2012高考天津文科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学文史类(天津卷)

本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．

参考公式：

·如果事件A ，B 互斥，那么 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ·棱柱的体积公式V ＝Sh ． 其中S 表示棱柱的底面面积，

h 表示棱柱的高．

．

Sh ＝

V ·圆锥的体积公式 其中S 表示圆锥的底面面积，

h 表示圆锥的高．

第Ⅰ卷

本卷共8小题，每小题5分，共40分．

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

)

(1． i 是虚数单位，复数

A ．1－i

B ．－1＋i

C ．1＋i

D ．－1－i

)

的最小值为(y －2x ＝3z 则目标函数满足约束条件

y ，x 2．设变量 A ．－5 B ．－4 C ．－2 D ．3

3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )

A ．8

B ．18

C ．26

D ．80

)

的大小关系为(c ，b ，a 2，则5＝2log c ，，

1.2＝2a 4．已知 A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a

)

的(”－1＞0x ＋2x 2“是”“

，则R ∈x 5．设 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )

A ．y ＝cos2x ，x ∈R

0≠x 且R ∈x |，x |2＝log y B ． R

∈x ，C ．

R

∈x 1，＋3x ＝y D ． 点(

个单位长度，所得图象经过＞0)的图象向右平移

ω(其中ωx )＝sin x (f 7．将函数，0)，则ω的最小值是( )

D ．2

B ．1

C ．

A ．

8．在

△∈

λ，)

λ＝(1－，

λ＝满足

Q ，P ＝2．设点AC ＝1，AB ＝90°，A ∠中，ABC ) ＝(λ，则．若

R D ．2

C ． B ．

A ．

第Ⅱ卷

本卷共12小题，共110分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为__________．

．

3图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m 10．一个几何体的三视

有相同的渐近

：

2C ＞0)与双曲线b ＞0，a (：

1C 11．已知双曲线＝__________．

b ＝__________，a ，0)，则(F 的右焦点为1C 线，且 12．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋＋

2x 与圆l ，且B 轴相交于点y ，与A 轴相交于点x －1＝0与ny 面积的最小值为__________．AOB △为坐标原点，则O ＝4相交所得弦的长为2，2y 13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ．，则线

＝1，

FB ＝3，AF ，F 相交于点AB ，与E 的平行线与圆相交于点BD 作C 过点段CD 的长为__________．

的取值范

k 的图象恰有两个交点，则实数kx ＝y 的图象与函数14．已知函数

围是__________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽

取6所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，

①列出所有可能的抽取结果；

②求抽取的2所学校均为小学的概率．

16．在△

．

，

＝2，

a ．已知c ，

b ，a 所对的边分别是C ，B ，A 中，内角ABC (1)求sin C 和b 的值； )的值．

＋

A (2)求cos(2 17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是

矩

形

，

=2．

CD =PD ，=1，

BC ，PD ⊥AD

(1)求异面直线P A 与BC 所成角的正切值；

(2)证明平面PDC ⊥平面ABCD ；

(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值．

＋

4a ＝2，1b ＝1a }是等比数列，且n b ，{n S 项和为n }是等差数列，其前n a 18．已知{＝10．

4b －4S ＝27，4b }的通项公式；

n b }与{n a (1)求数列{ ＞2)．

n ，*N ∈n (1＋n b －1n a －8＝n T ，证明*N ∈n ，n b n a ＋…＋2b 2a ＋1b 1a ＝n T (2)记 )在椭圆上．

，

(

P ＞0)，点b ＞a 19．已知椭圆

(1)求椭圆的离心率；

(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ

的斜率的值．

＞0．

a ，其中R ∈x ，a －ax －2x ＋

3x )＝

x (f 20．已知函数 (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；

(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间［t ，t ＋3］上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间［－3，－1］

上的最小值．

1． C

．

2． B 由约束条件可得可行域：

对于目标函数z =3x －2y ， ，

可化为

要使z 取最小值，可知过A 点时取得． ，

A(0,2)即得

由

∴z =3×0－2×2=－4．

；

2＝n ，2＝03－13＋0＝S ，1＝n 3． C ；3＝n ，8＝13－23＋2＝S ，4＜2＝n ；

4＝n ，26＝23－33＋8＝S ，4＜3＝n 4≥4，输出S ＝26．

，

0.82＝0.8

－)

(

＝b ，1.22＝a 4． A ．

1＜45log ＝252log ＝c ，1＞b ＞a ∴，1＞0.82＞1.22∵ ∴c ＜b ＜a ． ，

或

1＜－x ，可得0＞1－x ＋2x 2∵ 5． A 的充分而不必要条件．

”0＞1－x ＋2x 2“是”“

∴ 内

2)，(

内是减函数，在区间)，

(1是偶函数，但在区间x cos2＝y 项，A 对于 6． B 是增函数，不满足题意．

是增函数，满足题意．

x 2log ＝y 时，(1,2)∈x ，是偶函数，当|x |2log ＝|x －|2log 项，B 对于 ，

项，

C 对于 是奇函数，不满足题意．

∴

是非奇非偶函数，不满足题意．

1＋3x ＝y 项，D 对于 ］．)－

x (ω［=sin y 个单位长度得：的图象向右平移

ωx )=sin x (f D 7． ，,0)(又所得图象过点 ．∴

．∴ ．

)Z ∈k (∴

∴ω=2k (k ∈Z )．

∵ω＞0，∴ω的最小值为2． ，，设 8． B ∴|a |＝1，|b |＝2，且a ·b ＝0．

＝［(1－λ)b －a ］·(λa －b )

．

∴

，2＝－4－λ3＝)λ－4(1－λ＝－2b )λ－(1－2a λ＝－ 9．答案：－3

解析：∵|x －2|≤5，∴－5≤x －2≤5，

∴－3≤x ≤7，∴集合A 中的最小整数为－3．

10．答案：30

解析：由几何体的三视图可知：该几何体的顶部为平放的直四棱柱，底部为长、宽、高

分别为4 m,3 m,2 m 的长方体．

．

)330(m ＝24＋6＝2×3×4＋4×＝

长方体V ＋棱柱V ＝V 几何体的体积∴ 11．答案：1 2

．

∴

的渐近线相同，2C 与1C ∵解析： ．5＝2b ＋2a ，即∴，0)，(

F 的右焦点为1C 又 ．

2＝b ，1＝a ∴，4＝2b ，1＝2a ∴ 12．答案：3

，∴

，2与圆相交所得弦的长为l ∵解析： ．≤

|mn |∴，|mn 2|≥＝

2n ＋2m ∴ ，)，

(0B 轴交点y ，与0)，(A 轴交点x 与l ．

∴

答案：

13． 解析：在圆中，由相交弦定理：

AF ·FB ＝EF ·FC ，

，∴ ，由三角形相似，

．

∴

，DA ·DC ＝2DB 由切割弦定理： 又DA ＝4CD ，

．＝

2DB ＝2DC 4∴ ．

∴

14．答案：(0,1)∪(1,2)

解析：

函数y =kx 过定点(0,0)．

由数形结合可知： ，OC k ＜k ＜1或1＜k ＜0 ∴0＜k ＜1或1＜k ＜2．

15．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1．

，5A ，4A 所中学分别记为23,A ，2A ，1A 所小学分别记为3所学校中，6在抽取到的①(2)，}5A ，1A {，}4A ，1A {，}3A ，1A {，}2A ，1A {所学校的所有可能结果为2，则抽取6A 大学记为，

4A {，}6A ，3A {，}5A ，3A {，}4A ，3A {，}6A ，2A {，}5A ，2A {，}4A ，2A {，}3A ，2A {，}6A ，1A {种．

15，共}6A ，5A {，}6A ，4A {，}5A ，

1A {，}2A ，1A {的所有可能结果为)B 记为事件(所学校均为小学2所学校中抽取的6从②种．

3，共}3A ，2A {，}3A ．所以

．，可得中，由

ABC △在(1)解：16． ．

，可得

，

2＝a 及又由

．

0＝2－b ＋2b ，得A cos bc 2－2c ＋2b ＝2a 由 因为b ＞0，故解得b ＝1．

．

1＝b ，所以

＝

A cos A ＝2sin A ，sin2－1＝

A 2＝2cos A ，得cos2，

由

(2)，

．

＝

sin A －sin2cos A )＝cos2＋A 所以，cos(2 17．解：(1)如图，在四棱锥P －ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD =BC 且AD

∥BC ．又因为AD ⊥PD ，故∠P AD 为异面直线P A 与BC 所成的角．

．

中，

PDA △Rt 在 所以，异面直线P A 与BC 所成角的正切值为2．

(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故A D ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD ∩PD =D ，因此AD

⊥平面PDC ，而AD 平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD ．

(3)在平面PDC 内，过点P 作PE ⊥CD 交直线CD 于点E ，连接EB ．

由于平面PDC ⊥平面ABCD ，而直线CD 是平面PDC 与平面ABCD 的交线．

故PE ⊥平面ABCD ，由此得∠PBE 为直线PB 与平面ABCD 所成的角．

．

30°＝PCD ∠，可得，

2＝CD ＝PD 中，由于PDC △在 ．

＝sin30°PC ＝PE 中，PEC △Rt 在 由AD ∥BC ，AD ⊥平面PDC ，得BC ⊥平面PDC ，

因此BC ⊥PC ．

．中，PCB △Rt 在 ．中，

PEB △Rt 在 ．

所成角的正弦值为

ABCD 与平面PB 所以直线 4

a ，得2＝1

b ＝1a ．由q 的公比为}n b {，等比数列d 的公差为}n a {设等差数列(1)解：18．．

d 6＋8＝4S ，3q 2＝4b ，d 3＋2＝ 解得

由条件，得方程组

．

*N ∈n ，n 2＝n b ，1－n 3＝n a 所以 (2证明：由(1)得

①

，n )×21－n (3＋…＋38×2＋25×2＋2×2＝n T ②

．1＋

n 1)×2－n (3＋n 4)×2－n (3＋…＋35×2＋22×2＝n T 2 由①－②，得

1＋

n 1)×2－n (3－n 3×2＋…＋33×2＋23×2＋2×2＝n T － ，8－1＋

n 4)×2－n (3＝－2－1＋

n 1)×2－n (3－＝

，

1＋

n 4)×2－n (3＝8－n T 即 ．1＋

n 4)×2－n (3＝1＋n b 1－n a 时，2＞n 而当 ．

2＞n ，*N ∈n ，1＋n b 1－n a ＝8－n T 所以， ．，可得

在椭圆上，故

)，

(

P 因为点(1)解：19． ．

，所以椭圆的离心率

于是

．

)0y ，0x (的坐标为Q ，设点kx ＝y ，则其方程为k 的斜率为OQ 设直线(2)

并整理得

0y 消去由条件得 ①

． ，

0＝0ax 2＋20x )2k ＋(1，整理得2a ＝20x 2k ＋2)a ＋0x (，得0kx ＝0y 及0)a,－(A ，|AO |＝|AQ |由．

4＋·2k 4＝2)2k ＋(1，整理得①，代入，故

0≠0x 而 ，

4＋2k ＝

2)2k ＋(1，故知

(1)由 ．

5＝2k ，可得0＝15－2k 22－4k 5即 ．

的斜率OQ 所以直线 ．

0＞a ＝2x ，1＝－1x ，得0＝)x ′(f ．由)a －x 1)(＋x (＝a －x )a －(1＋2x ＝)x ′(f (1)解：20． x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值

极小值 ． (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在

．

＜

a ＜0解得内恰有两个零点当且仅当

2,0)－(区间 ．

)，

(0的取值范围是a 所以， )在［－3，－1］上单调递增，在［－1,1］上

x (f －1．由(1)知x －3x )＝

x (f ＝1时，a (3)单调递减，在［1,2］上单调递增． ①当t ∈［－3，－2］时，t ＋3∈［0,1］，－1∈［t ，t ＋3］，f (x )在［t ，－1］上单调递增，在［－1，t ＋3］上单调递减．因此，f (x )在［t ，t ＋＋

t (f 3)中的较小者．由＋t (f )与t (f )为t (m ，而最小值(－1)＝

f )＝t (M 3］上的最大值3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈［－3，－2］时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以

g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在［－3，－2］上单调递增，因此f (t )≤f (－2

．

)在［－3，－2］上的最小值为

t (g ，所以)＝

②当t ∈［－2，－1］时，t ＋3∈［1,2］，且－1,1∈［t ，t ＋3］．

下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在［－2，－1］，［1,2］上单调递增，有

f (－2)≤f (t )≤f (－1)，f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．

(1)＝

f )＝t (m ，(－1)＝

f )＝t (M ，从而(2)＝

f (－1)＝f ，(－2)＝

f (1)＝f 又由．

．

)＝

t (m )－t (M )＝t (g 所以

综上，函数

t(g

)在区间［－3，－1］上的最小值为

．