高考数学模拟复习试卷试题模拟卷128

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件．

3.了解复数的代数表示形式及其几何意义．

4.会进行复数代数形式的四则运算．

5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义． 【重点知识梳理】 1．复数的有关概念

内容 意义

备注

复数的概念 形如a ＋bi(a ∈R ，b ∈R)的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b

若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若a ＝0且b≠0，则a ＋bi 为纯虚数

复数相等 a ＋bi ＝c ＋di ?a ＝c 且b ＝d 共轭复数

a ＋bi 与c ＋di 共轭?a ＝c 且

b ＝－d(a ，b ，

c ，

d ∈R)

复平面

建立平面直角坐标系来表示复

数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数

复数的模

设OZ →

对应的复数为z ＝a ＋bi ，

则向量OZ →

的长度叫做复数z ＝a ＋bi 的模

|z|＝|a ＋bi|＝a2＋b2 2.复数的几何意义

复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即

(1)复数z ＝a ＋bi

复平面内的点Z(a ，b)(a ，b ∈R)．

(2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)平面向量OZ →

.

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则

①加法：z1＋z2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a ＋bi)·(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； ④除法：z1z2＝a ＋bi c ＋di ＝（a ＋bi ）（c －di ）（c ＋di ）（c －di ）

＝

ac ＋bd ＋（bc －ad ）i

c2＋d2

(c ＋di≠0)．

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C ，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

(3)复数加、减法的几何意义

①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→

为两邻边的平行四边形的对角线OZ →

所对应的复数．

②复数减法的几何意义：复数z1－z2是OZ1→－OZ2→＝Z2Z1→

所对应的复数． 【高频考点突破】 考点一 复数的概念

【例1】 (1)设i 是虚数单位．若复数a －10

3－i (a ∈R)是纯虚数，则a 的值为()

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

(2)若3＋bi 1－i

＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________．

规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．

【变式探究】 (1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －

为() A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i

(2)复数z ＝1

2＋i (其中i 为虚数单位)的虚部为________．

考点二 复数的运算

【例2】 (1)(·安徽卷)设i 是虚数单位，z －

表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z －＝() A ．－2 B ．－2i C ．2 D ．2i

(2)－23＋i 1＋23i ＋? ??

??21－i 2 014＝________． 规律方法 (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i

1－i ＝

i ；③1－i 1＋i

＝－i ；④a ＋bi i ＝b －ai ；⑤i4n ＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N)．

【变式探究】 (1)(·天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i

3＋4i ＝()

A ．1－i

B ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i

(2)? ????1＋i 1－i 6

＋2＋3i 3－2i ＝________． 考点三 复数的几何意义

【例3】 (1)(·重庆卷)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)复数z ＝（2－i ）2i (i 为虚数单位)，则|z|＝() A ．25 B.41 C ．5 D.5

规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平

面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征． 【变式探究】

(1)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是()

A ．A

B ．B

C ．C

D ．D

(2)i 为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i ，则z2＝________．

【真题感悟】

1.【高考新课标1，文3】已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（）

（A ）2i --（B ）2i -+（C ）2i -（D ）2i + 2.【高考山东，文2】若复数Z 满足

1z

i

-i =，其中i 为虚数单位，则Z=( ) （A ）1i -（B ）1i +（C ）1i --（D ）1i -+

3.【高考湖南，文1】已知2

(1)i z

-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = ( )

A 、1i +

B 、1i -

C 、 1i -+

D 、1i -- 4.【高考湖北，文1】i 为虚数单位，607i =（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．1

5.【高考广东，文2】已知i 是虚数单位，则复数()2

1i +=（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i

6.【高考福建，文1】若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ）

A ．3,2-

B ．3,2

C ．3,3-

D ．1,4-

7.【高考安徽，文1】设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ） （A ）3+3i （B ）1+3i （3）3+i （D ）1+i 8.【高考北京，文9】复数()1i i +的实部为． 9.【高考重庆，文11】复数(12i)i 的实部为________.

10.【高考四川，文11】设i 是虚数单位，则复数1i i

-＝_________.

12i i i i i -=+=11.【高考天津，文9】i 是虚数单位,计算

12i

2i

-+的结果为． 12.【高考上海，文3】若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z . （·浙江卷）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，得“a ＝b ＝1”是“(a ＋bi)2＝2i”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

（·全国卷）设z ＝10i

3＋i ，则z 的共轭复数为( )

A ．－1＋3i

B ．－1－3i

C ．1＋3i

D ．1－3i

（·北京卷）复数? ??

??1＋i 1－i 2

＝________．

（·福建卷）复数z ＝(3－2i)i 的共轭复数z 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3i D ．2＋3i

（·广东卷）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i

（·湖北卷）i 为虚数单位，? ??

??1－i 1＋i 2＝( )

A ．－1

B ．1

C ．－i

D ．i

（·湖南卷）满足z ＋i

z ＝i(i 为虚数单位)的复数z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12i D ．－12－12i

10．（·江西卷）z －是z 的共轭复数，若z ＋z －＝2，(z －z －

)i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i

11．（·辽宁卷）设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2i D ．3－2i 12．（·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）3（1－i ）2＝( )

A ．1＋i

B ．1－i

C ．－1＋i

D ．－1－i

13．（·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i ，则z1z2＝( )

A ．－5

B ．5

C ．－4＋i

D ．－4－i

14．（·山东卷）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i 15．（·四川卷）复数2－2i 1＋i

＝________．

16．（·天津卷）i 是虚数单位，复数7＋i

3＋4i ＝( )

A ．1－i

B ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i

17．（·新课标全国卷Ⅰ] 若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45

18．（·安徽卷）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z·zi ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i

19．（·北京卷）在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

20．（·福建卷）已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

21．（·广东卷）若复数iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2，4) B ．(2，－4) C ．(4，－2) D ．(4，2)

22．（·湖北卷）在复平面内，复数z ＝2i 1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

23．（·湖南卷）复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限

24．（·江苏卷）设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．

25．（·江西卷）已知集合M ＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M∩N ＝{4}，则复数z ＝( )

A ．－2i

B ．2i

C ．－4i

D ．4i

26．（·辽宁卷）复数z ＝1i －1的模为( )

A.12

B.2

2 C. 2 D ．2

27．（·全国卷）(1＋3i)3＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8i D ．8i

28．（·山东卷）复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i

29．（·陕西卷）设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B ．若z1＝z2，则z1＝z2 C ．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2 D ．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22

30．（·四川卷）如图1－1所示，在复平面内，点A 表示复数z ，则图1－1中表示z 的共轭复数的点是( )

图1－1

A ．A

B ．B

C ．C

D ．D

31．（·天津卷）已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(a ＋i)(1＋i)＝bi ，则a ＋bi ＝________. 32．（·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i

33．（·浙江卷] 已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )

A ．－3＋i

B ．－1＋3i

C ．－3＋3i

D ．－1＋i

34．（·重庆卷）已知复数z ＝5i

1＋2i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．

【押题专练】

1．若复数z 满足z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z|＝ () A ．1

B ．2

C. 2

D.3

2．已知复数z ＝－2i ，则1

z ＋1的虚部为

() A.25i B.25 C.255i

D.255 3．设z 是复数，则下列命题中的假命题是

()

A ．若z2≥0，则z 是实数

B ．若z2＜0，则z 是虚数

C ．若z 是虚数，则z2≥0

D ．若z 是纯虚数，则z2＜0

4．设z ＝1

1＋i ＋i ，则|z|＝()

A.12

B.22

C.3

2 D ．2

5．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－bi ，则(a ＋bi)2＝() A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3i D ．4＋3i

6．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在

() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限

D ．第四象限

7．下面是关于复数z ＝2

－1＋i 的四个命题：

p1：|z|＝2; p2：z2＝2i ；

p3：z 的共轭复数为1＋i; p4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为

() A ．p2，p3

B ．p1，p2

C ．p2，p4

D ．p3，p4

8．设f(n)＝? ????1＋i 1－i n ＋? ??

??1－i 1＋i n

(n ∈N*)，则集合{f(n)}中元素的个数为

()

A ．1

B ．2

C ．3

D ．无数个

9．复数3＋i

i2(i 为虚数单位)的实部等于______．

10．若复数(m2－5m ＋6)＋(m2－3m)i(m 为实数，i 为虚数单位)是纯虚数，则m ＝________． 11．已知复数z1＝－2＋i ，z2＝a ＋2i(i 为虚数单位，a ∈R)．若z1z2为实数，则a 的值为________． 12．复数(3＋i)m －(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是________． 13．已知复数z ＝i ＋i2＋i3＋…＋i2 014

1＋i ，则复数z 在复平面内对应的点为________．

14．定义运算|ab

cd|＝ad －bc.若复数x ＝1－i

1＋i ，y ＝|4ixi

2x ＋i|，则

y ＝

________．高考模拟复习试卷试题模拟卷

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【高频考点解读】

1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；

2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点

等)，理解正切函数在区间???

?－π2，π2内的单调性． 【热点题型】

题型一 三角函数的定义域、值域

【例1】 (1)函数y ＝1

tan x －1

的定义域为____________．

(2)函数y ＝2sin ???

?πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－3

解析 (1)要使函数有意义，必须有????

?tan x －1≠0，x ≠π2＋kπ，k ∈Z ，

即?

??x ≠π

4＋kπ，k ∈Z ，x ≠π

2＋kπ，k ∈Z.

故函数的定义域为{x|x≠π4＋kπ且x≠π

2＋kπ，k ∈Z}． (2)∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π

6， ∴sin ????π6x －π3∈????

??－32，1.

∴y ∈[]－3，2，∴ymax ＋ymin ＝2－ 3. 答案 (1){x|x≠π4＋kπ且x≠π

2＋kπ，k ∈Z} (2)A 【提分秘籍】

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：

①形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝asin2x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sinx±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．

【举一反三】

(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________． (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin xcos x 的值域为________．

解析 (1)法一 要使函数有意义，必须使sinx －cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．

在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π

4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为

????

??x ??2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z . 法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．

∴定义域为

????

??x ??2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z .

法三 sin x －cos x ＝2sin ???

?x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可

知2kπ≤x －π

4≤π＋2kπ，k ∈Z ，

解得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π

4，k ∈Z.

所以定义域为????

??x ??2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z . (2)设t ＝sin x －cos x ，则t2＝sin2x ＋cos2x － 2sin xcos x ，sin xcos x ＝1－t2

2，且－2≤t≤ 2. ∴y ＝－t22＋t ＋12＝－1

2(t －1)2＋1.

当t ＝1时，ymax ＝1；当t ＝－2时，ymin ＝－1

2－ 2.

∴函数的值域为???

?－12－2，1. 答案 (1)?

???

??

x ?

?2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k ∈Z

(2)???

?－12－2，1 题型二三角函数的奇偶性、周期性、对称性

【例2】 (1)已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π

4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )

A.π4

B.π3

C.π2

D.3π4

(2)函数y ＝2cos2?

??

?x －π4－1是( )

A ．最小正周期为π的奇函数

B ．最小正周期为π的偶函数

C ．最小正周期为π

2的奇函数 D ．最小正周期为π

2的偶函数

【提分秘籍】

(1)求f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π

2＋kπ(k ∈Z)，求x ；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝kπ(k ∈Z)即可．

(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos( ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为T ＝2π

|ω|；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx ＋b 的形式．

【举一反三】

(1)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点???

?4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π

2

(2)(·杭州模拟)若函数f(x)＝sin x ＋φ

3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2 D.5π3

题型三 三角函数的单调性

【例3】 (1)已知f(x)＝2sin ?

??

?x ＋π4，x ∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．

(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin ????ωx ＋π4在???

?π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.????12，54 B.????12，34

C.???

?0，12 D ．(0，2] 解析 (1)由－π2＋2kπ≤x ＋π4≤π

2＋2kπ，k ∈Z ， 得－3π4＋2kπ≤x≤π

4＋2kπ，k ∈Z.又x ∈[0，π]， 所以f(x)的单调递增区间为

????0，π4. (2)由π2＜x ＜π得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，

由题意知????π2ω＋π

4，πω＋π4????

?π2，3π2，

∴???π2ω＋π4≥π

2，πω＋π4≤3π

2，

∴12≤ω≤5

4，故选A.

答案 (1)?

??

?0，π4 (2)A

【提分秘籍】

(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝Asin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．

【举一反三】

(1)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间?

??

?0，π3上单调递增，在区间?

??

?π3，π2上单调递减，则ω等于( )

A.23

B.3

2 C ．2 D ．3

(2)函数f(x)＝sin ???

?－2x ＋π3的单调减区间为______．

(2)由已知函数为y ＝－sin ???

?2x －π3，欲求函数的单调减区间，

只需求y ＝sin ????2x －π3的单调增区间． 由2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π

2，k ∈Z ， 得kπ－π12≤x≤kπ＋5π

12，k ∈Z.

故所给函数的单调减区间为????kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z)． 答案 (1)B (2)????kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z)

【高考风向标】

【高考浙江，文11】函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，最小值是．

【答案】32

,

2

π- 【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222

x f x x x x x x x -=++=

++=-+ 23sin(2)242x π=

-+，所以22

T π

π==；min 32()22f x =-. 【高考陕西，文14】如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(6

π

x ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.

【答案】8

【解析】由图像得，当sin()16

x π

+Φ=-时min 2y =，求得5k =，

当sin()16

x π

+Φ=时，max 3158y =?+=，故答案为8.

【高考湖南，文15】已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为3ω =_____.

【答案】2

π

ω=

【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为

1221115424

2k k k k Z ππππωω+++-∈（（，），（（，），，, 距离最短的两个交点一定在同一个周期

内，()

2

22

2

1523

22442

πππωω∴=

-+--∴=（）（），. 【高考天津，文14】已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为．

【答案】

π

【高考福建，文21】已知函数()2103cos 10cos 222

x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移

6

π

个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．

（ⅰ）求函数()g x 的解析式；

（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】（I ）因为()2103cos 10cos 222

x x x f x =+ 535cos 5x x =++

10sin 56x π?

?=++ ??

?．

所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移

6

π

个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．

又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．

所以()10sin 8g x x =-．

【高考重庆，文18】已知函数f(x)=

1

2

32cos x . (Ⅰ)求f （x ）的最小周期和最小值，

(Ⅱ)将函数f （x ）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图像.当x ∈,2ππ??

?

???

时，求g(x)的值域. 【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为

，最小值为

2+3

，（Ⅱ）1323,]. 【解析】 (1) 21

1

3

()

sin 23cos sin 2(1cos 2)2

2f x x x

x x 1

3

33sin 2cos 2sin(2)

23

2

x x x

, 因此()f x 的最小正周期为，最小值为

2+3

2

. (2)由条件可知：3g()sin()

3

2

x x

.

当[,]2

x

时，有2

[,]3

63

x ， 从而sin()3x

的值域为1

[,1]2， 那么3

sin()

32

x

的值域为1323[,]22. 故g()x 在区间[,]2

上的值域是132

3,

].

(·安徽卷) 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．

【解析】 由三角形面积公式，得 12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin2A ＋cos2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin2A ＝±

1－89＝±1

3.

①当cos A ＝13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝32＋12－2×1×3×1

3＝8， 所以a ＝2 2.

②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝32＋12－2×1×3×???

?－13＝12，所以a ＝2 3.

(·福建卷) 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π

2个单位，得到函数y ＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( )

A ．y ＝f(x)是奇函数

B ．y ＝f(x)的周期为π

C ．y ＝f(x)的图像关于直线x ＝π

2对称

D ．y ＝f(x)的图像关于点???

?－π2，0对称 【答案】D

【解析】将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f(x)＝sin ???

?x ＋π2的图像，即f(x)＝cos

x ．由余弦函数的图像与性质知，f(x)是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝kπ(k ∈Z)对称，关

于点???

?π2＋kπ，0(k ∈Z)对称，故选D.

图1-2

(·江苏卷) 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π

3的交点，则φ的值是________．

【答案】π6

(·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ????2x ＋π6，④y ＝tan ???

?2x －π4

中，最小正周期为π的所有函数为( )

A ．①②③

B ．①③④

C ．②④

D ．①③ 【答案】A

【解析】函数y ＝cos|2x|＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x|的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ????2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝

tan ???

?2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．

(·江苏卷) 函数y ＝3sin ???

?2x ＋π4的最小正周期为________．

【答案】π 【解析】周期为T ＝2π

2＝π.

(·辽宁卷) 设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈0，π

2. (1)若|a|＝|b|，求x 的值；

(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．

(·山东卷) 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )

图1－3 【答案】D

【解析】∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x )＝－f(x)，∴y ＝xcos x ＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B ，当x ＝π

2，y ＝1>0，x ＝π，y ＝－π<0，故选D.

(·新课标全国卷Ⅰ] 设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． 【答案】－2 55

【解析】f(x)＝sin x －2cos x ＝ 5?

????

15sin x －25cos x ，令cos α＝15，sin α＝25

， 则f(x)＝5sin(x －α)．当θ－α＝2kπ＋π

2， 即θ＝2kπ＋π

2＋α(上述k 为整数)时，

f(x)取得最大值，此时 cos θ＝－sin α＝－2 5

5. 【高考押题】

1．函数f(x)＝tan ???

?2x －π3的单调递增区间是( )