(完整word版)函数周期性结论总结,推荐文档.docx

函数周期性结论总结① f(x+a)=-f(x)T=2a

② f(x+a)= ±

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T=2a f( x)

③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|

证明：令 x=x-b得f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)

根据公式 f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b

④f(x) 为偶函数，且关于直线x=a 对称， T=2a

证明： f(x+2a) =f(-x)= f(x)

证明：因为偶函数 , 所以 f(-x)=f(x)因为关于x=a对称

所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质）设x=x+a所以f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x) 为奇函数，且关于直线x=a 对称， T=4a

证明： f(x+2a) =f(-x)= -f(x)根据①可知T=2· 2a=4a

证明：由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x)

又 f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a)代换x=x+2a得：

f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a

⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)

f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+t

f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a

⑦f(x) 关于直线 x=a,直线 x=b 对称， T=2|a-b|

证明： f(a+x)=f(a-x)

f(b+x)=f(b-x)f(2b-x)=f(x)

假设 a＞b (当然假设 a＜b 也可以同理证明出)

T=2(a-b)

现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x) 即可

关于直线x=a 对称

关于直线 x=b 对称⑧f(x) 的图像关于 (a,0) (b,0)对称， T=2a-2b(a＞b)

f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x)

=f(x)

证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)

f(b+x)=-f(b-x)f(2b-x)=-f(x )

f(x+2a-2b)

=f[a+(x+a-2b)]

=-f[a-(x+a-2b)]

=-f(2b-x)

=f(x)