江苏省南京重点中学2022-2023学年高三下学期4月8日周测数学试题及参考答案

2022—2023学年度第二学期高三周测试数 学 试 卷注意事项： 2023.04.08 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数11iz =-（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.函数()1sin 2f x x x =-的图象可能是 A ．B ．C ．D ．3.已知函数()sin sin 2f x x x =+在()0,a 上有4个零点，则实数a 的最大值为( ) A ．4π3B ．2πC ．8π3D ．3π4.已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．02a <<C ．1a >D ．2a >5.2a =-是直线230ax y a ++=和5(3)70x a y a +-+-=平行的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC上的动点，则的最小值是（ ）A. 45-B. 0C. 95-D. 17.已知圆柱的高和底面半径均为4，AB 为上底面圆周的直径，点P 是上底面圆周上的一点且，AP BP =，PC 是圆柱的一条母线，则点P 到平面ABC 的距离为（ ） A ．4B ．23C ．3D ．228.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，点B 为双曲线虚轴的上端点，A为双曲线的左顶点，若2ABF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．152+ 二、多选题9.已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（ ） A ．yx 的最大值为43B ．yx的最小值为0 C ．22x y +的最大值为51+D ．x y ＋的最大值为32+10.将函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图像上所有的点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 图像的一个对称中心为7,012π⎛⎫⎪⎝⎭C ．()g x 的单调递减区间为()5,36k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z D ．()g x 的图像与函数sin 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像重合 11.下列说法错误的是（ ）A ．“1a =-”是“直线30x ay -+=与直线10ax y -+=互相垂直”的充分必要条件B ．直线cos 30x y α-+=的倾斜角θ的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．若圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=有且只有一个公共点，则34a =D ．若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则实数b 的取值范围是122,3⎡⎤-⎣⎦12.已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 为非奇非偶函数 C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭三、填空题 13.已知均为单位向量，且夹角为3π，若向量c 满足，则||c 的最大值为_________．14.命题“x ∃∈R ，()()224210a x a x -++-≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______.15.设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知我国某省二、三、四线城市数量之比为1:3:6．2022年3月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为0.8万元/平方米，方差为11．其中三、四线城市的房产均价分别为1万元/平方米，0.5万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市房产均价为_________万元/平方米，二线城市房价的方差为________ 四、解答题17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．已知222cos ()2sin sin 12A B A B --= （1）求角C 的大小； （2）若1c =，求ABC S ∆的最大值．18.已知()|1||21|f x ax x =++-.（1）当1a =时，求不等式()21f x x <+的解集；（2）证明：当()0,1a ∈，()0,x ∈+∞时，()1f x >恒成立.19.已知等差数列{}n a 满足12a =，248,,a a a 成等比数列，且公差0d >，数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)求n S ；(2)若数列{}n b 满足12b =，且()()()11223123(1)26n n n b b b b n b b n ++++++++=-⋅+，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n ∈N ，都有n n T S λ≥，求λ的取值范围.20.如图1，在平行四边形ABCD 中，2AB =，3AD =，30BAD ∠=，以对角线BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达图2所示点P 的位置，且7PC =. (1)求证：PD BC ⊥；(2)若点E 在线段PC 上，且二面角E BD C --的大小为45，求三棱锥E BCD -的体积.21.已知椭圆2222:1x y E a b +=（a ＞b＞0）的离心率22e =，四个顶点组成的菱形面积为82，O为坐标原点． (1)求椭圆E 的方程；(2)过228:3O x y +=上任意点P 做O 的切线l 与椭圆E 交于点M ，N ，求证为定值．参考答案1-5 AACBA 6-8 CDD 9 ABD 10. ABC 11.AC 12. BC13. 14. 625a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭ 15.14⎫⎪⎣⎭ 16. 2 29.917.解：（1）因为22cos ()2sin sin 12A B A B --=所以1cos()2sin sin 1A B A B +--=-，即1(cos cos sin sin )2sin sin 1A B A B A B ++-=，整理得：1cos()12A B ++=-，即cos()2A B +=-，即cos()cos C C π-=-=，所以cos C =，因为(0,)C π∈，故4C π=． （2）由（1）可知，4C π=，由余弦定理和基本不等式可得，22222c a b ab =+-， 即1(22)ab -，即12222ab =-，当且仅当a b== 所以121sin 244ABC S abC ∆+==， 即()ABC max S ∆=18.1a =时,()|1||21|21f x x x x x <⇔++-<+111221x x x x ≤-⎧⇔⎨--+-<+⎩或11211221x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-<+⎩或1212121x x x x ⎧≥⎪⎨⎪++-<+⎩ 1132x ⇔<<或111123x x ≤<⇔<<所以,原不等式的解集为1|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（2）由题意得：1(2)2,02()1211(2),2a x x f x ax x a x x ⎧-+<≤⎪⎪=++-=⎨⎪+>⎪⎩()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数,在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数.min 1()122af x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,min ()()112a f x f x ≥=+>成立19.答案：(1)(1)n S n n =+. (2)1λ≤.解析：(1)因为数列{}n a 为等差数列，12a =，248,,a a a 成等比数列， 所以2(2)(27)(23)d d d ++=+， 因为0d >，所以2d =， 所以(1)22(1)2n n n S n n n -=+⨯=+. (2)因为()()()11223123(1)26n n n b b b b n b b n ++++++++=-⋅+， 所以()()()122312(1)3(2)26n n n b b b b n b b n -+++++-+=-⋅+，两式相减得()132n n n n b b n ++=⋅，所以132n n n b b ++=⋅. 所以()()11122(1)20n n n n n b b b ++-=--==--=，所以2n n b =，所以()12122212n n n T +-==--.因为对任意的*n ∈N ，都有n n T S λ≥， 所以122(1)n n n λ+-≥+，所以122(1)n n n λ+-≥+.令()1*22()(1)n f n n n n +-=∈+N ， 则2112222(2)24(1)()(1)(2)(1)(1)(2)n n n n f n f n n n n n n n n +++---⋅++-=-=+++++，所以当2n ≥时，122()(1)n f n n n +-=+递增，而(1)(2)1f f ==，所以min ()1f n =， 所以1λ≤. 20（1）证明：在ABD △中，由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠ 34322312=+-⨯⨯⨯=， 所以，222AD BD AB +=，AD BD ∴⊥，又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以，BC BD ⊥，在PCD 中，7PC =，3PD =，2CD =，222PD CD PC ∴+=，则PD CD ⊥， 因为PD BD ⊥，BD CD D ⋂=，PD ∴⊥平面BCD ， BC ⊂平面BCD ，PD BC ∴⊥.（2）解：因为BC BD ⊥，PD ⊥平面BCD ，以点B 为坐标原点，、、的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0B 、()3,0,0C 、()0,1,0D 、()0,1,3P ，设，其中01λ≤≤，，设平面BDE 的法向量为，，则，取1x λ=-，可得，易知平面BCD 的一个法向量为，由已知可得，因为01λ≤≤，解得12λ=，所以，E 为PC 的中点，因此，111111133223624E BCD P BCD BCD V V S PD --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯=△.21.（1）由题意得282ab =，22c e a ==，222a b c =+ 可得22a =，b ＝2， 所以椭圆的标准方程为22184x y +=．（2）当切线l 的斜率不存在时，其方程为263x =±， 当263x =时，将263x =代入椭圆方程22184x y +=得263y =±， ∴2626,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2626,33N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，26,03P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ∴ 当263x =-时，同理可得， 当切线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ， 因为l 与O 相切，所以22631k m =+，所以22388m k =+ 由22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124280k x kmx m +++-=，∴122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=+ ()()()2224412280km k m ∆=-+->，∴ 22840k m -+>，∴ 2m >或2m <- ∴()()2212121k x x km x x m =++++()2222222228438810121212m km m k k km m k k k ---⎛⎫=++-+== ⎪+++⎝⎭∴综上，PM PN 为定值83-．。