行或列对称(反对称)矩阵的广义逆
第六章 广义逆矩阵
100
= 0 1 0 .
000
由 例 6.1.3 可知, α 在 L 上的正交投影向量为
100
1
1
PLα = 0 1 0 0 = 0 .
000
1
0
(实际上 PLα 无需计算即可“猜”到, 为什么?)
定义 6.1.1 设矩阵 A ∈ Cm×n, 若矩阵 X ∈ Cn×m 满足 Penrose 方程组 (6.0.4), 则称 X 为 A 的一个 Penrose 广义逆 (矩阵).
(1) AXA = A
(2) XAX = X (3) (AX)∗ = AX (4) (XA)∗ = XA
(6.0.4)
则称 X 是矩阵 A ∈ Cm×n 的广义逆矩阵. 方程组 (6.0.3) 与 (6.0.4) 分别称为 Moore 方程组 与 Penrose 方程组. 注意, Moore 方
程组虽然只有两个方程, 却涉及了四个矩阵, 其中除了 A 之外, 其余三个均是未知的 (尽 管矩阵 PR(A) 仅与 A 有关), 而 Penrose 方程组尽管有四个方程, 但却仅涉及两个矩阵! 因 此 Penrose 方程组更易于研究和应用. 历史的进展正是如此, 自 Penrose 的广义逆矩阵的论文发
其中, X 的列是子空间 L 的任意一组基. 特别, 若 α1, α2, · · · , αr 是 L 的一组标准正交基,
高等工程数学--矩阵的广义逆
FGG H (GGH )1 ( F H F )1 F H FG
FG A
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
一、广义逆的定义与性质
A AA G F FGG F
GH (GG H )1 ( F H F )1 F H FGG H (GG H )1 ( F H F )1 F H G (GG ) ( F F ) F A
Ir O GA O O
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
二、广义逆的求解
Ir O AG GA O O
所以有 1) AGA A；
2) GAG G；
3) (AG)H AG； 4) (GA)H GA. 即G是A的广义逆
高等工程数学
一、广义逆的定义与性质
m n 设 ，则 A的加号逆 A存在且唯 定理1 A
证明
一 由例 3 知，对任意矩阵 A 都存在广义逆A . 下证唯一性. 假设 F 与 G 都是 A的广义逆，则由广义逆的定义有:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F FAF F(AF)H FFHAH
FFH(AGA)H
H H H H 1 1
AA FGG F
FGG (GG ) ( F F ) F
H H H 1 1 H
F ( F H F )1 F H
所以有
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( AA )H AA
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第18讲 矩阵的广义逆及其应用
高等工程数学
一、广义逆的定义与性质
A A G F FG
广义逆矩阵
广义逆矩阵矩阵是数学中的一种重要的概念，矩阵的逆矩阵也是非常重要的概念。
它们是数学中通常用来解决一些复杂问题的有效工具，而广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）则是在这一领域中一种更加复杂的概念。
在本文中，我将对广义逆矩阵的定义，性质，求解方法等内容进行详细的介绍。
一、定义广义逆矩阵是在数学的线性代数中使用的一种概念，它是一种用于求解矩阵的新概念，它是一种非可逆矩阵。
首先，它是一种可以逆矩阵，但不能逆矩阵，它不能通过乘法求解，而是通过复合函数求解。
在定义广义逆矩阵之前，我们必须先定义矩阵和普通逆矩阵，因为广义逆矩阵是基于矩阵和普通逆矩阵所定义的。
矩阵是数学中的一种重要的概念，它是一种用数字表示空间或者抽象概念的表示方法，矩阵的相反数是普通逆矩阵，它具有与矩阵相反的定义，可以把矩阵的表达式变换为普通逆矩阵的形式。
而定义广义逆矩阵的免则如下：如果A是矩阵，那么A的广义逆矩阵记为A1，是满足以下条件的非可逆矩阵：AA1A=A。
二、性质研究广义逆矩阵的性质是必不可少的，因为它在数学上具有很多重要的性质。
（1）具有不可逆性：只有当矩阵A是可逆的时候，才能确定其广义逆矩阵；（2）具有自反性：设A为矩阵，则A1是A的广义逆矩阵，而A1的广义逆矩阵却是A本身；（3）具有可转性：设A和B分别为两个矩阵，则AB的广义逆矩阵等于B的广义逆矩阵乘以A的广义逆矩阵。
（4）具有保持秩性：设A为矩阵，则A的广义逆矩阵A1具有与A相同的秩。
三、求解方法由于广义逆矩阵是一种特殊的矩阵，其解决方案也是复杂的，因此，在求解广义逆矩阵时，我们可以使用一些特殊的方法。
（1）谱分解法：谱分解法是求解广义逆矩阵的一种有效的方法，它是把矩阵A分解成三个矩阵的乘积，即A=UDUT，其中U和D的元素分别为A的奇异值和奇异值的平方根。
由于A的特征值是不变的，而特征向量是可变的，因此矩阵D的逆矩阵可以由特征向量得到，并且可以得到A1＝UD1UT。
求矩阵的广义逆
0 是A 的广义逆. (证毕)
一般地, 我们有: 如果m ×n 矩阵A 是满秩的, 且A 的 r ( r= m in (m , n) ) 阶子式 i1 i2 … ir
N j1 j2 … jr 的行列式不等于零, 则当m ≤n 时,
第4期
张静 求矩阵的广义逆
381
N-1 1
P
j1
2 j2
…m … jm
≠0 可知A 是满秩的, 但反之不成立.
例 设
125
A=
.
210
因为 A = - 18≠0 , 所以用伴随矩阵法求得A 的广义逆 G 1:
G1 =
1 A
A3
=
-
1
1 18
-
2
-3
-7 - 4=
3
-
1 18
1 9
1 6
又因为, A 的二阶子式:
7 18
2 9
-
1 6
12 N
=
1 2 ≠ 0, N 1 2
下面给出求矩阵广义逆的初等变换法: 本文只对m ≤n 的情形进行讨论, 当m ≥n 时, 利用列式相应的性质可得相应的结论. 用
1 2 …m N j 1 j 2 … jm
表示矩阵 A 的位于 1, 2, …, m 行; j 1, j 2, …jm 列的元素构成的A 的 m 阶子式.
定理 2 设 m ×n 矩阵 (m ≤n)A = (a ij ) , 如果 N
i1 i2 … ir N j1 j2 … jr
(r= m in (m , n) ) 的行列式不等于零, 则
1 2 …m
N-1
p
j1Βιβλιοθήκη j2…jm0
或 N i i1 1
广义逆矩阵作用
广义逆矩阵作用广义逆矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它在多个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍广义逆矩阵的定义、性质以及应用，并探讨其在实际问题中的作用。
一、广义逆矩阵的定义在矩阵理论中，矩阵A的广义逆矩阵，记作A⁺，是满足以下条件的矩阵：1. AA⁺A = A，即A乘以广义逆矩阵再乘以A等于A本身。
2. A⁺AA⁺= A⁺，即广义逆矩阵乘以A再乘以广义逆矩阵等于广义逆矩阵本身。
二、广义逆矩阵的性质1. 广义逆矩阵的广义逆矩阵是它本身，即(A⁺)⁺ = A⁺。
2. (AB)⁺= B⁺A⁺，即两个矩阵的乘积的广义逆矩阵等于右边矩阵的广义逆矩阵乘以左边矩阵的广义逆矩阵。
3. (A⁺)ᵀ= (Aᵀ)⁺，即广义逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的广义逆矩阵。
4. (AᵀA)⁺Aᵀ= A⁺，即矩阵A的转置与A的乘积的广义逆矩阵等于A的广义逆矩阵乘以A的转置的广义逆矩阵。
三、广义逆矩阵的应用1. 线性方程组的求解：对于一个线性方程组Ax = b，如果A是列满秩矩阵（即A的列向量线性无关），则方程组有唯一解x = A⁺b。
如果A不是列满秩矩阵，方程组可能有无穷多解，此时可以通过最小二乘法求解，即x = A⁺b是方程组的最小二乘解。
2. 伪逆最小二乘法：当矩阵A不是一个方阵时，无法求出其逆矩阵。
此时可以使用广义逆矩阵来进行最小二乘拟合，例如曲线拟合和数据降维等问题。
3. 线性回归分析：广义逆矩阵可以用于线性回归模型的参数估计，通过最小化残差平方和来求解回归方程的参数。
4. 信号处理：广义逆矩阵可以用于信号处理中的滤波、降噪和频谱估计等问题，提高信号处理的精度和效果。
5. 图像处理：广义逆矩阵可以应用于图像处理中的去噪、图像复原和图像压缩等问题，提高图像处理的质量和效率。
6. 线性规划：广义逆矩阵可以用于线性规划问题的求解，例如最优化问题和约束优化问题等。
7. 控制系统：广义逆矩阵在控制系统中有广泛的应用，如系统辨识、状态估计、控制器设计和自适应控制等方面。
矩阵的广义逆和极小二乘解法
矩阵的广义逆和极小二乘解法矩阵是线性代数中非常基础的概念之一，其应用非常广泛，涉及到各个领域，如计算机科学、工程学、物理学、统计学等等。
然而，在矩阵的运算之中，我们常常会遇到矩阵的求逆问题。
然而，实际上，在一些情况下，矩阵并没有逆矩阵，这时候，我们就需要引入矩阵的广义逆(Generalized Inverse)，来解决问题。
1.矩阵的广义逆在一些情况下，我们无法找到一个矩阵A的逆矩阵，这时候，我们可以引入矩阵的广义逆概念。
对于矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得B满足以下条件:AB = A,BA = B,(AB)^T = AB,(BA)^T = BA，那么我们称矩阵B是矩阵A的广义逆。
矩阵A不一定存在逆矩阵，但是一定存在广义逆矩阵。
矩阵的广义逆具有如下性质:(1)A A+ A=A;(2) A+A A+= A+;(3) (A A+)A= A;(4) (A+A)A+= A+.在数值计算中，广义逆矩阵的应用非常广泛，常常用于求解那些没有精确解的问题，如线性回归、最小二乘法等等。
2. 矩阵的极小二乘法矩阵的极小二乘法(Least Squares)是一种数据拟合方法，用于寻找一条曲线(or 平面)最能拟合给定的数据点。
假设我们有n个数据点(x, y)，我们想寻找一条形如y = A + Bx的线性函数，使得它最能拟合这n个数据点。
在这个问题中，我们令y为坐标轴上的纵坐标，x为坐标轴上的横坐标，A为垂直截距，B为斜率。
同时，我们假设y和x之间的关系是线性关系，即y ≈ A + Bx。
对于给定的n个数据点(x1, y1), (x2,y2),…, (xn, yn)，我们可以将其表示为一个矩阵形式:y = [y1 y2 … yn]^T,X = [1 x1; 1 x2; … ; 1 xn];其中y是一个n维列向量，X是一个n行2列的矩阵，对于每一行i，它表示为[1 xi]。
我们的目的是寻找一个2维列向量β，使得它最能拟合y，即：y ≈ Xβ在这里，我们考虑一个误差函数，它描述了我们模型的预测值与真实值之间的差异。
广义逆矩阵求法
广义逆矩阵
定理：设 阵方程
A 是数域 K 上一个s n 矩阵，则矩
AXA A
(1)
总是有解。如果 rank( A) r ，并且
( I nn A A) A A
A ( A ) 0
所以 X ( I nn A A) Z 是方程组 的通解。
AX 0
利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的 另一种形式的通解。
推论：设数域 K 是 n 元非齐次线性方程组 AX 有解，则它的通解为
即
I r B 1 Q P C D 先分析 Q 与 P 1 之间的关系。由已知 A ，
因此我们有
I r 0 1 0 0 Q P 1 分别把 Q , P 分块，设 行 Y1 }r Q Y2 }n r行
伪逆矩阵
定义：设 A C mn，若 A C nm ，且同时有
AA A A ,
H
A AA A
( AA ) AA ,
( A A) A A
H
则称 A 是 A 的伪逆矩阵。上述条件称为 Moore－ Penrose 方程。 例：
1 设 A 0
取 B 0, D 0, C (0,,0, k Y ,0,,0)
1 i 2
则
Ir C
于是
0 1 Ir P C 0
1
对称矩阵求逆矩阵的简便方法
对称矩阵求逆矩阵的简便方法对称矩阵求逆矩阵的简便方法矩阵是线性代数中的重要内容，研究矩阵的运算法则和性质对于理解线性代数的本质起着至关重要的作用。
在矩阵中，对称矩阵具有极其重要的地位。
在求解对称矩阵的逆矩阵时，可以采用一些简便的方法来获得最终结果，本文将为读者介绍具体的方法。
一、对称矩阵的定义对称矩阵是指矩阵中任意一个元素aij 与 aji 相等的矩阵，即aij = aji ，其中i、j分别表示矩阵的行、列。
对称矩阵在数学中有着广泛的应用，如在物理学中，对称矩阵常常被用来描述刚体运动的特征；在工程领域中，对称矩阵则广泛应用于结构力学和传热学。
二、对称矩阵的特点对称矩阵具有以下几个特点：1、任意n阶对称矩阵A均有n个实特征值。
2、对称矩阵的特征向量存在一组实数基底。
3、对称矩阵的行列式为实数。
4、对称矩阵的特征值均为实数。
三、对称矩阵求逆的方法对于正定对称矩阵A，我们可以采用以下简便的方法来求A的逆：1、先求出A的特征值和特征向量。
具体方法可以采用Jacobi方法或QR分解法等，最终可以把A对角化为D=Q^-1AQ，其中D为对角矩阵，Q为正交矩阵。
2、对于任意给定的向量b，我们定义一个新的向量y=Qb，则有Qy=b，即y=Q^-1b。
3、设向量y=(-1/λ1，-1/λ2，...,-1/λn)T，则有yTDy=1，其中T表示向量的转置矩阵，因为D是对角矩阵，所以yT(D^-1)y=1，即bT(QD^-1QT)b=1。
4、因为QD^-1QT=A^-1，所以有bTA^-1b=1，即A^-1为正定矩阵。
根据以上方法，我们可以求得对称矩阵的逆矩阵。
这种方法不但计算简便，而且具有准确性和稳定性，值得广泛应用。
四、实例分析现在我们通过一个实例来具体分析对称矩阵求逆的方法。
假设有如下的对称矩阵A：A=[1 1 1;1 2 3;1 3 6]通过Jacobi方法求出A的特征值和特征向量为：λ1=0.0705，x1=[-0.4605;0.1799;0.8696]λ2=0.7840，x2=[-0.5951;-0.5332;0.6019]λ3=8.1455，x3=[0.6596;-0.8247;0.0924]把A对角化后，得到D=diag(0.0705，0.7840，8.1455)，Q=[-0.4605 -0.5951 0.6596;0.1799 -0.5332 -0.8247;0.8696 0.6019 0.0924]对任意给定向量b=[1;2;3]，计算y=Qb，得到y=[-1.3520;0.6768;3.7986]则有yTDy=1/14.8201，所以bTA^-1b=14.8201，即A^-1=[37.3036 -35.4382 7.3036;-35.4382 33.4398 -6.9382;7.3036 -6.9382 1.8036]通过以上实例的求解可以看出，采用对称矩阵求逆的方法，既可以获得精确的结果，又具有计算简便的优势。
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行或列对称(反对称)矩阵的广义逆
胡鹏
【期刊名称】《湖北理工学院学报》
【年(卷),期】2011(027)002
【摘 要】在文献基础上研究了行或列对称(反对称)矩阵的结构和基本性质,从行或
列对称(反对称)矩阵的结构特征出发,推出了广义逆的一些结论.
【总页数】4页(P46-49)
【作 者】胡鹏
【作者单位】黄石理工学院,数理学院,湖北,黄石,435003
【正文语种】中 文
【中图分类】O151.21
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5.行(列)反对称矩阵的极分解及其广义逆 [J], 袁晖坪
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