三角函数线的作法
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高一数学三角函数的图象与性质
作业:
课本P 53习题1.4：A组 1
；
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机关，也就是说没有任何出路，因为没有了法力，我也就被困在了那里，可是很奇怪，我感觉我在那里已经有好几天了可出来后才发现 不过短短几个小时，我在那里刚开始很着急，不知道你那边怎么样了，而自己也遭遇到了这样的困境，我四处寻找出口，但一无所获， 这一定是有一个法力高强的生物在控制着这里，后来我也就镇定下来，我就等着，既然他们要把我困在这里，那一定会有他们的目的。 果然，他们来了，让我意想不到的居然是魑魅。我疑惑地问：“魑魅，这是什么。”他耐心地解释道：“魑魅存在于世间的任何角落， 它们可以幻化成任何形体，除了动物和人类，它们吞噬腐烂的尸体，像灰尘一般，人类是感觉不到他们的存在的。如果他们想隐藏，即 使用显微镜都察觉不到他们的存在，但是妖和我们可以。他们变换成人类的影子穿过岩层向我奔涌而来，他们来到我面前却消失了，只 留下一个巨大的豁口，我顺着他们来的那条道走过去，来到了一个四通八达的地方，这个地方呈椭圆形，一面，就是我出来的这面有许 多洞口，这些洞口都朝着同一个方向，两端都堆着许多破瓦烂罐。洞口的对面有一面墙，这面墙很粗糙，是坑坑洼洼灰土墙，当这些墙 上居然出现了这个，山神把那个东西拿给我看，是一个圆形的大约有手掌这么大的玉盘。这玉盘通透清亮，浑然天成。上面雕刻精细。 是个上好的艺术品，价值无法估计。根据上面的雕刻可以看出这个是一个棕色的凶恶明王抱着巨大的轮，这个明王的头上有久的骷髅， 他的巨牙撩齿衔着轮的上部，大轮分成三层，圆心画鸡、蛇、猪。内轮分为六格，最外层又有十二个画面。我说：“这是藏族的斯巴霍 吗。”山神说：“看来你挺有见识的啊。斯巴霍都知道，以前还小看你了啊。”我说：“那是”我在心里想：多亏那时我多看课外书啊。 斯巴霍又称生死轮回图，圆心分别象征贪、嗔、痴。内轮代表地狱、恶鬼、畜生、阿修罗、人、天六道，最外层代表十二缘起。这里蕴 含着佛教的人生观，但这种人生观具体代表着什么都有不同的解释。山神说：“我看到这东西的时候顿时就明白了这是怎么回事，当年 卡瓦博格山神喜欢了一个居住在梅里雪山脚下的女孩，那个女孩还有了他的孩子，后来天神发现了，天神准备杀了那个女的，维护神的 名誉和所谓的光荣，卡瓦博格为了保护那个女孩和他的孩子，他花费了所有功力将女孩和他的孩子藏在了这个斯巴图里面，后来卡瓦博 格死了，天神派他的手下找遍了世间的每一个地方都没有找到，后来这件事就不了了之了。”我说：“也就是说这里面有两个人。”山 神说：“是，也不是，他们可能在另一个世界，据说，斯巴图是另一个世界的入口，不过谁也没有证实过，因为想要进去里面可是要付 出惨痛的代价的，而且进去里面
五点作图法课件
C 将 新疆 王新敞
y＝－sin2x
图象上的横坐标变为原来的
1
倍,纵坐标变为原来的相反数,
奎屯
2
即得到 y＝sinx 的图象
D 将 新疆 王新敞
y＝－3sin2x
图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的
1
倍，
奎屯
3
且变为相反数，即得到 y＝sinx 的图象
•五点作图法
•7
三、练习
2 将函数 新疆 王新敞
•3
二、知识点
2、五点法的应用，根据图象求函数解析式；
由函数 y=Asin(ωx+ )+b 的图象求其解析式，一般来说，如对所求 函数式中的 A、ω、 不加限制(如 A、ω的正负，角 的范围等)，那么
所求的函数式应有无数多个不同的形式(这是由于所求函数是周期函数所
致)，因此这类问题多以 A>0, ω>0, | |< 形式出现，我们解这类题
y＝f(x)的图象沿
x
轴向右平移
，再保持图象上的纵坐标不变，
奎屯
3
而横坐标变为原来的 2 倍，得到的曲线与 y＝sinx 的图象相同，则 y＝f(x)是(C )
A
新疆 王新敞
y＝
sin(
2x＋
)
奎屯
3
B
新疆 王新敞
y＝
sin(
2x－
)
奎屯
3
2 C
新疆 王新敞
y＝
sin(
2x＋
)
奎屯
3
2 D
新疆 王新敞
T
ωx ＋ ：称为相位 新疆 王新敞
x＝0 时的相位 称为初相
奎屯
•五点作图法
3.3.1正弦函数余弦函数的图象与性质
-1-
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以
y=sinx x 2k ,2(k 1) , k Z且k 0 的图象在… 4 ,2
, 2 ,0, 0,2 ,2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
问题：如何作余弦函数的图象？
余弦曲线
-
-
y-
1
6
4
2
o-
2
-1
4
6
由于cos x sin( x) sin(x )
7
36
6
4 3
3 5 23
(2 ,1)
11 6
2
x
-1 -
最低点： ( ,1)
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π] （2）y=－cosx , x∈[0,2π]
解:（1）列表
x
sin x
0
2
0
3 2
2
0
1 0
sin x 1
12
1
0
1
（2）
x
0
cos x
1
cos x -1
2
所以余弦函数
y
2
cos x, x R与函数
y
sin(x
), x R
2
是同一个函数；余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
个单位长度而得到．
你能用五点法作函数y cos x（x 0，2 ）
的图像吗 ?
-
y
与x轴的交点：
最高点：1
(0,1)
-
3
( ,0) ( ,0)
2
2
-1
2
4
6
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以
y=sinx x 2k ,2(k 1) , k Z且k 0 的图象在… 4 ,2
, 2 ,0, 0,2 ,2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
问题：如何作余弦函数的图象？
余弦曲线
-
-
y-
1
6
4
2
o-
2
-1
4
6
由于cos x sin( x) sin(x )
7
36
6
4 3
3 5 23
(2 ,1)
11 6
2
x
-1 -
最低点： ( ,1)
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π] （2）y=－cosx , x∈[0,2π]
解:（1）列表
x
sin x
0
2
0
3 2
2
0
1 0
sin x 1
12
1
0
1
（2）
x
0
cos x
1
cos x -1
2
所以余弦函数
y
2
cos x, x R与函数
y
sin(x
), x R
2
是同一个函数；余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
个单位长度而得到．
你能用五点法作函数y cos x（x 0，2 ）
的图像吗 ?
-
y
与x轴的交点：
最高点：1
(0,1)
-
3
( ,0) ( ,0)
2
2
-1
单位圆与三角函数线PPT精品课件
A O
C
∠BAC=
1 ∠BOC
2
B
圆周角的性质(2)
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧 相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是同弧所对的圆周角
C
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角).
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点. (2)猜想DF与OC的位置关系,并说明理 由.
(3)若DF=4,求OF的长.
2.如图,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段BC上的一个动点. 以AB为直径作圆O,过点P作圆O的切线交AD于点F,切点为E.
D
C (1)求四边形CDFP的周长.
d与r的关系
d＜r d＝r d＞r
2.直线和圆的位置关系:
．
．
O
O
．
O
l
l
(1) 相离:
l 一条直线与一个圆没有公共点,叫做直线与这个圆相离.
(2) 相切:
一条直线与一个圆只有一个公共点,叫做直线与这个圆相切.
(3) 相交:
一条直线与一个圆有两个公共点,叫做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
辅规不助律起线方眼，法，记心间；圆莫角半乱的径添计，，算常要连弦连，与；弦心距， 构成等腰解疑难；
亲密紧相
切点和圆心， 连结要领先；
遇到直径想直角，
灵活应
用才方便。
典型例题: 1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作 小圆的切线交OC于点E,交AB于F.
单位圆与三角函数线已经更新
(2)y=lg sinx+ cos x .
解：(1)如图.
3 ∵2cosx- 3 ≥0,∴cosx≥ 2 ,∴定义域为［2kπ - 6 ,2kπ + 6 ］ (k∈Z).
课堂互动
利用三角函数线比较三角函数值的大小
例4.确定下式的符号
x P
sin 1 cos 1
解： 因为1
由三角函数线得
（2）在单位圆过点A(1，0)的切线上取 AT=-1连续OT，OT所在直线与单位圆交于P1， P2两点，OP1、OP2是角a的终边，则角a的取值 集合是｛α｜α=2kπ+3π/4,或α=2kπ+7/4π,k∈Z｝ =｛α｜α=kπ±3/4π，k∈Z｝
课堂互动
利用三角函数线解三角不等式 例3.在单位圆中画出适合下列条件的 角α终边的范围，并写出角α的集合。
1 2
变式：求函数 y 2 sin x 3的定义域
解：要使 2 sin x 3 有意义， 只需2 sin x 3 0, 3 , 2 由三角函数线，得 即sin x
3 2 3 2
y
3 2
3 2
x O
2 x 2 k x 2 k , k Z 3 3
4
O
M
y
sin 1 cos10
课堂互动
练习：比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
cos1>cos1.5
tan2<tan3
利用三角函数线证明有关不等式
例5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1. 证明：在△OMP中，
单位圆与三角函数线
单位圆与三角函数线临沂四中高一数学组周腾飞一、学前导学案（一）学习目标1、理解单位圆及三角函数线的定义2、能正确运用单位圆中的三角函数线表示三角函数值（二）学习重点难点：1．重点：三角函数线的作法及其简单应用.2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.（三）预习过程基础知识填空1、单位圆________________________________________________2、在直角坐标系中画出30度角的正弦线、余弦线、正切线预习自测：1、已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（）(A)在x轴上(B)在y轴上(C)在直线y=x上(D) 在直线y=--x上2、已知MP、OM、AT分别是60度角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有（）A、MP〈OM〈ATB、OM〈MP〈ATC、AT〈OM〈MPD、OM 〈AT〈MP二、课堂使用学案（一）合作探究：能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？（二）新课内容正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.请大家总结这三种三角函数线的作法注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点（1，0）.练习：画出课后联系1、2的正弦线、余弦线、正切线：.（三）典型例题（预习课本例题）（四）课堂小结：1.回顾三角函数线作法.2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化，现在仍然是我们解三角不等式、比较大小、以及今后研究三角函数图像与性质的基础.（五）当堂检测1、求y = lg(3－4sin2x) 的定义域.3、sin1，sin1.2，sin1.5三者的大小关系是（）4、确定下式的符号：sin1— cos1三、课后延伸学案求证：当α∈（0，π/2）时，sinα＜α＜tanα。
5.8 三角函数的图像及其变换
内的图像（图1），再将其向左、右平移kπ (k N * )各单位即得函数的整个图像（如图2）。
图1
高考总复习· 数学 （3）把 y sin x 的图像上所有
的点左移 3 个单位，得到 y sin( x ) 的图像，再把 3
y sin( x
3
) 的图像上的点的横坐
1 2
直线 x k
2
( k Z ) ，凡是该图像与直线 y B
的交点都是该图像的对称中心。 对于 y A sin( x ) 和 y A cos( x ) 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。 3.利用图象变换作三角函数的图象． （1）振幅变换 （4）上下平移 （2）周期变换 （3）相位变换
)
A 关于点（ ，0）对称 B 关于直线x＝ 对称 3 4 C 关于点（ ，0）对称 D 关于直线 x＝ 对称 3 4 【解析】由函数f(x)＝sin( x )( 2 )的最小正周期为 3 1 2x+ =kπ 得x= k 得 2 ，由 2 6 3
y 2 sin x, x R 的图像上所有的点( )
高考总复习· 数学 【思路分析】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时 训练得比较多的一种类型。
y 2 sin x, x R 解：先将 6 个单位长度，
得到函数 y 2 sin( x
的图象向左平移
6
), x R 的图像，再把所得图像上
+
）=cos（x+
4π 3
+ ），
高考总复习· 数学
4π
）+sinxsin（ 4π + ）=cosxcos（ 4π + ） cosxcos（ + 3 3 3 4π －sinxsin（ + ） 3
图1
高考总复习· 数学 （3）把 y sin x 的图像上所有
的点左移 3 个单位，得到 y sin( x ) 的图像，再把 3
y sin( x
3
) 的图像上的点的横坐
1 2
直线 x k
2
( k Z ) ，凡是该图像与直线 y B
的交点都是该图像的对称中心。 对于 y A sin( x ) 和 y A cos( x ) 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。 3.利用图象变换作三角函数的图象． （1）振幅变换 （4）上下平移 （2）周期变换 （3）相位变换
)
A 关于点（ ，0）对称 B 关于直线x＝ 对称 3 4 C 关于点（ ，0）对称 D 关于直线 x＝ 对称 3 4 【解析】由函数f(x)＝sin( x )( 2 )的最小正周期为 3 1 2x+ =kπ 得x= k 得 2 ，由 2 6 3
y 2 sin x, x R 的图像上所有的点( )
高考总复习· 数学 【思路分析】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时 训练得比较多的一种类型。
y 2 sin x, x R 解：先将 6 个单位长度，
得到函数 y 2 sin( x
的图象向左平移
6
), x R 的图像，再把所得图像上
+
）=cos（x+
4π 3
+ ），
高考总复习· 数学
4π
）+sinxsin（ 4π + ）=cosxcos（ 4π + ） cosxcos（ + 3 3 3 4π －sinxsin（ + ） 3
正弦函数、余弦函数的图像
1
o
2
2
3
2
x
2
-1
y= - cosx，x[0, 2]
练习2：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x[0, 2]
和
y=
cosx，x[
2
,
3 ]的简图：
2
解：按五个关键点列表：
x
0 2
20
csoinsxx 10
01
3
2
2
232
-01
0-1
10
描点并将它们用光滑曲线连接起来：
y 向左平移 个单位长度
结
2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y
1
y=cosx，x[0, 2]
o
2
2
3
2
x
2
-1
y=sinx，x[0, 2]
描点并将它们用光滑曲线连接起来：
y
2
y=1-sinx，x[0, 2]
1
o
2
-1
2
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
解：按五个关键点列表：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
0
1
0
-1
描点并将它们用光滑曲线连接起来：
y
y=cosx，x[0, 2]
A
O1
O
2
4
5
2ห้องสมุดไป่ตู้
x
3
3
3
3
正弦、余弦函数的图像
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[ 2 ,
3 2
]的简图：
3 22
x
cosx sinx
0
2
0 2
2 0 -1
3 2
0 1 1 0 y 向左平移 个单位长度 2 2
1
-1 0
0 1
y=sinx，x[0, 2]
3.余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
(0,1) 1
3 ( ,0) 2
( 2 ,1) 2 3 4
余弦曲 线
5 6
-4
-3
-2
-
(o ,0) 2 -1
( ,-1)
x
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
cosx - cosx
y
1
20 1 -1源自2 -1 1
3 2
2 1 -1
0 0
0 0
y=cosx，x[0, 2]
o
-1
2
3 2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
五点作图法
例1 画出函数y=1+sinx，x[0, 2]的简图：
x
sinx 1+sinx
y
2 1
0 0 1
高中数学(新课标人教A版)必修4_第一章三角函数精品课件_1[1].4三角函数的图象与性质(3课时)
1.4.1
正弦、余弦函数的 图象
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
T
-1
O
M
A(1,0)
x
பைடு நூலகம்
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴： x k
2
, 对称点： ( k ,0);
y co s x的对称轴： x k , 对称点： ( k
2
,0);
七. y sin x和y cos x的图像性质的研究思想 ： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
应用提升 练习1：试着画出 y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
那么必有（ ） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
正弦、余弦函数的 图象
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习 回顾
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP
余弦函数
正切函数
余弦线OM
正切线AT
P
T
-1
O
M
A(1,0)
x
பைடு நூலகம்
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴： x k
2
, 对称点： ( k ,0);
y co s x的对称轴： x k , 对称点： ( k
2
,0);
七. y sin x和y cos x的图像性质的研究思想 ： (1)充分利用图像- - - -数形结合的思想
应用提升 练习1：试着画出 y | tan x | 和y tan | x |
并讨论它们的单调性，周期性和奇偶性. 练习2.如果、 ( , )且 tan cot , 2
那么必有（ ） A. 3 C. 2 B. 3 D. 2
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
4
5
6
x
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？