导数各类题型方法总结(绝对经典)57654
导数各类题型方法总结(绝
对经典)57654
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第一章 导数及其应用
一， 导数的概念 1..已知x
f x f x
x f x ?-?+=→?)
2()2(lim
,1)(0
则的值是（ ）
A. 41-
B. 2
C. 4
1
D. －2
变式1：()()()为则设h
f h f f h 233lim ,430
--='→（ ）
A ．－１ Ｂ．－2
C ．－3
D ．1 变式2：()()()
0000
3,lim x f x x f x x f x x x
?→+?--??设在可导则等于
（ ）
A ．()02x f '
B ．()0x f '
C ．()03x f '
D ．()04x f '
导数各种题型方法总结
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法
5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；
（请同学们参看2010省统测2）
例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，
432
3()1262
x mx x f x =--
（1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32
()332
x mx f x x '=-
- 2()3g x x mx ∴=--
（1）
()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，
则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <
030
209330
m m <-?<--
解法二：分离变量法：
∵ 当0x =时, 2()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立
等价于233
x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3
()h x x x
=-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)h x h ==2m ∴>
(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立
变更主元法
再等价于2()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
2
2
(2)0230
11(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>???
2b a ∴-=
例2：设函数),10(323
1
)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-=
（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）()()22()433f x x ax a x a x a '=-+-=---
01a <<
令,0)(>'
x f 得)(x f 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞）
∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4
3
3b a +- 当x=3a 时，)(x f 极大值=b.
（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得：对任意的],2,1[++∈a a x 2243a x ax a a -≤-+≤恒成立①
则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a
g x a
≤??≥-? 22()43g x x ax a =-+的对称轴2x a = 01,a <<
12a a a a +>+=（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.（9分）
∴
max min ()(2)2 1.()(1)4 4.
g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+
于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于
(2)44,4
1.(1)215g a a a a g a a a +=-+≤?≤≤?
+=-+≥-?