上海暑假数学八升九第1讲-四边形当中的证明
初三数学四边形的证明
1、如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．
2、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为．
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，D为AB的中点，DE交AC于点E，DF交BC于点F，且DE⊥DF，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G．（1）求证：AG=BF；
（2）若AE=9，BF=18，求线段EF的长．
4、菱形ABCD中，一射线BE分∠ABC为∠ABE与∠CBE,且∠ABE：∠CBE=7:3，BE交对角
线AC于F交CD于E，过B作BK⊥AD于K点，交AC于M，且∠DAC=15°。
（1）求∠DEB的度数；
（2）求证：2CF=CM+2FB.
6.如图,在平行四边形ABCD中,延长CD到E,使DE=DC，连接BE交AD于F，交AC
G F E D C
B A
E
M F
D
C B A
于G .
（1）若BE 为∠ABC 的平分线，求证：BC=AF+DE; （2）若BC=2AB,DE=1，∠ABC=60°，求GF 的长.
7．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E,∠1=∠2。
(1）若CE=1，求BC 的长； (2）求证AM=DF+ME 。
沪教版(上海)八年级第一学期 第十九章 第1讲 几何证明
例
逆命题：如果一个角是钝角，那么这个角是两个钝角的和.
4
逆命题：直角三角形其中一边上中线等于这边的一半.
逆命题：如果两个三角形关于某点成中心对称，那么这两个三角形全等. 逆命题：如果两个三角形全等，那么其中两边及第三边上的高对应相等.
逆命题：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.
例 5
例
逆命题：如果三角形两腰上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形.
第一讲
几何证明
命题 可以判断正误的陈述句
滚出去！ 站起来.
命题的组成
如果两条直线互相平行， 那么这两条直线被第三条直线所截得的内错角相等.
如果一个人骑着白马，那么他一定是唐僧。
对顶角相等.
逆命题
原命题： 如果两条直线互相平行， 那么这两条直线被第三条直线所截得的内错角相等.
逆命题： 如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等， 那么这两条直线互相平行.
l
例 6
例 6
例 6
例 7
例 7
例 8
练 习 1
练 习 2
练 习 3练 习 4练 习 5练 习 6
对顶角相等.
相等的角是对顶角.
如果一个人骑着白马，那么他一定是唐僧。
如果一个人是唐僧，那么他骑着白马。
例 1
例 1
例 2
例 2
如果一个四边形有三个角是直角，那么这个四边形是矩形.
如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
如果两个数都是无理数，那么他们的积是无理数.
例 3
例 3
例 4
5
逆命题：两直线平行，内错角相等. 逆命题：等角对等边.
逆命题：如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条直线平行. 逆命题：如果 a+b 为奇数，那么a，b两数一奇一偶.
八年级数学暑假专题四边形上海科技版知识精讲
初二数学暑假专题——四边形上海科技版【本讲教育信息】一、教学内容：暑假专题之五四边形（上）多边形内角和、平行四边形二、教学重点、难点重点：平行四边形的判定和性质难点：平行四边形的性质和判定的应用三、具体教学内容：1、n边形的内角和等于︒-180)2n(，任意多边形的外角和等于︒360，n边形的对角线条数为2)3n(n-。
2、有两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形。
3、平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，平行线之间的距离处处相等。
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
5、连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角线的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
【典型例题】例1、一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形，新多边形的内角和为︒2520，则原多边形的边数是多少？分析：多边形截去一个角时，有三种情况（以五边形为例）（1）截后少一边（2）截后多一边（3）截后边数不变（1）（2）（3）设新多边形的边数为n，则︒=︒⋅-2520180)2n(。
解得n=16，因为截去一个角时有三种情况，所以原多边形可能是十五边形或十六边形或十七边形。
例2、一个n边形的n个内角中，至多有锐角（）个。
A、1个B、2个C、3个D、)3n(-个分析：若多边形的内角为锐角，则相邻的外角为钝角，而n边形的外角和为360°，因此是钝角的外角不能超过3个，否则外角和大于360°，因此n 边形的n 个内角中至多有3个锐角。
故选C 。
例3、如图，M 是平行四边形ABCD 的一边AD 上任意一点，若△CMB 的面积为S ，△CDM 的面积为S 1，△ABM 的面积为S 2，则下列关于S ，S 1，S 2的大小关系中正确的是（ ）。
A 、21S S S +>B 、21S S S +=C 、21S S S +<D 、无法确定分析：由平行线间的距离处处相等知，△CDM 、△ABM 及△BCM 的高相等，设为h∵h DM 21S 1⋅= h AM 21S 2⋅= h BC 21S ⋅= 又 DM+AM=AD=BC∴h )AM DM (21S S 21⋅+=+ S h BC 21=⋅= 故选B 。
沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第1讲 相似形与比例线段(提高版)
放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习．相似形与比例线段内容分析知识结构2 / 111、 相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 2、 相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．【例1】 下列说法不一定正确的是（ ）A ．所有的等边三角形都相似B ．有一个角是100︒的等腰三角形都相似C ．所有等腰直角三角形都相似D ．所有的直角三角形都相似【例2】 下列各组中的两个图形一定相似的有（ ）（1）两个等腰三角形； （2）两个直角三角形； （3）两个等腰直角三角形； （4）两个等边三角形； （5）两个矩形；（6）两个菱形； （7）两个正方形；（8）两个等腰梯形；（9）两个圆． A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组【例3】 已知四边形ABCD 和四边形''''A B C D 是相似的图形，并且点A 与点'A 、点B与点'B 、点C 与点'C 、点D 与点'D 分别是对应顶点，已知4BC =， 3.6CD =，'' 3.3A B =，''3B C =，75B ∠=︒，105C ∠=︒，95D ∠=︒，求AB ，''C D 的长和'A ∠的度数．模块一：相似形的概念及性质知识精讲例题解析ABED C【例4】 如图，ABC ∆和ADE ∆是相似形，顶点A 、B 、C 分别与点A 、D 、E 对应，已知35A ∠=︒，65B ∠=︒， 1.2AE =， 2.5AB =，2AC =，1ED =．求AD 、BC 的长和AED ∠的度数．【例5】 已知ABC ∆的三边长分别是3、4、5，与其相似的'''A B C ∆的最大边长是15，求'''A B C ∆的最小边长．【例6】 已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为4、6、8，乙三角形其中一边的长为2，求乙三角形的另外两边的长．【例7】 如图，矩形ABCD 中，2AB CD =，线段10EF =，在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN 与矩形ABCD 相似，且点M 与点A 、点F 与点B ，点G 与点C ，点N 与点D 分别是对应顶点，令MN x =．求出矩形EMNH 的面积S 与x 的函数关系式．NC B AD EH G FM4 / 111、 比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b）； 如果::a b c d =（或a cb d=），那么就说a 、b 、c 、d 成比例． 2、 比例的性质（1） 基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =；如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c da b=． （2） 合比性质： 如果a c b d =，那么a b c d b d++=； 如果a cb d =，那么a bc db d--=． （3） 等比性质： 如果a c k b d ==，那么a c a c k b d b d+===+．【例8】 （1）若23x y =，则x y y -=______； （2）若45a b =，则2a ba b +=- ______； （3）若250x y -=，则()()3:43x y x y +-=______．模块二：比例的性质知识精讲例题解析【例9】 （1）已知：23a b a -=，求243a ba b -+的值； （2）已知：357x y z==，求332y z y z +-的值；（3）已知：32x y z ==，求22x y zx y z-++-的值．【例10】 设线段x 、y 、z 满足23418x y z x y zx y z +++⎧==⎪⎨⎪++=⎩，求x 、y 、z 的值．【例11】 设()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，求895a b c ++的值．【例12】 若333333x y y z z xm z x y +++===，求m 的值．A DE BF C【例13】已知a b ckb c a c a b===+++，则一次函数3y kx=-的图像一定经过第几象限？1、比例线段的概念对于四条线段a、b、c、d，如果::a b c d=（或表示为a cb d=），那么a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段．2、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP PB>）两段（如下图），其中AP是AB和PB的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点．其中，510.6182APAB-=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．【例14】如图，已知在四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AB DC AE DF=．求证：（1）AB DCEB FC=；（2）AB DC AB DCEB FC EB FC+-=+-．模块三：比例线段知识精讲例题解析A P B6/ 11【例15】 如果ABC ∆和'''A B C ∆面积相等，且:''9:25AB A B =，那么边AB 与边''A B 上的高的比为（ ） A ．9:25B ．25:9C ．3:5D ．5:3【例16】 已知有三条线段的长分别为3cm ，6cm ，9cm 的线段，请再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度．【例17】 在ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且34AD AE DE AB AC BC ===，则AEEC=______，若ADE ∆的周长为90厘米，则ABC ∆的周长为______厘米．【例18】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）图中有哪几对三角形的面积相等？为什么？（2）求证：AO DOCO BO=．【例19】 如图，在ABC ∆中，BD AC ⊥，垂足为D ，E 是BC 边上的一点，EF AC ⊥，垂足为F ，:2:3ABD ABED S S ∆=，求:AD AF 的值．AB CDOABCDEF8 / 11【例20】 已知线段AB 的长度为l ，点P 在线段上，PB APAP AB=，求线段AP 的长．【例21】 （1）点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，6AB =厘米，求BP 的长；（2）已知点P 是线段AB 的黄金分割点，51AB =+，求AP 的值．【例22】 如图，乐器上的一根弦80AB =厘米，两个端点A 、B 固定在乐器面板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，求CD 的长．【例23】 如图，在矩形ABCD 中截取正方形ABMN ，已知MN 是BC 和CM 的比例中项，35CM =-，求AD 的长．A B C DA B CDN M【例24】 如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ．在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =．以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD上．（1）求线段AM 、DM 的长； （2）求证：2AM AD DM =； （3）请指出图中的黄金分割点．【习题1】已知点D 是边BC 上一点，且ABC ∆与DAC ∆是相似形，点A 、B 、C 分别与点D 、A 、C 对应，:3:2CB CA =，求:CD DB 的值．【习题2】 若()()::a b x y x y =+-，则:x y =______．【习题3】直线l 上顺次有四点A 、B 、C 、D ，且3AB AD BC DC ==，则BCAD= ______；ABCD=______．随堂检测ABCDEFMP【习题4】点P是线段AB的黄金分割点，求APAB的值．【作业1】下列各组四边形中是相似多边形的是（）A．一组邻边为2厘米和5厘米与一组邻边为3厘米和6厘米的矩形B．有一个内角为30︒的两个菱形C．边长分别为3厘米和4厘米的两个菱形D．两个高相等的等腰梯形【作业2】已知ABC∆的三边长分别是4、5、6，与其相似的'''A B C∆的最小边长是12，求'''A B C∆的周长．【作业3】7a cm=，0.08b m=， 1.5c dm=，求线段a、b、c的第四比例项．【作业4】舞台的形状是一个矩形，宽AB为12米，如果主持人站立的位置是宽AB 的黄金分割点，那么主持人从台侧点A沿AB走到主持的位置至少需走______米．【作业5】若222222b c a c a bka b c+++===，求直线y kx k=+经过的象限．课后作业10/ 11【作业6】 已知a 、b 、c 是非零实数，且满足a b c a b c a b c c b a+--+-++==,求()()()a b b c c a abc +++的值．。
四边形证明总结范文
四边形证明总结范文四边形是由四条线段组成的几何图形，它有一些特殊性质和定理。
在这篇文章中，我们将总结和证明一些常见的四边形定理。
1.平行四边形定理：如果一个四边形的对边是平行的，那么它是一个平行四边形。
证明：设ABCD是一个四边形，AB∥CD。
我们需要证明AD∥BC。
假设AD与BC不平行，那么它们会相交于一点E。
由于AB∥CD，所以∠ABE=∠CDE（平行线之间的内错角相等）。
同理，也可以得到∠AEB=∠CDE。
但是根据角分线定理，∠ABE+∠AEB=180°，与∠CDE+∠CDE=180°矛盾。
所以AD∥BC，四边形ABCD是一个平行四边形。
2.等腰梯形定理：如果一个四边形的两边平行并且另外两边长度相等，那么它是一个等腰梯形。
证明：设ABCD是一个四边形，AB∥CD，AB=CD，我们需要证明BC=AD。
根据平行四边形定理，AD∥BC。
如果BC≠AD，那么它们会相交于一点E。
由于AB∥CD，并且线段BE与线段AE与AB、CD相交，所以∠ABE=∠AEB （平行线之间的内错角相等）。
同理，也可以得到∠CDE=∠CED。
由于AB=CD，所以∠ABE=∠CDE。
但是根据角分线定理，∠ABE+∠CDE=180°，与∠CDE+∠CED=180°矛盾。
所以BC=AD，四边形ABCD是一个等腰梯形。
3.矩形定理：如果一个四边形的四个角都是直角，那么它是一个矩形。
证明：设ABCD是一个四边形，∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
我们需要证明AB∥CD以及AD∥BC。
由于∠A=∠B，所以直角三角形ABC与直角三角形DAB是相似的（直角三角形的两个角相等即为相似）。
根据相似三角形的性质，我们可以得到BC/AB=AB/AD，即BC·AD=AB·AB。
同理，也可以得到AD/AB=AB/BC，即AD·BC=AB·AB。
将这两个等式相加，得到BC·AD+AD·BC=2·AB·AB，即(BC+AD)·AD=2·AB·AB。
四边形证明
四边形证明【知识要点】（一）平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关概念（二）平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质【精典例题】例1．已知∆ABC 中，AE 平分∠BAC ，BC 平分∠EBF ，若AB=AC 。
求证四边形BECF 是菱形。
例2．已知直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90oDAB ∠=，1AD=DC=2AB ，E 时AB 的中点.（1）求证：四边形AECD 时正方形.（2）求B ∠的度数.例3．已知如图，在梯形ＡＢＣＤ中，//AD BC ，ＡＢ＝ＤＣ，点Ｅ，Ｆ，Ｇ分别在边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ上，ＡＥ＝ＧＦ=GC .（1）求证：四边形AEFG 使平行四边形；（2）当2FGC EFB ∠=∠时，求证：四边形AEFG 时矩形.例4．已知：如图，将矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F ，连接AE.证明：（1）BF=DF.（2）//AE BD例5．如图，在正方形ABCD 中，点F 在CD 边上，射线AF 交BD 于点E ，交ＢＣ的延长线于点Ｇ.（１）求证： ADE CDE ∆≅∆；（２）过点Ｃ作ＣＨ⊥ＣＥ，交ＦＧ于点Ｈ，求证：ＦＨ＝ＧＨ；（３）设ＡＤ＝１，ＤＦ＝x ，试问是否存在x 的值，使ECG ∆为等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由.课堂训练一、选择题（''4520⨯=）1．已知边长为a 的正方形，以它的对角线底作一个三角形，使其面积等于此正方形的面积，则三角形底边上的高为（ ） A 、2a B 、2aC 、a 2D 、a 22．矩形、菱形和正方形都具有的性质是（ ） A 、对角线相等B 、对角线互相平分C 、对角线平分一组对角D 、对角线互相垂直 3．在下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称的图形是（ ）A 、矩形B 、平行四边形C 、圆D 、等腰梯形４.若菱形的周长为16cm ，两相邻角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（ ）ADCB EO（A ） 4 3 cm （B ）8 3 cm （C ）16 3 cm （D ）20 3 cm５.一菱形的一边上高的垂足是这边的中点，这菱形中的最大内角的度数是（ ）A 、︒150B 、︒135C 、︒120D 、︒100二、填空题（''4520⨯=）1．矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，∠ADE=︒36，那么∠ACD= 度。
八年级数学下册(沪科版)《四边形》讲义
八年级下册数学讲义第19章 四边形 知识脉络：1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°.2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°.3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（4.平行四边形的判定： 是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫.A BCD 1234AB CDABDOCABDOC两组对边平行四边行一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.二 公式：1．S 菱形 =21ab=ch.（a 、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为c 边上的高） 2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为a 上的高）三 常识： ※1．若n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：2)3n (n -.2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.n 边形的的性质： （1）n 边形的内角和等于ο180)2(⋅-n ． （2）任意多边形的外角和等于ο360 （3）n 边形共有2)3(-n n 条对角线 （4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。
（5）正多边形的每个内角等于nn 180).2(- 平行四边形矩形菱形正方形图1FED CBA 图2FE D CBA四边形：四边形的内角和等于360°, 外角和等于360°1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角． 平行四边形的性质:(1)平行四边形的邻角互补，对角相等． (2)平行四边形的对边平行且相等． (3)夹在两条平行线间的平行线段相等． (4)平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的判定:(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等 平行四边形的面积：ABCD S Y =BC·AE=CD·BF同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.ABCD S Y =BCFE S Y矩形的性质：(1)对边平行且相等。
沪教版八年级四边形证明题及综合题部分答案
四边形证明题及综合题答案1．证明：（1）∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠B =∠D =90°…………………………（2分）∵∠BAE = ∠DAF∴△ABE ≌△ADF ……………………………………………………………（1分）∴BE = DF ……………………………………………………………………（2分）（2）∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分） ∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO ……………………………………（1分）∵△ABE ≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分）∴EO=FO ，AO ⊥EF …………………………………………………………（2分）∵OM = OA ∴ 四边形AEMF 是平行四边形……………………………（1分）∵AO ⊥EF ∴四边形AEMF 是菱形……………………………………（1分）2．（1）证明：联结EG ，∵ 梯形ABCD 中，AD BC ∥，且E 、G 分别是AB 、CD 的中点，∴ EG //B C ，且)(21BC AD EG +=，…………………………（2分） 又∵)(21BC AD BF += ∴ EG =BF ．……………………………………………………（1分）∴ 四边形AEFG 是平行四边形．…………………（2分）（2）证明：设AF 与EG 交于点O ，∵ EG //AD ，∴∠DAG =∠AGE∵AG 平分FAD ∠，∴∠DAG =∠GAO∴∠GAO =∠AGE∴ AO=GO ．………………………………（2分）∵四边形AEFG 是平行四边形，∴ AF =EG ，四边形AEFG 是矩形…………………………（2分）3．证明：（1）∵梯形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC∴ ∠BAE=∠ADF ………………………………………………（1分）∵AD = DC ∴ AE=DF …………………………………………（1分）∵BA=AD ∴△BAE ≌△ADF ， …………………………………（1分）∴BE=AF ． …………………………………………………………（1分）（2）猜想∠BPF=120°．……………………………………………………（1分）∵由（1）知△BAE ≌△ADF ，∴∠ABE=∠DAF ．…………………（1分）∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE ．……………………………………（1分）而AD ∥BC ，∠C=∠ABC=60°，∴=120°．∴∠BPF=∠BAE =120°．………………………………………………（1分）4、证：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD =BC .∴∠DAC =∠BCA .又∵DN ⊥AC ，BM ⊥AC ，∴∠DNA =∠BMC .∴⊿DAN ≌⊿BCM , ---------------------------------------------------（3分）∴AN =CM . ---------------------------------------------------------------（1分）（2）联结BD 交AC 于点O ，∵AN = NM =2,∴AC = BD =6,又∵四边形ABCD 是矩形，∴AO =DO =3，在⊿ODN 中，OD =3，ON =1，∠OND =︒90,∴DN =2222=-ON OD ,--------------------------------------（2分）∴矩形ABCD 的面积=212=⨯DN AC .-----------------------（1分）5.解：（1）方法1：延长EF 交AD 于G （如图1）.……………1分在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AD =.∵EF ∥CA ，EG ∥CA ，∴四边形ACEG 是平行四边形.∴ CE AG =.……………1分 又∵BC CE 21=，BC AD =， ∴ GD AD BC CE AG ====2121.……………1分 ∵AD ∥BC ，∴ECF ADC ∠=∠.在CEF △和DGF △中，∵DFG CFE ∠=∠，ECF ADC ∠=∠，DG CE =， ∴CEF △≌DGF △（A.A.S ）. ∴DF CE =.…………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.∴OF ∥BE . ………………1分方法2：将线段BC 的中点记为G ，联结OG （如图2）. ………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD OB =.∴OG ∥CD . …………1分∴FCE OGC ∠=∠.∵EF ∥CA ，∴FEC OCG ∠=∠. A B （第5题图1） D C OEF G A B （第5题图2）D C O EF G∵BC GC 21=，BC CE 21=， ∴CE GC =.在OGC △和FCE △中，∵FEC OCG ∠=∠，CE GC =，FCE OGC ∠=∠，∴OGC △≌FCE △（A.S.A ）. …………………1分∴FC OG =.又∵OG ∥CF ，∴四边形OGCF 是平行四边形. …………………1分∴OF ∥GC . …………………1分其他方法，请参照上述标准酌情评分.（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，那么四边形ABCD 是矩形. ……………1分∵OF ∥CE ，EF ∥CO ，∴四边形OCEF 是平行四边形.∴OC EF =.……………1分又∵梯形OBEF 是等腰梯形，∴EF BO =.∴OC OB =.（备注：使用方法2的同学也可能由OGC △≌FCE △找到解题方法；使用方法1的同学也可能由四边形ACEG 是平行四边形找到解题方法）.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OC AC 2=，BO BD 2=.∴BD AC =.……………1分∴平行四边形ABCD 是矩形. ……………1分6．证明：（1）∵在正方形ABCD 中，AD //BC ，∴∠A =∠HBE ，∠ADE =∠H ，…（1分）∵AE =BE ，∴△ADE ≌△BHE ．………………………………………（1分）∴BH =AD =BC ．…………………………………………………………（1分）∵CM =GM ，∴BM //GH ．………………………………………………（1分）（2）∵在正方形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠A =∠ADC =90º，又∵DF =21AD ，AE =21AB ，∴AE =DF ．∴△AED ≌△DFC ．………（1分） ∴∠ADE =∠DCF ．………………………………………………………（1分）∵∠ADE +∠GDC =90º，∴∠DCF +∠GDC =90º．∴∠DGC =90º．…（1分）∵BM //GH ，∴∠BMG =∠DGC =90º，即BM ⊥CF ．…………………（1分）7、证明：∵AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC=∠CAD .又 ∵AE ∥BF ， ∴∠BCA=∠CAD . --------------------------1分∴∠BAC=∠BCA .∴ AB=BC . --------------------1分同理可证AB=AD .∴ AD=BC . ----------------------1分又 AD ∥BC ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形. -----1分又AB=BC ，∴□ABCD 是菱形. -----1分8. 证明：（1）∵正方形ABCD∴90A EBH ∠=∠=︒ AD BC =…………1′ ∵E 是AB 的中点 ∴ AB BE =…………1′∵AED BEH ∠=∠∴AED BEH ≅ …………1′∴AD BH = ∴BC BH =…………1′∵M 是CG 的中点 ∴//BM GH …………1′ (2)证AED CDF ≅ …………1′ ∴ADE DCF ∠=∠∵90DCF CDE ∠+∠=︒ ∴90CGH ∠=︒ ………1′∵//BM GH ∴90CMB CGH ∠=∠=︒∴BM CF ⊥ …………1′9．证法一： ∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分） ∴AD //DF ，∴∠AEF =∠DFC ．………………………………………（1分）∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分）又∵BE =CF ，∴△ABE ≌△DCF ．……………………………………（1分）∴∠AEB =∠DFC ，……………………………………………………（1分）∴∠AEB =∠AEF ．………………………………………………………（1分）∵∠AEB +∠AEF =180º，∴∠AEF =90º．……………………………（1分）∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）证法二： 联结AF 、DE ．…………………………………………………………（1分）∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，又∵EF =AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………………………（1分） M H G FE D CB A∵AB =CD ，∴∠B =∠C ．………………………………………………（1分）∵BE =CF ，∴BE +EF =CF +EF ，即BF =CE ，…………………………（1分）∴△ABF ≌△DCE ．……………………………………………………（1分）∴AF =DE ，………………………………………………………………（2分）∴四边形AEFD 是矩形．………………………………………………（1分）10、证明：（1）∵□ABCD ，∴A B ∥CD ，AB ＝CD -----------------------------------1分∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ---------------------------------------------------------------------1分∴四边形DEBF 为平行四边形∴DE ∥BF -----------------------------------------------------------------------------------1分(2)证明：∵AG ∥BD ，∴∠G ＝∠DBC ＝90°，∴∆DBC 为直角三角形---1分又∵F 为边CD 的中点．∴BF ＝12DC ＝DF ------------------------------------------1分 又∵四边形DEBF 为平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形----------------------1分11．证明：∵在梯形ABCD 中，AD //BC ，∴∠DAE =∠FAE ，∠ADE =∠CFE ．……（1分）又∵AE =EC ，∴△ADE ≌△CFE ．…………………………………………（1分）∴AD =FC ，…………………………………………………………………（1分）∴四边形AFCD 是平行四边形．……………………………………………（1分）∵BC =2AD ，∴FC =AD =21BC ．……………………………………………（1分） ∵AC ⊥AB ，∴AF =21BC ．…………………………………………………（1分） ∴AF =FC ，……………………………………………………………………（1分）∴四边形AFCD 是菱形．……………………………………………………（1分）12．（1）解：线段AD 与BC 的长度之间的数量为：3BC AD =．…………………（1分）证明：∵ AD // BC ，DE // AB ，∴ 四边形ABED 是平行四边形．∴ AD = B E ．………………………………………………………（2分）同理可证，四边形AFCD 是平行四边形．即得 AD = FC ．……（1分）又∵ 四边形AEFD 是平行四边形，∴ AD = EF ．……………（1分）∴ AD = BE = EF = FC ．∴ 3B C A D =．……………………………………………………（1分）（2）证明：∵ DE // AB ，∴ ∠B =∠DEC ．…………………………………（1分）∵ ∠B +∠C = 90°，∴ ∠DEC +∠C = 90°．即得 ∠EDC = 90°．………………………………………………（2分）又∵ EF = FC ，∴ DF = EF ．……………………………………（2分）∵ 四边形AEFD 是平行四边形，∴ 四边形AEFD 是菱形．…………………………………………（1分）13．（1） ⊿MBN ≌⊿MPN (1)∵⊿MBN ≌⊿MPN∴MB=MP,∴22MP MB =∵矩形ABCD∴AD=CD (矩形的对边相等)∴∠A=∠D=90°(矩形四个内角都是直角) ………………………………1 ∵AD=3, CD=2, CP=x, AM=y∴DP=2-x, MD=3-y ………………………………1 Rt ⊿ABM 中，42222+=+=y AB AM MB同理 22222)2()3(x y PD MD MP -+-=+= (1)222)2()3(4x y y -+-=+ (1)∴ 6942+-=x x y ....................................1 （3）︒=∠90BMP (1)当︒=∠90BMP 时，可证DMP ABM ∆≅∆ ………………………………1 ∴ AM=CP ，AB=DM∴ 1,32=-=y y ………………………………1 ∴ 1,21=-=x x ………………………………1 ∴当CM=1时，︒=∠90BMP14．（1）证：过P 作MN ⊥AB ，交AB 于点M ，交CD 于点N∵正方形ABCD ，∴ PM=AM ，MN=AB ，从而 MB=PN ………………………………（2分）∴ △PMB ≌△PNE ，从而 PB=PE …………（2分）（2） 解：PF 的长度不会发生变化，设O 为AC 中点，联结PO ，∵正方形ABCD ， ∴ BO ⊥AC ，…………（1分）从而∠PBO =∠EPF ，……………………（1分）∴ △POB ≌△PEF ， 从而 PF=BO 22= …………（2分）。
四边形的性质与证明
平形四边形复习由此得到平行四边形性质名称 平行四边形 示意图定义性质边角对角线（1）在平行四边形ABCD 中，∠A=500，求∠B 、∠C 、∠D 的度数。
（2）在平行四边形ABCD 中，若∠A ：∠B=2：3，求∠C 、∠D 的度数。
（3）如图，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE图（5）E DCBA1．填空：（1）在ABCD 中，∠A=︒50，则∠B = 度，∠C = 度，∠D = 度．（2）如果ABCD 中，∠A —∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD 的周长为28cm ，且AB ：BC=2∶5，那么AB= cm ，BC= cm ，CD= cm ，CD= cm ． 2．如图4.3－9，在ABCD 中，AC 为对角线，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，求证：BE ＝DF ． 四、课后练习1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）． （A ）对角相等（B ）对角互补（C ）邻角互补 （D ）内角和是︒3602．在ABCD 中，如果EF ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交与点O ，那么图中的平行四边形一共有（ ）． （A ）4个 （B ）5个 （C ）8个 （D ）9个3．如图，AD ∥BC ，AE ∥CD ，BD 平分∠ABC ，求证AB=CE ．1．复习提问：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质（内角和是 360）． ②角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 边：平行四边形的对边相等．结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； （2）平行四边形的对角线互相平分． 三、随堂练习1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长③ 已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD 中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ． 3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是_____cm ．四、课后练习 1．判断对错（1）在ABCD 中，AC 交BD 于O ，则AO=OB=OC=OD ． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD 中，AC ＝6、BD ＝4，则AB 的范围是__ ______．3．在平行四边形ABCD 中，已知AB 、BC 、CD 三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB ＝15cm ，AD ＝12cm ，AC ⊥BC ，求小路BC ，CD ，OC 的长，并算出绿地的面积．平行四边形的判定平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
四边形原理
四边形原理
四边形原理是数学中的一个概念，指的是四边形的两条对角线平分彼此的交点角。
具体来说，如果一个四边形的两条对角线交于一点，并且这个交点将对角线分成两段，那么这个交点所对应的四个角度的度数之和为180度。
四边形原理可以用来证明一些与四边形相关的性质。
例如，如果一个四边形是矩形，那么它的对角线相等，且交于90度的角。
又如，如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直，且交于90度的角。
利用四边形原理，我们可以求解一些未知的角度。
例如，如果一个四边形的两条对角线交于一点，已知其中一个角度的度数，可以利用四边形原理求解其他角度的度数。
只需将已知的角度度数与180度相减，再将结果平分即可得到其他角度的度数。
四边形原理在几何学的证明和问题求解中具有重要的应用价值。
它不仅可以帮助我们理解四边形的性质，还可以拓展至其他形状的图形中，进一步推导出更多的数学定理。
通过深入研究四边形原理，我们可以在几何学的学习中更加深入地理解和应用相关知识。
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精锐教育辅导讲义
问题1：平行四边形有哪些性质？矩形、菱形各自有哪些特有性质？从边，角，对角线角度说明。
问题2：平行四边形的判定方法有哪些？矩形的判定方法有哪些？菱形的判定方法有哪些？
问题3：正方形有哪些性质？从边、角、对角线角、对称性角度来说明。
问题4：正方形的判定方法有哪些？
问题5：证明梯形或等腰梯形的方法
☆总结：解决梯形问题常用的方法
①作高法：使两腰在两个直角三角形中，如图(e)
②移腰法：使两腰在同一个三角形中，如图(b)梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的
方式，构造直角三角形；
③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形，如图(d)；
④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形，如图(f).
⑤移对角线法：如图（g）平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直的
等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高等.
例题1：已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC．点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，AE=GF=GC.（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）当∠FGC=2∠EFB时，求证：四边形AEFG是矩形。
试一试：在等边△ABC中，AB＝8，点D在边BC上，△ADE为等边三角形，且点E与点D在直线AC的两侧，过点E作EF//BC，EF与AB、AC分别相交于点F、G．
（1）如图，求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）设BD＝x，FG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
A
E
C
B
A D
G
F
※（3）如果AD 的长为7时，求线段FG 的长．
例题2：如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于
F 点，取AF 的中点
G ，如果BC = 2 AB ． 求证：（1）四边形ABDF 是菱形；
（2）AC = 2DG ．
试一试：如图，在ABC △中，90A ∠=o ，AH BC ⊥于H ，B ∠的平分线交AC 于D ，DF BC ⊥ 于F ．
求证：四边形AEFD 是菱形．
A
C C
B
F
D E
G
试一试：如图，四边形ABCD 为直角梯形，AD BC BC CD BC AD 2,,//=⊥，对角线相交于点E ，EF//BC 交AB 于点F 。
求证：四边形BCFE 为等腰梯形。
1、已知：如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，点E 在边CB 的延长线上，联结EO ，OF ⊥OE 交BA 延长线于点F ，联结EF 。
（1） 求证：EO ＝FO ；
（2） 若正方形的边长为2， OE ＝2OA ，求BE 的长．
E
F
D
A
B
C
B
A
F
E
【巩固练习】
1．已知：如图，点E 、G 在平行四边形ABCD 的边AD 上，EG ＝ED ，延长CE 到点F ，使得EF ＝EC ． 求证：AF ∥BG ．
2．已知：在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∠AOD ＝120°，求：∠BOE
3．在△ABC 中，AD 是中线，将△ADC 沿直线AD 翻折后点C 落在E 处，联结BE 和DE ，若AC ＝DC 。
（1）求证：四边形AEDC 是菱形；
（2）判断四边形AEBD 的形状，并证明你的结论。
F
E
D
C
A
B
G
E
O
A
B
C D
11/ 11。