中考数学专题之函数综合题型篇

中考数学专题之函数综合题型篇（附答案）

题型1：图像与基本性质 例1：当a≠0时，函数y=ax+1与函数y

a

x

=

在同一坐标系中的图象可能是【 】 A.B ．C ．D ．

【分析】∵当a ＞0时，y=ax+1过一．二．三象限，经过点（0，1），a

y x

=过一．三象限；当a ＜0时，y=ax+1过一．二．四象限，a

y x

=过二．四象限。 故选C 。 例2：如图，函数和函数的图像相交于点M （2，），N （－1，），若，则的取值范围是

A. 或

B. 或

C. 或

D. 或 【分析】根据反比例函数的自变量取值范围，1与2图象的交点横坐标，可确定1＞2时，的取

值范围：∵由图象知，函数和函数 的图象相交于点M （2，m ），N （－1，

n ），

∴当1＞2时，－1＜＜0或＞2。故选D 。

例3：函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )

【分析】根据二次函数的开口方向可判断a 的正负，从而决定了一次函数的象限；再根据二次函数的对称轴判断b 的正负，从而决定了一次函数与y 轴的交点位置。故选C 。

11-=x y x

y 2

2=

m n 21y y >x 1-x 01<<-x 20<x y y y y x 11-=x y x

y 2

2=y y x x

总结：此类题型要求掌握三种函数的图像与系数的关系

题型2：函数解析式

例1：如图，一次函数y=kx ﹣3的图象与反比例函数m

y=

x

的图象交A 、B 两点，其中A 点坐标为（2，1），则k ，m 的值为【 】

A ．k=1，m=2

B ．k=2，m=1

C ．k=2，m=2

D ．k=1，m=1 【分析】把A （2，1）代入反比例函数的解析式得：m=xy=2；

把A 的坐标代入一次函数的解析式得：1=2k ﹣3，解得：k=2。故选C 。

例2：已知二次函数23

y (t 1)x 2(t 2)x 2

=++++在x 0=和x 2=时的函数值相等。

（1） 求二次函数的解析式；

（2） 若一次函数y kx 6=+的图象与二次函数的图象都经过点A (3m)-，，求m 和k

的值；

【分析】（1）由二次函数在x 0=和x 2=时的函数值相等，可知二次函数图象的对称轴为0+2x =12=

，从而由对称轴公式b

x =12a

=-可求得3t 2=-，从而求得二次函数的解析式。

（2）由二次函数图象经过A (3m)-，点代入23

y x x 22

=-++1可求得m 6=-，从而

由一次函数y kx 6=+的图象经过A 点，代入可求得k 4=。

例3：已知反比例函数y ＝

k x

的图象与二次函数y ＝ax 2

＋x －1的图象相交于点（2，2） （1）求a 和k 的值；

（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？

总结：求函数解析式基本上都是运用待定系数法，建立方程（组）解决问题。另外要理解点在函数图像上，则坐标符合函数解析式。反过来，函数图像中求点的坐标一般都是联立函数式，建立方程（组）

题型3：函数与方程、不等式 例1：如图，双曲线

与直线交于点M 、N ，并 且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于的方 程

的解为 A ．－3，1 B ．－3，3 C ．－1，1 D ．－1，3

【分析】根据图象信息可得关于的方程的解是双曲线与直线交点的横坐标。因此，把M 的坐标(1，3)代入，得，即得双曲线表达式为。

把点N 的纵坐标－1代入，得，即关于的方程的解为－3，1。故

选A 。

例2：如图，抛物线与双曲线的交点A 的横坐标是1， 则关于的不等式

的解集是 A ．>1 B ．<－1 C ．0<<1 D ．－1<<0

m

y x

=

y kx b =+x m

kx b x

=+x m

kx b x

=+m y x =y kx b

=+m y x =3m =3

y x

=3

y x

=3x =-x m kx b x =+2

1y x =+k

y x

=

x 210k

x

++x x x x

【分析】由抛物线与双曲线的交点A 的横坐标是1, 代入可得交点A 的纵坐标是2。把(1，2) 代入可得。从而。则求不等式

的解集等同于问当为何值时函数图像在函数图像

下方。由二次函数图像性质知，函数图像开口向下，顶点在（0，－1），与图像的交点横坐标是－1。故当－1<<0时，函数图像在函数图像下方，从而

关于的不等式

的解集是－1<<0。．

例3：已知抛物线与轴没有交点． （1）求c 的取值范围；

（2）试确定直线经过的象限，并说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线与轴没有交点，

∴对应的一元二次方程没有实数根。

∴ 。 （2）顺次经过三、二、一象限。因为对于直线，所以根据一次函数的图象特征，知道直线顺次经过三、二、一象限。

总结：函数与方程不等式的关系主要考察学生从“数——形，形——数”的思想的转换

三、课堂达标检测

检测题1：已知二次函数的图象如图所示，那么一次函数和反比例

函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 C 】

2

1y x =+k y x

=

2

1y x =+k y x =

=2k 22

2101k x x x x

++

++x 2

=y x 2=1y x --2=1y x --2

=

y x

x 2

=y x

2=1y x --x 210k

x

++x c x x y ++=

2

2

1x 1+=cx y 2

1

=2

y x x c ++x 2

1=02

x x c ++2

1

1

=14=12022

c c ?-??-∴，

1= =0 =102

y kx b k c >>b >+，，=1y cx +2y ax bx c =++y bx c =+a

y x

=

A B C D 【答案】C

检测题2：已知关于x 的方程有唯一实数解，且反比例函数的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】 A. B. C. D. 【答案】D

检测题3：若反比例函数k

y x

=与一次函数y x 2=+的图像没有．．交点，则k 的值可以是【 】 A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

【答案】A

检测题4：已知：M ，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线上，点N 在直线y=x+3上，设点M 的坐标为（a ，b ），则二次函数y=﹣abx 2

+（a+b ）x 【 】

A ．有最大值，最大值为

B ．有最大值，最大值为

C ．有最小值，最小值为

D ．有最小值，最小值为 【答案】B

检测题5：二次函数2

y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程2

0ax bx m ++=有实数根，

则m 的最大值为【 】

A ．3-

B ．3

C ．6-

D ．9 【答案】B

22(x 1)(x b)2++-=1b

y x

+=

3y x =-1y x =2y x =2

y x

=-1

y=

2x

92-9

2929

2

-

检测题6：如图，在平面直角坐标系中，一次函数

的图象与反比例函数的图象相交于A 、B 两点．求：

（1）根据图象写出A 、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出：当为何值时，一次函数值大于反比例函数值．

【答案】解：（1）由图象可知：点A 、B 的坐标分别为（2，

），（﹣1，﹣1）。 ∵反比例函数的图象经过点A （2，），

∴把点A 的坐标代入，得。

∴反比例函数的解析式为：。

又∵一次函数的图象经过点A （2，）点B （﹣1，﹣1），

∴把点A 、点B 的坐标分别代入，得

，解得。 ∴一次函数的解析式为。

（2）由图象可知：当＞2或﹣1＜＜0时一次函数值大于反比例函数值。

检测题7：使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数，令=0，可得=1，我们就说1是函数的零点。己知函数 (为

常数)。

（1）当=0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为和，且

，此时函数图象与轴的交点分别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线上，当MA ＋MB 最小时，求直线AM 的

()0y kx b k =+≠()0m

y m x

=

≠x 12

()0m y m x =≠1

2

()0m

y m x

=≠1m =1

y x =()0y kx b k =+≠1

2

()0m

y m x

=≠1221k b k b ?+=

??

?-+=-?1

212k b ?=????=-??

11

22

y x =-x x 1y x =-y

x 1y x =-2

22(3)y x mx m =--+m m m 1x 2x 12111

4

x x +=-x 10y x =-

函数解析式。

【答案】解：（1）当=0时，该函数为，令=0，可得，

∴当=0

和。

（

2）令=0，得△=，

∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根。

即无论取何值，该函数总有两个零点。 （3）依题意有，

由得，即，解得。 ∴函数的解析式为。

令=0，解得。

∵点A 在点B 左侧，∴A()，B(4，0)。 作点B 关于直线的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线的交点就是满足条件的M 点。

易求得直线与轴、轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）。 连结CB’，则∠BCD=45°，∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°。

∴∠BCB’=90°，即B’（）。

设直线AB’的解析式为，则

，解得 ∴直线AB’的解析式为，即AM 的解析式为。

m 2

6y x =-y x =m y 22

(2)4[2(3)]4(1)200m m m ---+=++>m 2

22(3)y x mx m =--+m 122x x m +=122(3)x x m =-+121114x x +=-121214x x x x +=-()231

24

m m -+=-1m =2

28y x x =--y 1224x x =-=， 2 0-，

10y x =-10y x =-10y x =-x y 10 6，-y kx b =+20

106

k b k b -+=??

+=-?112k b =-=-，112y x =--112

y x =--