高考真题 计数原理 (理科)
J 计数原理 J1 基本计数原理
10．J1、J2[2012·安徽卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )
A ．1或3
B ．1或4
C ．2或3
D ．2或4
10．D [解析] 本题考查组合数等计数原理． 任意两个同学之间交换纪念品共要交换C 26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.
6．J1、J2[2012·北京卷] 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )
A ．24
B ．18
C ．12
D ．6
6．B [解析] 本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力． 法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如
果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n ＝C 23C 12A 22＋C 23C 1
2＝12＋6＝18；
法二：(间接法)奇数的个数为n ＝C 13C 12C 12A 22－C 13C 1
2＝18. 7．K2、J1[2012·广东卷] 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )
A.49
B.13
C.29
D.19
7．D [解析] 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，
设个位数与十位数分别为y ，x ，则如果两位数之和是奇数，则x ，y 分别为一奇数一偶数：
第一类x 为奇数，y 为偶数共有：C 15×C 1
5＝25；
另一类x 为偶数，y 为奇数共有：C 14×C 1
5＝20.
两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，
所以个位数是0的概率为：P (A )＝545＝1
9
.
6．J1、J2[2012·浙江卷] 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A ．60种
B ．63种
C ．65种
D ．66种
6．D [解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：
①4个都是偶数：1种；
②2个偶数，2个奇数：C 25C 2
4＝60种；
③4个都是奇数：C45＝5种．∴不同的取法共有66种．
[点评] 对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．
J2 排列、组合
11．J2[2012·山东卷] 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()
A．232 B．252
C．472 D．484
11．C[解析] 本题考查排列、组合，考查运算求解能力，应用意识，中档题．
法一：(排除法)先从16张卡片选3张，然后排除所取三张同色与红色的为2张的情况，C316－4C34－C24C112＝560－88＝472.
法二：有红色卡片的取法有C14C23C14C14＋C14C13C24，不含红色卡片的取法有C14C14C14＋C13C24 C18，总共不同取法有C14C23C14C14＋C14C13C24＋C14C14C14＋C13C24C18＝472.
8．J2[2012·陕西卷] 两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()
A．10种B．15种
C．20种D．30种
8．C[解析] 本小题主要考查排列、组合的知识，解题的突破口为找出甲或乙赢的情况进行分析计算．依甲赢计算：打三局结束甲全胜只有1种；打四局结束甲前三局赢两局，第四局必胜有C23种；打五局结束甲前四局赢两局，第五局必胜有C24×1＝6种；故甲胜共有10种，同样乙胜也有10种，所以共有20种，故选C.
5．J2[2012·辽宁卷] 一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()
A．3×3! B．3×(3！)3
C．(3！)4D．9!
5．C[解析] 本小题主要考查排列组合知识．解题的突破口为分清是分类还是分步，是排列还是组合问题．
由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为A33·A33·A33·A33＝(3！)4.
2．J2[2012·课标全国卷] 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有() A．12种B．10种C．9种D．8种
2．A[解析] 分别从2名教师中选1名，4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动即可，则乙地就安排剩下的教师与学生，故不同的安排方法共有C12C24＝12种．故选A.
11．J2[2012·全国卷] 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()
A．12种B．18种
C．24种D．36种
11．A[解析] 本小题主要考查排列组合的应用，解题的突破口为正确理解题意并进行合理分步．
第一步排第一列，一定是一个a、一个b和一个c，共有A33＝6种不同的排法，第二步排第二列，要求每行每列字母均不同共有2种不同的排法，则总共有2A33＝12种不同的排法，故选A.
6．J1、J2[2012·北京卷] 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()
A．24 B．18 C．12 D．6
6．B[解析] 本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力．法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18；
法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18.
10．J1、J2[2012·安徽卷] 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()
A．1或3 B．1或4
C．2或3 D．2或4
10．D[解析] 本题考查组合数等计数原理．
任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.
11．J2[2012·四川卷] 方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()
A．60条B．62条
C．71条D．80条
11．B[解析] 由于要表示抛物线，首先a、b均不能为0.
又b要进行平方，且只需考虑不同情况，故b2在1,4,9中考虑．
①c＝0时，若a取1，则b2可取4或9，得到2条不同的抛物线；
若a取2,3，－2，－3任意一个，b2都有1,4,9三种可能，可得到4×3＝12条抛物线；
以上共计14条不同的抛物线；
②c≠0时，在{－3，－2,1,2,3}中任取3个作为a，b，c的值，有A35＝60种情况，其中a，c取定，b取互为相反数的两个值时，所得抛物线相同，这样的情形有4A23＝24种，其中重复一半，故不同的抛物线共有60－12＝48(条)，
以上两种情况合计14＋48＝62(条)．
6．J1、J2[2012·浙江卷] 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()
A．60种B．63种
C．65种D．66种
6．D[解析] 本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：
①4个都是偶数：1种；
②2个偶数，2个奇数：C25C24＝60种；
③4个都是奇数：C45＝5种．∴不同的取法共有66种．
[点评] 对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．
J3 二项式定理
1．J3[2012·四川卷] (1＋x)7的展开式中x2的系数是()
A．42 B．35 C．28 D．21
1．D [解析] 根据二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 7x r ，取r ＝2得x 2的系数为C 2
7
＝7×62
＝21.
5．J3[2012·上海卷] 在???
?x －2
x 6的二项展开式中，常数项等于________． 5．－160 [解析] 考查二项式定理，主要是二项式的通项公式的运用．
由通项公式得T r ＋1＝C r 6x 6－r ????－2x r ＝(－2)r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)3C 3
6＝－160.
12．J3[2012·陕西卷] (a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________．
12．1 [解析] 本小题主要考查了二项式定理，解题的关键是写出二项展开式的通项公
式．其展开式的通项公式为：T r ＋1＝C r 5a 5－r x r ，令r ＝2，所以x 2的系数为C 25a 3，即有C 25a 3
＝10，a ＝1，故填1.
13．J3[2012·湖南卷] ?
???2x －1
x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)
13．－160 [解析] 由二项式的通项公式得T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ?
???－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r ， 令3－r ＝0，∴r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)326－
3C 36＝－160. 5．J3[2012·湖北卷] 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12
5．D [解析] 512 012＋a ＝a ＋(13×4－1)2 012＝(1－13×14)2012＝a ＋1－C 12 01213×4＋C 22 012(13×4)2＋…＋C 2 0122 012(13×4)
2 012， 显然当a ＋1＝13k ，k ∈Z ，即a ＝－1＋13k ，k ∈Z 时，512 012＋a ＝13×4[－C 12 012＋C 2
2 012
(13×4)1＋…＋C 2 0122 012(13×4)2 011
]，能被13整除．因为a ∈Z ，且0≤a <13, 所以a ＝12.故选D.
10．J3[2012·广东卷] ?
???x 2＋1
x 6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)
10．20 [解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式
的通项，T r ＋1＝C r 6x 2(6－r )???
?1x r ＝C r 6x 2(6－r )x －r ＝C r 6
x 12－3r ，令12－3r ＝3，解得r ＝3，所以x 3
的系数为：
C 36＝20.
11．J3[2012·福建卷] (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________.
11．2 [解析] 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的
通项，该二项式的通项是T r ＋1＝C r 4a 4－r x r, x 3的系数为8，即令r ＝3，所以C 34a 1
＝8，所以4a ＝8，所以a ＝2.
15．J3[2012·全国卷] 若???
?x ＋1
x n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1
x 2的系数为________．
15．56 [解析] 本小题主要考查二项式定理中通项公式的应用，解题的突破口为先利用二项式系数相等求出n ，再结合通项公式即可．
由题有C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8，T r ＋1＝C r 8x 8－r ????1x r ＝C r 8????1x 2r －8
，令2r －8＝2?r ＝5，∴1x 2
的系数
为C 58＝56，故填56.
7．J3[2012·安徽卷] (x 2＋2)???
?1x 2－15
的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2
C ．2
D ．3
7．D [解析] 本题考查二项式定理的简单应用．
因为()x 2＋2????1x 2－15＝x 2????1x 2－15＋2????1x 2－15，又2????1x 2－15展开式中的常数项为2C 55????1x 20()－15＝－2，x 2????1x 2－15展开式中的常数项为x 2C 45????1x 21()－14＝5，故二项式()x 2＋2????1x 2－15
展开式中的常数项为－2＋5＝3.
5．J3[2012·天津卷] 在?
???2x 2－1
x 5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40
5．D [解析] 本题考查二项式定理，考查运算求解能力，容易题．
T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k ???
?－1x k ＝(－1)k C k 525－k x 10－3k ，令10－3k ＝1，即k ＝3， 此时x 的系数为(－1)3C 3522
＝－40.
14．J3、B12[2012·浙江卷] 若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.
14．10 [解析] 本题主要考查函数的解析式以及二项式定理．
法一：由于f (x )＝x 5＝[](1＋x )－15那么a 3＝C 25(－1)2
＝10，故应填10.
法二：对等式f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2，再运用赋值法，令x ＝－1得：60＝6a 3，即a 3＝10.
法三：由等式两边对应项系数相等．
即?????
a 5＝1，C 4
5a 5＋a 4＝0，C 35a 5＋C 14a 4＋a 3＝0
?a 3＝10.
[点评] 正确地把函数与二项展开式加以对比，再结合二项式定理加以分析与应用．注
意等式的拆分与组合．
4．J3[2012·重庆卷] ?
???x ＋12x 8
的展开式中常数项为( )
A.3516
B.358
C.35
4
D ．105 4．B [解析] 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·????12x k ＝????12k C k 8
x 4－k .令4－k ＝0，则k ＝4，所以展开式中常数项为????124C 48＝35
8.
J4 单元综合
高考数学 计数原理 知识汇总
计数原理 课表要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则A∩B=?,A∪B=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·……·m n种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去
高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》基础测试题含解析
数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958 【答案】D 【解析】 分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ． 点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C.
高中数学之计数原理
计数原理（讲义） ? 知识点睛 一、两个计数原理 1. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列， A (1)(2)21n n n n n n =?-?-???=L ！ 即正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n ！表示． A ()m n n n m =-！！，A !C !()!A m m n n m m n m n m ==-， 规定0!1=，0C 1n =． 2. 组合数的性质 C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n -+=+． ? 精讲精练 1. 从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地 到B 地有4条路，则从A 地到B 地的不同走法共有（ ）种．
A ．3+2+4=9 B ．1 C ．3×2×4=24 D ．1+1+1=3 2. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争 夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为（ ） A ．(34，34) B ．(43，34) C ．(34，43) D ．3344(A A )， 3. 填空： （1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有______种． （2）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人参加市里组织的某项活动，则不同的选法共有______种． （3）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_____种． （4）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的为_____种（结果用数值表示）． 4. 填空： （1）用0到9这10个数字，可组成________个没有重复数字的四位偶数． （2）6个人从左至右排成一行，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种． （3）某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆且型号相同，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，则不同的抽调方法共有________种．
2017年高考概率与统计、计数原理专题分析
概率与统计、计数原理专题分析 高中数学课程中的“统计与概率”部分被安排在必修3和选修2-3，历来被老师认为易教、被学生认为易学，一线教师大多走马观花一带而过，以便腾出时间深挖其他章节内容．2017年全国高考概率与我们如约而至，常规内容紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，体现高考改革中加强应用性、实贱性的特点．研宄近几年高考试卷中“统计与概率试题，被认为“送分题”分数送不出去的尴尬，引发深思，促使我们重新审视“统计与概率”内容，深感“简单”的内容不简单！ 一、专题考点分析 1.考点分析 2017年高考数学试题，概率与统计、计数原理部分考查的知识点覆盖面广，各卷考查知识点如下. （1）全国Ⅰ卷. 文科：样本的数字特征、几何概型、相关系数、方差均值计算； 理科：几何概型、二项式定理、正态分布、随机变量的期望和方差 （2）全国Ⅱ卷 文科：古典概型、频率分布直方图的应用； 理科：排列与组合、随机变量的期望、独立事件概率公式、独立性检验、频率分布直方图估计中位数. （3）全国Ⅲ卷. 文科：折线图、古典概型； 理科：折线图、离散型随机变量的分布列、数学期望 （4）北京卷. 文科：频率分布直方图的应用；理科：散点图的应用、古典概型、超几何分布、方差 （5）天津卷 文科：古典概型；理科：排列与组合、离散型随机变量的概率分布列及数学期望 （6）江苏卷 几何概型、分层抽样古典概型排列组合、随机变量及其分布、数学期望 （7）浙江卷 随机变量的期望和方差、二项式定理 （8）山东卷 文科：茎叶图、样本的数字特征、古典概型； 理科：回归直线方程、古典概型、随机变量的分布列与数学期望、超几何分布 2. 题量与分值分析 每年全国各地区的高考中都会有各种类型的概率题出现，分值占整套试卷总分的 8%～14%. 2017年各卷考查的题型及分值情况如下 （1）全国Ⅰ卷文、理科分别考查两道选择题和一道解答题，总分值均为22分 （2）全国Ⅱ卷文科考查一道选择题和一道解答题，总分值为17分；理科考查两道选择题和一道解答题，总分值为22分. （3）全国Ⅲ卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为17分. （4）北京卷文科考查一道解答题，分值为13分；理科考查一道填空题和一道解答题，总分值为18分. （5）天津卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为18分. （6）江苏卷考查两道填空题和一道解答题，总分值为20分.
《概率论与数理统计》第一章知识小结
附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理 1.加法原理：分类计数。 2.乘法原理：分步计数。 二、排列组合 1.排列数（与顺序有关）： )(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---=Λ !n A n n =，n A A n n ==10,1 如：25203456757=????=A ，12012345!5=????= 2.组合数(与顺序无关)： !m A C m n m n =，m n n m n C C -= 如：3512344567!447 4 7 =??????==A C ，211 2672757757=??===-C C C 3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=??=A ____种取法。 （2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没 有重复的3位数，共有___483442 414 =??=A A ____种取法。 （3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=????=A _种排法。 （4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有 _48)1234()12(4422=?????=A A ___种排法。 （5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。 （6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。从中任意取出3个， 取到2个白球1个红球的方法有___1 325C C ____种。
38876 56321 C ??= =?? 第一章、基础知识小结 一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含 设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ?。 2.和事件 事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A Y 或B A +。 性质：（1）B A B B A A Y Y ?? , ； （2）若B A ?，则B B A =Y 3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A I 或AB 。 性质：（1）,AB A AB B ??； （2）若B A ?，则A AB = 4.差事件：事件A 发生而B 不发生为事件A 与B 事件的差事件，记作()A B AB -。 性质：（1）A B A ?-； （2）若B A ?，则φ=-B A 5.互不相容事件：若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB Φ=，则称事件A 与事件B 是互不相容的两个事件，简称A 与B 互不相容（或互斥）。 6.对立事件：称事件A 不发生为事件A 的对立事件，记作A 。 性质：（1）A A =； （2）Ω==Ωφφ,； （3）AB A B A B A -==- 设事件A,B ，若AB=Φ,A+B=?,则称A 与B 相互对立.记作 。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编附答案解析
【高中数学】数学《计数原理与概率统计》高考知识点 一、选择题 1．已知()9 29012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1 【答案】B 【解析】 【分析】 求出二项式()9 13x -展开式的通项为()193r r r T C x +=?-，可知当r 为奇数时，0r a <，当 r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++?+的值. 【详解】 二项式()9 13x -展开式的通项()193r r r T C x +=?-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数 时，0r a >， 因此，()9 90191314a a a ??++?+=-?-=??. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 【点睛】
高考数学压轴专题长沙备战高考《计数原理与概率统计》知识点训练及答案
【高中数学】数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 12 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】 由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率11333315 5C C A 9A 20P ==,其中学生丙第一个出场的概率13 3325 5C A 3A 20P ==,所以所求概率为21 13P P P ==. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型. 2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v 共线的概率为( ) A ． 1 3 B ． 14 C ． 16 D ． 112 【答案】D 【解析】 【分析】 由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r 共线的基本事件的个数，利用 古典概型及其概率的计算公式，即可求解。 【详解】 由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636?=种结果， 又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r 共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果， 所以向量p u r 与q r 共线的概率为31 3612 P = =，故选D 。 【点睛】 本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础
高中数学复习 计数原理.理科
计数原理 要求层次 重难点 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 B ⑴分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理； ②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． ⑵排列与组合 ①理解排列、组合的概念． ②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． ③能解决简单的实际问题． ⑶二项式定理 ①能用计数原理证明二项式定理． ②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题 C 排列、组合的概念 B 排列数公式、组合数公式 C 用排列与组合解决一些简单的实际问题 C 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 B 板块一：排列组合 （一） 主要方法： 1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答． 2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排； ②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 高考要求 第十三讲 计数原理 知识精讲
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型． （二）典例分析： 【例1】（2019辽宁5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（） A．70种B．80种C．100种D．140种 【例2】（2019重庆13）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）． 【例3】（2019广东7）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（） A．36种B．12种C．18种D．48种 【例4】（2019湖北5）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（） A．18B．24C．30D．36 【例5】（2018四川6）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（） A．70种B．112种C．140种D．168种 【例6】某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（） A．1320B．288C．1530D．670 【例7】（2019北京7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648 【例8】（2018天津16）有4张分别标有数字1234 ，，，的 ，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于 10，则不同的排法共有____种（用数字作答）． 【例9】（2018浙江16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）． 【例10】（2018天津10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片 排成3行2列，要求3行中仅有 ．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种
2020衡水名师理科数学专题卷：专题十四《计数原理》
2020衡水名师原创理科数学专题卷 专题十四计数原理 考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题） 考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题） 考试时间：120分钟满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1、考点45 中难 某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监考一个班级.在6名教师中,甲为其中2个班的任课教师,乙为剩下4个班中2个班的任课教师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工作的概率为( ) A. 7 15 B. 8 15 C. 1 15 D. 4 15 2、考点45 中难 某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲至少值两天班的概率为( ) A. 11 26 B. 9 26 C. 11 52 D. 9 52 3、考点45 中难 某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为( ) A.12 B.24 C.48 D.720 4、考点45 中难
一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有（ ）种 A.6 B.12 C.36 D.72 5、考点45 中难 某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、 F 这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( ) A.360种 B.432种 C.456种 D.480种 6、考点45 难 2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则7名教师上课的不同排法有 种( ) A.5040 B.4800 C.3720 D.4920 7、考点46 易 24)(121()x x ++的展开式中3x 的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 8、考点46 易 已知10 21001210(1) (1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则=8a （ ） A.-180 B.180 C.45 D.-45 9、考点46 易 9(23)x y -的展开式中各项的二项式系数之和为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-512 D ．512 10、考点46 中难 已知5 (1)(1)ax x ++的展开式中2 x 的系数为5,则a =( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习有解析
新数学《计数原理与概率统计》高考知识点 一、选择题 1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ> 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】 1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1， ()1409P ξ== ，()1129P ξ==，()141411999 P ξ==--=， 故123E ξ= ，22 214144402199999 D ξ=?+?+?-=. ()22110323P ξ?== =?，()22122 1323 P ξ??===?， 故223E ξ= ，2 221242013399 D ξ=?+?-=, 故12 E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】 离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ． 85 B ． 65 C ． 45 D ． 25 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知，3~(5, )3X B m +，由3 533EX m =? =+，知3~(5,)5 X B ，由此能求出()D X ．
高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编及答案
数学高考《计数原理与概率统计》试题含答案 一、选择题 1．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 根据上表可得回归方程???y bx a =+中的?b 约等于9，据此模型预报广告费用为6 万元时，销售额为（ ） A ．54万元 B ．55万元 C ．56万元 D ．57万元 【答案】D 【解析】 试题分析：由表格可算出1(1245)34x = +++=,1 (10263549)304y =+++=,根据点(),x y 在回归直线???y bx a =+上,?9b =,代入算出?3a =,所以?93y x =+,当6x =时,?57y =,故选D. 考点：回归直线恒过样本点的中心(),x y . 2．设*N n ∈，n a 为()()41n n x x +-+的展开式的各项系数之和，7c t =-，R t ∈， 1222555n n n na a a b ?????? =+++???????????? L （[]x 表示不超过实数x 的最大整数）.则 ()() 22 n n t b c -++的最小值为( ) A ． 12 B ． 2 C ． D ．【答案】A 【解析】 【分析】 令1x =可得，52n n n a =-，求出n b ，则22()()n n t b c -++的几何意义为点(n ， 2)(*)2 n n n N -∈到点(,7)t t -的距离的平方，最小值即(3,3)到7y t =-的距离d 的平方，然后由点到直线的距离公式求解即可得答案． 【详解】
令1x =可得，52n n n a =-，2[][]55 n n n n na n n =-g ， 设25n n n n c =g ，所以1+11(1)22223 ()()055555 n n n n n n n n n c c n +++-= -=-
高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编含答案解析
【高中数学】《计数原理与概率统计》知识点 一、选择题 1．把15个相同的小球放到三个编号为123 ，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（） A．18B．28C．38D．42 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【详解】 根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123 ，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数， 先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有 2 887 28 2 C ? ==种不同的放法， 即有28个不同的符合题意的放法； 故选B． 【点睛】 本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题． 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（） A．100种B．60种C．42种D．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共13 43 C C?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42 C C?；
高考真题理科数学计数原理
高考真题理科数学计数 原理 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理））在2 51 (2)x x -的二项展开式中,x 的系数为 （ ） A ．10 B ．10- C ．40 D ．40- 2 ．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、 乙两地参加社会实践活动, 每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有 （ ） A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种 3 ．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和 为偶数,则不同的取法共有 （ ） A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 4 ．（2012年高考（重庆理））8 的展开式中常数项为 （ ） A ． 16 35 B ． 8 35 C ． 4 35 D ．105 5 ．（2012年高考（四川理））方程2 2 ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 （ ） A ．60条 B ．62条 C ．71条 D ．80条 6 ．（2012年高考（四川理））7 (1) x +的展开式中2x 的系数是 （ ） A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 7 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为 止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有
复习试卷八：概率统计与计数原理.doc
复习试卷八：概率统计、计数原理 1.如图是某高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩茎叶图，根据茎叶 图计算数据的中位数为? 2.右上图是一样本的频率分布直方图，其中（4,7）内的频数为4,数据在[1,4）U [7,15）内 的频率为样本容量为. 3.某公司共有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一 个容量为50的样本，已知某部门寺* 200名员工，那么从该部门抽取的工人数是. 4.某射击运动员在四次射击中分别打出了10, x, 10, 8环的成绩，已知这组数据的平均数为9,则这组数据的标准差是. 5.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：（已知学生的数学和物理成绩具 有线性相关关系） 学生的编号i12345 数学成绩X8075706560 物理成绩y7066686462 现已知其线性回归方程为y=0.36* +。，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为.（四舍五入到整数） 6.（V7-二沪°展开式中的常数项是（用数字作答） 7.若（ax-\）5的展开式中/的系数是80,贝U实数a的值是 8 . 若(1 — 2x)2”。=。()+ □/+ + , , ? +。2()10工~°"(X ￡ R) ,则(% +。］ ) + (% + % ) + (。()+。3 ) (% +。2()1() ) = 9.将右图中编有号的五个区域染色，有五种颜色M供选择，要求有 公共边的两个区域不能同色，则不同的涂色方法总数为（用数字作 答）. 10.6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种. 11.若用1,2, 3, 4, 5, 6,7这七个数字中的六个数字组成没有重复数字，且任何相邻两个 数字的奇偶性不同的六位数，则这样的六位数共有个（用数字作答）. 12.某同学参加北大、清华、科大三所学校的白主命题招生考试，其被录取的概率分别为1,[1 （各学校是否录取他相互.独立，允许他可以被多个学校同时录取）.则此同学 （用数字作
2015-2019全国卷一理科数学真题汇编——统计概率、计数原理
2015-2019全国卷一理科数学真题汇编——统计概率、计数原理 【2019.理.6】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（ ） A. 516 B.1132 C.2132 D.1116 【2019.理.15】甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 . 【2019.理.21】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮实验中甲药的得分记为 X ． （1）求X 的分布列； （2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，(0,1, ,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙 药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2, ,7)i =，其中(1)a P X ==-， (0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=． （i ）证明：1{}(0,1,2, ,7)i i p p i +-=为等比数列； （ii ）求4p ，并根据4p 的值解释这种实验方案的合理性．
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》易错题汇编含答案
新数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生家庭问卷调查，若这3名教师每位至少到一名学生家中问卷调查，又这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．24 D ．48 【答案】A 【解析】 【分析】 分为两步进行求解，即先把四名学生分为1,1,2三组，然后再分别对应3名任课老师，根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】 根据题意，分2步进行分析： ①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有212421 2 2 6C C C A =种分组方法； ②将分好的3组对应3名任课教师，有3 36A =种情况； 根据分步乘法计数原理可得共有6636?=种不同的问卷调查方案． 故选A ． 【点睛】 解答本题的关键是读懂题意，分清是根据分类求解还是根据分布求解，然后再根据排列、组合数求解，容易出现的错误时在分组时忽视平均分组的问题．考查理解和运用知识解决问题的能力，属于基础题． 2．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 4 D ． 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】 因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以 1d = ≤，解得44 k -≤≤
所以相交的概率224 P == ,故选C. 【点睛】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题. 3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 【点睛】 本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 4．三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，若每人都选择其中两个科目，则有且仅有两人选择的科目完全相同的概率是（ ） A ． 14 B ． 13 C ． 12 D ． 23 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目的基本事件总数，再求出有且仅有两人选择的科目完全相同所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到答案. 【详解】 三位同学参加数学、物理、化学知识竞赛，每人都选择其中两个科目共有23 3()27C =种不
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编及答案
新数学《计数原理与概率统计》复习知识点 一、选择题 1．若随机变量X 的分布列为（ ） 且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ． 13 B ．0 C ．1 D ． 23 【答案】D 【解析】 分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X . 详解：由题得1 113 ,,13021 3 a b a b a b ?++=??∴==? ??++=?? 所以2 2 2 1112()(01)(11)(21).3 3 33 D X =-?+-?+-?= 故答案为D. 点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值 的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-?＋2 22()x E p ξ-?＋…＋ 2()n n x E p ξ-?,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期 望． 2．设某中学的女生体重y （kg ）与身高x （cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数 (),i i x y ()1,2,3,,i n =L L ，用最小二乘法建立的线性回归直线方程为 ?0.8585.71y x =-，给出下列结论，则错误的是（ ） A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0．85kg C ．回归直线至少经过样本数据(),i i x y ()1,2,3,,i n =L L 中的一个 D ．回归直线一定过样本点的中心点(),x y 【答案】C 【解析】
高考数学计数原理
回扣8计数原理 1．分类计数原理 完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法(也称加法原理)． 2．分步计数原理 完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法(也称乘法原理)． 3．排列 (1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示． (3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n －2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！ (n－m)！ ，这里规定0！＝1. 4．组合 (1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示． (3)组合数的计算公式：C m n＝A m n A m m＝ n！ m！(n－m)！ ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) m！ ，由于0！＝1， 所以C0n＝1. (4)组合数的性质：①C m n＝C n－m n ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1 n . 5．二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)． 这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，用T r＋1表示，即展