数学学科发展前沿

数学学科发展前沿 吴琼 145395 一、 数学学科及数学教育的地位和作用 1．数学学科的地位和作用 数学在人类文明的进步和发展中一直发挥着重要的作用。过去，人们习惯把科学分为自然科学、社会科学两大类，数、理、化、天、地、生都归属于自然科学。但是，现在科学家更倾向于把自然科学界定为以研究物质的某一运动形态为特征的科学，如物理学、化学、生物学。数学是忽略了物质的具体运动形态和属性，纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界的，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位，与理、化、生等学科不属于同一层次，因此不是自然科学的一种。把科学分为自然科学、社会科学和数学科学三大类，这种观点更为学术界所认可。 恩格斯曾说过：“数学在化学中的应用是线性方程组，而在生物学中的应用是零”。但是，在当今高科技时代，自然科学和社会科学的各领域的研究进入到更深的层次和更广的范畴，在这些研究中数学的运用往往是实质性的，数学与自然科学和社会科学的关系从来没有像今天这样密切。许多一度被认为没有应用价值的抽象的数学概念与理论，出人意料地找到了它们的原型和应用。恩格斯所描述的状况早已成为历史。我们略举若干侧面，表明数学的渗透和应用。 2．数学教育的地位和作用 数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力之一。数学与人类文明、与人类文化有着密切的关系。数学在人类文明的进步和发展中，一直在文化层面上发挥着重要的作用。 数学不仅是一种重要的“工具”或“方法”，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”。数学训练在提高人的推理能力、抽象能力、分析能力和创造能力上，是其他训练难以替代的。 数学素质是人的文化素质的一个重要方面。古希腊的上流社会中，懂数学是有文化的象征；没有相当数学底蕴的人，在上层人士中是受歧视的。数学的思想、精神、方法，从数学角度看问题的着眼点、处理问题的条理性、思考问题的严密性，对人的综合素质的提高都有不可或缺的作用。较高的数学修养，无论在古代还是在现代，无论对科技工作者还是企业管理者，无论对各行业的工作人员还是政府公务员，都是十分有益的。 “胸中有数”中的“数”，不仅包含事物的数量方面，还应包含数学的思想、精神、方法等方面。所以，数学教育是提高整个中华民族国民素质的重要环节。 随着知识经济时代和信息时代的到来，数学更是“无处不在，无所不用”。各个领域中许多研究对象的数量化趋势愈发加强，数学结构的联系愈发重要，再加上计算机的普及和应用，给我们一个现实的启示：每一个想成为有较高文化素质的现代人，都应当具备较高的数学素质，因此，数学教育对所有专业的大学生来说，都必不可少。 二、 数学学科专业教学改革应有的特点 数学学科专业教学改革除了具有各学科教学改革的共性外，还有自己的特性，这是因为数学学科有自己的特点。以下五个方面的问题虽然是所有学科的教育教学改革都要涉及的问题，但在这些问题上，数学教育特殊性，尤其值得认真思考和妥善把握。 1．数学教学中理论联系实际的问题 数学来源于人类实践，但从实践中抽象出来以后，又有它相对的独立性和稳定性。特别是当它发展到一定程度以后，数学内部提出了大量重要的纯数学问题，在相当大的程度上吸引了数学家的兴趣。推动数学的发展，除了实践及其他学科和技术的需要这种来自外部的动力外，还有来自数学内部的巨大动力。数学工作者常常通过对数学内部提出的问题的研究，发展和完善数学理论，这些理论又通过不同途径应用于实践。例如，对欧几里得平行线公设的讨论持续了两千年，虽然许多数学家在试图证明这一公设的努力中失败了，但它最终导致了意义重大的非欧几何的诞生。对数学学科理论联系实际的理解不能简单化。数学问题的形式化表述有时让人觉得难以预测其应用前景，但数学理论可能联系的“实际”，有时会远远超出人们的想象，甚至常常是数学理论出现时尚未出现的“实际”。古希腊的圆锥曲线理论后来被应用于开普勒的行星运动三定律，黎曼几何理论后来被应用于爱因斯坦的广义相对论，陈省身的纤维丛理论后来被应用于杨振宁的规范场理论，都大大推动了世界科学技术的发展。 因此，数学教学中要注意理论联系实际，特别要注意数学建模的重要性，但不能处处都强调机械地联系当时生产、生活中的实际；在可能的情况下讲清楚数学概念内部的联系、数学理论的科学意义、数学与其他学科的联系，以及学习数学时自觉培养“应用意识”的重要性，倒是目前教学中普遍欠缺的。 2．数学教学内容现代化的问题 数学学科专业基础课内容现代化的问题，是从1958年“教育革命”以来就有争议的问题。数学的基本理论，不像电子元件从电子管、晶体管到集成电路那样可以“更新换代”或“弃旧换新”；数学的教学只能在已有知识的基础上去讲新知识。有人用下面的比喻来说明这一点：“其他学科的创新常常是一代人推倒前一代人的大厦，建立起新的理论体系；而数学，却总是后人在前人所盖的大楼上，加盖一层新楼。”我们不可能在没有初等函数知识的条件下去讲微积分，也不可能在没有函数概念的条件下去讲泛函。在数学基础课教学内容的现代化问题上，我们应该看到数学的特殊性，尊重人的认识规律，不赶时髦。曾经有人指责“在现代大学还在讲17世纪的微积分”，这是荒唐的！其实，在经济学课程中使用简单的微积分是“现代化”，为什么在数学课程中讲授微积分这样重要的必备的基础就是“老化”呢？ 我们认为，数学学科专业的教学内容的确应当现代化，但那是指课程体系总体而言，不是要求每门课的每一部分都现代化。数学基础课应当在内容上、观点上、语言上乃至符号上为后续课的现代化做好准备，着力打好基础，而不是简单地把后续课的内容前移。为了让学生看清基础课与现代数学的联系，在基础课的讲授中开几个“窗口”，讲一点只要求学生了解的内容，“点到为止”就可以了。 3．数学教学中注意发展学生个性的问题 数学研究和创新当然需要讨论和交流，需要团队精神和集体力量。但是与其他学科的研究有所不同的一个特点是，数学创新更多的是个人劳动的成果。牛顿从对力学的研究中创立了微积分，莱布尼茨从对几何的研究中创立了微积分，他们之间并没有直接的合作。罗巴契夫斯基、高斯、波约尔各自创立了非欧几何，他们之间也没有合作。 各校数学学科专业的学生中往往会出现一两个特殊学生，他们不仅对数学有浓厚的兴趣，有较好的基础，而且对数学有比较深刻的理解，有一定的数学天赋。在数学教学中注意发现这样的学生，特别指导这样的学生，发展这些学生的个性和数学优势，促使他们迅速成才，是我们义不容辞的责任。 为了发现和培养这些好苗子，在数学教学中如下做法是值得提倡的：设计“课下思考题”，组织“课外学习小组”，鼓励“本科生讨论班”，支持大学生研究项目，开设深入浅出的近代数学讲座，指导本科生写小论文，引导他们参加各种级别的数学竞赛和数学建模竞赛。 4．数学教学中如何采用多媒体辅助教学的手段和双语教学的方式 高度的抽象性和严密的逻辑性，是数学学科两个显著的特性。它决定了数学教学不仅应注意传授知识，更应注意培养学生的抽象思维和逻辑思维。近些年开展的多媒体辅助教学，优点是形象、具体。但当教学中需要培养学生的想象能力、抽象能力和逻辑推理能力的时候，若用屏幕上有限的“形象”代替了学生更接近数学本质的“想象”，用屏幕上个别的“具体”取代了学生的数学“抽象”，用屏幕上的快速推导，取代了板书教学中边写边想师生互动的逻辑渐进过程，也许反而减弱对学生的训练。所以，数学教学中，多媒体的辅助手段要结合数学课程的特点，注意实效，恰当运用，不可过多，只能辅助教学，不能代替教学。课题组认为，特别对于以培养学生的抽象思维、逻辑思维为特点的课程，应以板书教学为主，其他媒体辅助教学的作用是有限的。经过课题组讨论，认为数学课中可以采用计算机辅助教学的，大概有以下一些方面：复杂三维图形的多角度展示、动态过程的演示、影像资料的放映、书写量过大难于板书的内容、大量表格、资料、数据、图形的展示、数学人物、数学史简介、集体答疑、序言课、复习课等。数学“精品课程”的评审条件中，不应硬性要求多媒体课件上网。 5．数学基础课中加强习题课教学的问题 数学学科和数学教学的特点，使习题训练在数学教学中有特别重要的作用。理解各部分知识间的联系，明确解决问题的思路，数学思维的培养，书面表达能力的训练，很大程度上依靠做题的过程来完成。习题课是在教师指导下的做题，与学生自己做作业或看《习题解答》是很不一样的。习题课教师的作用是不可轻视的，他们应积极发挥主导作用，认真选择难易适中的题目，仔细设计做题与讲题的过程；对较难的题目，应有分层次的提示，并在巡视中了解学生的做题进度，及时说一些有针对性的话；习题课中还可适当组织讨论，活跃学生的思维；或做完题后，引导学生总结解题的思路和方法；以及启发学生自己提出有关的新问题，从中培养学生解决问题的能力和创新的意识。一题多解，易混淆的概念，常出错的关键点，都是习题课教师备课中要考虑的地方。现在多数教师上习题课时，只有出题和写解答的环节，很少提示和启发，不积极巡视和观察，基本上不组织讨论，更不注