上海市奉贤区奉城高级中学高中数学必修四《第一章 122同角三角函数的基本关系》导学案(无答案)
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同角三角函数的基本关系课件
重要性
积化和差公式是和差角公式的推广，它反映了三角函数之间更为复杂的相互关系，对于后续公式的推导有重要的 作用。
和差化积公式
定义
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)
诱导公式是一组基本的三角函数 关系式，可以通过对角度的变换 来简化求值。
和差角公式可以将两个角度的三 角函数值转化为一个角度的三角 函数值，从而简化计算。
三角函数的化简技巧
消去分母
对于分式形式的三角函数表达式，可以通过乘以分母的余 数来消去分母，从而将表达式转化为整式。
01
提取公因数
对于多个项相乘的表达式，可以寻找公 因数并提取出来，使表达式更加简洁。
在物理学中的应用
波动和振动
同角三角函数在波动和振动 的分析中有着广泛的应用， 例如简谐振动可以用同角三
角函数来描述。
电磁学
在电磁学中，同角三角函数 被广泛应用于电场和磁场的 研究，例如在计算电磁波的 传播方向和极化状态时常常
会用到同角三角函数。
量子力学
在量子力学中，波函数的模 平方等于粒子在某个特定位 置的概率密度，而波函数的 解析需要用到同角三角函数 。
在工程学中的应用
01
信号处理
在信号处理领域，同角三角函数被广泛应用于信号的调制 和解调，例如在模拟通信系统中常常会用到同角三角函数 进行调制。
02
声学
在建筑声学中，同角三角函数被用于计算房间的声学特性 ，例如混响时间和频率响应等。
03
地球物理学
在地球物理学中，同角三角函数被用于计算地球磁场和地 震波的传播方向等。
积化和差公式是和差角公式的推广，它反映了三角函数之间更为复杂的相互关系，对于后续公式的推导有重要的 作用。
和差化积公式
定义
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)
诱导公式是一组基本的三角函数 关系式，可以通过对角度的变换 来简化求值。
和差角公式可以将两个角度的三 角函数值转化为一个角度的三角 函数值，从而简化计算。
三角函数的化简技巧
消去分母
对于分式形式的三角函数表达式，可以通过乘以分母的余 数来消去分母，从而将表达式转化为整式。
01
提取公因数
对于多个项相乘的表达式，可以寻找公 因数并提取出来，使表达式更加简洁。
在物理学中的应用
波动和振动
同角三角函数在波动和振动 的分析中有着广泛的应用， 例如简谐振动可以用同角三
角函数来描述。
电磁学
在电磁学中，同角三角函数 被广泛应用于电场和磁场的 研究，例如在计算电磁波的 传播方向和极化状态时常常
会用到同角三角函数。
量子力学
在量子力学中，波函数的模 平方等于粒子在某个特定位 置的概率密度，而波函数的 解析需要用到同角三角函数 。
在工程学中的应用
01
信号处理
在信号处理领域，同角三角函数被广泛应用于信号的调制 和解调，例如在模拟通信系统中常常会用到同角三角函数 进行调制。
02
声学
在建筑声学中，同角三角函数被用于计算房间的声学特性 ，例如混响时间和频率响应等。
03
地球物理学
在地球物理学中，同角三角函数被用于计算地球磁场和地 震波的传播方向等。
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
故 tan ������
1 sin2������
-1
=
tan
������
1-sin2������ sin2������
=
tan
������
cos������ sin������
=
sin������ cos������
·-scions������������
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin������ 1 + cos������ ∴ 1-cos������ = sin������ .
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型四 已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin������+cos������ 2sin������-cos������
则 sin α=−
1-cos2 ������
=
−
15 17
,
tan
������
=
sin������ cos������
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到 所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系
cos������
sin α=tan αcos α;cos α=
sin ������
tan ������
.
������ ≠ ������π + ,������∈Z
2
π
做一做1 sin22 016°+cos22 016°=( ) A.0 B.1 C.2 016° D.2 016 解析:∵sin2α+cos2α=1, ∴当α=2 016°时,sin22 016°+cos22 016°=1. 答案:B
1.2.2
同角三角函数的基本关系
学 习 目 标 1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.能正确运用基本关系式进行化简、 求值与证明.
思 维 脉 络
1.同角三角函数的基本关系
描述方式 基本关系 平方关系 商数关系 基本关系式 sin α+cos α=1
������������������ α ������������������ α
=
=
= .
sin ������ cos ������
方法二:∵tan θ=2,∴
=2.
1
∴sin θ=2cos θ.
4sin ������ -3cos ������
∴6cos ������ +2sin ������ = 6cos ������ +4cos ������ = 2.
8cos ������ -3cos ������
������ 2 cos ������ sin ������ ������ 2 2 1 1
= .(
3 2 2 ������
2 1
) ) )
������
(3)存在 α∈R,使得 tan α=1,且 cos α= . ( (4)存在 α∈R,使得 sin + cos
sin α=tan αcos α;cos α=
sin ������
tan ������
.
������ ≠ ������π + ,������∈Z
2
π
做一做1 sin22 016°+cos22 016°=( ) A.0 B.1 C.2 016° D.2 016 解析:∵sin2α+cos2α=1, ∴当α=2 016°时,sin22 016°+cos22 016°=1. 答案:B
1.2.2
同角三角函数的基本关系
学 习 目 标 1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.能正确运用基本关系式进行化简、 求值与证明.
思 维 脉 络
1.同角三角函数的基本关系
描述方式 基本关系 平方关系 商数关系 基本关系式 sin α+cos α=1
������������������ α ������������������ α
=
=
= .
sin ������ cos ������
方法二:∵tan θ=2,∴
=2.
1
∴sin θ=2cos θ.
4sin ������ -3cos ������
∴6cos ������ +2sin ������ = 6cos ������ +4cos ������ = 2.
8cos ������ -3cos ������
������ 2 cos ������ sin ������ ������ 2 2 1 1
= .(
3 2 2 ������
2 1
) ) )
������
(3)存在 α∈R,使得 tan α=1,且 cos α= . ( (4)存在 α∈R,使得 sin + cos
高中数学必修四同角三角函数的基本关系式课件
cos (1 sin ) 2 1 sin
1 sin 右边 cos cos 1 sin 因此 1-sin cos
cos (1 sin ) cos 2
例6 求证： (2)sin cos 2sin 1
4 4 2
证明：原式左边=(sin cos )(sin cos )
2 2 2 2
sin cos 2 2 sin (1 sin ) 2 2sin 1 右边
2 2
因此 sin cos 2sin 1
4 4 2
例6 求证：
2 2
变形运用
求值、化简、证明
3、思想方法
方程的思想、数形结合、化归 抓住问题的关键、利用三角函数的定义
4、研究问题的方法
作业：
教材34页 习题1-2 A组zxxk
8、9 选作 习题1-2 B组
1、(1) 2、3
课后思考 sin 1、你能探讨一下关系式 tan cos 的几何意义吗？
2、已知tan =2 sin +cos 求 的值. sin -cos
谢谢大家！
变形
切化弦、 “1”的代 换
cosx 1 sin x 例7 求证 1-sinx cos x
证明：因为 （ 1-sinx）(1+sinx )=1-sin x cos x cos x cos x
2 2
所以原式成立.
注:证明的方法
1、化繁为简，即将较复杂的一边进行恒等变 形，证明它与另一边相等。 2、左右归一，当等式两边都比较复杂时，可 对两边同时变形为相同的结果。 3、等价转化，当给定的恒等式不容易证明时 ，可考虑转化为与之等价且较为简单的等式 的证明。 4、作差，判断两个式子的差为零。
人教A版高中数学必修4第一章1.2.2同角三角函数的基本关系式课件(共17张PPT)
3求
sin2
1
cos2
5 4
((23))已知 tan 3求2 sin2 3cos2 3
1
2
已知sin cos 1， 0,
5
求1sin • cos；2sin cos的值。
sin cos 2 sin2 cos2 2sin • cos
1 2sin • cos
cos2 80
cos 440
cos80
cos 80
cos80
cos 80
1cos tan
2
2 cos2 1 1 2sin2
切化弦：tan sin cos
解：cos tan cos • sin sin cos
关于化简:化简后的简单三角函数式应 尽量满足以下几点: (1)所含的三角函数种类最少; (2)能求值的尽量求值; (3)结果的次数最低.
当 为任意角时，
sin,cos, tan
六者之间有哪些关系式成立？
si
y
2
r
2
1
r r r
tan
y
x
y • r sin r x cos
k
2
,k
Z
同角三角函数的基本关系式:
1、平方关系: sin2 cos2 1
2、商数关系: tan sin cos
(2)由左往右证
(3)由右往左证
2.技巧:
(4)两面夹
(1) 1换为sin2 cos2
(2)切化弦：tan sin cos
(3)1 2sin x cos x (sin x cos x)2
(4) (1 sin x)(1 sin x) 1 sin2 x cos2 x
5 III或 IV
高一数学必修四-6.同角三角函数的基本关系PPT教学课件
17
分析：∵cosα＜0 ∴α是第二或第三象限 角．因此要对α所在象限分类讨论. 解：当α是第二象限角时，
s in1 c o s2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
15
tansin 17 15.
cos 8 8
17
2020/10/16
7
当α是第三象限角时，
s in 1 c o s 2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
A(1,0)
思考 当角α 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 α 的终边在x 坐标轴上时, s2 i n c2 o 0 s 1 1
当2角020/α10/的16 终边在y坐标轴上时, s2 i n c2 o 1 s0 12
探究2 观察任意角α的三角函数
siny, c o s x ,tany,(x0) x
2020/10/16
tan tan21
2
22
1
2 5
13
例 3、已知 tan 2，求下面各式的值。
( 4 ) sin cos 2
5
2020/10/16
14
应用2:化简三角函数式:
例4:化简： 1sin2440
解： 1 sin 2 440 1 sin 2 80 cos 2 80 cos 80
1 sin 2 440 cos 2 440 cos 440 cos 80
cos 80
2020/10/16
cos 80 15
1co tsan 212c2os2sin21
切化 ta弦 ncs： ions
解 co ： ts an co •s c si o nssin
2020/10/16
角.2020/10/16
分析：∵cosα＜0 ∴α是第二或第三象限 角．因此要对α所在象限分类讨论. 解：当α是第二象限角时，
s in1 c o s2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
15
tansin 17 15.
cos 8 8
17
2020/10/16
7
当α是第三象限角时，
s in 1 c o s 2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
A(1,0)
思考 当角α 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 α 的终边在x 坐标轴上时, s2 i n c2 o 0 s 1 1
当2角020/α10/的16 终边在y坐标轴上时, s2 i n c2 o 1 s0 12
探究2 观察任意角α的三角函数
siny, c o s x ,tany,(x0) x
2020/10/16
tan tan21
2
22
1
2 5
13
例 3、已知 tan 2，求下面各式的值。
( 4 ) sin cos 2
5
2020/10/16
14
应用2:化简三角函数式:
例4:化简： 1sin2440
解： 1 sin 2 440 1 sin 2 80 cos 2 80 cos 80
1 sin 2 440 cos 2 440 cos 440 cos 80
cos 80
2020/10/16
cos 80 15
1co tsan 212c2os2sin21
切化 ta弦 ncs： ions
解 co ： ts an co •s c si o nssin
2020/10/16
角.2020/10/16
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
高一数学必修四 《1.2.2同角三角函数的基本关系》课件
所以 是第三或第四象限角.
由 sin 2 cos 2 1 得
3 16 cos 1 sin 1 . 25 5
2 2 2
如果 是第三象限角,那么
16 4 cos . 25 5
sin 3 5 3 . 从而 tan cos 5 4 4
w c @26 om x kt 1 . c
B
新 疆 源学小 头子屋
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特教 级师 王敞 新
w c t@2 .c m xk 16ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱo
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sin y cos x
sin tan cos
y tan ( x 0) x
基本变形
sin tan cos
sin cos tan
同角三角函数的基本关系: 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切.
“同角”二层含义:一是“角相同”,
由此能得到什么结论？
y P
1
MP OM 1
2 2
sin cos 1
2 2
M
O
x
上述关系反映了角α 的正弦和余弦之间的内在联系， 根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α 的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？
仍然有 sin 2 cos 2 1
P
y
P
O
x
基本变形
sin
等于（ D ） A 2
由 sin 2 cos 2 1 得
3 16 cos 1 sin 1 . 25 5
2 2 2
如果 是第三象限角,那么
16 4 cos . 25 5
sin 3 5 3 . 从而 tan cos 5 4 4
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sin y cos x
sin tan cos
y tan ( x 0) x
基本变形
sin tan cos
sin cos tan
同角三角函数的基本关系: 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切.
“同角”二层含义:一是“角相同”,
由此能得到什么结论？
y P
1
MP OM 1
2 2
sin cos 1
2 2
M
O
x
上述关系反映了角α 的正弦和余弦之间的内在联系， 根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α 的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？
仍然有 sin 2 cos 2 1
P
y
P
O
x
基本变形
sin
等于（ D ） A 2
高中数学必修4三角函数优质课件：同角三角函数的基本关系
第二十一页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
4．若 tan α＝2，则2sisninαα＋－2ccooss αα的值为________．
2sin α－cos α
解析：原式＝ sin
cos α α＋2cos
α＝2ttaannαα＋－21＝2×2＋2－2 1＝34.
cos α
答案：34
第二十二页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
[解] (1)原式＝43ttaann αα－ ＋15＝43× ×33－ ＋15＝1114； (2)原式＝tan24α－－32ttaann2αα－1＝9－4－2×3×3－32 1＝－223； (3)原式＝34ssiinn22αα＋ ＋12cocos2sα2α＝34ttaann22αα＋＋112 ＝34×9＋9＋1 12＝2490.
113300°°＝1.
第二十三页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[例 4] 求证：tatannαα－sisninαα＝tatannαα＋sisninαα.
[证明]
法
一：∵右
边
＝
tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α＝
tan2α－tan2αcos2α tan α－sin αtan αsin α
＝
θ＝sincsoinθs－θθ－co1s
θ＝sin sin
θ－cos θ－cos cos θ
θθ＝cos
θ.
(2)由于 θ 为第二象限角，所以 sin θ>0，cos θ<0，
故 sin2θ－sin4θ＝ sin2θ1－sin2θ＝ sin2θcos2θ＝
|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.
4．若 tan α＝2，则2sisninαα＋－2ccooss αα的值为________．
2sin α－cos α
解析：原式＝ sin
cos α α＋2cos
α＝2ttaannαα＋－21＝2×2＋2－2 1＝34.
cos α
答案：34
第二十二页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
[解] (1)原式＝43ttaann αα－ ＋15＝43× ×33－ ＋15＝1114； (2)原式＝tan24α－－32ttaann2αα－1＝9－4－2×3×3－32 1＝－223； (3)原式＝34ssiinn22αα＋ ＋12cocos2sα2α＝34ttaann22αα＋＋112 ＝34×9＋9＋1 12＝2490.
113300°°＝1.
第二十三页，编辑于星期日：二十三点 三十八 分。
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十八分。
[例 4] 求证：tatannαα－sisninαα＝tatannαα＋sisninαα.
[证明]
法
一：∵右
边
＝
tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α＝
tan2α－tan2αcos2α tan α－sin αtan αsin α
＝
θ＝sincsoinθs－θθ－co1s
θ＝sin sin
θ－cos θ－cos cos θ
θθ＝cos
θ.
(2)由于 θ 为第二象限角，所以 sin θ>0，cos θ<0，
故 sin2θ－sin4θ＝ sin2θ1－sin2θ＝ sin2θcos2θ＝
|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.
人教A版高中数学必修4第一章122同角三角函数的基本关系式课件
人教A版高中数学必修4第一章122同角三角函数的基
本关系式课件
一、同角三角函数的基本关系式
1、正弦函数定义：若在直角三角形中，第一象限的角A的对边长度为a，斜边长度的余弦为c，则正弦函数的定义为：
sinA=a/c
2、余弦函数定义：若在直角三角形中，第一象限的角A的邻边长度为a，斜边长度的余弦为c，则余弦函数的定义为：
cosA=b/c
3、正切函数定义：若在直角三角形中，第一象限的角A的邻边长度为a，斜边长度的余弦为c，则正切函数的定义为：
tanA=a/b
4、反正弦函数定义：若y=sinx，则反正弦函数定义为：
y=arcsinx
5、反余弦函数定义：若y=cosx，则反余弦函数定义为：
y=arccosx
6、反正切函数定义：若y=tanx，则反正切函数定义为：
y=arctanx
二、同角三角函数的变换关系
1、sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB
2、cos(A±B)=cosAcosB－sinAsinB
3、tan(A±B)=tanA±tanB/1－tanAtanB
4、sin2A=2sinAcosA
5、cos2A=cosA2－sinA2
6、tan2A=2tanA/1－tanA2
三、同角三角函数的值计算
1、角A的正弦、余弦、正切值可以通过下面的几种方法计算出来：
（1）根据同角三角函数定义从直角三角形中求出；
（2）根据同角三角函数变换关系，把分解三角函数表达式，再求出；
（3）根据所给出的三角函数图、三角函数表或三角函数值表查出。
2、有些特殊的角A。
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【使用说明】 1、课前完成预习学案，掌握基本题型。
2、认真限时规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
【学习目标】 1、通过三角函数的定义推导出同角三角函数基本关系，并加以理解。
2、能将同角三角函数基本关系应用到实际题目中。
3、激情投入，在合作中体验学习的乐趣。
【重点难点】 学习重点：同角三角函数基本关系的推导
学习难点：同角三角函数基本关系在实际题目中的应用和变形。
【知识链接】 根据三角函数线的定义，作出角
4π的正弦线、余弦线、正切线
一、基础知识导学
如图，以正弦线MP 、余弦线OM 和
半径OP 三者的长构成直角三角形，
而且半径OP=_________，
因此由勾股定理有： ____________________22=+，
即 _____αc o s αs i n 22=+语言叙述为：同一个角α的______、______的平方和等于_______。
注意：αsin 2是()2sinα的简写，读作sinα的平方，不能写成2sinα 探究二、同角三角函数的商数关系
根据三角函数的定义，当()Z k 2
πkπα∈+≠时，有 _________cosα
sinα= （商数关系） 装
订
线
语言叙述为：同一个角α的______、______的商等于______
二、基础知识应用
例1、已知4=sin α5
，求cosα，tanα的值
例2、求证：
cosx
sinx 1sinx 1cosx +=-
三、当堂检测
已知2tanα=，求cosαsinαcosαsinα-+的值
四、课内小结
学习本节课之后，你有哪些收获呢？。