坐标系与参数方程高考题分类汇总(题目和答案)
坐标系与参数方程
1、（2011天津）下列在曲线sin 2(cos sin x y θ
θθθ
=??=+?为参数）
上的点是（ ）
A 、1
(,2)2- B 、31(,)42
C 、(2,3)
D 、 (1,3) 2、(2011·安徽理，5)在极坐标系中点??
?
?
?3,2π到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B.
4＋π
2
9
C.
1＋π2
9
D. 3
3、(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )
A ．(1，π2)
B ．(1，－π
2
) C ．(1,0) D ．(1，π)
4、(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程?
??
??
x ＝－1－t
y ＝2＋3t (t
为参数)所表示的图形分别是( ) A ．圆、直线 B ．直线、圆 C ． 圆、圆
D ．直线、直线
5、(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )
A ．两个圆
B ．两条直线
C ．一个圆和一条射线
D ．一条直线和一条射线 6．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝
π
6
(ρ∈R )的距离是________．
7．N3[2012·北京卷] 直线???
??
x ＝2＋t ，
y ＝－1－t (t 为参数)与曲线
????
?
x ＝3cos α，y ＝3sin α
(α为参数)的交点个数为________．
8．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy
中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为??
?
x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和
??
?
x ＝2cos θ，y ＝2sin θ
(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．
9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：?????
x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：?
??
??
x ＝a sin θ，
y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点
在x 轴上，则a ＝________.
10．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的
正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π
4与曲线?
????
x ＝t ＋1，y ＝t －12
(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．
11、(2012·高考广东卷)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系
xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为???x ＝5cos θ
y ＝5sin θ
? ????θ为参数，0≤θ≤π2和
?
????x ＝1－2
2t
y ＝－2
2
t
(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为__________．
12.【广东省珠海市2012年9月高三摸底考试】在极坐标系中，圆
2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是_____________.
13、(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：
?
????
x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ
为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．
14、 N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
15、(2012·高考湖南卷)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2·cos θ＋sin
θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝__________．
17．(2011·天津理，11)已知抛物线C
的参数方程为?
??
??
x ＝8t 2
，
y ＝8t ，(t 为
参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2
＋y 2
＝
r 2(r >0)相切，则r ＝________.
18．(2011·广东理)已知两曲线参数方程分别为??
?
x ＝5cos θ
y ＝sin θ
(0≤θ<π)和?????
x ＝54
t 2
y ＝t
(t ∈R )，它们的交点坐标为________．
19、【福建省华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校
2013届高三上学期第一次联考】
已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t
=-???=??，
（t 为参数），
在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，
以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为2
4s 30co ρρθ-+=. ①求直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
②设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围.
20、(2012·高考课标全国卷)
已知曲线C 1的参数方程是?
????x ＝2cos φ，
y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，
正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A
的极坐标为(2，π
3
)．
(Ⅰ) 求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；
(Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2
的取值范围．
21、(2012·高考辽宁卷)
在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2
＝4.
(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；
(Ⅱ)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．
22、(2011·福建理，21)
在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程
为??
?
x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π
2)，判断
点P 与直线l 的位置关系；
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
23、(2011·新课标理，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为
?????
x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.
(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →
，P
点的轨迹为曲线C 2.
(1)求C 2的方程；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝
π
3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.
24、．(2010·辽宁理，23)已知P
为半圆C ：?
??
??
x ＝cos θ
y ＝sin θ(θ为参数，0
≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP
上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π
3
.
(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．
25、C ．N3[2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C 经过点P ? ????2，π4，圆心为直线ρsin ?
????θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．
26、B. N3 [2012·福建卷]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分
别为(2,0)，? ????
233，π2，圆C 的参数方程为??
?
x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ
(θ为
参数)．
(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．
选择题：1-5CDBAC 2、[答案] D
[解析] 极坐标????2，π3化为直角坐标为2cos π3，2sin π
3，即(1，3)，圆的极坐标方程ρ＝2cos θ可化为ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x
＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，则由两点间距离公式d ＝(1－1)2＋(3－0)2＝3，故选D. 3、[答案] B
[解析] 由ρ＝－2sin θ得：ρ2＝－2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，
∴圆心直角坐标为(0，－1)，极坐标为(1，－π
2)，选B.
4、[答案] A
[解析] 将题中两个方程分别化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝x,3x ＋y ＋1＝0，它们分别表示圆和直线． 5、[答案] C
[解析] 由(ρ－1)(θ－π)＝0得ρ＝1或者θ＝π，又ρ≥0，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线．
填空题：
6： 3.7 ：2 8：(1,1) 9：3
2 10：????52，52 11：(2，1) 12：1 、13：3
14：3 15：22 、16：17：218：????
1，255
6.3 [解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线
的距离．
应用极坐标与直角坐标的互化公式?
????
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ 将圆ρ＝4sin θ化
为直角坐标方程为x 2＋()y －22＝4，直线θ＝π6化为直角坐标方程为y ＝
3
3
x .因为x 2＋()y －22＝4的圆心为()0，2，所以圆心()0，2到直线y ＝3
3
x ，
即3x －3y ＝0的距离为d ＝||
2×()－3()33＋3
2
＝ 3.
7．2 [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．
方程转化为普通方程，直线为x ＋y ＝1，圆为x 2＋y 2＝9，
法一：圆心到直线的距离为d ＝|1|2＝1
2
<3，所以直线与圆相交，答
案为2.
法二：联立方程组?
????
x 2＋y 2＝9，
x ＋y ＝1，消去y 可得x 2－x －4＝0，Δ>0，所
以直线和圆相交，答案为2.
8．(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突
破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝2，联立方程
得：????? y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得?????
x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)．
9.3
2
[解析] 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点，化难为易．
曲线C 1：?
????
x ＝t ＋1，
y ＝1－2t (t 为参数)的普通方程是2x ＋y －3＝0，曲线
C 2的普通方程是x 2a 2＋y 2
9
＝1，两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1
与x 轴的交点????32，0，代入曲线C 2，得????322
a 2＋029＝1，解得a ＝32
. 10.????52，52 [解析] 曲线???
x ＝t ＋1，y ＝()t －12
化为直角坐标方程是y ＝()x －22，射线θ＝π
4化为直角坐标方程是y ＝x ()x ≥0.联立???
y ＝()x －22，y ＝x ()x ≥0，
消去y 得x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4.所以y 1＝1，y 2＝4.故线段AB
的中点的直角坐标为????
x 1＋x 22
，y 1＋y 22，即????52，52. 11、(2，1) 曲线C 1的方程为x 2＋y 2
＝5(0≤x ≤5)，曲线C 2的方
程为y ＝x －1，则?
????x 2＋y 2＝5
y ＝x －1?x ＝2或x ＝－1(舍去)，则曲线C 1和C 2的
交点坐标为(2，1)． 12、答案: 1
13、[答案] 3
[解析] C 1为圆(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2为圆x 2＋y 2＝1.∴|AB |min ＝32＋42－1－1＝3.
14、C. 3 [解析] 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcos θ＝1得2x ＝1①，由ρ＝2cos θ得ρ2
＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ②，联立①②得y ＝±3
2
，所以弦长为 3.
15、2
2 把曲线C 1、C 2化成普通方程得C 1：2x ＋y ＝1，C 2：x 2＋y 2
＝a 2，令y ＝0，解得a 2
＝12?a ＝22
(a ＞0)．
17、[答案] 2
[解析] 根据抛物线C 的参数方程?
????
x ＝8t
2y ＝8t ，得出y 2＝8x ，得出抛物
线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y ＝x －2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r ＝
2
2
＝ 2. 18、答案] ?
???
1，255
[解析] ???
x ＝5cos θy ＝sin θ
(0≤θ≤π) 化为普通方程为x 2
5＋y 2＝
1(0≤y ≤1)，
而???
??
x ＝54t 2
y ＝t
化为普通方程为x ＝5
4
y 2，由
???
x 25
＋y 2
＝1(0≤y ≤1)x ＝54y
2
得
????
?
x ＝1y ＝255
， 即交点坐标为?
???
1，255.
解答题：
19、【答案】①直线
l
的普通方程为：
3330x y -+=. …………………2分
曲线C 的直角坐标方程为：2
2
430x y x +-+=【或2
2
(2)1x y -+=】. …………………4分 ②曲线C 的标准方程为2
2
(2)1x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为1； ∴
圆
心
(2,0)
C 到直线
l
的距离
为:|23033|53
22
d +=
= …………………6分
所以点P 到直线l 的距离的取值范围是5353[1,1]22
-+ ………………7分 20、解：(Ⅰ)由已知可得
A (2cos π3，2sin π3)，
B (2cos(π3＋π2)，2sin(π3＋π
2))，C (2cos(
π
3
＋π)，2sin(π3＋π))，D (2cos(π3＋3π2)，2sin(π3＋3π
2
))，
即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (Ⅱ)设P (2cos φ，3sin φ)，
令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2
，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16
＝32＋20sin 2
φ.
因为0≤sin 2
φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．
21、解：(Ⅰ)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ. 解?????ρ＝2ρ＝4cos θ
，得ρ＝2，θ＝±π3，
故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π
3
)．
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(Ⅱ)法一：由?
????x ＝ρcos θ
y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，
3)，(1，－3)．
故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为?
????x ＝1
y ＝t ，－3≤t ≤ 3.
(或参数方程写成?????x ＝1
y ＝y ，－3≤y ≤3)
法二：将x ＝1代入?
????x ＝ρcos θ
y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，
从而ρ＝1
cos θ
.
于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为?
????x ＝1
y ＝tan θ，
－π3≤θ≤π3
. 22、[解析] (1)把极坐标系的点P (4，π
2)化为直角坐标，得P (0,4)，
因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线 l 上．
(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为 (3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离
d ＝|3cos α－sin α＋4|
2＝2cos (α＋π
6)＋4
2
＝2cos(α＋π
6
)＋22，
由此得，当cos(α＋π
6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.
23、[解析] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ????
x 2，y 2.由于M 点在C 1上，
所以???
x
2
＝2cos α，y
2＝2＋2sin α，
即?
????
x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为?
????
x ＝4cos α，
y ＝4＋4sin α.(α为参数)
(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π
3，
射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π
3.
所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.
24、[解析] (1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π
3，
故点M 的极坐标为????
π3，π3.
(2)M 点的直角坐标为???
?π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为
???
x ＝1＋????π6－1t ，
y ＝
3π
6
t ，(t 为参数)．
25、C ．解：在ρsin ????θ－π3＝－3
2
中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C 经过点P ?
???2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π
4
＝1，
于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
26B. 解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，????0，233，
又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为?
???1，3
3，故
直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝3
3
x .
(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，?
???
0，233，
所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，
圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9
＝3
2＜r ，故直线l 与圆C
相交．