高等数学第三章习题详细解答答案

第三章 微分中值定理及导数的应用

习题3-1

1.解：（1）满足，0ξ=；

（2）虽然()f x 在[1,1]−上连续，(1)(1)f f −=，但()f x 在(1,1)−内0x =点不可导。可见，()f x 在[1,1]−上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点

ξ(1,1)∈−，使得()0f ξ′=.

2.略

3．解：令3

3arccos arccos(34)y x x x =−−

，2y ′=化简得0,C y y ′=∴=（C 为常数），又(0.5)y π=，故当0.50.5x −≤≤，有

()y x π=。

4．证明：显然(),()f x F x 都满足在0,

2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎞

⎜⎟⎝⎠

内可导()cos ,()1sin f x x F x x ′′==−且对任一0,2x π⎛⎞

∈⎜⎟⎝⎠

，()0F x ′≠，(),()f x F x ∴满

足柯西中值定理条件。

(0)121(0)22f f F F πππ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠=⎛⎞−−⎜⎟⎝⎠，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ⎛⎞⎛⎞−−⎜⎟⎜⎟

′⎝⎠⎝⎠===′−⎛⎞⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠

，令

()1()12

f x F x π′=

′−，即tan 1422

x ππ

⎛⎞−=−⎜⎟⎝⎠，此时 2arctan 14

2x ππ⎡⎤

⎛⎞=−−⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦显然0,2x π⎛⎞∈⎜⎟⎝⎠，即

2arctan 10,4

22πππξ⎡⎤⎛⎞⎛⎞∃=−−∈⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦，

使得

(0)

(3)2

(3)(0)2f f f F F F ππ⎛⎞

−⎜⎟′⎝⎠

=′⎛⎞

−⎜⎟⎝⎠

。 5.解：因为(0)(1)(2)(3)0f f f f ====，又因为()f x 在任一区间内都连续而且可导，所以()f x 在任一区间[][][]0,1,1,2,2,3内满足罗尔中值定理的条件，所以由罗尔定理，得：

123(0,1),(1,2),(2,3),ξξξ∃∈∈∈使得：123()0,()0,()0f f f ξξξ′′′===，又因

为()0f x ′=只有三个根，()0f x ∴=有3个根123,,ξξξ分别属于

(0,1),(1,2),(2,3)三个区间.

6．证明：设()0f x =的1n +个相异实根为

012n x x x x <<<<

则由罗尔中值定理知：存在1(1,2,)i i n ξ= ：

01111221n n x x x x ξξξ<<<<<<< ，使得1()0,(1,2,,)i f i n ξ′==

再由罗尔中值定理至少存在2(1,2,1)i i n ξ=− ：

1121122213211n n ξξξξξξξ−<<<<<<< ，使得2()0,(1,2,,1)i f i n ξ′′==−

如此作到第n 步，则知至少存在一点ξ：1112n n ξξξ−−<<使得()

()0n f

ξ=。

7．解：反证法，倘若()0p x =有两个实根，设为1x 和2x ，即12()()0p x p x ==，不妨设12x x <，由于多项式函数()p x 在12[,]x x 上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点12(,)x x ξ∈，使得()0p ξ′=，而这与所设()0p x ′=没有实根相矛盾，命

题得证。

8．证明：令5

()1f x x x =+−，由于(0)1,(1)1f f =−=由零点定理知，在(0,1)内至少存在一点ξ，使()0f ξ=，又由方程得4

(1)1x x +=，因此方程只存在0与1之间的正根，假设5

10x x +−=有两个正根，即12,0x x ∃>，且12x x ≠使得：

12()()0f x f x ==，不妨假设12x x <，显然()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内

可导。所以由罗尔定理，得：12(,)x x ξ∃∈，使得：()0f ξ′=，即4

510ξ+=，矛盾，假设不成立，所以方程5

10x x +−=只有一个正根。

9．证明：（1）因为()f x 在[,]a b 上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在(,)a b ξ∈使得

()()()()f b f a f b a ξ′−=−

又()f m ξ′≥，故

()()()f b f a m b a −≥−，即()()()f b f a m b a ≥+−。

（2）因为()f x 在[,]a b 上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在(,)a b ξ∈使得

()()()()f b f a b a f ξ′−=−

又()f M ξ′≤，所以|()()|M()f b f a b a −≤−。

（3）当12x x =时结论显然成立，当12x x ≠时，对函数sin x 在以12,x x 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得1212sin sin cos ()x x x x ξ−=⋅−，其中ξ在1x 与2x 之间，因此

121212sin sin cos x x x x x x ξ−=−≤−。

10．证明：因为()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得112(,)x x ξ∃∈，

223(,)x x ξ∃∈，使得12()()0f f ξξ′′==，又()f x ′∵在[]12,ξξ且满足罗尔定理的

条件，故由罗尔定理，得：