多元可微的定义式
《高等数学之全微分》课件
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率。
如果函数的全微分非零，则函数在该点是可微的，切线斜率等于全微分的绝对值。
全微分的几何意义有助于理解函数在某点附近的局部行R
全微分的基本性质
全微分的线性性质是指全微分满足线性运算规则，即函数的增量的线性组合等于函数增量的全微分的线性组合。
详细描述
03
CHAPTER
全微分的应用
近似计算
全微分可以用于近似计算，例如在求解函数在某一点的切线斜率时，可以利用全微分进行近似计算，得到一个接近真实值的近似值。
误差估计
全微分还可以用于误差估计，通过比较函数在某一点的真实值与近似值之间的差值，可以估计出近似计算的误差大小。
数值稳定性
全微分可以提高数值计算的稳定性，特别是在求解一些复杂数学问题时，利用全微分可以减少数值误差，提高计算结果的准确性。
03
收敛性
泰勒公式的收敛性取决于所选取的点以及函数在该点的性质，如是否可微等。
01
定义
泰勒公式是一个用多项式逼近一个函数的数学工具。对于多元函数，泰勒公式同样适用，它可以表示为一个无穷级数。
02
展开式
多元函数的泰勒公式展开式中包含偏导数和高阶偏导数的信息，通过这些信息可以近似地计算函数在某点的值。
1
2
3
对于$z = sin(x + y)$，全微分为$cos(x + y) (dx + dy)$。
对于$z = ln(x + y)$，全微分为$frac{1}{x + y} (dx + dy)$。
对于$z = x^{2} + y^{2}$，全微分为$2xdx + 2ydy$。
已知函数$z = f(x, y)$的全微分$dz = 2xdx + 3ydy$，求$f(x, y)$。
多元函数微分法
非极值点
极小值点
因为该函数不存在不可微点，故 极小值。 例 32。求函数 解：（一）解方程组
为函数的极大值； 的极值。
为函数的
得三个驻点：
（二）
1。在点
处，
。 故
为极小值；
2。在点
处，
为极小值；
3。在点
处，
（沿直线变化），则有
（沿直线变化），则有
故
故不能确定是否有极值。在近旁，令
当沿直线
故
不是极值。
解：设直角三角形的两直角边长分别为
其周长为 z
则
问题化为一元函数求最值。
，所以，驻点
所以，最大周值为
刚才解决的例 34有一个特点：所求最值的函数
中两自变量 并不
独立，而是受到一个条件
的限制。称这种问题为条件极值问题。对于
这种问题，例 34为我们提供了一种比较简单地方法：即从条件
中解出
，代入
，得：
从而转化为一元函数求最值。
确定的
解法一：方程两边同时关于 求导（视 为 的函数），得： ，
解出：
解法二：令
（这里 互相独立），则 ，
所以，由公式（3）， 解出：
注意：请同学们比较一下两解法有什么本质的区别？哪种用起来更方便？ 称解法二为公式法.
（二）设三元方程
（ *） 确 定 了 一 个 隐 函 数
或
，则可视
为
，原方程化为：
是关于 的二元函数，称之为关于 有四种不同形式的二阶偏导数：
的二阶偏导数.按照对自变量求导次序的不同，共
（1）
（或记为
；（2）
（或记为
；
（3）
（或记为
；4）
7.4多元复合函数与隐函数微分法解析
z=f(x,v),v=v(x,y),则z=f[x,v(x,y)]有链式法
z f f v x x v x
z f v y v y
(7.23)
f z 在(7.23)中我们在等式的右边记为 而不用 , x x z 这是为防止和等式左边的 混淆. x
y
2019年1月7日星期一
8
目录
上页
下页
返回
z z u z v y u y v y
1 1 f'u xe f'v y 2 x 1 ( ) x x y xe f'u 2 f'v 2 x y
y
z x y xe f'1 2 f'2 2 y x y
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z
u v
x y
注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示
的链子来记. 定理中的等式数为自变量的个数； 每一个等 式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条
2019年1月7日星期一 19
目录 上页 下页 返回
上式等式左端看作以 u,v 为中间变量 ,λ 为自 变量的函数,等式两端对λ求导数,得
f du f dv k k 1 f ( x, y ) u d v d
即
f f k 1 x y k f ( x, y ) u v
由链式法则有 z eu sin v 1 eu cos v 1 x x y e [sin( x y ) cos( x y )]
2019年1月7日星期一 15
目录 上页 下页 返回
多元函数高阶导数
多元函数高阶导数作为微积分中的重要概念，导数可以理解为某一函数在某一点处的切线斜率。
在单变量函数中，我们常常利用极限的方法求导。
但在多元函数中，情况就会变得更为复杂。
本文将介绍多元函数的高阶导数，为读者打开一扇理解多元函数导数若干复杂问题的新门径。
1. 多元函数定义多元函数是指将多个变量作为自变量的函数，可以表示为$ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $。
在一元函数中，自变量只有一个，如$f(x) = x^2$。
而在多元函数中，自变量可以是两个或多个，如$f(x,y) = x^2 + y^2$。
2. 偏导数多元函数中，存在若干个自变量，求导时需要指定对某一个自变量求导。
这就是偏导数的概念。
偏导数是指在其他自变量不变的情况下，对某一自变量求导得到的导数。
以二元函数为例，假设有$f(x,y) = x^2 + y^2$，求其在点$(1,1)$处对$x$的偏导数。
我们可以先将函数$ f(x,y) $带入偏导数的定义式：$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}$$由于我们要在$(1,1)$处求偏导数，因此将$x$代入$1$，得到：$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1 + \Delta x,1) - f(1,1)}{\Delta x}$$化简后得到：$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(1+\Delta x)^2 + 1^2 - (1^2 + 1^2)}{\Delta x} = 2$$同样的，我们可以求出在$(1,1)$处对$y$的偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial y}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(1,1 + \Delta y) - f(1,1)}{\Delta y} = 2$$3. 高阶偏导数如果某一函数的偏导数存在，我们就可以考虑对它进行求导。
多元函数微分法习题课
z
x
y
2z + y + λ yz = 0
解方程组
2z + x + λxz = 0
2(x + y) + λxy = 0 xyz −V0 = 0
4 得唯一驻点 x = y = 2z = 3 2V0 , λ = 3 −V 2
0
由题意可知合理的设计是存在的, 因此 , 当高为 3 V0 , 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 思考: 思考 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? x 提示: 提示 利用对称性可知, x = y = z = 3 V0 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 提示 F = 2(xz + yz) + 2 x y + λ (x yz −V0 ) 长、宽、高尺寸相等 .
2 2
2. 设 3. 在曲面 平面
求 上求一点 , 使该点处的法线垂直于 并写出该法线方程 . 的切平面
4. 在第一卦限内作椭球面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
4
z
y
例4. 求原点到曲线 的最短距离。 的最短距离。
x 2 + ( y − 1) 2 + z 2 = 4 Γ: x + y + z = 1
习题课
多元函数微分法
一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用
一、 基本概念
1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 连续性 方向导数存在 偏导数存在 可微性
第八节 多元函数的Taylor公式
定理 2 设z = f ( x , y )在( x0 , y0 )处有极值且可偏导, 则 r (8.7) ∇ f ( x 0 , y0 ) = 0 或即 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y ( x0 , y0 ) = 0 (8.7)'
满足 (8.7 )或(8.7 )' 的点称为 f ( x , y )的驻点.
f ( x , y ) ≥ f ( x 0 , y0 ) 则称f ( x , y )在M 0取得极小值 f ( x0 , y0 ), M 0 ( x0 , y0 )称为 f ( x , y )的极小值点 . 极大值与极小值统称为 极值 , 极大值点与极小值点 统称为极值点 .
如同一元函数 , 首先建立可微函数取得 极值的必要条件 .
∂2 f = − (1 + x + y )− 2 , ∂y 2 ∂k f 一般地 j k − j = ( −1)k −1 ( k − 1)!(1 + x + y )− k , ∂x ∂y
∂k f ( j k − j )( 0 , 0 ) = ( −1)k −1 ( k − 1)! ∂x ∂y
由(8.1)得
+ 2 f xy [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( x − x0 )( y − y0 ) + f yy [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )]( y − y0 )2 ∂ ∂ 2 = [( x − x0 ) + ( y − y0 ) ] f [ x0 + t ( x − x0 ), y0 + t ( y − y0 )], ∂x ∂y
第三节 全微分
第三节 全微分㈠ 本课的基本要求掌握全微分的定义，可微有关判定定理及其全微分的求法㈡ 本课的重点、难点全微分的计算方法为重点，可微与可导、连续的关系为难点。
㈢ 教学内容一．全微分的定义1．引入由前，二元函数对某个自为题的偏导数表示另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率。
根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得x y x f y x f y x x f x ∆'≈-∆+),(),(),(y y x f y x f y y x f y ∆'≈-∆+),(),(),(上面两式的左端分别叫做二元函数对x 和对y 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对x 和对y 的偏微分。
在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题。
下面以二元函数为例进行讨论。
设函数),(y x f z =在点),(y x P 的某邻域内有定义，),(y y x x P ∆+∆+'为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差为函数在点P 对应于自变量增量的全增量，记作z ∆，即 ),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆ ⑴一般说来，计算全增量z ∆比较复杂。
与一元函数的情形一样，我们也可以用自变量的增量的线性函数来近似代替函数的全增量z ∆，从而引出全微分的概念。
2．全微分的定义定义 设有),(y x f z =，如果在点),(y x 处全增量),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可以表示为关于y x ∆∆,线性函数与一个比22y x ∆+∆=ρ高阶的无穷小之和，即)(),(),(ρ +∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ⑴其中A 、B 与y x ∆∆,无关，只与y x ,有关，)(ρ 是当0→ρ比ρ高阶的无穷小，则称二元函数),(y x f z =在点),(y x 处可微，并称y B x A ∆+∆是),(y x f z =在点),(y x 处的全微分，记作y B x A dz ∆+∆=。
多元函数微分学1
多元函数微分学多元函数的极限1. 求函数y x z -=的定义域.解 二元函数的定义域. 由二次根式, 得0≥y 且0≥-y x .2. 设=)1,1(x y f yx x y x 2)(--, 求),(y x f .解1 复合函数.改写, 得=)1,1(x y f yx x y x 2)(--22111xxy y x --=. 于是)2(),(y x y x y y x f --=. 解2 令xv y u 1,1==. 代入化简, 得)2(),(v u v uv v u f --=.即)2(),(y x y xy y x f --=.习题(a) 已知=),(y x f 22y x xy+, 求)1,(x y f . (b) 设22),(y x xyy x f -=+, 求),(y x f .3. 计算极限22sin 00)1(lim y x xy x xy +→→+.解 用一元函数极限的法则与定理.因为x y →→00,, 所以xy →0. 这是1∞型未定式. 因为)(21||22y x xy +≤, 所以22|sin |||y x x xy +|sin |21x ≤. 根据极限存在准则1, lim x y →→000|sin |||22=+y x x xy . 再由函数连续性有lim()sin x y xxy xy →→++01= 1.4. 求证: 极限lim x y →→00x y x y2222-+不存在. 证 选择不同路径(相当于数列或一元函数的子列), 证明极限不存在.一种常用的(不是万能的!)路径是沿直线y y k x x -=-00()趋向于点(,)x y 00. 在这里是沿直线y kx =趋向于坐标原点.lim x y →→00x y x y 2222-+=lim x k k →-+02211=1122-+k k 因为极限值与k 有关, 即沿不同直线趋向于坐标原点时, 有不同极限值, 所以原极限不存在.5. 求证: 极限lim x y →→00x y x y22++不存在.证 选择不同路径, 证明极限不存在.例5中的直线路径在这里无效. 需要寻找曲线路径. 当动点沿抛物线y x kx =-+2趋向于坐标原点时, 有limx y →→00y x y x ++22=k k x k kx x 222lim 220=+-→ 极限值与k 有关, 原极限不存在.6. 研究函数z x yy y =≠=⎧⎨⎪⎩⎪sin ,,1000的连续性. 解 用定义判定连续.根据初等函数的连续性, 当y ≠0时, 函数连续. 因为lim x y →→0x ysin10=, 所以函数在坐标原点也连续.当沿着与y 轴平行的直线趋向于x 轴上其它的点时, 极限不存在. 于是这些点是函数的间断点.7. 设函数f x y (,)关于自变量x 连续, 又存在常数L >0, 使得对于任意两点(,),(,)x y x y 12, 有|(,)(,)|||f x y f x y L y y 1212-≤-, 则函数f x y (,)连续.证 用定义判定连续.任意取点(,)x y 00. 对于任意给定的0>ε, 由于对于取定的y 的值, 函数关于自变量x 连续, 存在01>δ, 使得当10||δ<-x x 时, 有2|),(),(|000ε<-y x f y x f .取}2,min{1Lεδδ=, 则当δ<-||0x x , δ<-||0y y 时, 有|)],(),([)],(),([||),(),(|000000y x f y x f y x f y x f y x f y x f ---=-|),(),(|0y x f y x f -≤|),(),(|000y x f y x f -+ εεδε≤+≤+-≤22||0L y y L偏导数与全微分1. 设函数f x y xy x y x y x y (,),,=++≠==⎧⎨⎪⎩⎪2222000 , 计算y fx f ∂∂∂∂,. 解 用定义求偏导数.当x y 220+≠时, 用导数公式得2/3223)(y x y x f +=∂∂, 2/3223)(y x x y f +=∂∂. 当x y ==0时, 用偏导数定义, 得f x (,)00=lim(,)(,)x f x f x→-=00000. 同理有f y (,)000=.2. 设函数22),(y x y x f +=, 则它在坐标原点连续, 但没有偏导数.解 用定义证连续，求偏导数因为)0,0(0lim 2200f y x y x ==+→→，函数在所以坐标原点连续。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多元可微的定义式
多元可微的定义式是指具有多个自变量的可微函数，其可以根据求
导定义求出函数的偏导数。
具体来说，多元函数为：
f(x1,...,xn) = y
偏导数定义式为：
∂f/∂x1 = ȳ1
∂f/∂x2 = ȳ2
...
∂f/∂xn = ȳn
其中，ȳ1,ȳ2,...,ȳn为关于矢量x=(x1,x2,...,xn)的偏导数向量。