中山市桂山中学2019届高三上学期第二次月考(理数)

中山市桂山中学2019届高三上学期第二次月考
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
一、选择题． 1．2
cos 600等于
（ ）
A ．
23
±
B ．23
C ．
23
-
D ．21
2．设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x ∈R|3≤x ≤6}，那么下列结论正确的是（ ） A ．P ∩Q=P B ．P ∩Q Q C ．P ∪Q=Q D ．P ∩Q P 3．以下四个命题中，真命题的个数有 （ ） 1）03,∈∀2≥+x R x 2）0,∈∀2>x N x 3）1,∈∃5<x Z x 使 4）3,2=∈∃x Q x
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．函数y ＝f （x ）在定义域（－3
2
，3）内的图像如图所示．记y ＝f （x ）的导函数为y ＝f '
（x ），则不等式f '（x ）≤0的解集为
（ ）
A ．[－1
3，1]∪[2，3）
B ．[－1，12]∪[43，8
3]
C ．[－32，1
2]∪[1，2）
D ．（－32，－13]∪[12，43]∪[4
3
，3）
5．如图，某地一天从6～14时的温度变
化曲线
近似满足函数：
sin()y A x b ωϕ=++．则中午12点时最接近的温度为（ ）
A ．26C
B ．27C
C ．28C
D ．29C
6．设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a b ∥，则|3|+a b 等于 （ ）
A ．5
B ．6
C ．17
D ．26 7．设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2
=++c x bf x f 有
7个不同实数解的充要条件是
（ ）
A ．0<b 且0>c
B ．0>b 且0<c
C ．0<b 且0=c
D ．
0≥b 且0=c
8．已知映射f A B →：,其中A B R ==，对应法则222f x y x x →=-+：，若对实数k B ∈，
在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是
（ ）
A ．1k ≤
B ．1k <
C ．1k ≥
D ．1k >
二、填空题:．（30分） 9．满足{}
0,1,2{0,1,2,3,4,5}A ⊆的集合A 的个数是_____ 个
10．设向量()()1,2,3,a b x =-=-，若a b ⊥，则x = 11．对a,b ∈R,记max|a,b|=⎩⎨
⎧≥b
a b b
a a ＜,,, 函数f （x ）＝max||x+1|,|x-2||（x ∈R ）的最小值是
12．已知(2)1
(1)()(1)
x
a x x f x a
x -+<⎧=⎨≥⎩满足对任意121212
()()
,0f x f x x x x x -≠>-都有
成立，
那么a 的取值范围是_______ 13．关于平面向量有下列四个命题：①若⋅=⋅a b a c ，则=b c ； ②已知(,3),(2,6)k ==-a b ．若
a b ∥，则1k =-；③非零向量a 和b ，满足||=|a |=|b |a -b ，则a 与a +b 的夹角为30；
④(
)()0||||||||
+⋅-=a b a b
a b a b ．其中正确的命题为________．（写出所有正确命题的序号） 14．若函数()f x 满足：“对于区间（1,2）上的任意实数1212,()x x x x ≠，
2121|()()|||f x f x x x -<- 恒成立”，则称()f x 为完美函数．．．．
．给出以下四个函数
①1
()f x x
=
②()||f x x =
③x
x f ⎪⎭
⎫
⎝⎛=21)(
④2()f x x =
其中是完美函数的序号是 ．
三、解答题（有6题，共80分。

请写出必需的解题过程。

）
15．（12分）已知集合P={}
121+≤≤+a x a x , Q={}
1032≤-x x x
（1）若3=a ，求Q P C R )(
（2） 若Q P ⊆，求实数a 的取值范围。

16．向量(3sin ,cos )22x x a =，(cos ,cos )22
x x
b =，记b a x f •=)(，
（1）求)(x f 单调递增区间．
（2）当,64x ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
∈时，试求'()()f x f x +的值域．
17．已知命题1:x p 和2x 是方程022
=--mx x 的两个实根，不等式|
|35212x x a a -≥--对任意实数]1,1[-∈m 恒成立；命题:q 不等式0122
>-+x ax 有解；若命题p 是真命
题，命题q 是假命题，求a 的取值范围．
18．（14分）某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知学生小张
只选甲的概率为08.0，只选修甲和乙的概率是12.0，至少选修一门的概率是88.0，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积． （Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；
（Ⅱ）记“函数ξ+=2
)(x x f x 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望。

19．（14分）设二次函数2
()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M 、
m ，集合{}|()A x f x x ==．
（1）若{1,2}A =，且(0)2f =，求M 和m 的值；
（2）若{1}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值．
20．（14分）已知函数x x f ln )(=，)0()(>=a x
a
x g ，设)()()(x g x f x F +=。

（Ⅰ）求F （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若以(])3,0)((∈=x x F y 图象上任意一点),(00y x P 为切点的切线的斜率2
1≤
k 恒成立，求实数a 的最小值。

（Ⅲ）是否存在实数m ，使得函数1)1
2(
2
-++=m x a g y 的图象与)1(2
x f y +=的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说名理由。

参考答案
18．解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z
依题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=----=-=--5.06.04
.0,88.0)1)(1)(1(1,
12.0)1(,08.0)1)(1(z y x z y x z xy z y x 解得 …………3分
所以学生小张选修甲的概率为0．4 …………4分
（Ⅱ）若函数x x x f ξ+=2
)(为R 上的偶函数，则ξ=0
…………5分
当ξ=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选． …………6分
)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ …………7分 24.0)6.01)(5.01)(4.01(6.05.04.0=---+⨯⨯=
∴事件A 的概率为24.0
（Ⅲ）依题意知20，
=ξ ………… 10分 则ξ的分布
列为ξ
2
P
24.0 76.0
∴ξ的数学期望为52.176.0224.00=⨯+⨯=ξE …………14分
（2）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2, x=1
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=+a c a b 2111， 即⎩⎨⎧=-=a c a b 21 ……………………………8分
∴f （x ）=ax 2+（1-2a ）x+a, x ∈[-2,2] 其对称轴方程为x=
=-a a 21
4-1a
21 又a ≥1，故1-
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈1,2121a ……………………………9分 ∴M=f （-2）=9a-2 …………………………10分
m=a
a a f 411)212(
-=- …………………11分 g （a ）=M+m=9a-a 41-1
[)min 63
()1,1().4
g a a g a +∞∴==又在区间上为单调递增的，当时，=431 ………12分
20解．（Ⅰ） F 0(ln )()()(>+=+=x x a x x g x f x )0(1)('2
2>-=
-=x x a
x x a x x F ）上单调递增。

在（由+∞∴+∞∈⇒>'>,)(),,(0)(,0a x F a x x F a 由）上单调递减在（
a x F a x x F ,0)(),,0(0)(∴∈⇒<'。

）），单调递增区间为（的单调递减区间为（+∞∴,,0)(a a x F
（Ⅱ）恒成立)30(21)(),30()(02
002≤<≤-='=≤<-=
'x x a x x F k x x a
x x F min 020)21(x x a +-≥ 当21
2110200取得最大值时，x x x +-=
2
1
,21=∴≥∴nmn a a …………………………………………4分。