高中数学三角函数专题专项练习(非常好)之欧阳学文创作

【三角函数疑难点拔】

欧阳学文

一、忽略隐含条件

例3． 若01cos sin >-+x x ，求x 的取值范围。 正

解

：

1

)4

sin(2>+

π

x ，由

2

2)4

sin(>

+

π

x 得

)(4

32442Z k k x k ∈+

<+

<+

π

ππππ∴)(222Z k k x k ∈+<<πππ

二、

忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性

例4． 设α、β为锐角，且α+β?=120，

讨论函数βα22cos cos +=y 的最值。 错解

)cos(2

1

1)cos()cos(1)2cos 2(cos 211βαβαβαβα--=-++=++=y ，

可见，当1)cos(-=-βα时，2

3max =y ；当1)cos(=-βα时，2

1min =y 。分析：由已知得

?

<

?

<-

1)cos(2

1≤-<βα，∴当1)cos(=-βα，即?==60βα时，21

min =y ，最

大值不存在。

三、

忽视应用均值不等式的条件

例5． 求函数)20,0(sin cos 22

22π<<>>+=x b a x

b x a y 的最小值。

错解

)12sin 0(42sin 4cos sin 2sin cos )2()

1(2222≤<≥=≥+=x ab x ab x x ab x

b x a y ，∴

当12sin =x 时，ab y 4min =

分析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能同时取等号。正解：

2

2

2

2222222222)

(2)cot tan ()cot 1()tan 1(b a ab b a x b x a b a x b x a y +=++≥+++=+++=，当且仅当x b x a cot tan =，

即a

b

x =

tan ，时，2min )(b a y +=

【经典题例】

例4：已知b 、c 是实数，函数f(x)=c bx x ++2对任意α、β∈R 有：,0)(sin ≥αf 且,0)cos 2(≤+βf （1）求f （1）的值；（2）证明：c 3≥；（3）设)(sin αf 的最大值为10，求f （x ）。 [思路]（1）令α=2

π，得,0)1(≥f 令β=π，得,0)1(≤f 因此,0)1(=f ；

（2）证明：由已知，当11≤≤-x 时，,0)(≥x f 当31≤≤x 时，,0)(≤x f 通过数形结合的方法可得：,0)3(≤f 化简得c 3≥；（3）由上述可知，[1，1]是)(x f 的减区间，那么,10)1(=-f 又,0)1(=f 联立方程组可得4,5=-=c b ,所以45)(2+-=x x x f

例5：关于正弦曲线回答下述问题： （1）函数

)

43sin(log 2

1x

y ππ-=的单调递增区间是？

Z k k x k ∈+<≤-

]3

4

8328[； （2）若函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8

π=x 对称，则a 的值是1 ；

（3）把函数)4

3sin(π+=x y 的图象向右平移8

π个单位，再将图象

上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得的函数解析式子是)8

sin(π-=x y ；

例6：函数x

x x

x f cos sin 12sin )(++=

，（1）求

f(x)的定义域；（2）求f(x)

的最大值及对应的x 值。

[思路]（1）{x|x 2

22ππππ-≠-≠k x k 且}Z k ∈(2)设t=sinx+cosx,则

y=t14

2,12max

ππ+

=-=k x y

Z k ∈

例7：在ΔABC 中，已知B A C C A sin 2

3

2cos sin 2cos sin 2

2=+（1）求证：a 、b 、c 成等差数列；（2）求角B 的取值范围。

[思路]（1）条件等式降次化简得 b c a B C A 2sin 2sin sin =+?=+（

2）

,2

182682)(32)

2(

cos 222

22=-≥-+=+-+=

ac ac ac ac ac c a ac c a c a B ∴……，

得

B 的取值范围]3

,0(π

14．设ααsin cos +=x ，且0cos sin 33>+αα，则x 的取值范围是]2,0( ； 19．已知

)

2

,0(π

∈x ，证明不存在实数

)

1,0(∈m 能使等式

cos x +msin x =m(*)成立；

（2）试扩大x 的取值范围，使对于实数)1,0(∈m ，等式(*)能成立；

（3）在扩大后的x 取值范围内，若取3

3

=m ,求出使等式(*)

成立的x 值。

提示：可化为1)4

2

tan(>+=πx m （2）)2

,2(ππ-∈x （3）6

π

-=x

最值问题典型错例 例5. 求函数y x

x

=-s i n c o s 1342的最大值和最小值。

错解：原函数化为490

2

y x x y s i n s i n -+=，关于s in x 的二次方程的判别式

?=--??≥()144902

y y ，

即

-≤≤1121

12

y ，所以

y y max min =

=-1121

12，。剖析：若取y =±112

，将导致sin x =±32

的错

误结论，此题错在忽视了隐含条件|s i n |x ≤1。正解：原函数化为4902

y x x y s i n s i n -+=，当y =0时，解得s i n x =0，满足s in x ≤1 当

y ≠0时，解得s i n x y y

=

±-1114482

，又s i n |s i n |x R x ∈≤，1

，则有11440

1111448122

-≥-≤

+-≤????

?y y y 或

11440

1111448122

-≥-≤

--≤????

?y y y ，解得

-

≤≤1131

13

y ，所以

y y max min =

=-1131

13

，

难点化简与求值

【例】已知2

π＜β＜α＜4

3π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－5

3,求

sin2α的值_________.

［例1］不查表求sin220°+cos280°+3cos20°cos80°

的值.

解法一：sin220°+cos280°+3sin220°cos80°=

2

1 (1－

cos40°)+2

1 (1+cos160°)+3sin20°cos80°

=1－21

cos40°+2

1cos160°+3

sin20°cos(60°+20°)=1

－

2

1cos40°+

21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3

sin20°(cos60°cos20°

－sin60°sin20°)=1

－21cos40°－

4

1cos40°

－

4

3sin40°+

4

3sin40°－2

3sin220°

=1－4

3cos40°－4

3(1－cos40°)=4

1

解法二：设x=sin220°+cos280°+3sin20°cos80°，y=cos220°+sin280°－3co s20°sin80°，则

x+y=1+1

－

3

sin60°=

2

1，x －y=－cos40°+cos160°+

3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0

∴x=y=

4

1，

即

x=sin220°+cos280°+

3sin20°cos80°=

4

1. ［例2］关于x 的函数y=2cos2x －2acosx －(2a+1)的最小值为

f(a)，试确定满足f(a)=2

1的a 值，并对此时的a 值求y 的最大

值.

解：由y=2(cosx －2

a

)2－2

2

42+-a a 及cosx∈［－1，1］得：

f(a)??

?

????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122

)

2( 12a a a a a

a ，∵f(a)=21,∴1－4a=21?a=81?［2,+∞)，故－2

2

a －2a －1=2

1，解得：a=－1，此时，

y=2(cosx+21)2+2

1，当

cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5.

难点训练

1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+1=0(a ＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan 2

βα+的值是( )

A.21

B.－2

C.34

D.21或－2

3.设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4

π)=53，sin(43π

+β)=13

5，

则sin(α+β)=_________.

4.不查表求值:.10cos 1)

370tan 31(100sin 130sin 2?

+?+?+?

5.已知

cos(4

π

+x)=53，(12

17π

＜x ＜47π

)，求

x

x

x tan 1sin 22sin 2-+的值.

7.扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.

8.已知cosα+sinβ=3，sinα+cosβ的取值范围是D ，x∈D，求函数y=10

432log 2

1

++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值.

参考答案

难点磁场

解法一：∵2

π＜β＜α＜4

3π,∴0＜α－β＜4

π.π＜α+β＜

4

3π,∴sin(α

－

β)=

.5

4

)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=

--βαβαβα∴sin2α=sin

［(α－β)+(α+β)］=sin(α－

β)cos(α+β)+cos(α

－

β)sin(α+β)

.65

56)53(1312)54(135-=-?+-?=

。解法二：∵sin(α－

β)=13

5,cos(α+β)=－54,

∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－65

72

sin2α－

sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－65

40

∴sin2α=65

56)65

4065

72(2

1-=--

难点训练 一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a ＜0。tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2

βα+∈(－2

π,0),又

tan(α+β)=342

tan 12tan

2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2

=β+α-β+α=

β+α=+--=βα-β+α又a a ,整理得

2tan222tan 32-β

+α+β+α=0.解得tan 2

β+α=－2.答案：B 3.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0,2π),又cos(α－4

π)=53.

65

56

)sin(.

6556

13554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]

43()4cos[(]

2

)43()4sin[()sin(.

13

12

)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=

β+α=?+-?-=β+π?π-α+β+π?π-α-=β+π

+π-α-=π

-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案：65

56

三、4.答案：2

752853)54(25

7)

4cos()

4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 5

4)4sin(,2435,471217.25

7)4(2cos 2sin ,53)4cos(

:.522=-?=++=-+=

-

+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x ππ

ππππππππ

又解 7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，

并设P 的坐标为(cosθ,sinθ)，则

｜PS ｜=sinθ.直线OB 的方程为y=3x ，直线PQ 的方程为y=sinθ.联立解之得Q(

3

3sinθ；sinθ)，所以｜PQ ｜=cosθ－

3

3sinθ。于是SPQRS=sinθ(cosθ－

33sinθ)=

3

3(

3

sinθcosθ－

sin2θ)=3

3(

23

sin2θ－2

2cos 1θ-)=3

3(23sin2θ+21cos2θ－21

)=33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6

π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6

π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面

积是63，此时，θ=6

π，点P 为的中点，P(21,23).

8.

解：设u=sinα+cosβ.则u2+(3)2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u2≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,设t=32+x ,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤

5

.x=

2

32-t .

.2

1

,232,2,258log 2log 82log ,

0log .82

,2,42.

8

2

24142142104325.05.05

.0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=

∴x x t y M M y M t t t t

t t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当

[提高训练C 组] 一、选择题

5已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是（ ）

A 若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ>

B 若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ>

C 若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ>

D 若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>

二、填空题

1已知角α的终边与函数)0(,0125≤=+x y x 决定的函数图象重

合，α

ααsin 1

tan 1cos -

+

的值为_________

2若α是第三象限的角，β是第二象限的角，则2

βα-是第象限

的角

4如果,0sin tan <αα且,1cos sin 0<+<αα那么α的终边在第象限

5若集合

|,3A x k x k k Z ππππ??

=+≤≤+∈??

??

，

{}

|22B x x =-≤≤，则

B A =_______________________

三、解答题

1角α的终边上的点P 与),(b a A 关于x 轴对称)0,0(≠≠b a ，角β的终边上的点Q 与A 关于直线x y =对称，求β

αβαβαsin cos 1

tan tan cos sin ++值

3求6

6441sin

cos 1sin cos αααα

----的值

参考答案

一、选择题

5D 画出单位圆中的三角函数线 二、填空题

1

7713

-

在角

α

的终边上取点

1255(12,5),13,cos ,tan ,sin 131213

P r ααα-==-

=-= 2一、或三

111222322,(),222,(),22

k k k Z k k k Z ππ

ππαππαππ+<<+

∈+<<+∈1212()()422k k k k παβπππ--+<

<-+ 4二

2sin tan sin 0,cos 0,sin 0cos α

ααααα

=<<>

三、解答题 1

解

：

22

22

(,),sin ,cos ,tan b

P a b a

a b a b ααα-=

=

=-

++22

22

(,),sin ,cos ,tan a Q b a b

a b a b βββ==

=

++ 3解：

6

622422444221sin cos 1(sin cos )(sin sin cos cos )1sin cos 1(12sin cos )αααααααααααα---+-+=----22221(13sin cos )31(12sin cos )2

αααα--==

--

【练习】

一、选择 1、函数 的值域是（ ） A. [－1，1] B.[2,2] C. [0,2] D.[0,1] 5、

二、填空

3、已知f （x ）＝asinx －bcosx 且x ＝ 为f （x ）的一条对称轴，则a ：b 的值为.

4、若函数

答案与解析一、选择题：1、选B.，当x≥0时，－2≤2sinx≤2即－2≤y≤2；当x<0时，y＝0包含于[－2，2].于是可知所求函数值域为[－2，2]，故应选B.5、选C.解析：

由f(x)在区间[－，]上递增及f（x）为奇函数，知f(x)

在区间[－，]上递增，该区间长度应小于或等于f（x）的半个周期.

，应选二、填空题3、答案：a：b＝－1。解析：由题设得

，又x＝为f（x）的一条对称轴，

∴当x＝时f(x)取得最值，∴即

，∴a:b=－1。4、答案：，解析：，∴由

①，注意到

，由①得：

②，再注意到当且仅当

于是由②及得