中考数学总复习单元测试四图形的初步认识与三角形试题

单元测试(四) 图形的初步认识与三角形

(时间：45分钟满分：100分)

一、选择题(每小题4分，共32分)

1．若∠α＝32°，则∠α的补角为( C )

A．58° B．68° C．148° D．168°

2．(2016·长沙)下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B )

3．(2016·毕节)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D )

A．三条高的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条中线的交点

D．三条边的垂直平分线的交点

4．如图，字母B所代表的正方形的面积是( B )

A．12 B．144 C．13 D．194

5．(2016·河北)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )

6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是( D )

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

7．将两个含30°和45°的直角三角板如图放置，则∠α的度数是( B )

A．10° B．15° C．20° D．25°

8．(2016·武汉)平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( A )

A．5 B．6 C．7 D．8

二、填空题(每小题4分，共24分)

9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为50°．

10．如图所示，小明同学利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，测量时如图所示放置三角板，已知他与树之间的水平距离BE为5 m，小明的眼睛距地面的距离AB为1.5 m，那么这棵树高是4.39m(可用计算器，精确到0.01)．

11．若a、b、c为三角形的三边，且a，b满足a2－9＋(b－2)2＝0，则第三边c的取值范围是1

为8 3．

13．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC ＝16，则线段EF的长为3．

14．(2016·临沂)一般地，当α、β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝s inα·cosβ＋cosα·sinβ；sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ.例如sin90°＝sin(60°＋

30°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＝

3

2

×

3

2

＋

1

2

×

1

2

＝1.类似地，可以求得sin15°的值是

6－2

4

．

三、解答题(共44分)

15．(10分)已知：如图，△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.证明：∵AD＝DB，

∴∠B＝∠BAD.

∵∠BDA＝∠1＋∠C＝∠2＋∠ADE，∠1＝∠2，

∴∠C＝∠ADE.

∴△ABC∽△EAD.

16．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC.

(1)作∠BAC的平分线，交BC于点D(尺规作图，保留痕迹)；

(2)在AD的延长线上任取一点E，连接BE、CE.求证：△BDE≌△CDE.

解：(1)如图．

(2)证明：∵AB＝AC ，AD 平分∠BAC，

∴BD ＝CD ，AD ⊥BC.

∴∠BDE ＝∠CDE＝90°.

在△BDE 和△CDE 中，

∴△BDE ≌△CDE.

17．(12分)如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF ≌△DFC ；②四边形AEFD 为平行四边形；③当AB ＝AC ，∠BAC ＝120°时，四边形AEFD 是正方形．其中正确的结论是哪几个？并说明理由．

解：正确的结论有：①②.

理由：①∵△BCF 和△ACD 为等边三角形，

∴∠FCB ＝60°，∠DCA ＝60°.

∴∠FCB －∠FCA＝∠DCA－∠FCA，

即∠ACB＝∠DCF.

在△ABC 和△DFC 中，

∴△ABC ≌△DFC(SAS)．

∴AB ＝DF.同理可证：AC ＝EF.

又∵AB＝AE ＝BE ，AD ＝DC ＝AC ，

∴BE ＝FD ＝AE ，EF ＝DC ＝AD.

可知在△EBF 和△DFC 中，

∴△EBF ≌△DFC(SSS)．

②由EF ＝AD ，AE ＝DF 可知四边形AEFD 为平行四边形．

18．(12分)如图所示，港口B 位于港口O 正西方向120 km 处，小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向．一艘游船从港口O 出发，沿OA 方向(北偏西30°)以v km/h 的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°的方向以60 km/h 的速度驶向小岛C ，在小岛C 用1 h 加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．

(1)快艇从港口B 到小岛C 需要多长时间？

(2)若快艇从小岛C 到与游船相遇恰好用时1 h ，求v 的值及相遇处与港口O 的距离．

解：(1)∵∠BOC＝30°，∠CBO ＝60°，

∴∠BCO ＝90°.

∴BC ＝OB·cos60°＝120×12＝60(km)． ∴快艇从港口B 到小岛C 需要的时间为6060

＝1(小时)． 答：快艇从港口B 到小岛C 需要1小时．

(2)作CD⊥OA，设相交处为点E ，连接CE.

∴OC ＝OB·cos30°＝60 3 km ，CD ＝12

OC ＝30 3 km ，OD ＝OC·cos30°＝90 km. ∴DE ＝90－3v(km)．

∵CE ＝60 km ，

∴CD 2＋DE 2＝CE 2，即(303)2＋(90－3v)2＝602

.

解得v ＝20或v ＝40.

当v ＝20 km/h 时，OE ＝3×20＝60(km)；

当v ＝40 km/h 时，OE ＝3×40＝120(km)．

答：v 的值为20 km/h 或40 km/h ，相遇处与港口O 的距离分别为60 km 或120 km.