2017年高考数学(理)一轮对点训练：6-4-1 数列求和
【学霸优课】2017数学(理)一轮对点训练：6-3-1 等比数列的概念及运算 Word版含解析
1.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 解法一：由于a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.解法二：同解法一求出q 2＝2，由a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝42，故选B.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列 答案 D解析 根据等比数列性质，若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a m ，a k ，a n 成等比数列，故选D.3．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C.n (n ＋1)2D.n (n －1)2答案 A解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，将d ＝2代入上式，解得a 1＝2，∴S n ＝2n ＋n (n －1)·22＝n (n ＋1)，故选A. 4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公比q ＝2，S k ＋2－S k＝48，则k等于() A．7 B．6C．5 D．4答案 D解析∵S k＝1－2k1－2＝2k－1，∴S k＋2＝2k＋2－1，由S k＋2－S k＝48得2k＋2－2k＝48,2k＝16，k＝4.故选D.5．数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q＝________.答案 1解析设数列{a n}的公差为d，则a1＝a3－2d，a5＝a3＋2d，由题意得，(a1＋1)(a5＋5)＝(a3＋3)2，即(a3－2d＋1)·(a3＋2d＋5)＝(a3＋3)2，整理，得(d＋1)2＝0，∴d＝－1，则a1＋1＝a3＋3，故q＝1.6．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N*都有a n＋2＋a n＋1－2a n＝0，则S5＝________.答案11解析设数列{a n}的公比为q，由a n＋2＋a n＋1－2a n＝0，得a n q2＋a n q－2a n＝0，显然a n≠0，所以q2＋q－2＝0，又q≠1，所以q＝－2，所以S5＝1×[1－(－2)5]1－(－2)＝11.7．设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n＝3n＋3.(1)求{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n. 解(1)因为2S n＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，当n>1时，2S n－1＝3n－1＋3，此时2a n＝2S n－2S n－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即a n＝3n－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n >1. (2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13.当n >1时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n .所以T 1＝b 1＝13；当n >1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n －1)×31－n ]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n ]， 两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n， 所以T n ＝1312－6n ＋34×3n. 经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n. 8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋12. 又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n＝23n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n≤1＋13＋…＋13n －1 ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 9.已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n－3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． 解 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．∴对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．(2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，∴当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，则b n ≠0，∴b n ＋1b n＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．。
2017高考数学(理)一轮作业：6-4合情推理与演绎推理(含解析)
A.若f(x)∈ ,g(x)∈ ,则f(x)·g(x)∈
B.若f(x)∈ ,g(x)∈ ,且g(x)≠0,则 ∈
A.50B.100C.150D.200
【解析】选D.当s=4时,p,q,r都是取0,1,2,3中的一个,有4×4×4=64种,当s=3时,p,q,r都是取0,1,2中的一个,有3×3×3=27种,当s=2时,p,q,r都是取0,1中的一个,有2×2×2=8种,当s=1时,p,q,r都取0,有1种,所以card =64+27+8+1=100.当t=0时,u取1,2,3,4中的一个,有4种,当t=1时,u取2,3,4中的一个,有3种,当t=2时,u取3,4中的一个,有2种,当t=3时,u取4,有1种,所以t,u的取值有1+2+3+4=10种,同理,v,w的取值也有10种,所以card =10×10=100,所以card +card =100+100=200.
C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an= (n≥2),由此归纳出{an}的通项公式
【解析】选A.A项中两条直线平行,同旁内角互补(大前提),∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角(小前提),∠A+∠B=180°(结论),是从一般到特殊的推理,是演绎推理.而B,D是归纳推理,C是类比推理#43;β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβ;
③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.
2017版高考数学一轮复习-第六章-数列-6.4-数列求和-理
【步步高】 2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和理求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d .②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1；②12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋1，则S 5＝________.答案 56解析 ∵a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.2．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝________.答案 －200解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.3．设f (x )＝4x4x ＋2，利用倒序相加法，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝________. 答案 5解析 当x 1＋x 2＝1时，f (x 1)＋f (x 2)12121212121244242(44)142424(44)24x x x x x x x x x x x x ++⨯+⨯+=+==++++⨯+ 设S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011，倒序相加有2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝10， 即S ＝5.4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________. 答案 2n ＋1－2＋n 2解析 S n ＝21－2n1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1－2＋n 2.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________.答案 1 008解析 因为数列a n ＝n cosn π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2. ∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017 ＝2 0164×2＋2 017·cos 2 0172π ＝1 008.题型一 分组转化法求和例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设2(1)n ann n b a ＝＋－，求数列{b n }的前2n 项和．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n2－n －12＋n －12＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)nn .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝21－22n1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.引申探究例1(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 由(1)知b n ＝2n＋(－1)n·n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n2－2.当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2n ＋1－2＋n －12－n ＝2n ＋1－n 2－52. ∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n2－2， n 为偶数，2n ＋1－n 2－52， n 为奇数.思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n ·(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，求其前n 项和S n . 解 S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3， 当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.题型二 错位相减法求和例2 (2015·湖北)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝192n ＋79，b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.思维升华 用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．已知数列{a n }满足首项为a 1＝2，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)．设b n ＝3log 2a n －2(n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n b n .(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{c n }的前n 项和S n . (1)证明 由已知可得，a n ＝a 1qn －1＝2n，b n ＝3log 22n －2，∴b n ＝3n －2，∴b n ＋1－b n ＝3，∴数列{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝3的等差数列． (2)解 c n ＝a n b n ＝(3n －2)×2n.S n ＝1×2＋4×22＋7×23＋…＋(3n －2)×2n ，①2S n ＝1×22＋4×23＋7×24＋…＋(3n －5)×2n ＋(3n －2)×2n ＋1，②①－②得－S n ＝2＋3(22＋23＋24＋…＋2n )－(3n －2)×2n ＋1＝2＋3×41－2n －11－2－(3n －2)×2n ＋1＝－10＋(5－3n )×2n ＋1， ∴S n ＝10－(5－3n )×2n ＋1.题型三 裂项相消法求和 命题点1 形如a n ＝1nn ＋k型 例3 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a n a n ＋1＜13.(1)解 由题意知，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0， 可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或2， 即a 1＝－3或2， 又a n 为正数，所以a 1＝2.(2)解 由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *可得， (S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3， 又数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)． 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n .又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n . (3)证明 当n ＝1时，1a 1a 1＋1＝12×3＝16＜13成立；当n ≥2时，1a na n ＋1＝12n2n ＋1＜12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a na n ＋1＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋1＜16＋16＝13. 所以对一切正整数n ， 有1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a na n ＋1＜13.命题点2 形如a n ＝1n ＋n ＋k型例4 已知函数f (x )＝x a的图象过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋1＋f n，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案2 018－1解析 由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝12x . ∴a n ＝1f n ＋1＋f n＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1.思维升华 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )，1n n ＋k ＝1k (1n －1n ＋k )裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.四审结构定方案典例 (14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .(1)S n ＝－12n 2＋nk ――→S n 是关于n的二次函数n ＝k 时，S n 最大――→根据S n 结构特征确定k 的值k ＝4；S n ＝－12n 2＋4n ――→根据S n求a n a n ＝92－n (2)9－2a n 2n＝n 2n －1――→根据数列结构特征确定求和方法 T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1――→错位相减法求和计算可得T n 规范解答解 (1)当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[4分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .当n ＝1时，上式也成立， 综上，a n ＝92－n .[7分](2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2.②[9分] ②－①得：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.[12分]故T n ＝4－n ＋22n －1.[14分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要通过题目中数式的结构特征判定解题方案；(2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数； (3)可以通过n ＝1,2时的特殊情况对结论进行验证．[方法与技巧]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项法、数列的周期性等来求和． [失误与防范]1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n，a n ＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于____________．答案 n 2＋1－12n解析 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(12＋122＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .2．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn(n ∈N *)的前n 项和是__________． 答案nn ＋1解析 f ′(x )＝mxm －1＋a ，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x 2＋x ， 1f n＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. 3．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________. 答案 －100解析 若n 为偶数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)，所以a n 是首项为a 2＝－5，公差为－4的等差数列；若n 为奇数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，所以a n 是首项为a 1＝3，公差为4的等差数列．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝50×3＋50×492×4＋50×(－5)－50×492×4＝－100.4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，且对任意正整数k ，l ，都有a k ＋l ＝a k ＋a l ，则S 8的值是________． 答案 72解析 因为a 1＝2，且对任意正整数k ，l ，都有a k ＋l ＝a k ＋a l ，令k ＝n ，l ＝1，得a n ＋1＝a n ＋a 1，即a n ＋1＝a n ＋2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，从而有a n ＝2n ，所以S n ＝n (n＋1)，故S 8＝72.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2， 当n 为奇数时，－n 2， 当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.答案 100解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.6．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________． 答案 60解析 由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60.7．整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 015项的和为________． 答案 －13解析 由a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得a n ＋2＝a n －a n －1－a n ＝－a n －1，易得该数列是周期为6的数列，且a n ＋2＋a n －1＝0，S 800＝a 1＋a 2＝2 013，S 813＝a 1＋a 2＋a 3＝2 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 2－a 1＝－13，a 2＋a 1＝2 013，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 013，a 2＝1 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－13，a 4＝－1 013，依次可得a 5＝－1 000，a 6＝13，由此可知a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＋a n ＋4＋a n ＋5＋a n ＋6＝0， ∴S 2 015＝S 5＝－13.8．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *,2S n ＝a 2n ＋a n ，令b n ＝1a n a n ＋1＋a n ＋1a n，设{b n }的前n 项和为T n ，则在T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为________． 答案 9解析 ∵2S n ＝a 2n ＋a n ，① ∴2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，②②－①，得2a n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1－a 2n －a n ，a 2n ＋1－a 2n －a n ＋1－a n ＝0. (a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0. 又∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋1－a n －1＝0. 即a n ＋1－a n ＝1.在2S n ＝a 2n ＋a n 中，令n ＝1，可得a 1＝1.∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n . ∴b n ＝1n n ＋1＋n ＋1n＝n ＋1n －n n ＋1[n n ＋1＋n ＋1n ][n ＋1n －n n ＋1]＝n ＋1n －n n ＋1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴T n ＝1－1n ＋1，∴T 1，T 2，T 3，…，T 100中有理数的个数为9.9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2，∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n )． 令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， 则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1.两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1，∴T ＝2(1－2n)＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1n ＋22a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0， 得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)．n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明 由a n ＝2n (n ∈N *)， 得b n ＝n ＋1n ＋22a 2n ＝n ＋14n 2n ＋22＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n2－1n ＋22， T n ＝116⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－142＋⎝⎛⎭⎪⎫132－152＋…⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －12－1n ＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫1n 2－1n ＋22＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1n ＋12－1n ＋22<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122 ＝564(n ∈N *)． 即对于任意的n ∈N *，都有T n <564.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n ＝____________. 答案4nn ＋1解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋1＝4nn ＋1. 12．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014＝________. 答案 2 010解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008， －2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.13．数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值为________．答案 16解析 设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0，得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －815d ，从而可知当1≤n ≤16时，a n ＞0； 当n ≥17时，a n ＜0.从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16，S 16＞S 17＞S 18＞….因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0， 所以S 16＞S 14，故当S n 取得最大值时n ＝16.14．在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是________．答案100101解析 由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0，又a n ＞0，∴2a n ＋1－a n a n ＋1－1＝0，又2－a n ≠0，∴a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ，又可知a n ≠1，∴1a n ＋1－1＝1a n －1－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列， ∴1a n －1＝－2－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a nn 2＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋1100－1101＝100101. 15．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c 1＝0，且对任意正整数n 都有c n ＋1－c n ＝12log n a .求证：对任意正整数n ≥2，总有13≤1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ＜34. (1)解 ∵S n ＝16－13a n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －1－13a n ，∴a n ＝14a n －1.又∵S 1＝16－13a 1，∴a 1＝18，∴a n ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋1.(2)证明 由c n ＋1－c n ＝12log n a ＝2n ＋1，得当n ≥2时，c n ＝c 1＋(c 2－c 1)＋(c 3－c 2)＋…＋(c n －c n －1)＝0＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)． ∴1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n＝122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n 2－1＝12×⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜34. 又∵1c 2＋1c 3＋1c 4＋…＋1c n ≥1c 2＝13，∴原式得证．。
最新高考数学(理)全国通用大一轮复习2017年高考数学理科真题汇编解析第六章数列
第六章 数列第一节 等差数列与等比数列题型67 等差（等比）数列的公差（公比）1.(2017北京理10)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =_______. 解析 由11a =-，48a =，则21132a a d =+=-+=，由11b =-，48b =，则2q =-，则212b b q ==.故22212a b ==. 2.（2017全国1理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）. A ．1B ．2C ．4D ．8解析 45113424a a a d a d +=+++=，61656482S a d ⨯=+=，联立112724 61548 a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②3⨯-①②，得()211524-=d ，即624d =，所以4d =.故选C.3.（2017全国2理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）.A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析 设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．故选B.4.（2017全国3理14）设等比数列{}n a 满足12–1a a +=， 13––3a a =，则4a = ___________．解析 因为{}n a 为等比数列，设公比为q ．由题意得121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即112111 3 a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①② 显然1q ≠，10a ≠，式式②①，得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， 所以()3341128a a q ==⨯-=-．题型68 等差、等比数列求和问题的拓展1.（2017全国1理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数100N N >：且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）. A.440B.330C.220D.110解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为()12n n +，由题意得，100N >，令()11002n n +>，得14n ≥且*n ∈N ，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为122112nn -=--，n 组总共的和为()12122212n n n n +--=---，若要使前N 项和为2的整数幂，则()12n n N +-项的和21k -应与2n --互为相反数，即()*21214k n k n -=+∈N ，≥，()2log 3k n =+，得n 的最小值为295n k ==，，则()2912954402N ⨯+=+=.故选A.2.2017山东理19）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=， （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，依次联结点()111P x ，，()222P x ，，…，()11,1n n P x n +++得到折线121n PP P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域的面积n T.解析 （1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >，所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -= （2）过1231,,,,n P P P P +向x 轴作垂线，垂足分别为1231,,,,n Q Q Q Q +，由（1）得111222.n n n n n x x --+-=-= 记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯，所以1n n T b b b b =++++=13n n n n ---⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯① 又012212325272(21)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯②-①②，得132(n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(221n n n---+--所以(21)21.2n n n T -⨯+=题型69 等差、等比数列的性质及其应用1.（2017江苏09）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ． 解析 解法一：由题意等比数列公比不为1，由()()313616171416314a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，因此36319S q S =+=，得2q =． 又3123S a a a =++()2117174a q q a =++==，得114a =，所以78132a a q ==．故填32．解法二（由分段和关系）：由题意3363374634S S S q S ⎧=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，所以38q =，即2q =．下同解法一．2.（2017全国2理15）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 解析 设{}n a 首项为1a ，公差为d ．由3123a a d =+=，414610S a d =+=，得11a =，1d =，所以n a n=，()12n n n S +=，()()112222122311nk k Sn n n n ==++++=⨯⨯-+∑11111112122311n n n n ⎛⎫-+-++-+-= ⎪-+⎝⎭122111n n n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭.题型70 判断或证明数列是等差、等比数列1.（2017江苏19）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足1111+n k n k n nn k a a a a a --+-++-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+2n k na k a +=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“()3P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．解析 （1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则()11n a a n d =+-， 从而当4n …时，()()1111=n k n k a a a n k d a n k d -++=+--+++-()12212n a n d a +-=，1,2,3k =，所以321123+++6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=，因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”． （2）由数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n …时，21124n n n n n a a a a a --+++++= ① 当4n …时，3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++= ② 由①知，()()321144n n n n n a a a a a n ---++=-+≥ ③()()231142n n n n n a a a a a n +++-+=-+≥ ④将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n …， 所以345,,,a a a ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为d '．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d '=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以312a a d '=-， 从而数列{}n a 是等差数列．评注 这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．（2015南通基地密卷7第20题）设数列{}n a 的各项均为正数，若对任意的*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得22n k n n k a a a ++=成立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列．（1）若数列{}n a 是“2J 型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明数列{}n a 是等比数列．解析 （1）由题意得，2468,,,,a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，且公比138212a q a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以412212n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）由{}n a 是“4J 型”数列得159131721,,,,,,a a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为t ，由{}n a 是“3J 型”数列得1471013,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为1α；2581114,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为2α； 3691215,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139a t a α==， 所以123ααα==，不妨令123αααα===，则43t α=． 所以()3211311k k k a aα----==，()2311223315111k k k k k a a a t a a ααα------====，所以131323339111k k k k k a a a t a a ααα----====，综上11n n a a -=，从而{}n a 是等比数列．2.(2017北京理20)设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（1）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列． 解析（1）111110c b a =-=-=，{}{}21122max 2,2max 121,3221c b a b a =--=-⨯-⨯=-，{}{}3112233max 3,3,3max 131,332,5332c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n …时，()()()()111120k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k kb na -关于*k ∈N 单调递减.从而{}112211ma x ,,,1n n n c b a n b a n b a n b a n=---=-=-，将1,2,3n =代入，满足此式，所以对任意1n …，1n c n =-，于是11n n c c +-=-，得{}n c 是等差数列.（2）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则()[]()()121111211(1)1k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--. 所以()()11212111211,,n b a n n d nd d nd c b a n d nd ⎧-+-->⎪=⎨-⎪⎩当时当时….①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m …时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n …， (){}(){}()11211211max ,01max ,0n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--. 此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列.③当10d <时， 当21d n d >时，有12nd d <，所以()()()11211211121n b a n n d nd c b d nd d a d n nn-+---==-+-++… ()111212||n d d a d b d -+-+--.对任意正数M ，取正整数12112211||max ,M b d a d d d m d d ⎧⎫+-+-->⎨⎬-⎩⎭，故当n m …时，nc M n>. 题型71 等差数列与等比数列的交汇问题——暂无第二节 数列的通项公式与求和题型72 数列通项公式的求解 题型73 数列的求和1.（2017天津理18）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -的前n 项和()n *∈N .解析 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以2n n b =.由3412b a a =-，可得138d a -= ① 由114=11S b ，可得1516a d += ② 联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =. (2)设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4n n n a b n -=-⨯， 故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=1112(14)4(31)4=(32)4814n n n n n ++⨯----⨯--⨯--，得1328433n n n T +-=⨯+.所以数列{}221n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 2.（2017全国3理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 前6项的和为（ ）. A ．24-B ．3-C ．3D ．8解析 因为{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d ，则2326a a a =，即()()()211125a d a d a d +=++.因为11a =，代入上式可得220d d +=，又0d ≠，则2d =-，所以()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-.故选A. 第三节 数列的综合题型74 数列与不等式的综合1.(2017浙江理22)已知数列{}n x 满足：11x =，()()*11ln 1n n n x x x n ++=++∈N .证明：当*n ∈N 时. （1）10n n x x +<<； （2）1122n n n n x x x x ++-…； （3）1-21122n n n x -剟. 解析 （1）用数学归纳法证明：0n x >. 当1n =时，110x =>，假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +…，则()110ln 10k k k x x x ++<=++…，矛盾，故10k x +>. 因此()*0n x n >∈N ，所以()111ln 1n n n n x x x x +++=++>. 因此()*10n n x x n +<<∈N . （2）由()111l n 1n n n nx x x x +++=++>，得()()21111114222l n1nnnnn n n nx x x x x x x x ++++++-+=-+++.11 记函数()()()()222ln 10f x x x x x x =-+++….()()()()()222122222ln 1ln 1ln 10111x x x x x f x x x x x x x x -++++'=-+++=++=+++++…，知函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()()00f x f =…，因此()()()21111122ln 10n n n n n x x x x f x +++++-+++=…，即()*1122n n n n x x x x n ++-∈N …. （3）因为()()*11111ln 12n n n n n n x x x x x x n +++++=+++=∈N …，得112n n x x +…，以此类推，21111,,22n n x x x x -厖，所以112112112n n n n n n x x x x x x x x ----⎛⎫=⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭=x ?，故112n n x -…. 由（2）知，()*1122n n n n x x x x n ++-∈N …，即111112022n n x x +⎛⎫--> ⎪⎝⎭…， 所以1211111111222222n n n n x x x ---⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭厖?，故212n n x -…. 综上，()*121122n n n x n --∈N 剟.。
高考数学一轮复习第六章数列6.1.2数列的通项公式对点训练理
2017高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1.2 数列的通项公式对点训练 理1．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案2011解析 由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2，则1a n ＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝2·3n －1－1解析 ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)． ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.4.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝nn ＋.5．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1n ＋2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 解 (1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0， 得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由于a n ＝2n ，故b n ＝n ＋1n ＋2a 2n ＝n ＋14n 2n ＋2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n2－1n ＋2.T n ＝116[ 1－132＋122－142＋132－152＋…＋1n －2－1n ＋2＋1n2－1n ＋2 ]＝116[ 1＋122－1n ＋2－1n ＋2 ]<116×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564.。
2017年高考数学一轮复习-数列求和
10数列求和一、高考要求：1.数列求和是高考热点问题，综合性较强，考查综合分析能力和运算能力，要求较高，这类题目经常出现在选择题，填空题，解答题。
2．除了公式法、裂项相消法、错位相加法外，常见的求和方法还有分组求和法、并项求和法、例如摆动型数列或者是周期型数列求和时均可以采取分组求和法，并项求和法，也就是把有规律的放在一起求和，如果特征不太明显，可以根据题干中的信息写出数列中的前几项，找出规律再求和。
二、课本再现：1．转化思想，即把一般数列转化为等差数列或者等比数列，通常并项求和或者分组求和。
2．不能转化为等差数列或者等比数列的，往往通过裂项相消法，错位相减法，倒序相减法等来求和。
三、方法巧用：1.求数列前n项和的基本方法：(1)等差数列、等比数列常用公式法：(1)123n nn+++++=L，2222(1)(21)1236n n nn++++++=L(2)分组转化法,主要适用于求{}n na b+的前n项和(3)错位相减法,主要适用于求{}n na b的前n项和(其中{}n a为等差数列, {}n b为等比数列) 倒序相加法,主要用于数列求和.裂项相减法,主要适用于求11n na a+⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭(其中{}n a为等差数列)2, 常见的拆项公式有常见的拆项公式有：①111(1)1n n n n=-++②1111()(21)(21)22121n n n n=--+-+11 ③1(1)(2)n n n ++111[]2(1)(1)(2)n n n n =-+++1a b=- ⑤11m m m n n n C C C -+=- ⑥!(1)!!n n n n ⋅=+-⑦1(2)n n n a S S n -=-≥四、例题精讲：1．已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}(0,)n n b b n N *≠∈，满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=． （1）令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； （2）若13n n b -=，求数列{}n a 的前n 项和n s ．1．（1）11120n n n n n n a b a b b b +++-+=Q ，(0,)n b n N *≠∈同时除以1n n b b +，得到1120n n n n a a b b ++-+=，112n n n n a a b b ++∴-=，即1:2n n c c +-=，所以，{}n c 是首项为111ab =，公差为2的等差数列，所以，12(1)21nc n n =+-=-； （2）由上21nn na c nb ==-，1(21)3n n a n -∴=-⨯， 得01221133353(23)3(21)3n n n s n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L 12313133353(23)3(21)3n n n s n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，两式相减得：0121232(333)(21)32(22)3n n n n s n n --=+⨯+++--⨯=---L ，(1)3n n s n ∴=-⨯．2．已知首项为23的等比数列}{n a 不是递减数列，其前n 项和为)(*∈N n S n ，且33a S +，55a S +，44a S +成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）设)(1*∈-=N n S S T nn n ，求数列}{n T 的最大项的值与最小项的值．2．解：（1）设等比数列}{n a 的公比为q ，因为33a S +，55a S +，44a S +成等差数列，所以55443355a S a S a S a S --+=--+，即354a a =，于是41352==a a q ，又}{n a 不是递减数列且231=a ，所以12q =-．故等比数列}{n a 的通项公式为n n n n a 23)1()21(2311⋅-=-⨯=--； （2）由（1）得⎪⎩⎪⎨⎧-+=--=为偶数为奇数n n S n n n n ,211,211)1(1，当n 为奇数时，n S 随n 是增大而减小，所12以2311=≤<SS n，故6532231111=-=-≤-<SSSSnn．当n为偶数时，nS随n是增大而增大，所以1432<≤=n SS，故7431122-=-=-≥->SSnn．综上，对于*∈Nn，总有517≤-≤-nnS．所以数列}{n T的最大项的值为65，与最小项的值为127-．3．已知等差数列}{n a的公差为2，前n项和为n S，且124,,S S S成等比数列．（1）求数列}{n a的通项公式；（2）令114(1)nnn nnba a-+=-，求数列{}nb的前n项和nT．3．解：（1）2d=，112141,2,46S a S a d S a d==+=+，，，因为124,,S S S成等比数列，所以214S S S=，解得11a=，21na n∴=-；（2）111411(1)(1)()n nnn nnb--+=-=-+，当为n偶数时，1111111(1)()()()33523212121nTn n n n=++++++-+---+L1212121nnTn n∴=-=++当n为奇数时，1111111(1)()()()33523212121nTn n n n=+-++-+++---+L12212121nnTn n+∴=+=++2,22122,21()21nn n knTn n k k Zn⎧=⎪+∴=⎨+⎪=+∈+⎩或21(1)21nnnTn++-=+13五、同步巩固： A 组1，，n 项和为n S ，则n S 等于)(A )(B)(C1 )(D 11．答案：)(C提示：选取1n =代入运算可拓排除)(B )(D ，选取2n =时，21S =排除)(A 2．等比数列}{n a 中，42a =，55a =，则数列{}lg n a 的前8项和等于)(A 6 )(B 5 )(C 4 )(D 32．答案：)(C提示：{}lg n a 的前8项和44812812845lg lg lg lg()lg()lg(25)4S a a a a a a a a =+++===⨯=L L3．已知数列的前n 项和为115913(1)(43)n n S n -=-+-++-- ，则152231S S S +-的值是)(A 134- )(B 13 )(C 46 )(D 76-答案：)(D ：提示n 为奇数时，1(4)(43)2n n S n -=⨯-+-，提示n 为偶数时，(4)2n nS =⨯-，1522317(4)(4153)11(4)S S S ∴+-=⨯-+⨯-+⨯-[]15(4)(4313)76-⨯-+⨯-=-4．设各项为实数的等比数列}{n a ，其前n 项的和为n S ，公比为q ，若396,,S S S 成等差数列，则362q q +的值是：)(A 0 )(B32 )(C 12-)(D 0或324．答案：)(A提示：3123S a a a =++，336123123123()()(1)S a a a a a a q a a a q =+++++=+++，363691291233()(1)(1)S a a a a a a q q S q q =+++=++++=++L 代入9362S S S =+有3632(1)1(1)q q q ++=++即3620q q +=，3602q q += 5． 数列1，12+，2122++，L ，211222n -++++L 的和为)(A 2n)(B 2nn - )(C 122n n +-- )(D 2n n -5．答案：)(C提示：211212222112nn n n a --=++++==--L ，则原数列的和为1231(21)(21)(21)(21)22n n n S n +=-+-+-++-=--L14 6．已知}{na是等差数列，11=a，公差0≠d，n S为其前n项和，若1a，2a，5a成等比数列，则=8S .6．答案: 648=S，5122aaa⋅=，所以)14(1)1(2+⨯=+dd，所以022=-dd，2=∴d，648=S．7．数列112，134，158，1716的前n项和为n S= .7．答案: 2112nn+-提示：1111111135(21)135(21)()2482422 n n nS n n=++++-⋅=+++-++++8．计算：111248(1)2n n---+-++-=.8．答案: 112(1)33nn-+-提示：本数列是公比为2-的等比数列，则11(2)12(1)21(2)nn n----+-⋅==--112(1)33nn-+-B组9．已知}{na的通项公式21na n=+，nS为其前n项和，则由nnSbn=所确定的数列{}nb的前n项和nT= .9．答案:1(5)2n n+提示：数列}{na是等差数列，12(321)22n nna a a S n nb nn n n+++++====+，则数列{}nb也是等差数列，得其前n项和n T=(32)(5)22n n n n+++=10．已知数列}{na中，11a=，1(1)(1)nn na a+=-+，记nS为}{n a的前n项和，则2016S= 10．答案: 1008-提示：11a=，1(1)(1)nn na a+=-+11a∴=，22a=-，31a=-，4a=，51a=，62a=- 可得该数列是周期为4的数列，所以15()20161234504504(2)1008S a a a a =+++=⨯-=11．已知数列}{n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则122016111111a a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦11．答案: 0提示：利用裂项相消法求和，因为2111111(1)1n n n n n n n a a a a a a a +===-+++，所以11111n n n a a a +=-+，所以122016111111a a a ++++++ 1234201620171201711111111()()()a a a a a a a a =-+-++-=- 又11a =，21n n n a a a +=+递增，所以20171(0,1)a ∈，所以1201711(0,1)a a -∈即12017110a a ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦12．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),2nn n n S a n N =--∈，则 （1）=3a ；（2）=+++10021S S S ； 12．答案: 10011(1)32-提示：由题知，1=n 时，4111-==S a ；n 是奇数时，n n n a S 21--=且11121+++-=+n n n n a a S ，从而121+-=n n S ，11212121++-=-=n n n n a ，1612143-=-=∴a ，所以n 是偶数时，0=n S ，n 是奇数时，}{n S 是首项为41-，公比为41的等比数列．所以10021S S S +++501001(1)1114(1)4132(1)4-=-=--． 13．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和．若31,a a 是方程0452=+-x x 的两个根，则=6S 13．答案: 636=S16提示：531=+a a ，431=a a ，由递增，11=a ，43=a ，所以4132==a a q ，2=q 代入等比求和公式得636=S ．。
高考数学(理)一轮对点训练：6-4-1 数列求和 Word版含解析
1.数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若S n ＝10，则n 的值是( )A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令S n ＝10，解得n ＝120.故选C.2．在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )A ．125B ．126C ．127D ．128 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q (q >0)， ∵－a 3，a 2，a 4成等差数列， ∴2a 2＝a 4－a 3， ∴2a 1q ＝a 1q 3－a 1q 2， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝27－1＝127.故选C.3.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解(1)由题意有，⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.4．数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值；(2)求数列{a n }的前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝4－1＋221－1＝1；当n ≥2时，由a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1知，a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝4－n －1＋22n －2，两式相减得na n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n ＋22n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n ＋12n －2＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝n2n －1，此时a n ＝12n －1.经检验知，a 1＝1也满足a n ＝12n －1.综上，a n ＝12n －1，故a 3＝123－1＝14.(2)由(1)知，a n ＝12n －1，故数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，故T n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1.(3)证明：由(1)(2)知，b 1＝a 1＝1， 当n ≥2时，b n ＝T n －1n ＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n＝2－12n －2n＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n ·12n －1＝2n＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －1－1n ·12n －1. 当n ＝1时，S 1＝1<2＋2ln 1＝2，成立； 当n ≥2时， S n＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·121＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－13·122＋…＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －1－1n ·12n －1 ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋122＋…＋12n －1＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋123＋…＋12n －1－12＋13⎝⎛123＋124＋…＋12n －1⎭⎪⎫－122＋…＋1n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n －2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1 ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12n －1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122·1－12n －21－12－12＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫123·1－12n －31－12－122＋…＋1n －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1－12n －2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1 ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12n －1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1＋…＋1n －1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1＋1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12n －1 ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n －⎝ ⎛ 1＋12＋⎭⎪⎫13＋…＋1n ·12n －1<2＋2⎝⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n . 构造函数f (x )＝ln (1＋x )－x x ＋1，x ≥0，则f ′(x )＝11＋x －1(x ＋1)2＝x(x ＋1)2≥0， 故函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以当x >0时， f (x )>f (0)＝0，即xx ＋1<ln (1＋x )．令x ＝1n －1，n ≥2，则1n <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1n －1， 从而可得12<ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1，13<ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋13－1，…，1n <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1n －1， 将以上n －1个式子同向相加即得12＋13＋…＋1n <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋13－1＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1n －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21×32×…×n n －1＝ln n ，故S n <2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n <2＋2ln n . 综上可知，S n <2＋2ln n .5．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.。
江苏版高考数学一轮复习：专题6.4数列求和讲解附答案.doc
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】专题6.4 数列求和【考纲解读】内 容要 求备注A B C数列数列的概念√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A 、B 、C 表示）. 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题. 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.等差数列√ 等比数列√【直击考点】题组一 常识题1． 等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．【解析】易知S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92×1＝75.2．数列32，94，258，6516，…，n ·2n＋12n的前n 项和为____________． 【解析】易知a n ＝n ·2n＋12n ＝n ＋12n，∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝ (1＋2＋3＋…＋n)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12n ＝（n ＋1）n 2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n （n ＋1）2－12n＋1.3．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n的前n 项和为________．【解析】易知该数列的通项公式为a n ＝2n （n ＋1），分裂为两项差的形式，即a n ＝21n －1n ＋1，则数列的前n 项和S n ＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 4． 1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1＝____________(x ≠0且x ≠1)．题组二 常错题5．已知S n ＝12＋1＋13＋2＋12＋3＋…＋1n ＋1＋n，若S m ＝10，则m ＝________．【解析】因为1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1－n＝n ＋1－n ，所以S m ＝2－1＋3－2＋…＋m ＋1－m ＝m ＋1－1.由已知得m ＋1－1＝10，所以m ＝120.6．数列22，422，623， (2)2n ，…的前n 项和为________．【解析】设S n ＝22＋422＋623＋...＋2n 2n ，①则12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1，②①－②，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1，∴S n ＝4－n ＋22n －1.题组三 常考题7． 等差数列{a n }的公差是3，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝________. 【解析】由题意，得a 2，a 2＋6，a 2＋18成等比数列，即(a 2＋6)2＝a 2(a 2＋18)，解得a 2＝6，故a 1＝3，所以S n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝32n(n ＋1)．8．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．【解析】因为a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，所以S 1＝－1，S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n ＋1－1S n＝－1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，所以1S n ＝－n ，所以S n ＝－1n .9． 已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n＋1－1(n ∈N *)．记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝______________.【解析】由a n ＋1＝2a n 可得a n ＋1a n＝2，即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故数列{a n }的通项【知识清单】数列求和1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 2．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1或11n n a a qS q-=-；当1q =时，1na S n =（错位相减法）.3. 数列前n 项和①重要公式：（1）1nk k ==∑123n ++++=2)1(+n n （2）1(21)nk k =-=∑()13521n ++++-=2n（3）31nk k ==∑2333)1(2121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n（4）21nk k ==∑)12)(1(613212222++=++++n n n n ②等差数列中，m n m n S S S mnd +=++；③等比数列中，n mm n n m m n S S q S S q S +=+=+.【考点深度剖析】江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1 数列求和 【题组全面展示】【1-1】数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2014S = . 【答案】1008-【解析】由数列的通项公式可知,数列的项依次为0,2,0,4,0,6,0,8,--，数列每四项和为2，故201450342=⨯+，所以()2014503220141008S =⨯+-=-． 【1-2】已知函数()()2cos f n n n π=，且()()1,n a f n f n =++则123100a a a a +++⋅⋅⋅+= .【答案】-100【1-3】已知数列{}n a 的通项公式为(1)1n a n n n n =+++*()n N ∈，其前n 项和为n S ，则在数列122014S S 、S 、中，有理数项的项数为 . 【答案】43 【解析】1)111(1)1((1)1)((1)1)n n n n n n a n n n n n n n n n n n n n n ++===-++++++++-+， ∴3815,,,S S S 为有理项，∴212014n -<且2n ≥，∴有理数项的项数为43项.【1-4】已知数列{},n a 若)(,1221+-∈+-=N n n a n n ，求10S =_______.（用数字作答）【答案】923【解析】()11221221n n n a n n --=-+=--，210102101222(13519)211010241100923S =++++-++++=--=--=．【1-5】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根，则数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 .【答案】1422n n n S ++=-综合点评：这些题都是数列求和，做这一类数列求和的题，，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 【方法规律技巧】1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.2．倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法，如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 若n n n a b c =•，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令112211n n n n n S b c b c b c b c --=++++，则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++++两式错位相减并整理即得.4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++； （21n k n kn k n =+++，特别地当1k =11n n n n=+++（3）()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭（4）()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++++⎝⎭（5）)()11(11q p qp p q pq <--= 5．分组转化求和法：有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.6．并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如，22222210099989721n S =-+-++-()()()100999897215050=++++++=.7. 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．对于不能由等差数列、等比数列的前n 项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式．8. [易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如)211(21)2(1+-=+n n n n 容易误裂为112n n -+，漏掉前面的系数12； (2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 应用错位相减法求和时需注意：①给数列和S n 的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n . 【新题变式探究】【变式一】对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：x1 2 3 4 5 6 7 8 9 y375961824数列}{n x 满足11x =，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数()y f x =的图象上，则123420132014x x x x x x ++++++的值为 .【答案】7549【变式二】若在数列{}n a 中，对任意正整数n ，都有221n n a a p ++=（常数），则称数列{}n a 为“等方和数列”，称p 为“公方和”，若数列{}n a 为“等方和数列”，其前n 项和为n S ，且“公方和”为1，首项11a =，则2014S 的最大值与最小值之和为 . 【答案】2【解析】由221n n a a p ++=得2212n n a a p +++=，两等式相减得：222n n a a +=.又“公方和”为1，首项11a =，所以2222223520132420141,0a a a a a a ========.所以2014S 的最大值为1007，最小值为-1005，其和为2.【综合点评】这两个题都是数列求和,第一题是函数与数列相结合,解题突破口为根据函数数据,找出数列满足的规律,然后利用合项法求和,第二个题是根据新定义求和,紧扣定义找出实质是解本题的关键. 考点2数列综合 【题组全面展示】【1-1】已知函数)(x f 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，01007>a ，则)()()()()(20132012321a f a f a f a f a f +++++ 的值正负为 .【答案】正 【解析】021********>=+a a a ⇒20131a a ->⇒)()()(201320131a f a f a f -=->⇒0)()(20131>+a f a f同理，0)()(20122>+a f a f ，0)()(20113>+a f a f ，…，0)()(10081006>+a f a f ，又01007>a ⇒0)0()(1007=>f a f ，以上各式相加，得0)()()()()(20132012321>+++++a f a f a f a f a f .【1-2】设函数(2),2()1()1,22x k x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，()n a f n =，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数k的取值范围为 . 【答案】7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭7(,)4-∞.【1-3】已知()[]23,0,31x f x x x+=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且122010670a a a +++=，则122010()()()f a f a f a +++最大值为 .【答案】6030【1-4】已知()()()()()()123,2,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数为()f x '，设()()20n f a f '-=，则数列{}n a 自第2项到第n 项的和S =_____________. 【答案】11n- 【解析】已知()()()()()2[13]f x x x x x n =++++，则有()()()()()()()()()2[13]2[13]f x x x x x n x x x x n '''=+++++++++，所以()()(2)112322!f n n '-=-⋅⋅⋅⋅-=--，(0)!f n =，所以()2!111!(1)1n n a n n n n n -=-=-=---，所以1111111111232431S n n n=-+-+-++-=--. 【1-5】对于每一个正整数n ，设曲线1n y x +=在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令n a lg n x =，则1299a a a +++= .【答案】2-.【解析】利用导数求得曲线1n y x+=在点()1,1处的切线方程为()()111y n x =+-+，即()1y n x n =+-，它与x 轴交于点(),0n x ，则有()101n n nn x n x n +-=⇒=+，()lg lglg lg 11n n na x n n n ∴===-++，()()()1299lg1lg2lg2lg3lg99lg100lg1lg1002a a a ∴+++=-+-++-=-=-.综合点评：这些题都是数列与函数综合问题，解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理． 【方法规律技巧】1. 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围． 以数列为背景的不等式恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解，或利用放缩法证明.解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较．数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法.2. 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．3. 处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解．4. 解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．5.数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注． 数列与函数的综合问题，解决此类问题时要注意把握以下两点： (1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义； (2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征． 【新题变式探究】【变式一】设数列{}n a 满足6,1421=+=a a a ,且对任意*n N ∈,函数12()()n n n f x a a a x ++=-++1cos n a x +-2sin n a x +满足'()02f π=，若na n n a c 21+=，则数列{}n c 的前n 项和n S 为 .【答案】n n n 21222-++【变式二】在直角坐标平面内，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22)，P 3(3,23)，…，P n (n,2n)，….如果n 为正整数，则向量P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为________．【答案】23(4n－1)【解析】P k P k ＋1＝(k ＋1－k,2k ＋1－2k )＝(1,2k)，于是P 1P 2→＋P 3P 4→＋P 5P 6→＋…＋P 2n －1P 2n 的纵坐标为2＋23＋25＋…＋22n －1＝21－4n1－4＝23(4n－1)． 【综合点评】第一题是函数与数列结合，此类问题常常以函数的解析式为载体，转化为数列问题，常用的数学思想方法有“函数与方程”“等价转化”等．第二题是数列与新背景、新定义的综合问题，解决数列与新背景、新定义的综合问题，可通过对新数表、图象、新定义的分析、探究，将问题转化为等差(比)数列的问题．【易错试题常警惕】易错典例：已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .易错分析：未对q ＝1或q ≠1分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误． 错解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝6，a 1＋a 2＋…＋a 8＝－4，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得a 1＝3，d ＝－1，∴a n ＝4－n . (2)由(1)知b n ＝n ·qn －1，∴S n ＝1＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1，qS n ＝1·q ＋2·q 2＋3·q 3＋…＋n ·q n ，两式相减得：(1－q )S n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1＋n ·q n＝1－q n1－q ＋n ·q n .∴S n ＝1－q n1－q2＋n ·q n1－q. 正确解析：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知得温馨提醒：错位相减法适合于一个由等差数列{a n}及一个等比数列{b n}对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．因此利用错位相减法求解时，两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．高中数学知识点三角函数1、以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为，则sin = ，cos = ，tg = ，ctg = ，sec = ，csc = 。
一轮参考2017数学人教A版理一轮课件：6-4 数列求和 精
-3知识梳理 双击自测
1.基本数列求和方法
(1)等差数列求和公式:Sn=
������(������1 +������������ ) ������(������-1) =na1+ d. 2 2
������������1 ,������ = 1,
1-������
(2)等比数列求和公式:Sn= ������1-������������������
பைடு நூலகம்
-5知识梳理 双击自测
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1.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”. (1)当 n≥2 时,
1 ������2 -1
=
1 1 − . ������-1 ������+1
(× )
(2)若 Sn=a+2a2+3a3+…+nan,当 a≠0,且 a≠1 时,求 Sn 的值可用错 位相减法求得. ( √ ) (3)求 sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的和,可 用倒序相加法. (√ ) (4)若 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1· n,则 S50=-25. ( √ ) (5)已知等差数列{an}的公差为 d,则有
-9知识梳理 双击自测
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3 + (2������-1)· 3������+1 5.1×3+2×32+3×33+…+n×3n= 4
.
解析:设 Sn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n, 1 所以 3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n× 3������ + , 1 两式相减得,-2Sn=3+(32+33+…+3n)-n·3������ + =(3+3 +3 +…+3 )-n·3 所以
高考数学一轮复习全套课时作业6-4-1数列求和
专题层级快练6.4.1数列求和一、单项选择题1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为()A ．2n －1B ．n ·2n －nC ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －22．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n 等于()A ．13B ．10C ．9D ．63．数列{(－1)n (2n －1)}的前2020项和S 2020等于()A ．－2020B ．2020C ．－2019D ．20194．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2等于()A ．(3n －1)2 B.12(9n －1)C ．9n －1D.14(3n －1)5．若数列{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2＋3n ＋2，则{b n }的前10项之和为()A.13B.512C.12D.7126．已知在等差数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝()A ．1－4nB ．4n －1C.1－4n 3D.4n －13二、填空题与解答题7．S n ＝122－1＋142－1＋…＋1（2n ）2－1＝________．8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________．9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ＋4.若首项a 1＝－2，则数列{a n }的前9项和S 9＝________．10．(2021·四省八校联考)已知公比为整数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 3＝14.若b n ＝log 2a n ，100项的和为________．11．(2020·江苏)设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．已知数列{a n＋b n}的前n项和S n＝n2－n＋2n－1(n∈N*)，则d＋q的值是________．12．(2017·课标全国Ⅲ)设数列{a n}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)a n＝2n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)n项和．13．(2021·太原二模)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋1－2，数列{b n}满足b n＝a n＋a n＋1(n∈N*)．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若c n＝log2a n(n∈N*)，求数列{b n·c n}的前n项和T n.14．(2021·郑州市第一次质量预测)已知数列{a n}为等比数列，首项a1＝4，数列{b n}满足b n＝log2a n，且b1＋b2＋b3＝12.(1)求数列{a n}的通项公式；，求数列{c n}的前n项和S n.(2)令c n＝4b n·b n＋1＋a n15．(2021·山东新高考质量测评)对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知数列{a n}的通项公式a n＝1，则[S1]＋[S2]＋…＋[S40]＝()n＋1＋n，前n项和为S nA．105B．120C．125D．13016．(2020·山东新高考Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{a n}的通项公式；(2)记b m为{a n}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100.17．已知{a n}为等差数列，各项为正的等比数列{b n}的前n项和为S n，2a1＝b1＝2，a2＋a8＝10，________．在①λS n＝b n－1；②a4＝S3－2S2＋S1；③b n＝2λan.这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.6.4.1数列求和参考答案1．答案D解析记a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，∴S n ＝2·（2n －1）2－1－n ＝2n ＋1－2－n.2．答案D解析∵a n ＝2n －12n ＝1－12n ，∴S n ＝n ＋122＋…n －1＋12n .而32164＝5＋164，∴n －1＋12n ＝5＋164.∴n ＝6.3．答案B 解析S 2020＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2019－1)＋(2×2020－1)＝2＋2＋…＋2,1010个2相加＝2020.故选B.4．答案B解析因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．则当n ≥2时，a n ＝2·3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．则数列{a n 2}是首项为4，公比为9的等比数列，a 12＋…＋a n 2＝4（1－9n ）1－9＝12(9n－1)．故选B.5．答案B解析∵b n ＝1a n ＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，∴S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝12－13＋13－14＋14－15＋…＋111－112＝12－112＝512.6．答案B解析因为q ＝a n －a n －1＝－4，b 1＝a 2＝－3，所以b n ＝b 1q n －1＝－3×(－4)n －1.所以|b n |＝|－3×(－4)n －1|＝3×4n－1，即{|b n |}是首项为3，公比为4的等比数列．所以|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3（1－4n ）1－4＝4n －1.故选B.7．答案n2n ＋1解析通项a n ＝1（2n ）2－1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝S n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1.8．答案－n 2（1≤n ≤3），2－6n ＋18（n>3）解析由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7.∴当n ≤3时，a n <0；当n>3时，a n >0.∴T n －n 2（1≤n ≤3），2－6n ＋18（n>3）.9．答案986解析因为a n ＋1＝2a n ＋4，所以a n ＋1＋4＝2(a n ＋4)，故{a n ＋4}是以a 1＋4＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋4＝2n ，即a n ＝2n －4.S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(21－4)＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝(21＋22＋ (2))－4n ＝2（1－2n ）1－2－4n ＝2n ＋1－2－4n ，所以S 9＝210－2－4×9＝986.10．答案100101解析设数列{a n }的公比为q ，且q 为整数．由已知，a 2＝a 1q ＝4，S 3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝14，解得q ＝2或q＝12(舍去)，所以a 1＝2，a n ＝2n ，b n ＝log 2a n ＝log 22n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，故数列的前100项的和为1－1101＝100101.11．答案4解析方法一：当n ＝1时，S 1＝a 1＋b 1＝1①，当n ≥2时，a n ＋b n ＝S n －S n －1＝2n －2＋2n －1，则a 2＋b 2＝4②，a 3＋b 3＝8③，a 4＋b 4＝14④，②－①得d ＋b 1(q －1)＝3⑤，③－②得d ＋b 2(q －1)＝4⑥，④－③得d ＋b 3(q －1)＝6⑦，⑥－⑤得b 1(q －1)2＝1，⑦－⑥得b 2(q －1)2＝2，则q ＝2，b 1＝1，d ＝2，所以d ＋q ＝4.方法二：由题意可得S 1＝a 1＋b 1＝1，当n ≥2时，a n ＋b n ＝S n －S n －1＝2n －2＋2n －1，易知当n ＝1时也成立，则a 1＋(n －1)d ＋b 1q n －1＝dn ＋a 1－d ＋b 1q n －1＝2n －2＋2n －1对任意正整数n 恒成立，则d ＝2，q ＝2，d ＋q ＝4.方法三：由等差数列和等比数列的前n 项和的特征可得等差数列{a n }的前n 项和H n ＝n 2－n ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝2n －1，则d ＝2，q ＝2，d ＋q ＝4.12．答案(1)a n ＝22n －1(2)2n 2n ＋1解析(1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)．两式相减得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1(n ≥2)．又由题设可得a 1＝2，满足上式．从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)n 项和为S n .由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n ＋1）（2n －1）＝12n －1－12n ＋1.则S n ＝11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝2n 2n ＋1.13．答案(1)b n ＝3×2n(2)3(n －1)×2n ＋1＋6解析(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，又a 1＝2满足上式，∴a n ＝2n (n ∈N *)，∴b n ＝a n ＋a n ＋1＝3×2n .(2)由(1)得a n ＝2n ，b n ＝3×2n ，∴c n ＝log 2a n ＝n ，∴b n ·c n ＝3n ×2n ，∴T n ＝3×(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )，①①×2，得2T n ＝3×(1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1)，②①－②，得－T n ＝3×(2＋22＋…＋2n －n ×2n ＋1)＝3×[(1－n)×2n ＋1－2]，∴T n ＝3(n －1)×2n ＋1＋6.14．答案(1)a n ＝4n(2)S n ＝n n ＋1＋43(4n －1)解析(1)由b n ＝log 2a n 和b 1＋b 2＋b 3＝12，得log 2(a 1a 2a 3)＝12，∴a 1a 2a 3＝212.设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝4，∴a 1a 2a 3＝4·4q·4q 2＝26·q 3＝212，计算得q ＝4.∴a n ＝4·4n －1＝4n .(2)由(1)得b n ＝log 24n ＝2n ，c n ＝42n·2（n ＋1）＋4n ＝1n （n ＋1）＋4n ＝1n －1n ＋1＋4n .n 项和为A n ，则A n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1，设数列{4n}的前n 项和为B n ，则B n ＝4（1－4n ）1－4＝43(4n－1)，∴S n ＝n n ＋1＋43(4n －1)．15．答案B解析a n ＝n ＋1－n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝2－1＋3－2＋…＋n ＋1－n ＝n ＋1－1，[S 1]＝[S 2]＝0，[S 3]＝[S 4]＝[S 5]＝[S 6]＝[S 7]＝1，[S 8]＝[S 9]＝…＝[S 14]＝2，[S 15]＝[S 16]＝…＝[S 23]＝3，[S 24]＝[S 25]＝…＝[S34]＝4，[S35]＝[S36]＝…＝[S40]＝5，∴[S1]＋[S2]＋…＋[S40]＝2×0＋5×1＋7×2＋9×3＋11×4＋6×5＝120.故选B.16．答案(1)a n＝2n(2)480解析(1)设数列{a n}的公比为q(q＞1)1q＋a1q3＝20，1q2＝8，解得a1＝2，q＝2或a1＝32，q＝12(舍)，所以a n＝2n，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)由于21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，所以b1对应的区间为：(0，1]，则b1＝0；b2，b3对应的区间分别为：(0，2]，(0，3]，则b2＝b3＝1，即有2个1；b4，b5，b6，b7对应的区间分别为：(0，4]，(0，5]，(0，6]，(0，7]，则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2；b8，b9，…，b15对应的区间分别为：(0，8]，(0，9]，…，(0，15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3；b16，b17，…，b31对应的区间分别为：(0，16]，(0，17]，…，(0，31]，则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4；b32，b33，…，b63对应的区间分别为：(0，32]，(0，33]，…，(0，63]，则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5；b64，b65，…，b100对应的区间分别为：(0，64]，(0，65]，…，(0，100]，则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6.所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.17．答案(1)a n＝n，b n＝2n(2)T n＝(n－1)×2n＋1＋2解析若选①，(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵2a1＝2，a2＋a8＝10，∴a1＝1，2a1＋8d＝10，∴d＝1，∴a n＝1＋(n－1)×1＝n.b1＝2，λS n＝b n－1，当n＝1时，有λS1＝λb1＝b1－1，则λ×2＝2－1，得λ＝1 2 .当n≥2时，b n＝S n－S n－1＝2(b n－1)－2(b n－1－1)，即b n＝2b n－1，∴{b n}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，∴b n＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)知a n·b n＝n·2n，∴T n＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2T n＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，②①－②得，－T n＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2（1－2n）1－2－n×2n＋1，∴T n＝(n－1)×2n＋1＋2.若选②，(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵2a1＝2，a2＋a8＝10，∴a1＝1，2a1＋8d＝10，∴d＝1，∴a n＝1＋(n－1)×1＝n.∴a4＝4.设等比数列{b n}的公比为q(q>0)，∵a4＝S3－2S2＋S1，∴a4＝(S3－S2)－(S2－S1)＝b3－b2＝b1q2－b1q.又a4＝4，b1＝2，∴q2－q－2＝0，解得q＝2，∴b n＝2×2n－1＝2n.(2)解法同选①的第(2)问解法．若选③，(1)设等差数列{a n}的公差为d，∵2a1＝2，a2＋a8＝10，∴a1＝1，2a1＋8d＝10，∴d＝1，∴a n＝1＋(n－1)×1＝n.∵b n＝2λa n，a1＝1，b1＝2，∴令n＝1，得b1＝2λa1即2＝2λ，∴λ＝1，∴b n＝2a n.∴b n＝2n.(2)解法同选①的第(2)问解法．。
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1.数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1
，若S n ＝10，则n 的值
是( )
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝
1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n ，
∴S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n －n －1)＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令S n ＝10，解得n ＝120.故选C.
2．在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )
A ．125
B ．126
C ．127
D ．128 答案 C
解析 设数列{a n }的公比为q (q >0)， ∵－a 3，a 2，a 4成等差数列， ∴2a 2＝a 4－a 3， ∴2a 1q ＝a 1q 3－a 1q 2， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，
∴S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2
＝27
－1＝127.故选C.
3.设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)当d >1时，记c n ＝a n
b n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
解 (1)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧
10a 1＋45d ＝100，
a 1d ＝2，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
2a 1＋9d ＝20，
a 1d ＝2， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，d ＝2，或⎩
⎨⎧
a 1＝9，
d ＝2
9
.
故⎩⎪⎨⎪⎧
a n ＝2n －1，
b n
＝2n －1
，或⎩⎪⎨
⎪⎧
a n ＝19(2n ＋79)，
b n ＝9·⎝ ⎛⎭
⎪⎫29n －
1.
(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2
n －1
，故c n ＝2n －1
2
n －1，于是
T n ＝1＋32＋522＋723＋9
24＋…＋2n －12n －1，①
12T n ＝12＋322＋523＋724＋9
25＋…＋2n －12n .② ①－②可得
12T n ＝2＋12＋122＋…＋1
2n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋3
2
n －1.
4．数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋2
2n －1，n ∈N *.
(1)求a 3的值；
(2)求数列{a n }的前n 项和T n ；
(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列
{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .
解 (1)当n ＝1时，a 1＝4－1＋2
2
1－1＝1；
当n ≥2时，由a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋2
2n －1知，
a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝4－n －1＋2
2
n －2，
两式相减得na n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫4－n ＋22n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n ＋12n －2＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝n 2n －1，
此时a n ＝1
2
n －1.
经检验知，a 1＝1也满足a n ＝1
2n －1.
综上，a n ＝
1
2n －1， 故a 3＝123－1＝1
4.
(2)由(1)知，a n ＝1
2
n －1，故数列{a n
}是以1为首项，1
2为公比的等比
数列，
故T n ＝
1×⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝2－1
2
n －1.
(3)证明：由(1)(2)知，b 1＝a 1＝1， 当n ≥2时，
b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n
＝
2－1
2n －2n
＋
⎝
⎛
⎭⎪
⎫1＋12＋13＋…＋1n ·
12n －1
＝
2
n
＋
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －1－1n ·1
2
n －1. 当n ＝1时，S 1＝1<2＋2ln 1＝2，成立； 当n ≥2时，
S n
＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·121＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋⎝
⎛
⎭⎪⎫1＋12－13·122＋…＋⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －1－1n ·12n －1 ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
3＋…＋1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1＋
12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1
2
3＋…＋12n －1－12＋13⎝ ⎛
123＋124＋…＋12n －1 ⎭⎪⎫－122＋…＋1n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
－－12－＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－ ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
3＋…＋1n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n －1＋
12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122·1－12n －
21－12－12＋13⎝ ⎛⎭
⎪
⎪
⎫123·1－12n －
31－12－122＋…＋ 1n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2
n －1－12n －2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1
＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
3＋…＋1n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n －1＋
12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＋…＋1n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＋1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1 ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n －⎝ ⎛
1＋12＋
⎭⎪
⎫13＋…＋1n ·1
2n －1<2＋
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋1
3＋…＋1n . 构造函数f (x )＝ln (1＋x )－x x ＋1，x ≥0，
则f ′(x )＝11＋x －1(x ＋1)2＝x
(x ＋1)2
≥0，
故函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以当x >0时， f (x )>f (0)＝0，即
x
x ＋1
<ln (1＋x )．
令x ＝1n －1，n ≥2，则1
n <ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n －1，
从而可得12<ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1，13<ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－1，…，1
n <ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n －1，
将以上n －1个式子同向相加即得
12＋13＋…＋1
n <ln ⎝
⎛⎭⎪⎫1＋12－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－1＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪
⎫1＋1n －1＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫21×32×…×n n －1＝ln n ，故S n <2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
3＋…＋1n <2＋2ln n . 综上可知，S n <2＋2ln n .
5．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4
成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)
n －1
4n
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×1
2×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×3
2×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －1
4n a n a n ＋1＝(－1)n －1
4n (2n －1)(2n ＋1)
＝(－1)
n －1
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n
2n ＋1.
当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋1
2n ＋1＝2n ＋22n ＋1.
所以T n
＝⎩⎨⎧
2n ＋2
2n ＋1
，n 为奇数，2n
2n ＋1，n 为偶数.。