回扣提纲1《集合、函数、导数、不等式》

一、集合1、 集合运算中，特别注意集合的代表元素。

如：{}2230M x x x x =--<；N=}{1y y x =-，则M ∩P=﹎﹎﹎﹎。

2、 n 个元素组成的集合的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有2n －2个。

3、 利用集合间关系求参数范围问题时，尤其要注意空集，它是任何集合的子集，解题时不要漏掉这一点。

同时解决两个集合的关系时，避免出错的一个有效手段是合理利用数轴帮助分析与求解，这也是数与形的完美结合之所在。

4、 区间端点值得注意。

一定要记得验证“=”能否取到！如：A=（a ，+∞），若A ∪（0,1）=（0，+∞），则a ∈﹎﹎。

5、 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.如已知函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1在区间［-1，1］上至少存在一个实数c ，使f(c)>0，则实数p 的取值范是 。

二、命题1、从集合角度理解（数集运算结合数轴理解）2、四种命题的相互关系(下图):原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互3、命题的“否命题”与“命题的否定” 是两个不同的概念。

首先，它们研究的对象范围不相同，否命题仅针对假言命题（即若p 则q ）而言的，否命题是对一个假言命题的条件和结论都加以否定所得到的新命题（即若p ⌝则 ）。

而对任意一个命题它的否定都是存在的。

其次，从命题的真假来看，命题的否定是原命题的矛盾命题，两者必有一真一假，而假言命题的否命题则不然，与原命题的真值可能相同也可能相反。

三、零点、二分法1、函数有零点的几个等价关系q ⌝方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图像与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点。

零点即方程f(x)=0的根（横坐标），不是一个点（类似于极值点）。

2、函数零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。

如果函数y=f(x)在区间[a ,b ]上的图象是一条连续不断的曲线，并且满足f (a )·f (b )<0，则函数y=f(x)在区间(a ,b )内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断．定理的逆命题不成立。

3、用二分法求函数零点近似值时，可借助于表格或数轴，清楚地描写逐步缩小零点所在区间的过程。

当区间长度n n a b -＜2ε时，终止运算。

此时，区间[],n n a b 的中点2n nn a b x +=即为零点近似值n x 与真正零点的误差不超过ε。

如：求函数()3222f x x x x =+--的一个正数零点（误差不超过0.1）。

四、函数1、必须坚持“定义域先行原则”，即先求定义域。

如：判断奇偶性、求单调区间、求极值、最值、值域等。

2、明确定义域即自变量x 的取值范围。

抽象函数中，同一对应法则f 下，()f⊕与()f ⊗中⊕与⊗的范围是一致的。

如：()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，指的是x 的取值范围为[],a b ，而不是()g x 的范围为[],a b 。

如，()31f x -的定义域为[]1,2，指的是()31f x -中x 的范围是12x ≤≤（求定义域即求x 的范围，请认准x ）。

3、函数的值域、最值的求法（先求定义域，首选导数法） ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。

②函数的单调性是求最值和值域的主要依据，函数的单调区间求出后，再判断其增减性是求最值和值域的前提，当然，函数图像也是函数单调性的最直观体现。

回扣提纲 《函数、导数、不等式》 刘海明)23,3(-③分离变量法：形如a x b y cx d-=-的函数常用此法。

④可以转化为形如()0p y x p x=+>的函数，借助于其函数图像求解（解答题中必须先证明，不可直接用）。

⑤数形结合法：画出函数图像，指出在指定区间上函数值的变化范围或分析函数解析式的几何意义，求出y 的取值范围。

4、求函数在某个区间上的解析式，必须设x 在该区间上，然后将其转化到某个已知函数表达式的区间上去，从而利用已知函数表达式结合函数的奇偶性求解（找个题目练习一下吧！）5、选择、填空题中，利用奇偶性求参数值时，往往采用特值验证的方法简化运算。

如：()sin 3sin 44f x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，则 a=_____。

可取44f f ππ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得3a =-。

6、证明函数单调性可用定义法、导数法。

判断函数单调性还可以利用简单函数的单调性、数形结合法等。

函数的单调性的等价关系⑴ 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔()()12120fx f x x x -<-()f x ⇔在[],a b 上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.了解几个重要结论：①复合函数同增异减；②增+增为增；③减+减为减；④增-减为增；⑤减-增为减。

注意：没有关于()()fx g x ⋅或者f(x)/g(x)单调性的结论！7、函数奇偶性考虑两个方面：①几何方面，奇函数图像关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。

②代数方面，有两点：定义域关于原点对称；()()fx f x -=-或者()()f x f x -=。

另外，请理解以下几个重要结论：利用函数奇偶性的定义如何判断以下函数的奇偶性？ ①()()f x g x +；②()()f x g x -；③()()f x g x ⨯； ④()()fx g x ÷；⑤()f g x ⎡⎤⎣⎦8、函数的周期性定义：若()()fx f x T =+，则T 叫做函数()f x 的最小正周期（T ＞0）。

()()()()()()1f x f x af x a f x a f x f x a ⎫⎪=-+⎪⎪+=-⎬⎪⎪=±+⎪⎭三者周期()20T a a =≠9、函数的对称性①函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()(f a x f a x ⇔+=-(2)(f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称()()f a m x f b m x⇔+=-. ②两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.10、函数图像的平移变换，要抓住本质：只对x 或y 变化。

若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(图象；若将曲0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到0),(=--b y a x f 的图象.另外还要掌握图像关于x 轴y 轴的对称、翻折。

11、几个常见的抽象函数原型 (1)()()()()fx cx f x y f x f y =⇔+=+：正比例函数；(2)()xf x a =⇔()()()f x y f x f y +=：指数函数； (3)()log a f x x =⇔()()()f xy f x f y =+：对数函数； (4)()f x xα=⇔()()(),(1)f xy f x f y f α'==.幂函数(5)余弦函数()c o sf x x =,正弦函数()s i ng x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+。

12、二次函数在某个闭区间上的最值问题要熟练掌握，特别是含参数的两类“动轴定区间、定轴动区间”的求最值的解法（两类都是固定区间，先讨论开口方向，再讨论对称轴）。

13、指数函数、对数函数、幂函数（1）出现log a x 、lg x 、ln x ，首先考虑真数0x >、底数0>且1≠。

（2）把握指对幂函数的图像的变化规律（见下图）（3）幂函数图像恒过 ()1,1点。

研究其性质，可取以下11112,1,,,,,1,2,3,42332α=----，结合图像进行比较。

xy a = 341201a a <α<<<<α 214301a a <α<<<<α 3421a a α<<0<<1<α （4）指数的运算性质 ①mn m naa a+⋅=②mn m naa a-÷=③()nmm naa=④()nnnab a b =⋅⑤mnmnaa=⑥1m nmna a-=（5）对数的运算性质 ①指对互化：log xa aN x N =⇔=（用于解指数方程、指数不等式或者对数方程、对数不等式） ②对数恒等式：log a Na N =。

③对数的性质⑴零和负数没有对数，即N>0；⑵1的对数为零，即 log 10a =；⑶底的对数等于1，即log 1a a =。

④对数的运算法则⑴ log ()log log a a a M N M N =+ ⑵ log log log aa a M M N N=-⑶ log log na a Mn M =⑤换底公式 log log (0,1,1,0)log ba b a N N a a b N =>≠≠>换底公式的几个常见结论：1211231log log log log log log log log n n ma a ab a a a n a nm bb b na a a a a -==⋅⋅⋅⋅=五、导数及其应用1、基本初等函数的导数公式：(1) 0='C （C 为常数）. (2) 1()()n n x nxn Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='.(5) xx 1)(ln ='；1(log )log a a x e x'=.(6) xxe e =')(; a a a xxln )(='. 2、导数的运算法则：设()fx u =，()g x v =（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v vv-=≠.3、复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ''=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数()u y f u ''=，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且x u x y y u '''=⋅，或写作(())()()x f x f u x ϕϕ'''=.4、在求过点()00,P x y 的曲线()y fx =的切线方程时，一定要先判断点()00,P x y 与已知曲线的位置关系，即判断点P 在不在曲线()y f x =上：①若点P 在曲线上，则由切点()00,P x y 与()'0k fx =写出切线的点斜式方程。