方程变形为（）A ．2(3)9x +=B ．2(3)13x +=C ．2(3)5x +=D ．2(3)4x +=6．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．347．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或48．某地一家餐厅新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C ．5000（1﹣x ）2＝6050D ．5000（1+x ）2＝60509．如图矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，CE 垂直平分DO ，AB 1=，则BE 等于（）A ．32B ．43C ．23D ．210．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则PBQ 周长的最小值为（）AB ．3C 1D ．二、填空题11．一元二次方程()211x x +=+的根是_____．12．若关于x 的方程21(1)7a a x +--＝0是一元二次方程，则a ＝____．13．x 2﹣4x+1＝（x ﹣2）2﹣______．14．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD 为菱形．15．若关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则k 的最大整数值是_________．16．一个袋子中6个红球，若干白球，它们除颜色外完全相同，现在经过大量重复的摸球试验发现，摸出一个球是白球的频率稳定在0.4附近，则袋子中白球有_____个．17．如图，正方形ABCD 的对角线BD 是菱形BEFD 的一边，菱形BEFD 的对角线BF 交CD 于点P ，则∠FPC 的度数是______．18．如图，在Rt ABC 中，90A ∠= ，AB=6，BC=10，P 是BC 边上的一点，作PE 垂直AB ，PF 垂直AC ，垂足分别为E 、F ，求EF 的最小值是_____．三、解答题19．用适当的方法解方程：(1)x 2+2x ﹣1＝0；（用配方法）(2)3x 2﹣5x+1＝0；（用公式法）(3)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法）(4)3x 2+5x ＝3x+3．（选择适当的方法）20．“一方有难，八方支援”．四川汶川大地震牵动着全国人民的心，我市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A 、B 两名护士中选取一位医生和一名护士支援汶川．（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；（2）求恰好选中医生甲和护士A 的概率．21．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，AC ∥BE ，CE ∥BD ．(1)求∠DBC 的度数；(2)求证：四边形OBEC 是矩形．22．如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．（1）证明：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数．23．某公园内有一块长30m，宽20m的矩形空地，准备将其建成一个矩形花坛，要求在花坛中修建三条长方形的矩形小道（如图），剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为532m2，那么小道的宽度应为多少米？（注：所有小道宽度相等）24．某服装专卖店在销售中发现，一款衬衫每件进价为70元，销售价为100元时，每天可售出20件，今年受“疫情”影响，为尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．试问：每件衬衫降价多少元时，平均每天赢利750元？25．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△AFE≌△DBE；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF是不是菱形？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案1．A【解析】根据特殊平行四边形的性质判断即可；【详解】经过判断，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A错误；B、C、D均正确；故答案选A．【点睛】本题主要考查了特殊平行四边形的判定，准确判断是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可；【详解】∵菱形的两条对角线分别为4和5，∴菱形的面积14510 2=⨯⨯=；故答案选B．【点睛】本题主要考查了菱形的面积计算，准确计算是解题的关键．3．C【解析】【分析】由矩形的性质得∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD，则OA＝OD，由等腰三角形的性质得∠OAD＝∠ADB＝34°，进而得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，AC＝BD，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADB＝34°，∴∠BAO＝90°−∠OAD＝90°−34°＝56°；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB，代入求出即可．【详解】∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∵M为AB的中点，∴CM=12 AB，∵AB=3.2km，∴CM=1.6km，故选：B．【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=12AB是解题的关键．5．C【解析】【分析】方程整理后，配方得到结果，即可做出判断．【详解】解：方程配方得：x2+6x+5+4-5=0，即（x+3）2=5．故选：C．【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6．B【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为412=13，故选B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．7．A【解析】【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：x2－6x+8=0（x－4）（x－2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．8．D【解析】【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x ，依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．A【解析】【分析】根据矩形的性质可证明ODC ，OAB 都是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出OE 的长，即可的答案；【详解】四边形ABCD 是矩形，OA OB OD OC ∴===，CE 垂直平分相等OD ，CO CD ∴=，OC OD CD ∴==，OCD ，AOB 都是等边三角形，OB AB OD 1∴===，OE DE ==12OD=12，13BE 122∴=+=，【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判断和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．C【解析】【分析】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DQ ，交AC 于点P ，那么PBQ 的周长最小，此时PBQ 的周长BP PQ BQ DQ BQ.=++=+在Rt CDQ 中，由勾股定理先计算出DQ 的长度，再得出结果即可．【详解】连接DQ ，交AC 于点P ，连接PB 、BD ，BD 交AC 于O ．四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，BO OD =，CD 2cm =，∴点B 与点D 关于AC 对称，BP DP ∴=，BP PQ DP PQ DQ ∴+=+=．在Rt CDQ 中，DQ ===，PBQ ∴的周长的最小值为：BP PQ BQ DQ BQ 1++=+=+．故选C ．【点睛】此题考查轴对称问题，根据两点之间线段最短，确定点P 的位置是解题关键．11．10x =，21x =-【分析】利用因式分解法求解可得．【详解】解：2(1)1x x +=+ ，2(1)(1)0x x ∴+-+=，则(1)0x x +=，0x ∴=或10x +=，解得10x =，21x =-，故答案为：10x =，21x =-．12．﹣1．【解析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a 的值．【详解】解：∵关于x 的方程（a ﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a 2+1＝2，且a ﹣1≠0，解得，a ＝﹣1．故答案为﹣1．13．3【解析】利用配方法的步骤整理即可．【详解】解：x 2﹣4x+1＝x 2﹣4x+4﹣3＝（x ﹣2）2﹣3，故答案为3，14．AD=DC （答案不唯一）【详解】由四边形ABCD 是平行四边形，添加AD=DC ，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD 为菱形；添加AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD 为菱形．故答案为：AD=DC （答案不唯一）．15．0【解析】关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则△=240b a -≥，且k-1≠0，求出k 的取值范围即可解决本题.【详解】解：关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则()=1410k 10△--≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩k ，解得：54k ≤且k≠1，则k 的最大整数值为；0，故答案为：0.16．4【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】设袋子中白球有x 个，由题意得，6x x+＝0.4，解得：x ＝4，经检验x=4是原方程的解故袋子中白球有4个，故答案为：4．17．112.5°【解析】利用正方形的性质得到90BCD ∠︒＝，45CBD ∠︒＝，再根据菱形的性质得BF 平分,EBD ∠，所以22.5CBP ∠︒＝，然后根据三角形外角性质计算∠FPC 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 为正方形，90BCD ∴∠︒＝，45CBD ∠︒＝，∵四边形BEFD 为菱形，∴BF 平分∠EBD ，22.5CBP ∴∠︒＝，22.590112.5FPC PBC BCP ∴∠∠∠︒︒︒＝＋＝＋＝．故答案为：112.5︒．18．4.8【解析】根据已知得出四边形AEPF 是矩形，得出EF=AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，根据垂线段最短得出即可．【详解】解：连接AP ，∵∠BAC=90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠BAC=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF=AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，过A 作AP ⊥BC 于P ，此时AP 最小，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，BC=10，AB=6，由勾股定理得：AC=8，由三角形面积公式得：116810AP 22⨯⨯=⨯⋅，∴AP=4.8，即EF=4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理以及垂线段最短的应用．19．(1)x1＝﹣x 2＝﹣1(2)x 1x 2(3)x 1＝﹣12，x 2＝﹣16(4)1211,33x x --==【解析】【分析】（1）根据配方法求解即可；（2）根据公式法求解即可；（3）根据因式分解法求解即可；（4）根据公式法求解即可；(1)解：x 2+2x ﹣1＝0，x 2+2x ＝1，x 2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝，∴x 1＝﹣x 2＝﹣1(2)解：3x 2﹣5x+1＝0，∵a ＝3，b ＝﹣5，c ＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0，则x即x 1＝56，x 2＝56-；(3)解：3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0，2x+1＝0或6x+1＝0，x 1＝﹣12，x 2＝﹣16．(4)解：3x 2+5x ＝3x+3，3x 2+2x-3=0∵a ＝3，b ＝2，c ＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，∴x ＝223-±⨯＝13-，∴x 1＝13-+，x 2【点睛】本题考查解一元二次方程的解法，熟练掌握解法解一元二次方程的方法：配方法、公式法、因式分三种方法是解题的关键．20．（1）详见解析；（2）16【解析】（1）利用用树状图（或列表法）列举出所有情况；（2）让恰好选中医生甲和护士A 的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）用列表法或树状图表示所有可能结果如下：护士医生A B 甲（甲，)A （甲，)B 乙（乙，)A （乙，)B丙（丙，)A（丙，)B（2）因为共有6种等可能的结果，其中恰好选中医生甲和护士A的有1种，所以P（恰好选中医生甲和护士1)6A=．（3分）【点睛】本题考查的是用列表法或者用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题的关键是还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．（1）30°（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，得到对边平行，且BD为角平分线，利用两直线平行得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠BDC度数；（2）由四边形ABCD是菱形，得到对角线互相垂直，利用两组对边平行的四边形是平行四边形，再利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证．【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC=12∠ABC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC：∠BAD=1：2，∴∠ABC=60°，∴∠BDC=12∠ABC=30°;（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC=90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形．【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．22．（1）见解析；（2）90°【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形，BD 是正方形ABCD 的对角线，得AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，利用SAS 可证得△ABP ≌△CBP 即可证明PC ＝PE ．（2）由△ABP ≌△CBP ，得∠BAP ＝∠BCP ，从而得∠DAP ＝∠DCP ，再由PA ＝PE 即可证出∠DCP ＝∠E ，进而可证出∠CPE ＝∠EDF ＝90°．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴AB ＝BC ，∠ABP ＝∠CBP ＝45°，在△ABP 和△CBP 中，=AB BC ABP CBP PB PB =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△CBP （SAS ），∴PA ＝PC ，∵PA ＝PE ，∴PC ＝PE ，（2）解：由（1）知，△ABP ≌△CBP ，∴∠BAP ＝∠BCP ，∴∠DAP ＝∠DCP ，∵PA ＝PE ，∴∠DAP ＝∠E ，∴∠DCP＝∠E，∵∠CFP＝∠EFD，∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPE＝∠EDF＝90°．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．23．小道进出口的宽度应为1米．【解析】【分析】观察图形可知，种植花草的地方拼凑起来可以得到一个新矩形，设小道进出口的宽度为x 米，则新矩形的长是（30﹣2x）m，宽是（20﹣x）m，根据面积公式列方程，求解即可．【详解】设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，整理，得x2﹣35x+34＝0，解得，x1＝1，x2＝34．∵34＞20（不合题意，舍去），∴x＝1．答：小道进出口的宽度应为1米．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列方程，注意根据实际意义对求得的根进行取舍．24．每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元【解析】【分析】设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，再写出单件利润的表达式（100﹣70﹣x），两者乘积为总利润，解方程，根据题意对根进行取舍，即可求出答案．【详解】设每件衬衫降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，依题意，得：（100﹣70﹣x）（20+2x）＝750，整理，得：x 2﹣20x+75＝0，解得：x 1＝5，x 2＝15．∵尽快减少库存，∴x ＝15．答：每件衬衫降价15元时，平均每天赢利750元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题中的等量关系列方程，注意根据题意对求得的根进行取舍．25．（1）证明见解析；（2）四边形ADCF 是菱形，证明见解析【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AFE=∠DBE ，然后利用AAS 判定△AFE ≌△DBE 即可；（2）首先证明四边形ADCF 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD ，进而可得四边形ADCF 是菱形．【详解】(1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，在△AFE 和△DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；（2）解：四边形ADCF 是菱形，理由如下：∵△AFE ≌△DBE ，∴AF=BD ，∵AD 是斜边BC 的中线，∴BD=DC∴AF=DC ．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=12BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷带答案
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．若用配方法解一元二次方程22310x x --=时，下列变形正确的为（）A ．2317416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．23142x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．231324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D ．2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2．如果点C 是线段AB 延长线上的—点，且:5:2AC BC =，那么:AB BC 等于（）A ．5：2B ．1：2C ．3：2D ．2：33．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数与实数b 的取值有关4．下列各选项：①两个边长不等的等边三角形；②两个边长不等的正方形；③两个边长不等的菱形；④两个斜边不等的等腰直角三角形，其中的两个图形一定相似的有（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④5．小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面--小明赢1分；抛出其他结果--小刚赢1分；谁先到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是（）A ．把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”B ．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”C ．把“小明赢1分”改为“小明赢3分”D ．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”6．如图，点()6,4P 在ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC 缩小到原来的12，得到A B C '''V ，则点P 在A C ''上的对应点P '的坐标为（）A ．()2,3B ．()3,4C ．()3,2D ．()3,37．如图，直线a b ∥，直线c 与直线a 、b 都相交，从1∠，2∠，3∠，4∠这四个角中任意选取2个角，则所选取的2个角互为补角的概率是（）A ．14B ．12C ．34D ．238．一元二次方程x 2﹣4x+4=0的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定9．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点.若60AOB ∠=︒，8AC =，则AB 的长为（）A ．4B ．C ．3D ．510．如图，菱形ABCD 的面积为120cm 2，正方形AECF 的面积为50cm 2，则AB 的长为（）A ．9cmB ．12cmC ．13cmD ．15cm二、填空题11．已知关于x 的一元二次方程2310mx x -+=有两个实数根，则m 的取值范围是______．12．已知0234a b c ==≠，则a b c +的值为______．13．在一个不透明的口袋中装有8个红球，若干个白球，这些球除颜色不同外其它都相同，若从中随机摸出一个球，它是红球的概率为25，则白球的个数为______．14．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角度数，正方形ABCD 变为菱形ABC D ''，若30BAD '∠=︒，且菱形ABC D ''的面积为16，则正方形ABCD 的面积为______．15．如图，是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分为三个扇形，并分别标有2、3、4和6、7、8这6个数字，如果同时转动这两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字之和为奇数的概率为______．16．如图，矩形ABCD 的边CD 上有一点E ，22.5DAE ∠=︒，EF AB ⊥，垂足为F ，将AEF 绕着点F 顺时针旋转，使得点A 的对应点M 落在EF 上，点E 恰好落在点B 处，连接BE ．下列结论：①BM AE ⊥；②四边形EFBC 是正方形；③30EBM ∠=︒；④AB BE =，其中结论正确的为______．（填写序号即可）三、解答题17．用适当的方法解方程：2212033x x +-=18．已知关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a ++=≠有两个相等的实数根，求222(2)4ab a b +--的值．19．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字-3，-1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出的骰子正面朝上的数记为m ，第二次掷出的骰子正面朝上的数记为n ，则点P 记作(),m n ．请用画树状图或列表法求点(),P m n 恰好落在第二象限的概率．20．在四边形ABCD 中，DC AB ∥，90DAB ∠=︒，AC BC ⊥，AC BC =，ABC ∠的平分线分别交AD 、AC 于点E 、F ，求EF BF 的值．21．某商店将进价为每件10元的商品以每件14元的价格售出，平均每天能售出220件．经市场调查发现：这种商品每件的售价每上涨1元，其销售量就将减少20件，该商店计划通过提高售价减少销售量的办法来增加利润．若物价部门规定此种商品每件利润不能超过进价的80%，且商店想要获得平均每天1080元的利润，则这种商品的售价应定为多少元？22．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，以AC 为斜边的等腰直角三角形AEC 的边CE 与AD 交于点F ，连接OE ，使得OE OD =．在AD 上截取AH CD =，连接EH 、ED ．（1）判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；（2）若2AB =，6BC =，求EH 的长．23．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE AC ∥且12DE AC =，连接AE 交OD 于点F ，连接OE ．（1）求证：OE AB =；（2）若菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，求AE 的长．24．已知四边形ABCD 是正方形，点P 在线段BC 上，点G 在线段AD 上（P 、G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD PG =，DF PG ⊥于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，连接EF ．（1）求证：DF PG =；（2）求证：四边形PEFD 是菱形；（3）若3AB =，1PC =．求四边形PEFD 的面积．25．如图，在ABC 和ADE 中，AB AC =，AD AE =，且BAC DAE ∠=∠，线段AC 与DE 交于点G ，连接BD ，CE ．（1）如图1，当B ，D ，E 三点共线时，求证：BEC DAE ∠=∠；（2）如图2，当B ，D ，E 三点不共线时，延长ED 交BC 于点F ，求证：AD CG EG FC ⋅=⋅．参考答案1．D【解析】先将常数项移到等号的右边，根据等式的性质将二次项的系数化为1，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可．【详解】解：原方程变形为：2231x x -=，23122x x -=，配方为：23919216216x x -+=+，23()46171x ∴-=．故选：D ．【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程的运用，配方法的解法的运用，解题的关键是熟练配方法的步骤．2．C【解析】【分析】先画出图形，设BC 为2k ，然后用k 表示出AB ，最后求出:AB BC 即可．【详解】根据题意可画出下图：:5:2AC BC = ，设2BC k =，则5AC k =，523AB AC BC k k k ∴=-=-=，:3:23:2AB BC k k ∴==．故选：C ．【点睛】本题主要考查了成比例线段，正确设出线段的长度是解题的关键．3．A【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．【详解】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．C【解析】【分析】利用相似图形的判定方法：形状相同的图形称为相似形，进而分别判断得出即可．【详解】解：①两个边长不等的等边三角形一定相似，符合题意；②两个边长不等的正方形一定相似，符合题意；③两个边长不等的菱形的对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，不符合题意；④两个斜边不等的等腰直角三角形一定相似，符合题意；故选：C．【点睛】考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边成比例的图形相似，难度不大．5．D【解析】【详解】解：如图，因为p （正，正）=14，则出现其他结果的概率为：34．A ．根据出现抛出两个相同面的概率为：12，则把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”正确，故此选项正确不符合题意；B ．把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”时，两人获胜概率都为：14，故此时公平，故此选项正确不符合题意；C ．∵小明获胜概率为：14，小刚获胜概率为：34，故把“小明赢1分”改为“小明赢3分”，故此时公平，故此选项正确不符合题意；D ．把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分，此时不公平，故此选项错误符合题意；故选D ．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．6．C【解析】【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，进而结合已知得出答案．【详解】解：∵点()6,4P 在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A′B′C′，∴点P 在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（3，2）．故答案选C【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．7．B【解析】【分析】用列表法列出所有结果数，再求出所选取的2个角互为补角结果数，即可求解．【详解】解：从1∠，2∠，3∠，4∠这四个角中任意选取2个角，列表可得：1∠2∠3∠4∠1∠1∠，2∠1∠，3∠1∠，4∠2∠2∠，1∠2∠，3∠2∠，4∠3∠3∠，1∠3∠，2∠3∠，4∠4∠4∠，1∠4∠，2∠4∠，3∠共有12种结果，其中所选取的2个角互为补角有6种结果（1∠，2∠）、（2∠，1∠）、（2∠，3∠）、（3∠，2∠）、（2∠，4∠）、（4∠，2∠）所选取的2个角互为补角的概率为61122=故选B【点睛】此题考查了列表法或树状图求概率，涉及了平行线的性质以及补角的定义，解题的关键是掌握列表法或树状图求概率的方法．8．B【解析】【分析】把a=1，b=-4，c=4代入判别式△=b2-4ac 进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】解：∵一元二次方程x2-4x+4=0，∴△=（-4）2-4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0，方程没有实数根．9．A【解析】【分析】根据矩形的对角线的性质可得OB=OC，求得∠ACB=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出AB的值．【详解】∵ABCD是矩形，∴OA=OB=OC，∵∠AOB=60°，∴∠ACB=30°，∵AC=8，∴AB=1184 22AC=⨯=，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握矩形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．C【解析】【分析】根据正方形的面积求出AC的长，根据菱形的面积求出BD的长,再利用菱形的对角线互相垂直平分计算菱形的边长．【详解】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=10cm=因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=21202410cm ⨯=所以菱形的边长=13cm 故选C ．【点睛】此题考查正方形和菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．11．94m ≤且0m ≠【解析】【分析】由于关于x 的一元二次方程有实数根，计算根的判别式240b ac ∆=-≥，得关于m 的不等式，由于一元二次方程二次项系数不为0得出，0m ≠，求解即可．【详解】关于x 的一元二次方程2310mx x -+=有实数根，224(3)410b ac m ∴∆=-=--⨯⨯≥，且0m ≠．解得：94m ≤且0m ≠．故答案为：94m ≤且0m ≠．【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式的应用，掌握“方程()200++=≠ax bx c a 有两个实数根，则240b ac ∆=-≥”是解题的关键.12．54【解析】【分析】设234a b c===k ，用k 表示出a 、b 、c ，代入求值即可.【详解】解：设234a b c===k 0≠，∴a=2k ，b=3k ，c=4k ，∴a b c +=234k k k +=54.故答案是：54.【点睛】本题考查了比例的性质，涉及到连比时一般假设比值为k ，这是常用的方法.13．12【解析】【分析】设该盒中白球的个数为x 个，根据意得8825x =+，解此方程即可求得答案．【详解】解：设该盒中白球的个数为x 个，根据题意得：8825x =+，解得：12x =，经检验：12x =是分式方程的解，所以该盒中白球的个数为12个，故答案为：12．【点睛】本题考查了概率公式的应用，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比．14．32【解析】【分析】根据菱形ABC D ''，AB 边上的高等于AD '边的一半，得到12ABC D S AD AB '''=⋅菱形，求出AB 边的长，从而得到正方形ABCD 的面积．【详解】∵12ABC D S AD AB '''=⋅菱形，即21116=22AD AB AB '=⋅∴232AB =∴232ABCD S AB ==正方形．故填32．【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，菱形和正方形面积公式，利用30°所对直角边等于斜边的一半求出菱形的高是解决本题的关键．15．4 9【解析】【分析】首先画树状图，根据树状图求得所有的等可能的结果与指针指向的数字和为奇数的情况，然后根据概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：∴一共有9种等可能的结果，指针指向的数字和为奇数的有4种情况，∴指针指向的数字和为奇数的概率是：4 9．故答案为：4 9．【点睛】本题考查用列举法求概率，画出满足题意的树状图，并灵活运用概率公式求解是解题的关键．16．①②④【解析】【分析】延长BM交AE于N，连接AM，由垂直的定义可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF＝67.5°，从而有∠EAF+∠FBM＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是矩形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM ＝22.5°得③错误；由①知∠EAF＝67.5°，∠AEF＝22.5°，FB＝FE，易得∠BEA=∠EAB＝67.5°，所以AB=BE，故④正确．【详解】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四边形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正确；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③错误；由①知∠EAF ＝67.5°，∠AEF ＝22.5°，FB ＝FE ，∴∠BEF=45°，∴∠BEA=∠AEF+∠BEF=22.5°+45°＝67.5°=∠EAB ，∴AB=BE ，故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．17．123,22x x ==-【解析】【分析】先将方程转化为2260x x +-=，再利用因式分解法，即可求解．【详解】解：2212033x x +-=变形为2260x x +-=，∴()()2230x x +-=，解得：123,22x x ==-．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并根据方程的特征灵活选用合适的方法是解题的关键．18．4【解析】【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得240b a -=，从而可得24b a =，再代入计算即可得．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程210(0)ax bx a ++=≠有两个相等的实数根，∴此方程根的判别式240b a ∆=-=，即24b a =，则22224(2)4(2)44ab a aa b a a ⋅=+--+--，2244444a a a a =++--，224a a =，4=．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．19．16【解析】【分析】根据题意通过列表法求得所有可能，再根据在第二象限的点的特点即可求得(),P m n 恰好落在第二象限的概率．【详解】列表如下，\n m3-1-01243-（3-，3-）（1-，3-）（0，3-）（1，3-）（2，3-）（4，3-）1-（3-，1-）（1-，1-）（0，1-）（1，1-）（2，1-）（4，1-）0（3-，0）（1-，0）（0，0）（1，0）（2，0）（4，0）1（3-，1）（1-，1）（0，1）（1，1）（2，1）（4，1）2（3-，2）（1-，2）（0，2）（1，2）（2，2）（4，2）4（3-，4）（1-，4）（0，4）（1，4）（2，4）（4，4）共有36中等可能结果，点(,)P m n 恰好落在第二象限的有：（3-，1）（1-，1）（3-，2）（1-，2）（3-，4）（1-，4）共6种情形∴点(),P m n恰好落在第二象限的概率为63616=．【点睛】本题考查了第二象限点的坐标特征，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键．201-【解析】【分析】过点F作FG⊥AB于点G，由EA∥FG，得出EFBF=GABG，又BE是∠ABC的平分线，结合AC=BC，∠ACB=90°，得到BC，即可求解本题．【详解】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴EA∥FG，∴EFBF=GABG，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在和Rt BFC Rt BFG 中，BF BFFG FC =⎧⎨=⎩，≌Rt BFC Rt BFG ∴ ，∴CB=GB ，∵AC=BC ，∠ACB=90°，∴BC ，∴EF BF =GA BG －1)．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，角平分线上的点到角两边的距离相等及等腰直角三角倍，熟练掌握这几个知识点是解题的关键．21．16元【解析】【分析】设这种商品的售价应定为x 元，则每件的销售利润为(10)x -元，日销售量为(50020)x -件，根据日销售总利润=每件的销售利润⨯日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合此种商品的每件利润不能超过进价的80%，即可确定x 的值．【详解】解：设这种商品的售价应定为x 元，则每件的销售利润为(10)x -元，日销售量为22020(14)(50020)x x --=-件，依题意得：(10)(50020)1080x x --=，整理得：2353040x x -+=，解得：116x =，219x =．10(180%)18⨯+= （元)，161819<<，16x ∴=．答：这种商品的售价应定为16元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．（1）矩形，理由见解析；（2）【解析】（1）先根据平行四边形的性质得到OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OE=12AC=OA，则OA=OD，即AC=BD，由此即可证明四边形ABCD是矩形；（2）先根据平行四边形ABCD是矩形，得到AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，则DH=AD －AH=4，然后证明△AEH≌△CED得到EH=ED，∠AEH=∠DEC，即可推出∠HED=90°，则EH2＋ED2=DH2，由此求解即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，∵△AEC是等腰直角三角形，∴OE⊥AC，OE=12AC=OA，∵OE=OD，∴OA=OD，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）∵平行四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=6，∠ADC=90°，CD=AB=2，∵AH=CD，∴AH=2，∴DH=AD－AH=4，∵∠AEC=∠ADC=90°，∴∠DCF＋∠DFC=∠EAF＋∠AFE=90°∵∠AFE=∠DFC，∴∠DCF=∠EAF，∴△AEH≌△CED（SAS），∴EH=ED，∠AEH=∠DEC，∵∠AEH＋∠HEC=∠AEC=90°，∴∠CED＋∠HEC=∠HED=90°，∴EH2＋ED2=DH2，∴2EH2=DH2，∴【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质与判定条件．23．（1）见解析；（2）【解析】(1)连接EC,由菱形ABCD中，DE//AC且DE=12AC，易证得四边形OADE是平行四边形，继而可得OE=AB即可；(2)由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.【详解】（1）连接EC，∵四边形ABCD是菱形∴OA=OC=12AC，AD=AB.∵DE//AC 且DE=12AC∴DE=OA=OC∴四边形OADE 、四边形OCED 都是平形四边形，∴OE=AD ，∴OE=AB ；(2)∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形，∴∠OCE=90°.∵在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC=AB=4，∴AO=12AC=2，∴在矩形OCED 中，∴在Rt △ACE 中，【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OADE 是平行四边形，四边形OCED 是矩形是关键;24．（1）见解析；（2）见解析；（3）8【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 为正方形得AD ＝AB ，由四边形ABPM 为矩形得AB ＝PM ，则AD ＝PM ，再利用等角的余角相等得到∠GDH ＝∠MPG ，于是可根据“ASA”证明△ADF ≌△MPG ，得到DF ＝PG ；（2）如图2中，作PM ⊥AD 于M ．则四边形CDMP 是矩形，CD ＝PM ，由△ADF ≌△MPG ，推出DP ＝PG ＝PE ＝PD ，再证明DF ∥PE ，推出四边形PEFD 是平行四边形，由PD ＝PE ，即可证明四边形PEFD 是菱形．（3）利用旋转的性质得∠EPG ＝90°，PE ＝PG ，所以PE ＝PD ＝DF ，再利用DF ⊥PG 得到DF ∥PE ，于是可判断四边形PEFD 为平行四边形，根据勾股定理得到PD，DF ＝PG ＝PDGH ＝5，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°，∵DF⊥PG，∴∠DHG＝90°，∴∠HGD+∠ADF＝90°，∠CDP+∠PDG＝90°，∵PD＝PG，∴∠PGD＝∠PDG，∴∠ADF＝∠CDP，∴△ADF≌△CDP（ASA），∴DF＝DP，∵PD＝PG，∴DF＝PG．(2)如图，过点P作PM⊥AD于点M，则四边形CDMP是矩形，∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，∴∠EPG＝90°，PE＝PG，∴PE＝PD＝DF而DF⊥PG，∴DF∥PE，且DF＝PE，∴四边形PEFD为平行四边形，∵DF＝PD，∴四边形PEFD为菱形．（3）在Rt△DCP中，CD=AB=3，PC=1，31 10，∴22易知DM=MG=PC=1，.DG=2DM=2，∵∠PMG=∠DHG=90°，∠DGH=∠PGM，∴△DHG∽△PMG，∴DGPG=GHMG1GH，∴∴PH=PG－，由（1）知DF=PG，∴四边形PEFD的面积=8．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换、等腰三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定、相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．．25．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知，结合等式的基本性质，易证△BAD≌△CAE，又∵当B，D，E三点共线时，∠AGB=∠EGC，∴∠BAC=∠BEC，∴∠BEC=∠DAE；（2）由题意，结合∠BAC=∠DAE，易证△BAC∽△DAE，又∠AGE=∠FGC，得到△AEG∽△FCG，故AEFC=EGCG，即AE·CG=EG·FC，结合AD=AE，故AD·CG=EG·FC．【详解】解：(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，又∵当B，D，E三点共线时，∠AGB=∠EGC，∴∠BAC=∠BEC，∴∠BEC=∠DAE；(2)证明：∵AB=AC，AD=AE，∴ABAD=ACAE，又∠BAC=∠DAE，∴△BAC∽△DAE，∴∠AED=∠ACB，又∠AGE=∠FGC，∴△AEG∽△FCG，∴AEFC=EGCG，即AE·CG=EG·FC，又AD=AE，∴AD·CG=EG·FC．【点睛】本题考查的主要是全等三角形和相似三角形的综合应用，熟练使用相关的性质和判定，进行等量的转换是解题的关键．。
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413=+x
x 一、选择题（每题3分，共24分）
1.下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( )
A 、对角线互相平分的四边形
B 、对角线互相垂直且平分的四边形
C 、对角线相等的四边形
D 、对角线相等且互相垂直的四边形
2. 目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系.某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元.设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A .438错误！未找到引用源。
=389
B .389错误！未找到引用源。
=438
C .389(1+2x )=438
D .438(1+2x )=389
3.已知12x x ,是一元二次方程122+=x x 的两个根，则21x x +的值为（ ）
A.1
B.2
C. 1-
D. 错误！未找到引用源。
4、下列方程是一元二次方程的是（ ）
A 、12=+y x
B 、()32122+=-x x x
C 、
D 、022=-x 5．方程x 2=3x 的根是（ ）
A 、x = 3
B 、x = 0
C 、x 1 =-3, x 2 =0
D 、x 1 =3, x 2 = 0
6．菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的面积是（ ）
A. 24 B ．48 C ．10 D ．5
7、如右上图，为了测量池塘的宽DE ，在岸边找到点C ，测得CD ＝30 m ，在DC 的延长线上找一点A ，测得AC ＝5 m ，过点A 作AB ∥DE 交EC 的延长线于B ，测出AB ＝6 m ，则池塘的宽DE 为（ ）
A ．25 m
B ．30 m
C ．36 m
D ．40 m
8、下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（ ）
A 、△ABC 中，∠A ＝42 o ，∠
B ＝118 o ，△A`B`C`中，∠A`＝118 o ，∠B`＝15 o
B 、△AB
C 中，AB=8，AC=4, ∠A ＝105 o ，△A`B`C`中，A`B`＝16，B`C`＝8，∠A`＝100o
C 、△ABC 中，AB=18，BC ＝20，CA ＝35，△A`B`C`中，A`B`＝36，B`C`＝40，C`A`＝70
D 、△ABC 和△A`B`C`中，有`
```C B BC B A AB =，∠C ＝∠C`。
二、填空题（每题3分，共21分）
9.若x 1=1是关于x 的方程x 2+mx －5=0的一个根，则m= .
10.若关于x 的方程x 2-2x -m =0有两个相等的实数根，则m 的值是 .
11、关于x 的方程023)2(22=+-+-x x m m 是关于x 一元二次方程，则=m ；
12．在Rt △ABC 中,∠ABC=90°，BD 是斜边AC 上的中线，若BD=3㎝，则AC ＝__ ㎝．
13、已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，求线段d 的长为 .
14、已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm ，则它的宽为____ cm.（结果保留根号）
15、如图，P 是△ABC 的边AB 上一点，请添加一个条件 使得△ABC 与△APC 相似。
三、解答题（共55分）
16.解方程（4分X 6）
（1）（x+8）（x+1）=0 （2）8)3(22=-x
（3）x(x+7)=0 （4）0652=+-x x
（5）()()2232-=-x x x ； （6）()()22132-=+y y
17、（6分）百大服装城在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“双11”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
18、（7分）如图6，有两个可以自由转动的转盘A 、B ，转盘A 被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B 被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字.有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：
(1)同时转动转盘A 与B ；
(2)转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜.
你认为这样的规则是否公平？请你说明理由。
20.（8分）已知菱形ABCD 中，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且BE=DF.
求证：⑴△ABE ≌△ADF ；⑵∠AEF=∠AFE.
21、（7分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F.
(1).求证⊿ADE ≌ ⊿FCE
(2). 若⊿FCE 的面积为10，求四边形ABCE 的面积。
26. （8分）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，点D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 的中点．
求证：四边形AEDF 是菱形．
20．（2014•枣庄）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE=CF ，DF ∥BE ．
（1）求证：△BOE ≌△DOF ；
（2）若OD=AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．
A
D C
B E F。