九年级圆 几何综合专题练习(解析版)

九年级圆几何综合专题练习（解析版）

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO 、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8．

（1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长；

（2）如图2，设AC=x，ACO

OBD

S

S=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长．

【答案】（1）2；（2）

2825

x x x

-+

（0＜x＜8）;（3）AD=

14

5

或6．

【解析】

【分析】

(1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长.

(2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式.

(3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论.

【详解】

解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8，

∴OD⊥AB，AC=

1

2

AB=4，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5，

∴22

AO AC

-，

∴OD=5，

∴CD=OD﹣OC=2；

（2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H，

则由（1）可得AH=4，OH=3，

∵AC=x，

∴CH=|x﹣4|，

在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5，

∴22

HO HC

+22

3|x4|

+-2825

x x

-+

∴CD=OD ﹣OC=5

过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴

OH OC

DG CD

=， ∴DG=OH CD OC

?

35， ∴S △ACO =

12AC ×OH=12x ×3=32

x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣

x ）×（3

35）=3

2

（8﹣

x ）

∴y=

ACO OBD

S S

=

()32

3582x x -

（0＜x ＜8）

（3）①当OB ∥AD 时，如图3，

过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB?OH=1

2

OB?AE ， AE=

AB OH OB ?=24

5

=OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°，

AO=5，

∴75

∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，

∴AD=2AF=14

5

．

②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，

则由①的方法可得DG=BM=

245

， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，

∴GO=22DO DG -=75，AG=AO ﹣GO=185

， 在Rt △GAD 中，∠DGA=90°，

∴AD=

22AG DG +=6

综上得AD=

14

5

或6．

故答案为（1）2；（2）y=()

2825x x x -+（0＜x ＜8）;（3）AD=14

5或6．

【点睛】

本题是考查圆、三角形、梯形相关知识，难度大，综合性很强.

2．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的

P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、

PC ，设x BP =，PC y =.

（1）求证：PE //DC ；

（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；

（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取

值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）2

436(09)y x x x =-+<<；（3）36

05

R <<

【解析】 【分析】

()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据

平行线的判定定理即可得到结论；

()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，

//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到

22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到

223PH x =

，13BH x =，求得1

63

CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218

655

PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】

()

1证明：梯形ABCD ，AB CD =，

B DCB ∠∠∴=，

PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=， //PE CD ∴；

()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．

梯形ABCD 中，//AD BC ， ，BC DG ⊥，BC PH ⊥，

∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，

2AD =，6BC DC ==， 2BF FG GC ∴===，

在Rt ABF 中，

22226242AF AB BF =-=-=，

//PH AF ，

PH BP BH

AF AB BF

∴==6242x BH ==，

223PH x ∴=

，1

3

BH x =， 1

63

CH x ∴=-，

在Rt PHC 中，22PC PH CH =

+，

22221

(

)(6)33

y x x ∴=+-，即2436(09)y x x x =-+<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．

//PE DC ，

∴四边形PDME 是平行四边形．

PE DM x ∴==，即 6MC x =-，

PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=， 又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，

PB BE

EC MC ∴=，即

232663

x

x x x =--， 解得：18

5x =，

即12

5

BE =，

1218

655

PD EC ∴==-=，

当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)；

当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，2365

R =； 即两圆相交时，3605

R <<． 【点睛】

本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

3．选做题：从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分 题甲：已知矩形两邻边的长、是方程的两根.

（1）求的取值范围；

（2）当矩形的对角线长为时，求的值；

（3）当为何值时，矩形变为正方形？

题乙：如图，是直径，于点，交于

点，且．

（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；

（2）当，时，求的面积．

【答案】题甲（1）（2）（3）

题乙：（1）BD是切线；证明所以OB⊥BD，BD是切线（2）S=

【解析】

试题分析：题甲：（1）、是方程的两根，则其；

由得

（2）矩形两邻边的长、，矩形的对角线的平方=；矩形两邻边的长、是方

程的两根，则；因为

，所以；解得

由得

（3）矩形变为正方形，则a=b；、是方程的两根，所以方程有两个相等的实数根，即，由得

题乙：（1）BD是切线；如图所示，是弧AC所对的圆周角，

；因为，所以；于点，，所以，，在三角形OBD中

，所以OB⊥BD；BD是切线

（2），AB是圆的直径，所以OB=5；于点，交于

点，F是BC的中点；，BF=4；在直角三角形OBF中由勾股定理得

OF=；根据题意，，则

，所以

，从而，解得DF=，的面积

=

考点：直线与圆相切，相似三角形

点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形；解本题的关键是会判断直线与圆是否相切，能判定两个三角形相似

4．如图，点A 在直线l 上，点Q 沿着直线l 以3厘米/秒的速度由点A 向右运动，以AQ 为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ=

3

4

，点C 在点Q 右侧，CQ=1厘米，过点C 作直线m⊥l，过△ABQ 的外接圆圆心O 作OD⊥m 于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使DF=

1

3

CD ，以DE 、DF 为邻边作矩形DEGF ．设运动时间为t 秒．

（1）直接用含t 的代数式表示BQ 、DF ； （2）当0＜t ＜1时，求矩形DEGF 的最大面积；

（3）点Q 在整个运动过程中，当矩形DEGF 为正方形时，求t 的值． 【答案】（1）BQ=5t ，DF=23t;（2）16;（3）t 的值为3

5

或3． 【解析】

试题分析：（1）AB 与OD 交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ 的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH 的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD 的长，即可表示出FD ；

（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解； （3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）5t BQ =，2

DF=

t 3

； （2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()2

2211

·t 13326

S DF DE t t ??==-=--+

???，∴当t=12时，矩形DEGF 的最大面积为

1

6

； （3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=

-=或,解得3

35

t t ==或.

5．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．

（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；

（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）若tan F＝2

3

，AG﹣BG＝

5

3

3

，求ED的值．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE

133

【解析】

【分析】

（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是

∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．

（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=2

3

=

BG

CG

，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是

直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG?AG，可得出AG的表达式（用

x表示），再根据53

求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，

最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】

解：（1）证明：因为BE＝DE，

所以∠FBD＝∠CDB，

在△BCD和△DFB中：

∠BCD＝∠DFB

∠CDB＝∠FBD

BD＝DB

所以△BCD≌△DFB（AAS）．

（2）证明：连接OC．

因为∠PEC＝∠EDB+∠EBD＝2∠EDB，∠COB＝2∠EDB，

所以∠COB＝∠PEC，

因为PE＝PC，

所以∠PEC＝∠PCE，

所以∠PCE＝∠COB，

因为AB⊥CD于G，

所以∠COB+∠OCG＝90°，

所以∠OCG+∠PEC＝90°，

即∠OCP＝90°，

所以OC⊥PC，

所以PC是圆O的切线．

（3）因为直径AB⊥弦CD于G，

所以BC＝BD，CG＝DG，

所以∠BCD＝∠BDC，

因为∠F＝∠BCD，tanF＝2

3

，

所以∠tan∠BCD＝2

3

＝

BG

CG

，

设BG＝2x，则CG＝3x．

连接AC，则∠ACB＝90°，

由射影定理可知：CG2＝AG?BG，

所以AG＝

22

99

22

x

C x

G x

G

B

==，

因为AG﹣BG＝53

3

，

所以

53 23

9

2

x

x

-=，

解得x 23

，

所以BG＝2x 43

CG＝3x＝3

所以BC ＝22239

3

CG BG +=， 所以BD ＝BC ＝

239

， 因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ， 所以△DEB ∽△DBC ， 所以

B

DB DC DE

D =， 因为CD ＝2CG ＝43，

所以DE ＝2133

9

DB CD =

． 【点睛】

本题为圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆心角与圆周角的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、切线的判定、射影定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等重要知识点．第（1）、（2）问解答的关键是导角，难度不大，第（3）问解答的要点在于根据射影定理以及条件当中告诉的两个等量关系求出BG 、CG 、BC 、BD 、CD 的值，最后利用“共边子母型相似”（即△DEB ∽△DBC ）列比例方程求解ED ．

6．如图，∠ACL ＝90°，AC ＝4，动点B 在射线CL ，CH ⊥AB 于点H ，以H 为圆心，HB 为半径作圆交射线BA 于点D ，交直线CD 于点F ，交直线BC 于点E ．设BC ＝m ．

（1）当∠A ＝30°时，求∠CDB 的度数； （2）当m ＝2时，求BE 的长度； （3）在点B 的整个运动过程中，

①当BC ＝3CE 时，求出所有符合条件的m 的值． ②连接EH ，FH ，当tan ∠FHE ＝5

12

时，直接写出△FHD 与△EFH 面积比． 【答案】（1）60°；（2）45；（3）①m ＝2或226 【解析】 【分析】

（1）根据题意由HB ＝HD ，CH ⊥BD 可知：CH 是BD 的中垂线，再由∠A ＝30°得：∠CDB ＝

∠ABC＝60°；

（2）由题意可知当m＝2时，由勾股定理可得：AB＝25，cos∠ABC＝5

，过点H作

HK⊥BC于点K，利用垂径定理可得结论；

（3））①要分两种情况：I．当点E在C右侧时，II．当点E在C左侧时；根据相似三角形性质和勾股定理即可求得结论；

②根据题意先证明EF∥BD，根据平行线间距离相等可得：△FHD与△EFH高相等，面积比

等于底之比，再由tan∠FHE＝

5

12

可求得

DH

EF

的值即可．

【详解】

解：（1）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，

∵HB＝HD，CH⊥BD，

∴CH是BD的中垂线，

∴CB＝CD，

∴∠CDB＝∠ABC＝60°；

（2）如图1，过点H作HK⊥BC于点K，

当m＝2时，BC＝2，

∴AB22

AC BC

5，

∴cos∠ABC＝BC

AB 5

，

∴BH＝BC?cos∠ABC25，

∴BK＝BH?cos∠ABC＝2

5

，

∴BE＝2BK＝4

5

；

（3）①分两种情况：

I．当点E在C右侧时，如图2，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，

∵BC＝3CE＝m，

∴CE＝1

3m，BE＝

2

3

m，

∵DE∥AC，

∴△DEB～△ACB，

∴DE

AC ＝

BE

BC

＝

2

3

，

∴DE＝2

3AC＝

8

3

，

∵CD＝CB＝m，

∴Rt△CDE中，由勾股定理得：

22

81

m

33

????

?

??

+?

??

＝m2，

∵m＞0，

∴m＝22；

II．当点E在C左侧时，如图3，连结DE，由BD是直径，得DE⊥BC，

∵BC＝3CE，

∴CE＝1

3m，BE＝

3

2

m，

∵DE∥AC，

∴△DEB～△ACB，

∴DE

AC ＝

BE

BC

＝

3

2

，

∴DE ＝

3

2

AC ＝6， ∵CD ＝CB ＝m ，

∴Rt △CDE 中，由勾股定理得：62+2

1m 3?? ???

＝m 2， ∵m ＞0， ∴m ＝42；

综上所述，①当BC ＝3CE 时，m ＝22或42． ②如图4，过F 作FG ⊥HE 于点G ，

∵CH ⊥AB ，HB ＝HD ， ∴CB ＝CD ， ∴∠CBD ＝∠CDB ，

∴DFE BEF =，即DF EF BE EF +=+， ∴DF BE =， ∴EF ∥BD ，

∴FHD EFH

S S

＝

DH

EF

， ∵在Rt △FHG 中，

FG HG ＝tan ∠FHE ＝5

12

， 设FG ＝5k ，HG ＝12k ，则FH 22FG HG +22(5)(12)k k +＝13k ， ∴DH ＝HE ＝FH ＝13k ，EG ＝HE ﹣HG ＝13k ﹣12k ＝k ， ∴EF 22FG EG +22(5)k k +26k ， ∴

FHD EFH

S

S

＝

26k 26

． 【点睛】

本题考查的是圆的几何综合题，主要考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形判定及性质，解直角三角形知识等；综合性较强，有一定难度，解题要求对所学知识点熟练掌握和运用数形结合思维分析．

7．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延

长交

O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且

2180APB PEB ∠+∠=?．

（1）如图1，求证：//PF AD ；

（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=?，求证：PE 平分AEB ∠； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，

4

sin 5

ABD ∠=

，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257

【解析】 【分析】

（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=?，由四边形内角和是

360?，得180∠+∠=?P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到

2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；

（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=?得290PEB ∠=?，从而45PEB ∠=?，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=?，得

PE PK =，从而90APE EPB ?∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得

APE BPK ??≌由此45K AEP ∠=∠=?，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；

（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由

45ADE ∠=?，90AED ∠=?，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ??≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=?，在

Rt ADM ?中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对

角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ?中，252OP OA =

=延长EO

交AD 于K ，在Rt OEP ?中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ?中，由勾股定理得

257

PH =

. 【详解】 （1）连接OA 、OB

∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径， ∴OA AP ⊥，OB BP ⊥， ∴90OAP OBP ∠=∠=?，

∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=?-?=?， ∵AB AB =， ∴2AOB ADB ∠=∠， ∴2180P ADB ∠+∠=?， ∵2180P PEB ∠+∠=?， ∴ADB PEB ∠=∠， ∴//PF AD

（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K

∵90APB ∠=?，

∴21809090PEB ∠=?-?=?， ∴45PEB ∠=?，

∵PA 、PB 为圆O 的切线， ∴PA PB =，

∵PK PE ⊥，45PEK ∠=?， ∴PE PK = ，

∵9090APE EPB KPB EPB ??∠=-∠=∠=-∠， ∴APE BPK ∠=∠， ∴APE BPK ??≌， ∴45K AEP ∠=∠=?， ∴AEP PEB ∠=∠， ∴PE 平分AEB ∠；

（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM

∵45ADE ∠=?，90AED ∠=?， ∴DE AE =， ∵OA 、OD 为半径， ∴OA OD =， ∵OE OE =， ∴DEO AEO ??≌， ∴1

452

AEO OED AED ∠=∠=∠=?， ∴90OEP ∠=?， ∵AM 为圆O 的直径， ∴90ADM ∠=?， ∵弧AD =弧AD ， ∴ABD AMD ∠=∠，

在Rt ADM ?中，8AD =，4

sin 5

AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，

由题易证四边形OAPB 为正方形， ∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =， ∵H 在AB 上， ∴OH PH =， 在Rt OAP ?中，252OP OA ==

延长EO 交AD 于K ，

∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠， ∴4DK KE ==，3OK =，1OE = ∴在Rt OEP ?中，227PE OP OE =-= 在Rt OEH ?中，222OH OE EH =+ ∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=- ∴()2

2217PH PH =+-

∴257

PH =

． 【点睛】

本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．

8．如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边CDE ?恰好与坐标系中的OAB ?重合，现将CDE ?绕边AB 的中点(G G 点也是DE 的中点），按顺时针方向旋转180?到△1C DE 的位置． （1）求1C 点的坐标；

（2）求经过三点O 、A 、1C 的抛物线的解析式； （3）如图③，

G 是以AB 为直径的圆，过B 点作G 的切线与x 轴相交于点F ，求切

线BF 的解析式；

（4）抛物线上是否存在一点M ，使得:16:3AMF OAB S S ??=．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）13)C ；（2）23333y x x =

-；（3）323

33

y x =+

；（4）1283834,,2,33M M ???- ? ? ????

． 【解析】 【分析】

（1）利用中心对称图形的性质和等边三角形的性质，可以求出． （2）运用待定系数法，代入二次函数解析式，即可求出．

（3）借助切线的性质定理，直角三角形的性质，求出F ，B 的坐标即可求出解析式． （4）当M 在x 轴上方或下方，分两种情况讨论． 【详解】

解：（1）将等边CDE ?绕边AB 的中点G 按顺时针方向旋转180?到△1C DE ， 则有，四边形'OAC B 是菱形，所以1C 的横坐标为3， 根据等边CDE ?的边长是2， 利用等边三角形的性质可得13)C ； （2）

抛物线过原点(0,0)O ，设抛物线解析式为2y ax bx =+，

把(2,0)A

，C '

代入，得420

93a b a b +=???+=??

解得3

a =

，b =

∴

抛物线解析式为2y x x =

-；

（3）90ABF ∠=?，60BAF ∠=?，

30AFB ∴∠=?， 又2AB =， 4AF ∴=， 2OF ∴=，

(2,0)F ∴-，

设直线BF 的解析式为y kx b =+，

把B ，(2,0)F -

代入，得20

k b k b ?+=??

-+=??，

解得k =

b = ∴直线BF

的解析式为33

y x =

+

；

（4）①当M 在x

轴上方时，存在2()M x ，

211

:[4)]:[216:322

AMF OAB S S ??=???=，

得2280x x --=，解得14x =，22x =-， 当14x =

时，244y ， 当12x =-

时，2(2)(2)y =--=

1M ∴

，2(M -； ②当M 在x

轴下方时，不存在，设点2()M x x ，

211

:[4)]:[216:322

AMF OAB S S ??=-???=，

得2280x x -+=，240b ac -<无解，

综上所述，存在点的坐标为

1

83 (4,)

M，

2

83 (2,)

M-．

【点睛】

此题主要考查了旋转，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，以及待定系数法求解二次函数解析式和切线的性质定理等，能熟练应用相关性质，是解题的关键．

9．已知点A为⊙O外一点，连接AO，交⊙O于点P，AO=6．点B为⊙O上一点，连接BP，过点A作CA⊥AO，交BP延长线于点C，AC=AB．

（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若3 PB的长．

（3）若在⊙O上存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围是___________．

【答案】（1）AB与⊙O相切，理由见解析；（2）

3

3

PB=；（3）

65

6

5

r

≤<

【解析】

【分析】

（1）连接OB，有∠OPB=∠OBP，又AC=AB，则∠C=∠ABP，利用∠CAP=90°，即可得到结论成立；

（2）由AB=AC，利用勾股定理先求出半径，作OH⊥BP与H，利用相似三角形的判定和性质，即可求出PB的长度；

（3）根据题意得出OE=1

2

AC=

1

2

22

1

6r

2

-22

1

6

2

r r

-≤，即可求出取

值范围．

【详解】

解：（1）连接OB，如图：

∵OP=OB ，

∴∠OPB=∠OBP=∠APC ， ∵AC=AB ， ∴∠C=∠ABP ， ∵AC ⊥AO ， ∴∠CAP=90°， ∴∠C+∠APC=90°， ∴∠ABP+∠OBP=90°， 即OB ⊥AB ， ∴AB 为切线； （2）∵AB=AC ∴22AB AC =，

∴2222CP AP OA OB -=-， 设半径为r ，则

2222(43)(6)6r r --=-

解得：r=2； 作OH ⊥BP 与H ，

则△ACP ∽△HOP ， ∴

PH OP

AP CP

=，即443PH = ∴33

PH =

,