一元线性回归分析预测法与多元回归分析报告
第一节 一元线性回归分析预测法
一、 概念（思路）
根据预测变量（因变量）Y 和影响因素（自变量）X 的历史统计数
据，建立一元线性回归方程x b a y ???+=，然后代入X 的预测值，
求出Y 的预测值的方法。
基本公式：y=a+bx
其中：a 、b 为回归系数，是未知参数。
基本思路： 1、
利用X ，Y 的历史统计数据，求出合理的回归系数：a 、b ，
确定出回归方程 2、
根据预计的自变量x 的取值，求出因变量y 的预测值。
二、 一元线性回归方程的建立
1、 使用散点图定性判断变量间是否存在线性关系
例：某地区民航运输总周转量和该地区社会总产值由密切相关关系。
2、使用最小二乘法确定回归系数
使实际值与理论值误差平方和最小的参数取值。
对应于自变量x i，预测值（理论值）为b+m*x i，实际值y i，
min∑(y i-b-mx i)2，求a、b的值。
使用微积分中求极值的方法，得：
由下列方程代表的直线的最小二乘拟合直线的参数公式：
其中 m 代表斜率 ，b 代表截距。
一元线性回归.xls
三、 回归方程的显著性检验
判断X 、Y 之间是否确有线性关系，判定回归方程是否有意义。 有两类检验方法：相关系数检验法和方差分析法
x m y b
x x n y x y x n m
b mx y i i
i i i i ??)
(?2
2
-=--=+=∑∑∑∑∑
1、 相关系数检验法
构造统计量r
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑--?-=
?=-?---=]
)(][)([)
()())((22222
2
i i i i i
i i i yy
xx xy i
i
i
i
y y n x x n y x y x n s s S y y x x y y x x r
相关系数的取值围为：[-1，1]，|r|的大小反映了两个变量间线性关系的密切程度，利用它可以判断两个变量间的关系是否可以用直线方程表示。
两个变量是否存在线性相关关系的定量判断规则：
对于给定的置信水平α，从相关系数临界值表中查出r临（n-2），把其与用样本计算出来的统计量r0比较：
若|r0|〉r临（n-2）成立，则认为X、Y之间存在线性关系，回归方程在α水平上显著。差异越大，线性关系越好。反之则认为不显著，回归方程无意义，变量间不存在线性关系。
其中：n为样本数。
2、方差分析法：
回归分析方法
第八章 回归分析方法 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。 变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是：一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系，变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据； （2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数； （3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。 应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MATLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MATLAB 统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MATLAB 软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。 8.1 一元线性回归分析 回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型。非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理；如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题，可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。 8.1.1 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现 其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。 假设对于x 的n 个值i x ，得到 y 的n 个相应的值i y ，确定01ββ，的方法是根据最小二乘准则，要使 取最小值。利用极值必要条件令 01 0,0Q Q ββ??==??，求01ββ，的估计值01??ββ，，从而得到回归直线01 ??y x ββ=+。只不过这个过程可以由软件通过直线拟合完成，而无须进行繁杂的运算。
(1)用Excel作一元线性回归分析
实验四（1）用Excel作一元线性回归分析 实验名称：回归分析 实验目的：学会应用软件实验一元线性回归，多元线性回归和非线性回归模型的求解及应用模型解决相应地理问题。 1 利用Excel进行一元线性回归分析 第一步，录入数据 以连续10年最大积雪深度和灌溉面积关系数据为例予以说明。录入结果见下图（图1）。 图1 第二步，作散点图 如图2所示，选中数据（包括自变量和因变量），点击“图表向导”图标；或者在 “插入”菜单中打开“图表（H）”。图表向导的图标为。选中数据后，数据变为蓝色（图2）（office2003）。插入-图表（office2007)
图2 点击“图表向导”以后，弹出如下对话框（图3）： 图3 在左边一栏中选中“XY散点图”，点击“完成”按钮，立即出现散点图的原始形式（图4）：
图4 第三步，回归 观察散点图，判断点列分布是否具有线性趋势。只有当数据具有线性分布特征时，才能采用线性回归分析方法。从图中可以看出，本例数据具有线性分布趋势，可以进行线性回归。回归的步骤如下： ⑴ 首先，打开“工具”下拉菜单，可见数 据分析选项（见图5） （office2003）。数据-数据分析（office2007) ： 图5 用鼠标双击“数据分析”选项，弹出“数据分析”对话框（图6）：
图6 ⑵然后，选择“回归”，确定，弹出如下选项表（图7）： 图7 进行如下选择：X、Y值的输入区域（B1:B11，C1:C11），标志，置信度（95%），新工作表组，残差，线性拟合图（图8-1）。 或者：X、Y值的输入区域（B2:B11，C2:C11），置信度（95%），新工作表组，残差，线性拟合图（图8-2）。 注意：选中数据“标志”和不选“标志”，X、Y值的输入区域是不一样的：前者包括数据标志： 最大积雪深度x(米)灌溉面积y(千亩) 后者不包括。这一点务请注意（图8）。
一元线性回归分析实验报告
一元线性回归在公司加班 制度中的应用 院(系): 专业班级: 学号姓名: 指导老师: 成 绩: 完成时间 :
一元线性回归在公司加班制度中的应用 一、实验目的 掌握一元线性回归分析的基本思想与操作,可以读懂分析结果,并写出回归方程,对回归方程进行方差分析、显著性检验等的各种统计检验 二、实验环境 SPSS21、0 windows10、0 三、实验题目 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度,决定认真调查一下现状。经10周时间,收集了每周加班数据与签发的新保单数目,x 为每周签发的新保单数目,y 为每周加班时间(小时),数据如表所示 y 3、5 1、0 4、0 2、0 1、0 3、0 4、5 1、5 3、0 5、0 1. 画散点图。 2. x 与y 之间大致呈线性关系？ 3. 用最小二乘法估计求出回归方程。 4. 求出回归标准误差σ∧ 。 5. 给出0 β∧ 与1 β∧ 的置信度95%的区间估计。 6. 计算x 与y 的决定系数。 7. 对回归方程作方差分析。 8. 作回归系数1 β∧ 的显著性检验。 9. 作回归系数的显著性检验。 10. 对回归方程做残差图并作相应的分析。 11. 该公司预测下一周签发新保单01000x =张,需要的加班时间就是多少？
12.给出0y的置信度为95%的精确预测区间。 13.给出 () E y的置信度为95%的区间估计。 四、实验过程及分析 1、画散点图 如图就是以每周加班时间为纵坐标,每周签发的新保单为横坐标绘制的散点图,从图中可以瞧出,数据均匀分布在对角线的两侧,说明x与y之间线性关系良好。 2、最小二乘估计求回归方程 系数a 模型非标准化系数标准系数t Sig、 B 的 95、0% 置信区间 B 标准误差试用版下限上限
一元线性回归分析的结果解释
一元线性回归分析的结果解释 1.基本描述性统计量 分析：上表是描述性统计量的结果，显示了变量y和x的均数(Mean)、标准差(Std. Deviation)和例数(N)。 2．相关系数 分析：上表是相关系数的结果。从表中可以看出，Pearson相关系数为0.749，单尾显著性检验的概率p值为0.003，小于0.05，所以体重和肺活量之间具有较强的相关性。 3．引入或剔除变量表
分析：上表显示回归分析的方法以及变量被剔除或引入的信息。表中显示回归方法是用强迫引入法引入变量x的。对于一元线性回归问题，由于只有一个自变量，所以此表意义不大。 4．模型摘要 分析：上表是模型摘要。表中显示两变量的相关系数(R)为0.749，判定系数(R Square)为0.562，调整判定系数(Adjusted R Square)为0.518，估计值的标准误差(Std. Error of the Estimate)为0.28775。 5．方差分析表 分析：上表是回归分析的方差分析表(ANOVA)。从表中可以看出，回归的均方(Regression Mean Square)为1.061，剩余的均方(Residual Mean Square)为0.083，F检验统计量的观察值为12.817,相应的概率p 值为0.005，小于0.05，可以认为变量x和y之间存在线性关系。
6．回归系数 分析：上表给出线性回归方程中的参数(Coefficients)和常数项(Constant)的估计值，其中常数项系数为0(注：若精确到小数点后6位，那么应该是0.000413)，回归系数为0.059，线性回归参数的标准误差(Std. Error)为0.016,标准化回归系数(Beta)为0.749，回归系数T检验的t统计量观察值为3.580，T检验的概率p值为0.005，小于0.05，所以可以认为回归系数有显著意义。由此可得线性回归方程为： y=0.000413+0.059x 7．回归诊断 分析：上表是对全部观察单位进行回归诊断(Casewise Diagnostics-all cases)的结果显示。从表中可以看出每一例的标准
简单线性相关(一元线性回归分析)..
第十三讲 简单线性相关（一元线性回归分析） 对于两个或更多变量之间的关系，相关分析考虑的只是变量之间是否相关、相关的程度，而回归分析关心的问题是：变量之间的因果关系如何。回归分析是处理一个或多个自变量与因变量间线性因果关系的统计方法。如婚姻状况与子女生育数量，相关分析可以求出两者的相关强度以及是否具有统计学意义，但不对谁决定谁作出预设，即可以相互解释，回归分析则必须预先假定谁是因谁是果，谁明确谁为因与谁为果的前提下展开进一步的分析。 一、一元线性回归模型及其对变量的要求 （一）一元线性回归模型 1、一元线性回归模型示例 两个变量之间的真实关系一般可以用以下方程来表示： Y=A + BX + ε 方程中的A 、B 是待定的常数，称为模型系数，ε是残差，是以X 预测Y 产生的误差。 两个变量之间拟合的直线是： y a bx ∧ =+ y ∧ 是 y 的拟合值或预测值，它是在X 条件下Y 条件均值的估计 a 、 b 是回归直线的系数，是总体真实直线A 、B 的估计值，a 即 constant 是截距，当自变量的值为0时，因变量的值。 b 称为回归系数，指在其他所有的因素不变时，每一单位自变量的变化引起的因变量的变化。 可以对回归方程进行标准化，得到标准回归方程： y x ∧ =β β 为标准回归系数，表示其他变量不变时，自变量变化一个标准差单位（Z X X S j j j = -），因变量Y 的标准差的平均变化。
由于标准化消除了原来自变量不同的测量单位，标准回归系数之间是可以比较的，绝对值的大小代表了对因变量作用的大小，反映自变量对Y的重要性。 （二）对变量的要求：回归分析的假定条件 回归分析对变量的要求是： 自变量可以是随机变量，也可以是非随机变量。自变量X值的测量可以认为是没有误差的，或者说误差可以忽略不计。 回归分析对于因变量有较多的要求，这些要求与其它的因素一起，构成了回归分析的基本条件：独立、线性、正态、等方差。 （三）数据要求 模型中要求一个因变量，一个或多个自变量（一元时为1个自变量）。 因变量：要求间距测度，即定距变量。 自变量：间距测度（或虚拟变量）。 二、在对话框中做一元线性回归模型 例1：试用一元线性回归模型，分析大专及以上人口占6岁及以上人口的比例（edudazh）与人均国内生产总值（agdp）之间的关系。 本例使用的数据为st2004.sav，操作步骤及其解释如下： （一）对两个变量进行描述性分析 在进行回归分析以前，一个比较好的习惯是看一下两个变量的均值、标准差、最大值、最小值和正态分布情况，观察数据的质量、缺少值和异常值等，缺少值和异常值经常对线性回归分析产生重要影响。最简单的，我们可以先做出散点图，观察变量之间的趋势及其特征。通过散点图，考察是否存在线性关系，如果不是，看是否通过变量处理使得能够进行回归分析。如果进行了变量转换，那么应当重新绘制散点图，以确保在变量转换以后，线性趋势依然存在。 打开st2004.sav数据→单击Graphs → S catter →打开Scatterplot 对话框→单击Simple →单击 Define →打开 Simple Scatterplot对话框→点选 agdp到 Y Axis框→点选 edudazh到 X Aaxis框内→单击 OK 按钮→在SPSS的Output窗口输出所需图形。 图12－1 大专及以上人口占6岁及以上人口比例与人均国内生产总值的散点图
回归分析方法及其应用中的例子
3.1.2 虚拟变量的应用 例3.1.2.1：为研究美国住房面积的需求，选用3120户家庭为建模样本，回归模型为： 123log log P Y βββ++logQ= 其中：Q ——3120个样本家庭的年住房面积（平方英尺） 横截面数据 P ——家庭所在地的住房单位价格 Y ——家庭收入 经计算：0.247log 0.96log P Y -+logy=4.17 2 0.371R = （）（） （） 上式中2β=0.247-的价格弹性系数，3β=0.96的收入弹性系数，均符合经济学的常识，即价格上升，住房需求下降，收入上升，住房需求也上升。 但白人家庭与黑人家庭对住房的需求量是不一样的，引进虚拟变量D ： 01i D ?=?? 黑人家庭 白人家庭或其他家庭 模型为：112233log log log log D P D P Y D Y βαβαβα+++++logQ= 例3.1.2.2：某省农业生产资料购买力和农民货币收入数据如下：（单位：十亿元） ①根据上述数据建立一元线性回归方程：
? 1.01610.09357y x =+ 20.8821R = 0.2531y S = 67.3266F = ②带虚拟变量的回归模型，因1979年中国农村政策发生重大变化，引入虚拟变量来反映农村政策的变化。 01i D ?=?? 19791979i i <≥年 年 建立回归方程为： ?0.98550.06920.4945y x D =++ （）（） （） 20.9498R = 0.1751y S = 75.6895F = 虽然上述两个模型都可通过显着性水平检验，但可明显看出带虚拟变量的回归模型其方差解释系数更高，回归的估计误差（y S ）更小，说明模型的拟合程度更高，代表性更好。 3.5.4 岭回归的举例说明 企业为用户提供的服务多种多样，那么在这些服务中哪些因素更为重要，各因素之间的重要性差异到底有多大，这些都是满意度研究需要首先解决的问题。国际上比较流行并被实践所验证，比较科学的方法就是利用回归分析确定客户对不同服务因素的需求程度，具体方法如下： 假设某电信运营商的服务界面包括了A1……Am 共M 个界面，那么各界面对总体服务满意度A 的影响可以通过以A 为因变量，以A1……Am 为自变量的回归分析，得出不同界面服务对总体A 的影响系数，从而确定各服务界面对A 的影响大小。 同样，A1服务界面可能会有A11……A1n 共N 个因素的影响，那么利用上述方法也可以计算出A11……A1n 对A1的不同影响系数，由此确定A1界面中的重要因素。 通过两个层次的分析，我们不仅得出各大服务界面对客户总体满意度影响的大小以及不同服务界面上各因素的影响程度，同时也可综合得出某一界面某一因素对总体满意度的影响大小，由此再结合用户满意度评价、与竞争对手的比较等因素来确定每个界面细分因素在以后工作改进中的轻重缓急、重要性差异等，从而起到事半功倍的作用。 例 3.5.4：对某地移动通信公司的服务满意度研究中，利用回归方法分析各服务界面对总体满意度的影响。 a. 直接进入法 显然，这种方法计算的结果中，C 界面不能通过显着性检验，直接利用分析结果是错误
用Excel做线性回归分析报告
用Excel进行一元线性回归分析 Excel功能强大，利用它的分析工具和函数，可以进行各种试验数据的多元线性回归分析。本文就从最简单的一元线性回归入手. 在数据分析中，对于成对成组数据的拟合是经常遇到的，涉及到的任务有线性描述，趋势预测和残差分析等等。很多专业读者遇见此类问题时往往寻求专业软件，比如在化工中经常用到的Origin和数学中常见的MATLAB等等。它们虽很专业，但其实使用Excel就完全够用了。我们已经知道在Excel自带的数据库中已有线性拟合工具，但是它还稍显单薄，今天我们来尝试使用较为专业的拟合工具来对此类数据进行处理。 文章使用的是2000版的软件,我在其中的一些步骤也添加了2007版的注解. 1 利用Excel2000进行一元线性回归分析 首先录入数据. 以连续10年最大积雪深度和灌溉面积关系数据为例予以说明。录入结果见下图（图1）。 图1 第二步，作散点图 如图2所示，选中数据（包括自变量和因变量），点击“图表向导”图标；或者在“插入”菜单中打开“图表（H）(excel2007)”。图表向导的图标为。选中数据后，数据变为蓝色（图2）。
图2 点击“图表向导”以后，弹出如下对话框（图3）： 图3 在左边一栏中选中“XY散点图”，点击“完成”按钮，立即出现散点图的原始形式（图4）：
灌溉面积y(千亩) 01020304050600 10 20 30 灌溉面积y(千亩) 图4 第三步，回归 观察散点图，判断点列分布是否具有线性趋势。只有当数据具有线性分布特征时，才能采用线性回归分析方法。从图中可以看出，本例数据具有线性分布趋势，可以进行线性回归。回归的步骤如下： ⑴ 首先，打开“工具”下拉菜单，可见数据分析选项（见图5）(2007为”数据”右端的”数据分析”)： 图5 用鼠标双击“数据分析”选项，弹出“数据分析”对话框（图6）：
一元线性回归,方差分析,显著性分析
一元线性回归分析及方差分析与显著性检验 某位移传感器的位移x 与输出电压y 的一组观测值如下：（单位略） 设x 无误差，求y 对x 的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。 （附：F 0。10(1，4)=4.54，F 0。05(1，4)=7.71，F 0。01(1，4)=21.2） 回归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。 一． 一元线性回归的数学模型 在一元线性回归中，有两个变量，其中 x 是可观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过散点图或计算相关系数判定y 与x 之间存在着显著的线性相关关系，即y 与x 之间存在如下关系： y =a +b ?x +ε (1) 通常认为ε~N (0,δ2)且假设δ2与x 无关。将观测数据(x i ,y i ) (i=1，……，n)代入(1)再注意样本为简单随机样本得： {y i =a +b ?x i +εi ε1?εn 独立同分布N (0,σ2) (2) 称(1)或(2)(又称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。 对其进行统计分析称为一元线性回归分析。 模型(2)中 EY= a +b ?x ，若记 y=E(Y),则 y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程，其图象就是回归直线，b 为回归系数，a 称为回归常数，有时也通称 a 、b 为回归系数。 设得到的回归方程 bx b y +=0? 残差方程为N t bx b y y y v t t t i ,,2,1,?0Λ=--=-= 根据最小二乘原理可求得回归系数b 0和b 。 对照第五章最小二乘法的矩阵形式，令 ?????? ? ??=??? ? ??=??? ???? ??=??????? ??=N N N v v v V b b b x x x X y y y Y M M M M 2102121?111 则误差方程的矩阵形式为 V b X Y =-? 对照X A L V ?-=，设测得值 t y 的精度相等，则有
案例分析报告(一元线性回归模型)
案例分析报告（2014——2015学年第一学期） 课程名称：预测与决策 专业班级：电子商务1202 学号： 2204120202 学生姓名：陈维维 2014 年 11月
案例分析（一元线性回归模型） 我国城镇居民家庭人均消费支出预测 一、研究目的与要求 居民消费在社会经济的持续发展中有着重要的作用，居民合理的消费模式和居民适度的消费规模有利于经济持续健康的增长，而且这也是人民生活水平的具体体现。从理论角度讲，消费需求的具体内容主要体现在消费结构上，要增加居民消费，就要从研究居民消费结构入手，只有了解居民消费结构变化的趋势和规律，掌握消费需求的热点和发展方向，才能为消费者提供良好的政策环境，引导消费者合理扩大消费，才能促进产业结构调整与消费结构优化升级相协调，才能推动国民经济平稳、健康发展。例如，2008年全国城镇居民家庭平均每人每年消费支出为11242.85元，最低的青海省仅为人均8192.56元，最高的上海市达人均19397.89元，上海是黑龙江的2.37倍。为了研究全国居民消费水平及其变动的原因，需要作具体的分析。影响各地区居民消费支出有明显差异的因素可能很多，例如，零售物价指数、利率、居民财产、购物环境等等都可能对居民消费有影响。为了分析什么是影响各地区居民消费支出有明显差异的最主要因素，并分析影响因素与消费水平的数量关系，可以建立相应的计量经济模型去研究。 二、模型设定 我研究的对象是各地区居民消费的差异。居民消费可分为城镇居民消费和农村居民消费，由于各地区的城镇与农村人口比例及经济结构有较大差异，最具有直接对比可比性的是城市居民消费。而且，由于各地区人口和经济总量不同，只能用“城镇居民每人每年的平均消费支出”来比较，而这正是可从统计年鉴中获得数据的变量。 所以模型的被解释变量Y选定为“城镇居民每人每年的平均消费支出”。 因为研究的目的是各地区城镇居民消费的差异，并不是城镇居民消费在不同时间的变动，所以应选择同一时期各地区城镇居民的消费支出来建立模
一元线性回归分析教程文件
一元线性回归分析论 文
一元线性回归分析的应用 ——以微生物生长与温度关系为例 摘要：一元线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的线性关系的预测方法。应用最小二乘法确定直线，进而运用直线进行预测。本文运用一元线性回归分析的方法，构建模型并求出模型参数，对分析结果的显著性进行了假设检验，从而了微生物生长与温度间的关系。 关键词：一元线性回归分析；最小二乘法；假设检验；微生物；温度 回归分析是研究变量之间相关关系的统计学方法，它描述的是变量间不完全确定的关系。回归分析通过建立模型来研究变量间的这种关系，既可以用于分析和解释变量间的关系，又可用于预测和控制，进而广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。本文尝试用一元线性回归分析方法为微生物生长与温度之间的关系建模，并对之后几年的情况进行分析和预测。 1 一元线性回归分析法原理 1.1 问题及其数学模型 一元线性回归分析主要应用于两个变量之间线性关系的研究，回归模型模型为εββ++=x Y 10，其中10,ββ为待定系数。实际问题中，通过观测得到n 组数据（X i ，Y i ）（i=1,2,…,n ）,它们满足模型i i i x y εββ++=10（i=1,2,…,n ）并且通常假定E(εi )=0，V ar (εi )=σ2各εi 相互独立且服从正态分布。回归分析就是根据样 本观察值寻求10,ββ的估计10?,?ββ，对于给定x 值, 取x Y 10?? ?ββ+=，作为x Y E 10)(ββ+=的估计，利用最小二乘法得到10,ββ的估计10?,?ββ，其中 ??? ? ??????? ??-???? ??-=-=∑ ∑ ==n i i n i i i x n x xy n y x x y 122111 0???βββ。
回归分析方法
回归分析方法Newly compiled on November 23, 2020
第八章回归分析方法 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本章讨论其中用途非常广泛的一类模型——统计回归模型。回归模型常用来解决预测、控制、生产工艺优化等问题。 变量之间的关系可以分为两类：一类叫确定性关系，也叫函数关系，其特征是：一个变量随着其它变量的确定而确定。另一类关系叫相关关系，变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来。例如，通常人的年龄越大血压越高，但人的年龄和血压之间没有确定的数量关系，人的年龄和血压之间的关系就是相关关系。回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数学方法。其解决问题的大致方法、步骤如下： （1）收集一组包含因变量和自变量的数据； （2）选定因变量和自变量之间的模型，即一个数学式子，利用数据按照最小二乘准则计算模型中的系数； （3）利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合得最好的模型； （4）判断得到的模型是否适合于这组数据； （5）利用模型对因变量作出预测或解释。 应用统计分析特别是多元统计分析方法一般都要处理大量数据，工作量非常大，所以在计算机普及以前，这些方法大都是停留在理论研究上。运用一般计算语言编程也要
占用大量时间，而对于经济管理及社会学等对高级编程语言了解不深的人来说要应用这些统计方法更是不可能。MATLAB 等软件的开发和普及大大减少了对计算机编程的要求，使数据分析方法的广泛应用成为可能。MATLAB 统计工具箱几乎包括了数理统计方面主要的概念、理论、方法和算法。运用MATLAB 统计工具箱，我们可以十分方便地在计算机上进行计算，从而进一步加深理解，同时，其强大的图形功能使得概念、过程和结果可以直观地展现在我们面前。本章内容通常先介绍有关回归分析的数学原理，主要说明建模过程中要做的工作及理由，如模型的假设检验、参数估计等，为了把主要精力集中在应用上，我们略去详细而繁杂的理论。在此基础上再介绍在建模过程中如何有效地使用MATLAB 软件。没有学过这部分数学知识的读者可以不深究其数学原理，只要知道回归分析的目的，按照相应方法通过软件显示的图形或计算所得结果表示什么意思，那么，仍然可以学到用回归模型解决实际问题的基本方法。包括：一元线性回归、多元线性回归、非线性回归、逐步回归等方法以及如何利用MATLAB 软件建立初步的数学模型，如何透过输出结果对模型进行分析和改进，回归模型的应用等。 8.1 一元线性回归分析 回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型。非线性回归模型是回归函数关于未知参数具有非线性结构的回归模型。某些非线性回归模型可以化为线性回归模型处理；如果知道函数形式只是要确定其中的参数则是拟合问题，可以使用MATLAB 软件的curvefit 命令或nlinfit 命令拟合得到参数的估计并进行统计分析。本节主要考察线性回归模型。 一元线性回归模型的建立及其MATLAB 实现 其中01ββ，是待定系数，对于不同的,x y 是相互独立的随机变量。
一元线性回归分析实验报告
一元线性回归在公司加班制度中的应用 院（系）： 专业班级： 学号姓名： 指导老师： 成绩： 完成时间：
一元线性回归在公司加班制度中的应用 一、实验目的 掌握一元线性回归分析的基本思想和操作，可以读懂分析结果，并写出回归方程，对回归方程进行方差分析、显著性检验等的各种统计检验 二、实验环境 SPSS21.0 windows10.0 三、实验题目 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度，决定认真调查一下现状。经10周时间，收集了每周加班数据和签发的新保单数目，x 为每周签发的新保单数目，y 为每周加班时间（小时），数据如表所示 y 3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0 2. x 与y 之间大致呈线性关系？ 3. 用最小二乘法估计求出回归方程。 4. 求出回归标准误差σ∧ 。 5. 给出0 β∧与1 β∧ 的置信度95%的区间估计。 6. 计算x 与y 的决定系数。 7. 对回归方程作方差分析。 8. 作回归系数1 β∧ 的显著性检验。 9. 作回归系数的显著性检验。 10.对回归方程做残差图并作相应的分析。
11.该公司预测下一周签发新保单01000 x=张，需要的加班时间是多少？ 12.给出0y的置信度为95%的精确预测区间。 13.给出 () E y的置信度为95%的区间估计。 四、实验过程及分析 1.画散点图 如图是以每周加班时间为纵坐标，每周签发的新保单为横坐标绘制的散点图，从图中可以看出，数据均匀分布在对角线的两侧，说明x和y之间线性关系良好。 2.最小二乘估计求回归方程
用SPSS 求得回归方程的系数01,ββ分别为0.118,0.004，故我们可以写出其回归方程如下： 0.1180.004y x =+ 3.求回归标准误差σ∧ 由方差分析表可以得到回归标准误差：SSE=1.843 故回归标准误差： 2= 2SSE n σ∧-，2σ∧=0.48。 4.给出回归系数的置信度为95%的置信区间估计。 由回归系数显著性检验表可以看出，当置信度为95%时：
一元线性回归分析法
一元线性回归分析法 一元线性回归分析法是根据过去若干时期的产量和成本资料，利用最小二乘法“偏差平方和最小”的原理确定回归直线方程，从而推算出a(截距)和b(斜率)，再通过y ＝a+bx 这个数学模型来预测计划产量下的产品总成本及单位成本的方法。 方程y ＝a+bx 中，参数a 与b 的计算如下： y b x a y bx n -==-∑∑ 222 n xy x y xy x y b n x (x)x x x --==--∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 上式中，x 与y 分别是i x 与i y 的算术平均值，即 x =n x ∑ y =n y ∑ 为了保证预测模型的可靠性，必须对所建立的模型进行统计检验，以检查自变量与因变量之间线性关系的强弱程度。检验是通过计算方程的相关系数r 进行的。计算公式为： 22xy-x y r= (x x x)(y y y) --∑∑∑∑∑∑ 当r 的绝对值越接近于1时，表明自变量与因变量之间的线性关系越强，所建立的预测模型越可靠；当r ＝l 时，说明自变量与因变量成正相关，二者之间存在正比例关系；当r ＝—1时，说明白变量与因变量成负相关，二者之间存在反比例关系。反之，如果r 的绝对值越接近于0，情况刚好相反。 [例]以表1中的数据为例来具体说明一元线性回归分析法的运用。 表1： 根据表1计算出有关数据，如表2所示： 表2：
将表2中的有关数据代入公式计算可得： 1256750x == （件） 2256 1350y ==（元） 1750 9500613507501705006b 2=-??-?=（元/件） 100675011350a =?-=（元/件） 所建立的预测模型为： y ＝100+X 相关系数为： 9.011638 10500])1350(3059006[])750(955006[1350 750-1705006r 22==-??-???= 计算表明，相关系数r 接近于l ，说明产量与成本有较显著的线性关系，所建立的回归预测方程较为可靠。如果计划期预计产量为200件，则预计产品总成本为： y ＝100+1×200＝300(元)
回归分析方法总结全面
一、什么是回归分析 回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。 回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。 二、回归分析的种类 1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。 2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析 若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。 若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。 三、回归分析的主要内容 1.建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。 2.依据回归方程进行回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。
一元线性回归分析实验报告
. . . 一元线性回归在公司加班制度中的应用 院（系）： 专业班级： 学号姓名： 指导老师： 成绩： 完成时间：
一元线性回归在公司加班制度中的应用 一、实验目的 掌握一元线性回归分析的基本思想和操作，可以读懂分析结果，并写出回归方程，对回归方程进行方差分析、显著性检验等的各种统计检验 二、实验环境 SPSS21.0 windows10.0 三、实验题目 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度，决定认真调查一下现状。经10周时间，收集了每周加班数据和签发的新保单数目，x为每周签发的新保单数目，y为每周加班时间（小时），数据如表所示 2.x与y之间大致呈线性关系？ 3.用最小二乘法估计求出回归方程。 4.求出回归标准误差σ∧。 5.给出0β∧与1β∧的置信度95%的区间估计。 6.计算x与y的决定系数。 7.对回归方程作方差分析。 8.作回归系数1β∧的显著性检验。 9.作回归系数的显著性检验。 10.对回归方程做残差图并作相应的分析。 x=，需要的加班时间是多少？ 11.该公司预测下一周签发新保单01000
12.给出0y的置信度为95%的精确预测区间。 E y的置信度为95%的区间估计。 13.给出()0 四、实验过程及分析 1.画散点图 如图是以每周加班时间为纵坐标，每周签发的新保单为横坐标绘制的散点图，从图中可以看出，数据均匀分布在对角线的两侧，说明x和y之间线性关系良好。 2.最小二乘估计求回归方程
用SPSS 求得回归方程的系数01,ββ分别为0.118,0.004，故我们可以写出其回归方程如下： 0.1180.004y x =+ 3.求回归标准误差σ∧ ANOVA a 模型 平方和 自由度 均方 F 显著性 1 回归 16.682 1 16.682 72.396 .000b 残差 1.843 8 .230 总计 18.525 9 a. 因变量：y b. 预测变量：(常量), x 由方差分析表可以得到回归标准误差：SSE=1.843 故回归标准误差： 2= 2SSE n σ∧-，2σ∧=0.48。 4.给出回归系数的置信度为95%的置信区间估计。
相关分析和一元线性回归分析SPSS报告
相关分析和一元线性回归分析SPSS报告
用下面的数据做相关分析和一元线性回归分析： 选用普通高等学校毕业生数和高等学校发表科技论文数量做相关分析和一元线性回归分析。 一、相关分析 1.作散点图
普通高等学校毕业生数和高等学校发表科技论文数量的相关图 从散点图可以看出：普通高等学校毕业生数和高等学校发表科技论文数量的相关性很大。 2.求普通高等学校毕业生数和高等学校发表科技论文数量的相关系 数
把要求的两个相关变量移至变量中，因为都是定距数据，选择相关系数中的Pearson，点击确定，可以得到下面的结果：
Correlations 普通高等学校毕业生数(万人) 高等学校发表科技论文数量(篇) 普通高等学校毕业生数(万人) Pearson Correlation 1 .998** Sig. (2-tailed) .000 N 14 14 高等学校发表科技论文数量(篇) Pearson Correlation .998** 1 Sig. (2-tailed) .000 N 14 14 **. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). 两相关变量的Pearson相关系数=0.0998，表示呈高度正相关；相关系数检验对应的概率P值=0.000，小于显著性水平0.05，应拒绝原假设（两变量之间不具有相关性），即毕业生人数好发表科技论文数之间的相关性显著。 3.求两变量之间的相关性
选择相关系数中的全部，点击确定： Correlations (万人) (篇) Kendall's tau_b (万人) Correlation Coefficient 1.000 1.000** Sig. (2-tailed) . . N 14 14 (篇) Correlation Coefficient 1.000** 1.000 Sig. (2-tailed) . . N 14 14 Spearman's rho (万人) Correlation Coefficient 1.000 1.000** Sig. (2-tailed) . . N 14 14 (篇) Correlation Coefficient 1.000** 1.000 Sig. (2-tailed) . . N 14 14 **. Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). 注解：两相关变量（毕业生数和发表论文数）的Kendall相关系数=1.000，呈正相关；无相关系数检验对应的概率P值，应接受原假设（两变量之间不具有相关性），即毕业生数与发表论文数之间相关性不显著。 两相关变量（毕业生数和发表论文数）的Spearman相关系数=1.000，呈正相关；无相关系数检验对应的概率P值，应接受原假设（两变量之间不具有相关性），即毕业生数与发表论文数之间相关性不显著。 4.普通高等学校毕业生数和高等学校发表科技论文数量的相关系数
第二节 一元线性回归分析
第二节一元线性回归分析 本节主要内容： 回归是分析变量之间关系类型的方法，按照变量之间的关系，回归分析分为：线性回归分析和非线性回归分析。本节研究的是线性回归，即如何通过统计模型反映两个变量之间的线性依存关系。 回归分析的主要内容： 1.从样本数据出发，确定变量之间的数学关系式； 2.估计回归模型参数； 3.对确定的关系式进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出 影响显著的变量。 一、一元线性回归模型： 一元线性模型是指两个变量x、y之间的直线因果关系。 理论回归模型： 理论回归模型中的参数是未知的，但是在观察中我们通常用样本观察值估计参数值，通常用分别表示的估计值，即称回归估计模型： 回归估计模型： 二、模型参数估计： 用最小二乘法估计： 【例3】实测某地四周岁至十一岁女孩的七个年龄组的平均身高（单位：厘米）如下表所示
某地女孩身高的实测数据 建立身高与年龄的线性回归方程。 根据上面公式求出b0=80.84,b1=4.68. 三．回归系数的含义 （2）回归方程中的两个回归系数，其中b0为回归直线的启动值，在相关图上变现为x=0时，纵轴上的一个点，称为y截距；b1是回归直线的斜率，它是自变量（x）每变动一个单位量时，因变量（y）的平均变化量。 （3）回归系数b1的取值有正负号。如果b1为正值，则表示两个变量为正相关关系，如果b1为负值，则表示两个变量为负相关关系。 [例题·判断题]回归系数b的符号与相关系数r的符号，可以相同也可以不同。（） 答案：错误 解析：回归系数b的符号与相关系数r的符号是相同的 [例题·判断题]在回归直线y c=a+bx,b<0,则x与y之间的相关系数（） a.r=0 b.r=1 c.0 多元线性回归分析 在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。要了解变量之间如何发生相互影响的，就需要利用相关分析和回归分析。回归分析的主要类型：一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。 1.1 回归分析基本概念 相关分析和回归分析都是研究变量间关系的统计学课题。在应用中，两种分析方法经常相互结合和渗透，但它们研究的侧重点和应用面不同。 在回归分析中，变量y称为因变量，处于被解释的特殊地位；而在相关分析中，变量y与变量x处于平等的地位，研究变量y与变量x的密切程度和研究变量x与变量y的密切程度是一样的。 在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量，也可以是非随机的确定变量；而在相关分析中，变量x和变量y都是随机变量。 相关分析是测定变量之间的关系密切程度，所使用的工具是相关系数；而回归分析则是侧重于考察变量之间的数量变化规律，并通过一定的数学表达式来描述变量之间的关系，进而确定一个或者几个变量的变化对另一个特定变量的影响程度。 具体地说，回归分析主要解决以下几方面的问题。 （1）通过分析大量的样本数据，确定变量之间的数学关系式。 （2）对所确定的数学关系式的可信程度进行各种统计检验，并区分出对某一特定变量影响较为显著的变量和影响不显著的变量。 （3）利用所确定的数学关系式，根据一个或几个变量的值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确度。 作为处理变量之间关系的一种统计方法和技术，回归分析的基本思想和方法以及“回归（Regression）”名称的由来都要归功于英国统计学F·Galton（1822～1911）。 在实际中，根据变量的个数、变量的类型以及变量之间的相关关系，回归分析通常分为一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析和逻辑回归分析等类型。 1.2 多元线性回归 1.2.1 多元线性回归的定义 一元线性回归分析是在排除其他影响因素或假定其他影响因素确定的条件下，分析某一个因素（自变量）是如何影响另一事物（因变量）的过程，所进行的分析是比较理想化的。其实，在现实社会生活中，任何一个事物（因变量）总是受到其他多种事物（多个自变量）的影响。 一元线性回归分析讨论的回归问题只涉及了一个自变量，但在实际问题中，影响因变量的因素往往有多个。例如，商品的需求除了受自身价格的影响外，还要受到消费者收入、其他商品的价格、消费者偏好等因素的影响；影响水果产量的外界因素有平均气温、平均日照统计学多元回归分析方法