动点问题专题复习

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(完整word版)初中数学动点问题专题复习及答案

初中数学动点问题练习题1、佇夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B 时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒.1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t .求四边形MNQP的面C积S随运动时间t变化的函数关系式，并写岀自变量t的取值范围.QPAM N B2、如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AD 3，DC 5，AB 4. 2，Z B 45 .动点M 从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动•设运动的时间为t秒.（1）求BC的长.（2）当MN // AB时，求t的值.（3）试探究：t为何值时，△ MNC为等腰三角形.3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA// BC,点A的坐标为（6，0），点B 的坐标为（4，3），点C在y轴的正半轴上.动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点.两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）.（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN // OC?⑵设△ CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式, 并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？x(3)连接AC,那么是否存在这样的 t ，使MN 与AC 互相垂直? 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由.4、(河北卷)如图，在 Rt A ABC 中，/ C = 90°, AC = 12, BC = 16，动点P 从点A 出发沿 AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动.P, Q 分别从点A , C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.在运动过程中，△ PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△ PDQ.设运动时间为t (秒). (1 )设四边形PCQD 的面积为y ,求y 与t 的函数关系式； (2) t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？(3) 是否存在时刻t ，使得PD // AB ?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； (4) 通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD 丄AB ?若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内( O W t < 1 ； 1 v t w 2 ； 2v t w 3； 3 v t < 4)；若不存在，请简要说明理由.5、(山东济宁)如图， A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。

中考数学复习之动点问题专项训练卷

中考数学复习之动点问题专项训练卷一．选择题1．如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C＝∠F＝90°，AB＝2，DE＝4．点B与点D重合，点A，B（D），E在同一条直线上，将△ABC沿D⇒E方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B，D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（）A．B．C．D．2．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t 的大致图象为（）A．B．C．D．3．如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则△ABC的面积为（）A．4B．6C．12D．144．如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（点C与点A不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，G为半圆中点，当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题5．过反比例函数图象上一点P0（1，2n）作图象的切线（与图象只有一个交点的直线），交x轴于点A1，过A1作x轴的垂线交反比例函数图象于点P1，过点P1作图象的切线交x 轴于点A2，过A2作x轴的垂线交反比例函数图象于点P2，以此类推，可以找到无数个P 点．（1）当n＝5时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有个；（2）当n＝2011时，属于整点的点P有个，最后一个整点P的坐标是．6．如图所示，点P（a，﹣2a）是反比例函数图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则k的值为．三．解答题7．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．8．问题提出：（1）如图，四边形ABCD是正方形，E是DC上一点，连接AE，过点A作AE的垂线交CB的延长线于点F，连接EF，则∠AEF＝；问题探究：（2）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD．∠ABC＝∠ADC＝90°，连接BD，若BD＝m，求四边形ABCD的面积；（用含m的代数式表示）问题解决：（3）如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，AC与BD交于点E，且DE＝4，BE＝2，求四边形ABCD的面积．9．A是直线x＝1上一个动点，以A为顶点的抛物线y1＝a（x﹣1）2+t和抛物线y2＝ax2交于点B（A，B不重合，a是常数），直线AB和抛物线y2＝ax2交于点B，C，直线x＝1和抛物线y2＝ax2交于点D．（如图仅供参考）（1）求点B的坐标（用含有a，t的式子表示）；（2）若a＜0，且点A向上移动时，点B也向上移动，求的范围；（3）当B，C重合时，求的值；（4）当a＞0，且△BCD的面积恰好为3a时，求的值．10．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点B、A，动点C以每秒2个单位长度的速度从点B向终点O运动，过点C作∠BCD＝∠ABO，交直线AB于点D．设∠BDC＝α°，将CD绕点C顺时针旋转α°得到线段CE，连接DE．设四边形BCED与△ABO的重叠部分面积为S（平方单位），S＞0，点C的运动时间为t秒．（1）求AB的长；（2）求证：四边形BCED是平行四边形；（3）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量取值范围．11．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG 和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：①根据光源确定榕树在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等；③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．根据上述内容，解答下列问题：（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为米．12．综合与探究如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点B的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E 点的坐标．13．如图甲所示，已知直线y1＝﹣x+与x轴和y轴分别相交于点A，B，直线y2＝kx+3﹣2k（k≠0）与y轴相交于点C，两直线交于点P．（1）求△AOB的面积；（2）如图乙所示，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，若点B，C关于直线DP对称，求点C的坐标；（3）当△BCP是以BC为腰的等腰三角形，求直线y2的函数解析式．14．如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝20，点P在边CD上，且与点C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M．（1）求证：△ADP∽△ABQ；（2）若△PCQ的面积为100，求DP长；（3）若BM的长为3，求DP长．。

动点问题专项复习

动点问题专项复习案【专项说明】所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.【重、难点】：将运动问题转化为静止问题，动中取静。

热身训练：1.如图，扇形OAB 动点P 从点A 出发，沿AB 线段BO 、OA 匀速运动到点A ，则OP 的长度y 与运动时间t 之间的函数图像大致为( )2.如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P 从点A 出发，按照Ａ→Ｂ→Ｃ的方向在ＡＢ和ＢＣ上移动，记ＰＡ＝ｘ，点Ｄ到直线ＰＡ的距离为ｙ，则ｙ关于ｘ的函数图像大致是（）３．如图，在平面直角坐标系中，ＲＴ△ＯＡＢ的顶点Ａ在Ｘ轴的正半轴上，顶点Ｂ的坐标为（３，3），点Ｃ的坐标为（0,21），点Ｐ为斜边ＯＢ上的一动点，则ＰＡ＋ＰＣ的最小值为（）C B PD A Q ４.如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为＿＿＿＿＿５．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。

如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t 秒表示移动的时间（0≤ t ≤6），那么：（1）当t 为何值时，三角形QAP 为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？例１：如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(﹣3，0)． (1)求点B 的坐标；(2)已知a=1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P 的坐标； ②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．MN D CB A１.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t 秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）２.如图，已知抛物线l y=ax2+bx+c 与x轴的一个交点A的坐标为（-1,0），对称轴为直线 x = 2.（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点。

动点问题专题复习PPT课件

或三角比法题都能用三角比法，且用三角比法针对性
更强，更省时间。
三.尝试练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm, 点P由点A出发，沿AC向C匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B匀速运动，速度为1cm/s，
连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3) （1）当t为何值时，PQ∥BC?
(2)设△ APQ的面积为y，求y与t之间的函数关系。
A
D
P
Q
B
C
1.2)解：过Q作QN垂直AC于N
相似法
A
D
P
Q
∟
N
B
C
QN4 4t 5
∵△AQN∽ △ABC
QN AQ
BC
AB
QN 5t
8
10
QN 4 4t 5
y 1 2t 4 4 t 2 5
y 4 t 2 4t 5
1.2)另解：
(锐角)
D
C
4
∟
30°
A
7
B 23 E
P
E4
A
7
B
P
当CB=CP时当t=3或11或 7 4 3
或
7 4 3 3
当PB=PC时时， PBC是等腰三角形。
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
脑创新再探新知如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段 DP将线段BC三等分？
D
C
E
A
Hale Waihona Puke tBPD
C
E
A
Bt
P

中考数学专题复习之几何图形动点问题

12，∴AB＝ 12 ＝2 3 ，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2 3，即PD＋ PE的最小值为2 3 .
专题二几何图形动点问题
类型3 同侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B， P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.
2 AN
－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接P′M，∴
例4题图
当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′－P′N＝2，
∴PM－PN的最大值为2.
例4题解图
专题二几何图形动点问题
模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．
专题二几何图形动点问题
例5 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分 ∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
213.∴PM－PO的最大值为
13
2.
例3题解图
专题二几何图形动点问题
类型4 异侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．
专题二几何图形动点问题
例4 (2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的

初中数学动点问题专题复习及答案

7 （杭州）在直角梯形ABCD 中，C 9° ,高CD 6cm （如图1）。

动点P,Q 同时从点B 出发，点P 沿B 代AD,DC 运动到点(3)连接AC,那么是否存在这样的 t ，使MN 与AC 互相垂直? 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由.4、(河北卷)如图，在 Rt A ABC 中，/ C = 90°, AC = 12, BC = 16，动点P 从点A 出发沿 AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点 Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动.P, Q 分别从点A , C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.在运动过程中，△ PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△ PDQ.设运动时间为t (秒).(1 )设四边形PCQD 的面积为y ,求y 与t 的函数关系式；(2) t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？(3) 是否存在时刻t ，使得PD // AB ?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD 丄AB ?若存在，请估计 t 的值在括号中的哪个时间段内( O W t < 1 ； 1 v t w 2 ； 2v t w 3； 3 v t < 4)；若不存在，请简5、(山东济宁)如图， A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。

初一数学行程动点问题复习

行程动点类问题专题复习知识储备1：分类讨论思想例1：数轴上的A点与表示-3的点距离4个单位长度，则A点表示的数为.变1：数轴上的A点表示的数为2，若AB=3，则B点表示的数为.知识储备2：绝对值方程例2：（1）|t-14|=8（2）|(2+t)-(10-2t)|=|t-6|变2：（1）|t+1|=2|t-5|（2）|3t-(-1+t)|=|t-5|知识储备3：动点三要素①起点：最初的位置②方向：向右加（+），向左减（-）③速度：运动距离（s）=速度（v）×时间（t）例3：点A在数轴上对应的数为1，沿数轴向右以每秒2单位速度运动，则7秒后A点对应的数为.变3：若数轴上的点A距离原点3个单位长度，若一个点从点A出发向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时终点所表示的数是.知识储备4：距离表示（要和中点公式区分开）①相对位置确定（已知大小）：距离=大—小相对位置确定（已知左右）：距离=右—左②相对位置不确定（未知大小或左右）：距离=|右—左|=|左—右|例4：点A在数轴上对应数为1，点B在数轴上对应数为3，则A、B之间的距离为.变4：点A在数轴上对应数为-1，点B在数轴上对应数为x，则A、B之间的距离为.知识储备5：中点公式（要和距离公式区分开）A点表示的数为x，B点表示的数为y，则A、B的中点为2yx+.例5：点A在数轴上对应数为3，点B在数轴上对应数为-7，则A、B中点对应的数为.变5：点A在数轴上对应数为3，A、B中点对应的数为-7，则点B在数轴上对应数为.知识储备6：解题步骤①画图：在数轴上表示出点的运动情况，运动方向和速度。

②写点：先表示出动点运动的距离【运动距离（s）=速度（v）×时间（t）】，再表示出动点运动后所对应的数。

【向右运动用“+”表示，向左运动用“—”表示】③表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值。

④列式求解：根据条件列方程和代数式，求值。

中考数学动点问题复习

中考数学动点问题复习中考数学复习（一）动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．对应训练1．如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A． B． C． D．考点二：动态几何型题目（一）点动问题．例2 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．对应训练2．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B．C． D．（二）线动问题例3 如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A． B．C． D．对应训练3．如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）A． B．C．D．（三）面动问题例4 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）A．B．C．D．对应训练4．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）考点三：动点综合题动态问题是近几年来中考数学的热点题型，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.（一）因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB 上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图例2 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1例 6如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP ＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3例1 如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例2 如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．例4设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1）已知直线①122y x=-+；②2y x=+；③22y x=+；④24y x=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．图1例5 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1例6 如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图14=MN 1=MA 1>MB x AB=例 7如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1例8 如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1课后练习（一）一、选择题1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.52．图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C 点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）A．当x=3时，EC＜EM B．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC•CF的值增大 D．当y增大时，BE•DF的值不变3．如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD 与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．55．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P 为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．7.如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为(2，2 3 )，∠BCO＝60°，OH⊥BC于点H。

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3
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
∟
P
A
7
B
或
4 7 3 3
当PB=PC时时，

PBC是等腰三角形。
如图：已知
ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段 DP将线段BC三等分？
D C
E
A
t
B
P
D
C
E
A
B
t
P
如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AD 3，DC 5，AB 4 2，∠B 45．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN∥AB时，求t的值. A D （3）试探究：t为何值时，⊿MNC为等腰三角形．
四、小结：
• 本节课你学到了什么？
积累就是知识
收获一：化动为静
收获二：分类讨论收获三：数形结合收获四：构建函数、方程模型
• 五.巩固练习
• 如图，已知抛物线对称轴为直线x=4，且与x轴交于A、B两点（A 在B左侧），B点坐标为（6,0），过点B的直线与抛物线交于点C（3， 2.25）. • （1）写出点A坐标.（2）若点 M在线段 AB上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动，同时，点 N在射线 BC上以每秒2个单位长度的速度从 B向C 运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为 t 秒，当 t为何值，△MNB为等腰三角形，写出计算过程.
D C
P
A
4
B
t
7
t
1、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° (2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D C
D C
P
A
4
B
A
4
7
B
P
7
D
当BP=BC时 (钝角)
4
30°
当BP=BC时 (锐角)
C
D
E
C
4
P
A
7
B
2 3
E
当CB=CP时当t=3或11或 7 4
总结：直角三角形能用相似解决的问题都能用三角比法，且用三角比法针对性
更强，更省时间。
三.尝试练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm, 点P由点A出发，沿AC向C匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3) （1）当t为何值时，PQ∥BC?
A
D
P
Q
B C
1.2)解：过Q作QN垂直AC于N
相似法
A
∵△AQN∽ △ABC
QN BC AQ AB

D
P
∟
QN 5t 8 10
4 t 5
Q
B
QN 4
N
C
QN 4
4 t 5
1 4 y 2t 4 t 2 5 4 2 y t 4t 5
D C
则PB=BC
A
30°
t 7
4
P
7-t
B
∴7-t=4
∴t=3
动点问题首先确立定点、动点的位置和方向其次画出动态图形草图，标示记号最后以静制动，动中取静确立等式
如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° (2)若点P从点A沿射线 AB运动，速度仍是1cm/s. 当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
•
x=4
专题复习---动点问题（1）
• 动态几何的三种类型：
点动问题、线动问题、形动问题
动点问题ห้องสมุดไป่ตู้
1、如图：已知平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。
若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三角形？若△PBC为等腰三角形
A
D
P
Q
B C
1.1)解：
若PQ∥BC
A
则△ AQP～△ABC
AQ AP AB AC
D
Q
B
P
C
5t 2t 10 6 15 t 7
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm， • 点P由点A出发，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时 • 点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s， • 连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3) (2)设△ APQ的面积为y，求y与t之间的函数关系。
1.2)另解：
三角比法
在RtABC中，C 90
SinA
A
8 10

D
P
∟
QN 8 AQ 10
Q
B

C
4 QN 4 t 5
QN 8 5t 10
还可以怎么做？
1 4 y 2t 4 t 2 5 4 2 y t 4t 5
∴
EC 5 t ②NM=NC cos c NC t 25 ∴ t 8
10 t 3
A
D N M HE C
3 = 5
B （图①） A
D N HM
1 ③MN=MC t 60B FC 3 2 cos C ∴ t MC 10 2t 5 17
用三角形相似
F C
（图②）
或三角比法
A
D A D
N
N
B
C
M
C
B
K （图①）
C H
B
G （图②）
M
（1）如图①
50 （2）由 △MNC ∽△GDC 求出 t 17
，求出ＢＣ=10
分析第3问：当M、N运动到ｔ秒时， CN t，CM 10 2t．若⊿MNC为等腰三角形，须分三种情况讨论：
①CM=CN
t 10 2t