一次函数与反比例函数综合题

14-11一次函数与反比例函数的综合

一、一次函数与反比例函数的图像和性质

基本概念、图像与性质、一次函数与反比例函数在同一个坐标系中的情况

一般地，如果y ＝kx ＋b(k 、b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．

特别地，当b ＝0时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数．

由定义知：y 是x 的一次函数⇔它的解析式是y ＝kx ＋b ，其中k 、b 是常数，且k ≠0. 一次函数解析式y ＝kx ＋b(k ≠0)的结构特征：

(1)k ≠0；(2)x 的次数是1；(3)常数项b 可为任意实数．

正比例函数解析式y ＝kx(k ≠0)的结构特征：

(1)k ≠0；(2)x 的次数是1；(3)没有常数项或者说常数项为0.

1．反比例函数：一般地，形如 x k y

(k 为常数，k ≠0）的函数叫做反比例函数.其中x 是自变量，y 是x 的函数，k 是比例系数.

反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k 为常数，k ≠0；K 的几何意义。

(2)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数,且要使实际问题有意义。

考查要点：函数图像的情况与字母系数存在着密切的联系。

例1．下面图象中，关于x 的一次函数y ＝－mx －(m －3)的图象不可能是( )

例2．图中表示一次函数

y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 是常数， 0mn ≠）图象的是（ ）

例3．一次函数y ＝3x ＋b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b .

课堂练习 1、如图6，两直线1y kx b =+和2y bx k =+在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）

2．设b>a ，将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，•则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（ ）

y x O

A y x O y x O C y x O D

3已知y=kx+b 的图像如图所示，则y=2kx+b 的图像可能是

关于一次函数与反比例函数在同一坐标系中的情况，题目的及全体思路：排除法、一致性。 例1.在同一直角坐标系中，函数k kx y +-=与)0k (

x

k y ≠=的图象大致是（ ） 课堂作业

1（凉州）．若0ab <，则正比例函数y ax =与反比例函数b y x =

在同一坐标系中的大致图象可能是（

2（2006年深圳市）函数

y=k x （k ≠0）的图象如

图所示，那么函数y=kx-k•的图象大致

是（ ）

y x O y x O

y x O y x O B ．

二、函数应用题

需考虑实际的背景及自变量的取值范围

例1、如图：是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的速度注水，下面能大致表示水的最大深度h （水不注满游泳池）与时间t 之间的关系的图象是

( )

例2. 如图是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数图象（实线部分，收支差额=车票收入－支出费用）。由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出两条建议：（1）不改变车票价格，减少支出费用；(2)不改变支出费用，提高车票价格．下面给出四个图象（如图所示）则

A. ③反映了建议（2），①反映了建议（1）

B. ①反映了建议（1），④反映了建议（2）

C. ④反映了建议（1），②反映了建议（2）

D. ②反映了建议（2），③反映了建议（1）

例3例4 为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y 与x 成反比例(如图所示),现测得药物8min 燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:

(1)药物燃烧时,y 关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为_______.

(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg 时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过多少分钟后,学生才能回到教室;

(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg 且持续时间不低于10min 时,才能有效杀 灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?

（2005年四川省课改卷）

6

O 8x(min)y(mg)

课堂练习

1.(双柏县)已知甲、乙两地相距s（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（h）与行驶速度v（km/h）的函数关系图象大致是（）

2．（2010年浙江省东阳县）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）

3、（2010年宁波市）小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校

与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：

（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟，小聪返回学校的速度为_______千米/分钟。

（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系;

（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？

(A) (B) (C) (D)

t/h

O

t/h

O

t/h

O

t/h

v/(km/h)

O A．B．C．．

s（千米）

t（分钟）

A B D

C

30 45

15

O

2

4

小聪

小明

第1题