动点问题
动点问题
动点问题“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.速度特点： 1. 运动方向2. 运动速度3. S=vt注意：时间范围确定最终状态分类关键: 动中求静.解题方法及思想：数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想专题一： 几何中动点问题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置）。
近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
【例1】 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5075135AB DC AD BC ====，，，点P 从点B 出发沿折线段BA AD DC --以每秒5个单位长度的速度向点C 匀速运动，点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK BC ⊥，交折线段CD DA AB --于点E ，点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间是t 秒()0t >（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长； （2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ DC ∥?（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD DA ，上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）P KQ EDCBA【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点()30A，，()332B ，，()02C ，，动点D 以每秒1个单位的速度从点O 出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动，过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F ，连结OA 、OF ，设运动时间为t 秒．（1）求ABC ∠的度数； （2）当t 为何值时，AB DF ∥； （3）设四边形AEFD 的面积为S ， ①求S 关于t 的函数关系式；②若一抛物线2y x mx =+经过动点E ，当23S <时，求m 的取值范围．y x D FE OC BA【例3】 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为()()4043，，，，动点M N ，分别从点O B ，同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点N 作NP BC ⊥，交AC 于点P ，连结MP ，当两动点运动了t 秒时．（1）P 点的坐标为（ ， ）（用含t 的代数式表示）． （2）记M PA ∆的面积为S ，求S 与t 的函数关系式(04)t <<． （3）当t = 秒时，S 有最大值，最大值是 ．（4）若点Q 在y 轴上，当S 有最大值且QAN ∆为等腰三角形时，求直线AQ 的解析式．y xOPNMCBA【例4】 ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，2cm AC =．长为1cm 的线段MN 在ABC ∆的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P ，Q 两点，线段MN 运动的时间为ts ．（1）若AM P ∆的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似？N M QPBA C5.如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．⑴ 若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；⑵ 若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；⑶ 若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围； ⑷ 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．P N NMQDC BAQPMDCBA专题二：函数中动点问题（写出走过和剩下的路程，再找等量关系）【例1】 已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点()03A ，，与x 轴分别交于()10B ，、()50C ，两点． （1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ，求使点P 运动的总路径最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．xCA'33B EFy M'O MA2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个机战的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ，()0,43C ，延长AC 到点D,使CD=12AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E. （1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。
高中动点问题知识点
高中动点问题知识点动点问题是高中数学中的一个重要概念，涉及到物体在力的作用下运动的相关知识。
下面我们将逐步介绍动点问题的基本概念、解题思路以及常见的应用。
一、动点问题的基本概念 1. 动点：指的是在力的作用下发生运动的物体，通常用“P”表示。
2. 路程：指的是动点从起点到终点所经过的路径长度，通常用“S”表示。
3. 位移：指的是动点从起点到终点的直线距离，通常用“Δx”或“Δs”表示。
4. 速度：指的是动点在单位时间内所运动的距离，通常用“v”表示。
5. 加速度：指的是动点在单位时间内速度的变化率，通常用“a”表示。
二、解题思路在解动点问题时，我们可以采用以下的步骤： 1. 理清问题：仔细阅读题目，理解问题所涉及的物体、力的作用以及所求的内容。
2. 建立坐标系：根据问题的要求，建立合适的坐标系，确定起点和终点的位置。
3. 分析力的作用：通过题目所给的条件，分析力的作用方式以及对动点的影响。
4. 建立运动方程：根据动点的运动情况，建立合适的运动方程，一般包括位移、速度和加速度的关系。
5. 列方程解题：根据问题所求的内容，列出合适的方程，解方程求解所需的未知量。
6. 检查答案：检查所求的答案是否符合实际情况，与问题的要求是否一致。
三、常见应用动点问题在物理学、工程学等领域中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景： 1. 自由落体：当物体在重力的作用下自由下落时，可以通过动点问题来求解物体的运动轨迹、速度和加速度等。
2. 弹性碰撞：当两个物体发生完全弹性碰撞时，可以通过动点问题来求解碰撞前后物体的速度和动能的变化等。
3. 简谐振动：当物体在弹簧的作用下做简谐振动时，可以通过动点问题来求解物体的振动周期、振动频率等。
4. 曲线运动：当物体在曲线路径上运动时，可以通过动点问题来求解物体在不同位置的速度和加速度的大小和方向等。
总结：动点问题是高中数学中的重要内容，通过学习动点问题的基本概念、解题思路以及常见的应用，我们可以更好地理解物体在力的作用下的运动规律，掌握解决动点问题的方法和技巧。
动点问题的方法归纳
动点问题的方法归纳
动点问题是指在一段时间内，某个物体或者某个点的位置或者速度的变化问题。
解决动点问题的方法可以归纳为以下几类：
1. 利用公式计算：对于简单的动点问题，可以根据已知条件，利用物理公式或者数学公式计算出所求的位置或者速度。
比如，如果已知物体的初始位置和速度，可以使用匀加速度公式来计算物体在任意时刻的位置。
2. 利用图像分析：对于复杂的动点问题，可以将物体的运动过程绘制成图像，然后通过分析图像中的几何关系，来推导出所求的位置或者速度。
比如，可以绘制出物体在不同时刻的位置，然后通过观察图像的形状和变化趋势，来推导物体的速度。
3. 利用微积分方法：对于连续的动点问题，可以使用微积分的方法来解决。
通过求导或者积分，可以得到物体的速度和加速度与时间的函数关系，然后再根据已知条件，求出所求的位置或者速度。
4. 利用矢量方法：对于多维空间中的动点问题，可以使用矢量的方法进行求解。
通过将问题转化为矢量的形式，可以简化计算过程，并且可以更直观地描述物体的运动过程。
比如，可以将物体在不同时刻的位置表示为矢量函数，然后通过对矢量函数进行求导或者积分，来求得所求的位置或者速度。
以上是解决动点问题的一些常见方法，根据具体问题的情况选择合适的方法进行求解。
七年级动点问题大全
七年级动点问题大全（一）例1:如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b 满足|a+2|+（b+3a）2=0（1）求A、B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；（3）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．例2:如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是-12，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）在（2）的条件下，从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数。
例3动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．例4:已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？例5数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A 点的运动速度为2个单位/秒．（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C停留在-10处，求此时B点的位置？例6:在数轴上，点A表示的数是-30，点B表示的数是170．（1）求A、B中点所表示的数．（2）一只电子青蛙m，从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，同时另一只电子青蛙n，从A点出发以6个单位每秒的速度向右运动，假设它们在C点处相遇，求C点所表示的数．（3）两只电子青蛙在C点处相遇后，继续向原来运动的方向运动，当电子青蛙m处在A点处时，问电子青蛙n处在什么位置？（4）如果电子青蛙m从B点处出发向右运动的同时，电子青蛙n也向右运动，假设它们在D点处相遇，求D点所表示的数例7、已知数轴上有A、B、C三点，分别代表 - 24，- 10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。
动点问题
动点问题1、直接(译)法：如果动点满足的几何条件本身以数量间的等量关系的形式直接给出，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么，只须把这种关系直接翻译成含x，y的等式，就得到曲线的轨迹方程。
2、定义法：若动点轨迹条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义)，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程。
3、代入法(相关点法或转移法)：如果动点P(x,y)随着另一动点Q(x1,y1)（称之为相关点）运动而运动，而动点Q在某一己知曲线上或Q点所满足的条件是明显的或可析的，这时，我们可以用动点P 坐标表示相关点Q坐标，根据相关点Q所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。
4、几何法：当问题涉及到三角形、圆等几何图形时，往往联系平几知识，以简化计算。
5、射影法6、参数法：在解决某些问题时，当直接探求动点的两个坐标间的关系有困难，这时可以选择适当的参数(即中间变量或辅助变量)，使动点的坐标分别与参数有关，从而得出它的参数方程，然后再消去参数即得动点的轨迹方程。
7、交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，对于这类问题，可选取和两动曲线均相关的某参变量作媒介，分别求出两动曲线的含参变量的方程，然后联立消去参数即得所求轨迹方程。
1、过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+ ，则动点P 的轨迹为2、若动点111(,)P x y ，222(,)P x y 分别在直线L1：x-y-5=0,L2：x-y-15=0上移动，则线段12PP 中点P 到原点的距离的最小值是3、若动点P 到圆229x y +=的切线长等于点P 到直线x=2的距离，则动点P 的轨迹？4、已知点M(-2√2,0),N(2√2,0),动点P 满足条件|PM|-|PN|=4,记动点P 的轨迹为W.(1）求W 的方程；(2)若A 、B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求()OA OB ∙ 的最小值5、已知A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB 上移动，则xy 的最大值等于6、p 为抛物线24y x =上的动点，F 为焦点。
动点问题所有题型解题技巧
动点问题所有题型解题技巧摘要：1.动点问题概述2.动点问题分类与解题思路a.直线动点问题b.圆动点问题c.曲线动点问题3.解题技巧总结4.动点问题应用实例解析5.动点问题练习与解答正文：动点问题是指在数学中，涉及点到点之间运动的问题。
它具有一定的复杂性和挑战性，需要掌握一定的解题技巧。
本文将为大家介绍动点问题的解题技巧，以及如何应对不同类型的动点问题。
一、动点问题概述动点问题涉及几何、函数、方程等多个方面的知识。
一般来说，动点问题有以下几个特点：1.题目中存在一个或多个点在运动。
2.运动过程中，点与直线、曲线之间存在一定的关系。
3.求解问题时，需要运用数学知识进行分析。
二、动点问题分类与解题思路1.直线动点问题直线动点问题主要涉及点到直线的距离、角度等关系。
解题思路如下：（1）找出关键信息，如直线的方程、点的坐标等。
（2）根据题目条件，建立点到直线的距离或角度的方程。
（3）求解方程，得到点的坐标或位置。
2.圆动点问题圆动点问题主要涉及点到圆心、圆上的点等关系。
解题思路如下：（1）找出关键信息，如圆的方程、点的坐标等。
（2）根据题目条件，建立点到圆心距离、圆上的角度等方程。
（3）求解方程，得到点的坐标或位置。
3.曲线动点问题曲线动点问题涉及点到曲线的关系。
解题思路如下：（1）找出关键信息，如曲线的方程、点的坐标等。
（2）根据题目条件，建立点到曲线的关系方程。
（3）求解方程，得到点的坐标或位置。
三、解题技巧总结1.熟练掌握几何知识，如直线、圆的方程，以及点到直线、圆的距离公式。
2.灵活运用函数、方程的知识，建立动点问题的关系方程。
3.利用数学方法求解方程，如代数法、几何法等。
四、动点问题应用实例解析以下为一个动点问题的实例：已知直线l的方程为2x+3y-1=0，点P在直线l上，且满足PA=PB，其中A、B为圆O的两点，圆O的方程为x^2+y^2=4。
求点P的坐标。
解：根据题意，先求出点A、B的坐标，然后根据PA=PB建立方程，最后求解得到点P的坐标。
动点问题
三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点 问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未 知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系. 例1 （2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立 即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为 半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（ ）
（一）点动问题． 例2 （2013•河北）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且 AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的 速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是 （ ）
A
B
C
D
思路分析：分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点 P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象． ①点P在AD上运动： 过点P作PM⊥AB于点M，则 PM=APsin∠A=t， 此时y=EF×PM=t，为一次函数； ②点P在DC上运动， y=EF×DE=30；
例5 （2013•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形， AB∥CD，点B（10，0），C（7，4）．直线l经过A，D两点，且 sin∠DAB=．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同 时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P 作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点 时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面 积为S． （1）点A的坐标为 直线l的解析式为 （2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围； （3）试求（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值； （4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l 相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．
动点问题知识点总结
动点问题知识点总结一、动点问题概念动点问题是指在力学中考虑质点的运动情况。
质点是一个物理点，具有质量，但没有空间体积，所以可以看作质点沿某条轨迹运动。
动点问题是力学中的一个重要问题，研究质点在力的作用下的运动规律，可以帮助我们更好地理解物体的运动状态和动力学定律。
二、动点问题的基本概念1. 位移、速度和加速度：质点在运动过程中的位置变化称为位移，位移的大小和方向决定了物体的运动状态。
速度是描述质点运动状态的基本物理量，是位移对时间的比值。
而加速度是速度对时间的比值，它描述了速度的变化情况。
2. 牛顿运动定律：牛顿运动定律包括三个基本定律，分别是惯性定律、动量定律和作用与反作用定律。
这些定律描述了质点在受力作用下的运动规律，是研究动点问题的重要基础。
3. 弹性碰撞和非弹性碰撞：碰撞是研究质点运动的重要问题之一，弹性碰撞要求碰撞前后能量守恒且动量守恒，而非弹性碰撞不满足这两个条件。
三、动点问题的研究方法1. 采用牛顿第二定律：牛顿第二定律是研究质点在力作用下的运动规律的基本方法，根据牛顿第二定律可以得到质点在力作用下的运动方程。
2. 采用能量守恒定律：能量守恒定律是描述质点在力场中运动时，系统总能量守恒的原理，通过能量守恒定律可以求解质点的运动轨迹和速度。
3. 采用动量守恒定律：动量守恒定律是描述碰撞问题时常用的方法，通过动量守恒定律可以求解碰撞后质点的速度和运动方向。
四、动点问题的应用1. 机械运动：在机械运动中，常常需要研究质点在受力作用下的运动规律，如机械臂的运动、机械传动系统等。
2. 弹道学问题：在弹道学中，需要研究弹丸在飞行过程中的运动规律，如炮弹的射击、导弹的飞行等。
3. 天体运动：在天体物理学中，需要研究星球、卫星、流星等天体在引力作用下的运动规律。
五、动点问题的解决过程1. 建立运动方程：首先要根据物体所受的力或者速度等信息，建立质点的运动方程，包括位置、速度和加速度。
2. 求解运动方程：根据质点的运动方程，可以求解质点在不同时间的位置和速度，进而分析质点的运动状态。
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动点问题
一．动点问题的概念：
动点问题一个点或几个点朝各自方向运动所产生的数量问题。
二．动点问题的考点：
1．求边长，周长，最短路径。
2．求图形的面积。
3．存在性问题。
我们先来看一个问题：
经典例题：
例1．有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1、BB1为相对的两条母线，在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm，在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm。
例2．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路走到中点O，再从终点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方
形O2IHJ的中心O3，再从O3走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了312m，则长方形花坛ABCD的周长为（）
A 36m
B 48m
C 96m
D 60m
例3：如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC=3，点P从起点D出发，沿DC、BC向终点B 匀速运动，设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x 的变化而变化，在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的最佳答案是（）
Q
P
A B
A B1
1
C
D
C x x x
例4.如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为(40)43()，，，，动点M N ，分别从O B ，同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动，过点M 作MP OA ⊥，交AC 于P ，连结NP ，已知动点运动了x 秒． （1）P 点的坐标为（ ， ）（用含x 的代数式表示）； （2）试求NPC △面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x 值； （3）当x 为何值时，NPC △是一个等腰三角形？简要说明理由．
例5．如图，△OAB 是边长为23+的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B 在y 轴正方向上，将△OAB 折叠，使点A 落在边OB 上，记为A ′，折痕为EF. （1）当A ′E//x 轴时，求点A ′和E 的坐标； （2）当A ′E//x 轴，且抛物线2
16
y x bx c =-
++经过点A ′和E 时，求抛物线与x 轴的交点的坐标；当点A ′在OB 上运动，但不与点O 、B 重合时，能否使△A ′EF 成为直角三角形？若能，请求出此时点A ′的坐标；若不能，请你说明理由.
Ｎ
B
A
M P C
O y x
例4图
课堂练习：
1.如图，在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=，DC AB ∥，3BC =，4DC =，5AD =．动点P 从B 点出发，由B C D A →→→沿边运动，则ABP △的最大面积为（ ） Ａ．10 Ｂ．12 Ｃ．14 Ｄ．16
2. 如图所示的是一圆柱形贮油罐，要从A 点环绕油罐建梯子，正好建到A 点的正上方B 处，若油罐周长为24m ，高AB 为10m ，问梯子最短需多长？
3. 已知：如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3厘米，CB ＝4厘米．两个动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时按顺时针方向沿△ABC 的边运动．当点Q 运动到点A 时，P 、Q 两点运动即停止．点P 、Q 的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P 运动时间为t （秒）．
（1）当时间t 为何值时，以P 、C 、Q 三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2； （2）当点P 、Q 运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ 与△ABC 围成阴影部分面积为S （厘米2），求出S 与时间t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；
（3）点P 、Q 在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．
A
B
4.如图，在ΔABC 中，AC ＝15，BC ＝18，sinC=
4
5
，D 是AC 上一个动点（不运动至点A ，C),过D 作DE ∥BC ，交AB 于E ，过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，连结 BD ，设 CD ＝x ． （1）用含x 的代数式分别表示DF 和BF ；
（2）如果梯形EBFD 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式；
（3）如果△BDF 的面积为S 1，△BDE 的面积为S 2，那么x 为何值时，S 1＝2S 2
5.如图，A 、B 是直线L 上的两点，AB =4厘米，过L 外一点C
作CD ∥L ，射线BC 与Ｌ所成的锐角∠1=60°，线段BC =2厘米，动点P 、Q 分别从B 、C 同时出发，P 以每秒1厘米的速度沿由B 向C 的方向运动，Q 以每秒2厘米的速度沿由C 向D 的方向运动．设P ，Q 运动的时间为t （秒），当t ＞2时，P A 交CD 于E ． （1）用含t 的代数式分别表示CE 和QE 的长． （2）求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式． （3）当QE 恰好平分△APQ 的面积时，QE 的长是多少厘米？
C
P。