高中数学不等式选讲解读课件人教版选修二
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高二数学(选修2-2人教A版)-利用导数证明不等式
【例】已知函数 f ( x) sin x x cos x .
求证：当 x (0, π ) 时， f ( x) 1 x3 .
2
3
【证明】设 h(x) sin x x cos x 1 x3 ，
3
定义域为(0, π) ，
2
求导 h( x) x sin x x2 x(sin x x) .
x
f 'x
f x
(，0)
0 0
极小值
(0, +)
41
所以 f ( x) f ( x)min f (0) 0 . 因此，不等式 ex x 1 成立， 所以，不等式1 ex x 成立.
1 x
42
解题总结
对于结构复杂的不等式证明思路是：
在证明不等式时，如果构造的辅助函数 含有复杂的整式或分式结构，得到的导函数 较复杂的时候，可利用不等式性质，先将不 等式进行等价变形，从而简化不等式.
证明：设 f (x) x3 3x2 4． 定义域为(1, 4) ， f '(x) 3x2 6x x(x 2)．
令 f '(x) 0，解得x 2．
6
思考探究
当 x变化时， f ' x， f x的变化情况如下表：
x
(1，2)
2
(2, 4)
f 'x
0
f x
极小值
所以， f ( x) f ( x)min f (2) 0 . 因此，不等式 x3 3x2 4 x (1, 4) 成立.
x 1
【证明】
要证： 1 ex x ,
x 1
只需证： 1 x ex ,
x 1
即证
1 x 1
1 ex
.
高中数学不等式的性质课件新人教必修24页PPT
几个同向不等式的两边分别相加，所 得的不等式与原不等式同向。
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. 推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
证明：因为a>Ebv，aluca>t0io，n o所nl以y. ac>bc，
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因此(a+c)－(b+c)=a+c－b－c=a－b>0，
即 a+c>b+c.
性质3表明，不等式的两边都加上同一 个实数，所得的不等式与原不等式同向.
由性质3可以得出
Evaluation only.
ted wai+thbA>scp osae+.Sbl+id(e－s bfo)r>.cN+E(－T 3b.)5 Cliae>ntcP－robf.ile 5.2 推论C1o：py不rig等ht式20中04的-20任11意A一sp项ose都P可ty以Lt把d. 它 的符号变成相反的符号后，从不等式的 一边移到另一边。 （移项法则）
即1 1
ba
因此 1 1
ab
（2）已知a>b， c<d，求证：a－c>b－d；
证明：（2）因为a>b，c<d， 所以a>b，－Ecv>a－luadt，ion only.
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性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；如果 a>b，c<0，则ac<bc. 推论1：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
证明：因为a>Ebv，aluca>t0io，n o所nl以y. ac>bc，
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因此(a+c)－(b+c)=a+c－b－c=a－b>0，
即 a+c>b+c.
性质3表明，不等式的两边都加上同一 个实数，所得的不等式与原不等式同向.
由性质3可以得出
Evaluation only.
ted wai+thbA>scp osae+.Sbl+id(e－s bfo)r>.cN+E(－T 3b.)5 Cliae>ntcP－robf.ile 5.2 推论C1o：py不rig等ht式20中04的-20任11意A一sp项ose都P可ty以Lt把d. 它 的符号变成相反的符号后，从不等式的 一边移到另一边。 （移项法则）
即1 1
ba
因此 1 1
ab
（2）已知a>b， c<d，求证：a－c>b－d；
证明：（2）因为a>b，c<d， 所以a>b，－Ecv>a－luadt，ion only.
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高中数学第二讲讲明不等式的基本方法1比较法课件新人教A版选修4-5
1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符 号，而不用考虑差值的多少．
2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差 式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二 次三项式时，可利用“Δ”判定符号．
1．设 t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列 t 与 s 的大小关系中正确的是( )
比较法的实际应用
甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速 度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路 程以速度 n 行走．如果 m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
【精彩点拨】 设从出发地点至指定地点的路程是 s，甲、乙二人走完这段 路程所用的时间分别为 t1, t2，要回答题目中的问题，只要比较 t1，t2 的大小就可 以了．
1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化 为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．
2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择 题或填空题，则可用特殊值加以判断．
[探究共研型] 作差比较法 探究 作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？ 【提示】 “作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之 间的关系：“a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0”，其一般步骤 为“作差→变形→判号→定论”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解 是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个 常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等．当所得的 “差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．作差法一般 用于不等式的两边是多项式或分式．
高中数学人教A版选修45二绝对值不等式PPT课件
解(x-10)(20-x)≥0,得10 ≤x ≤20. 所以，当10 ≤x ≤20.时，
函数S x 2 x 10 x 20 取最小值20.
即：生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都 能使两个施工队每天往返的路程之和最小。
探究
ax b c和 ax b c型不等式如何求解？
提示 由绝对值 x a和 x aa0的几何意义
(1)当向量a,b不共线时，向量a+b,a,b构成 三角形.
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称 定理1为绝 对值三角
不等式
a
y
0
高中数学人教A版选修45二绝对值不等 式PPT 课件
(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况： 如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
2 x1
x1
x
2
5
当x ≥1 时，原不等式可以化为 (x-1)+(x+2) ≥ 5
即不等式组
x
1
x
1 x
2
的解集是[2, 5
+∞)
综上所述，原不等式的解集是(－∞, －3] ∪[2, ＋ ∞)
解法三：
将原不等式转化为│x-1│+│x+2│-5≥0
构造函数y= │x-1│+│x+2│-5
情感态度与价值观
1.探究绝对值三角不等式，培养学生的 逻辑思维能力，让学生感受数学魅力。 2.通过绝对值不等式的解法的学习，提 高学生分析问题的能力
高中数学人教A版选修45二绝对值不等 式PPT 课件
函数S x 2 x 10 x 20 取最小值20.
即：生活区建于两个施工地点之间的任何一个位置时，都 能使两个施工队每天往返的路程之和最小。
探究
ax b c和 ax b c型不等式如何求解？
提示 由绝对值 x a和 x aa0的几何意义
(1)当向量a,b不共线时，向量a+b,a,b构成 三角形.
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
x
a+b b
由此可称 定理1为绝 对值三角
不等式
a
y
0
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(2)当向量a,b共线时，分以下两种情况： 如果向量a,b方向相同时，a b a b ; 如果向量a,b方向相反时，a b a b .
2 x1
x1
x
2
5
当x ≥1 时，原不等式可以化为 (x-1)+(x+2) ≥ 5
即不等式组
x
1
x
1 x
2
的解集是[2, 5
+∞)
综上所述，原不等式的解集是(－∞, －3] ∪[2, ＋ ∞)
解法三：
将原不等式转化为│x-1│+│x+2│-5≥0
构造函数y= │x-1│+│x+2│-5
情感态度与价值观
1.探究绝对值三角不等式，培养学生的 逻辑思维能力，让学生感受数学魅力。 2.通过绝对值不等式的解法的学习，提 高学生分析问题的能力
高中数学人教A版选修45二绝对值不等 式PPT 课件
高考数学二轮复习题型篇第二讲选修45不等式选讲课件文
12/11/2021
法二：设 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|， －4x，x＜－12，
则 f(x)＝2，－12≤x≤12， 4x，x＞12，
作出函数 f(x)的图象如图所示， 若 f(x)＜4，由图可得，－1＜x＜1. 所以 M＝{x|－1＜x＜1}．
12/11/2021
(2)证明：法一：因为 a∈M，b∉M， 所以|a|＜1，|b|≥1. 所以|ab|＋1－(|a|＋|b|)＝|ab|＋1－|a|－|b| ＝(|a|－1)(|b|－1)≤0， 所以|ab|＋1≤|a|＋|b|. 法二：要证|ab|＋1≤|a|＋|b|， 只需证|a||b|＋1－|a|－|b|≤0， 只需证(|a|－1)(|b|－1)≤0， 因为 a∈M，b∉M，所以|a|＜1，|b|≥1， 所以(|a|－1)(|b|－1)≤0 成立． 所以|ab|＋1≤|a|＋|b|成立．
解得 x＜－3 或13＜x＜1 或 x≥1.
12所/11/2以021 原不等式的解集为xx＜－3或x＞13
.
(2)由 f(x)＜x2＋x＋m 得 m＞－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|. 令 g(x)＝－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|，则由题意知 m＞g(x)max.
－x2－2x－2，x＜－12， g(x)＝－x2＋2x，－12≤x≤1，
12/11/2021
2．已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|＜4 的解集为 M.
(1)求集合 M；
(2)设实数 a∈M，b∉M，证明：|ab|＋1≤|a|＋|b|. 解：(1)法一：当 x＜－12时，不等式可化为：－2x－1＋1－2x ＜4，即 x＞－1，所以－1＜x＜－12. 当－12≤x≤12时，不等式化为：2x＋1－2x＋1＜4，即 2＜4， 所以－12≤x≤12. 当 x＞12时，不等式化为：2x＋1＋2x－1＜4，即 x＜1， 所以12＜x＜1.综上可知，M＝{x|－1＜x＜1}．
法二：设 f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|， －4x，x＜－12，
则 f(x)＝2，－12≤x≤12， 4x，x＞12，
作出函数 f(x)的图象如图所示， 若 f(x)＜4，由图可得，－1＜x＜1. 所以 M＝{x|－1＜x＜1}．
12/11/2021
(2)证明：法一：因为 a∈M，b∉M， 所以|a|＜1，|b|≥1. 所以|ab|＋1－(|a|＋|b|)＝|ab|＋1－|a|－|b| ＝(|a|－1)(|b|－1)≤0， 所以|ab|＋1≤|a|＋|b|. 法二：要证|ab|＋1≤|a|＋|b|， 只需证|a||b|＋1－|a|－|b|≤0， 只需证(|a|－1)(|b|－1)≤0， 因为 a∈M，b∉M，所以|a|＜1，|b|≥1， 所以(|a|－1)(|b|－1)≤0 成立． 所以|ab|＋1≤|a|＋|b|成立．
解得 x＜－3 或13＜x＜1 或 x≥1.
12所/11/2以021 原不等式的解集为xx＜－3或x＞13
.
(2)由 f(x)＜x2＋x＋m 得 m＞－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|. 令 g(x)＝－x2－x＋|2x＋1|－|x－1|，则由题意知 m＞g(x)max.
－x2－2x－2，x＜－12， g(x)＝－x2＋2x，－12≤x≤1，
12/11/2021
2．已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|＜4 的解集为 M.
(1)求集合 M；
(2)设实数 a∈M，b∉M，证明：|ab|＋1≤|a|＋|b|. 解：(1)法一：当 x＜－12时，不等式可化为：－2x－1＋1－2x ＜4，即 x＞－1，所以－1＜x＜－12. 当－12≤x≤12时，不等式化为：2x＋1－2x＋1＜4，即 2＜4， 所以－12≤x≤12. 当 x＞12时，不等式化为：2x＋1＋2x－1＜4，即 x＜1， 所以12＜x＜1.综上可知，M＝{x|－1＜x＜1}．
高二数学人选修课件不等式和绝对值不等式复习
一元二次绝对值不等式
形如$|ax^2+bx+c| > d$或$|ax^2+bx+c| < d$的不等式 ，解法为将绝对值符号去掉，转化为两个一元二次不等式 求解。
分式绝对值不等式
形如$|frac{ax+b}{cx+d}| > e$或$|frac{ax+b}{cx+d}| < e$的不等式，解法为将分式化为整式后，再按照一元一次 或一元二次绝对值不等式的解法进行求解。
若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
不等式两边可以同时平方或开方
若a>b>0，则a^2>b^2；若a>b>0且n为正整数，则a^(1/n)>b^(1/n)。
02
一元一次不等式与一元一次不等式组
一元一次不等式解法
解法步骤
首先去分母，然后去括号，接着移项 并合并同类项，最后把系数化为1。
可乘性
若a>b>0，c>0，则 ac>bc；若a<b<0，c<0 ，则ac>bc。
特殊性质
当a>0时，a的平方根大于 0；当a<0时，a的平方根 小于0。
不等式运算规则
同向不等式可以相加或相减
若a>b且c>d，则a+c>b+d；若a>b且c<d，则a-d>b-c。
不等式两边可以同乘一个正数或同除以一个正数
解法注意事项
在解一元一次不等式时，需要注意不 等号的方向问题。当不等号两边同时 乘以或除以一个负数时，不等号的方 向需要改变。
一元一次不等式组解法
形如$|ax^2+bx+c| > d$或$|ax^2+bx+c| < d$的不等式 ，解法为将绝对值符号去掉，转化为两个一元二次不等式 求解。
分式绝对值不等式
形如$|frac{ax+b}{cx+d}| > e$或$|frac{ax+b}{cx+d}| < e$的不等式，解法为将分式化为整式后，再按照一元一次 或一元二次绝对值不等式的解法进行求解。
若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
不等式两边可以同时平方或开方
若a>b>0，则a^2>b^2；若a>b>0且n为正整数，则a^(1/n)>b^(1/n)。
02
一元一次不等式与一元一次不等式组
一元一次不等式解法
解法步骤
首先去分母，然后去括号，接着移项 并合并同类项，最后把系数化为1。
可乘性
若a>b>0，c>0，则 ac>bc；若a<b<0，c<0 ，则ac>bc。
特殊性质
当a>0时，a的平方根大于 0；当a<0时，a的平方根 小于0。
不等式运算规则
同向不等式可以相加或相减
若a>b且c>d，则a+c>b+d；若a>b且c<d，则a-d>b-c。
不等式两边可以同乘一个正数或同除以一个正数
解法注意事项
在解一元一次不等式时，需要注意不 等号的方向问题。当不等号两边同时 乘以或除以一个负数时，不等号的方 向需要改变。
一元一次不等式组解法
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法课件 a选修45a高二选修45数学课件
12/8/2021
第五页，共三十三页。
温馨提示 使用作商比较法证明不等式 a＞b 时，一 定要注意 b＞0 这个前提条件．
12/8/2021
第六页，共三十三页。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)当b＞0时，a＞b⇔ab＞1.( ) (2)当b＞0时，a＜b⇔ab＜1.( ) (3)当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b.( ) (4)当 ab＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( )
第二讲 证明(zhèngmíng)不等式的，共三十三页。
2．1 比较法
12/8/2021
第二页，共三十三页。
[学习目标] 1.理解用比较法证明不等式的一般方法 与步骤(重点)． 2.了解比较法分为作差比较法、作商比 较法． 3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点)．
第十七页，共三十三页。
[变式训练] 已知 a＞b＞c，证明：a2b＋b2c＋c2a＞ ab2＋bc2＋ca2.
证明：a2b＋b2c＋c2a－ab2－bc2－ca2＝(a2b－bc2)＋
(b2c－ab2)＋(c2a－ca2)＝b(a2－c2)＋b2(c－a)＋ac(c－a)＝
(a－c)(ba＋bc－b2－ac)＝(a－c)(a－b)(b－c)．
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第七页，共三十三页。
解析：对于(1)，当 b＞0 时，a＞b，两边同除以 b， 所以ab＞1，所以(1)正确；对于(2)，当 b＞0 时，a＜b，两 边同除以 b，所以ab＜1，所以(2)正确；对于(3)，当 a＞0， b＞0 时，ab＞1，两边同乘以 b，所以 a＞b，所以(3)正确；
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第三十一页，共三十三页。
2．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字 母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．
人教版高二数学选修4-5课件 高二数学(不 等 式(1))
（2）当x为何值时S最小，并求出这个最小值.
12
知识拓展
已知a,b (0,+)，且a+b=1，求证：
（1）a2 b2 1 ; 2
（2）a12
1 b2
8；
（3）（a+
1 a
)
2
(b
1)2 b
25 ； 2
（4）（a+
1 a
)(b
1 b
)
25 4
.
13
课堂小结
特别要注意利用基本不等式求 最值时， 一定要满足“一正二定三 相等”的条件.
基本不等式的几C 何解释
A
O
D
B
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均10.
典例讲评
例4 求证：
（1）在所有周长相同的矩形中，正方形
的面积最大；
（2）
在所有面积相同的矩形中，正方形的周长
最短.
11
例5 某居民小区要建一座八边
H
G
形的休闲场所，它的主体造型
D
Q
平面图（右图）是由两个相同的
P
C
矩形ABCD和EFGH构成的面积
探究: 试从几何的角度解释定理1
8
新知探究
S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.
S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，
b
AI
D
H
K
a
G
F
b
B
J
C
E
a
b
9
新知探究
定理2（基本不等式） 如果a，b>0，那么
称为a,b的 算术平均
高二数学人教A版选修4-5课件：第二讲证明不等式的基本方法复习
由于 x，y，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，
所以三式累加得：
x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2 ＞x＋2y＋y＋2z＋z＋2x＝32(x＋y＋z)， 所以有 x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2＞32(x＋y＋z)．
【规范解答】 设 a，b，c 都不大于 0，则 a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0， 由题设知，a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6 ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，
∴a＋b＋c＞0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾，故 a，b，c 中至少有一个大于 0.
练一练 3．如图，已知在△ ABC 中，∠CAB＞90°，D 是 BC 的中点，求证：AD＜12BC.
【证明】
假设
1 AD≥2BC.
(1)若 AD＝12BC，由平面几何定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，
那么这条边所对的角为直角”，知∠A＝90°，与题设矛盾，
练一练
1．若 a＝lg22，b＝lg33，c＝lg55，则( )
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D.b＜a＜c
练一练
【解析】 a 与 b 比较：a＝3l6g 2＝lg68，b＝2l6g 3＝lg69.∵9＞8，∴b＞a， b 与 c 比较：b＝lg33＝lg1535，c＝lg55＝lg1553.∵35＞53， ∴b＞c，a 与 c 比较：a＝lg1025＝lg1032，c＝lg1025. ∵32＞25，a＞c，∴b＞a＞c，故选 C. 【答案】 C
高二选修4-5
第二讲证明不等式的基本方法复习
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法本讲整合课件 a选修45a高二选修45数学课件
具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法.
12/8/2021
第三页，共二十页。
知识建构
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
综合应用
真题放送
专题
(zhuān
tí)三
专题四
专题五
应用1设a≠b,求证:a2+3b2>2b(a+b).
提示：用作差比较法证明.作差比较法的步骤是:①作差;②变形;③判断差与
0的大小关系;④下结论,其中最关键的步骤是②③.
证明：(a2+3b2)-2b(a+b)=a2+3b2-2ab-2b2=a2-2ab+b2=(a-b)2.因为a≠b,所
以a-b≠0.
从而(a-b)2>0,于是(a2+3b2)-2b(a+b)>0.
所以a2+3b2>2b(a+b).
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第四页，共二十页。
∠B+∠C>∠CAB.。因为∠B+∠C=180°-∠CAB,。所以180°-∠CAB>∠CAB,。2。(2)a+b≤2.。
=4+ab(a2-b2)2≥4.
No
Image
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第二十页，共二十页。
真题放送
知识建构
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第十九页，共二十页。
综合应用
真题放送
内容(nèiróng)总结
本讲整合。提示：用作差比较法证明.作差比较法的步骤是:①作差。④下结论.其中②③
是关键步骤,同时要注意分子、分母的正负.。a3-b3与a2-b2的符号都相同,。运用反证法证明
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第三页，共二十页。
知识建构
专题
(zhuānt
í)一
专题
(zhuān
tí)二
综合应用
真题放送
专题
(zhuān
tí)三
专题四
专题五
应用1设a≠b,求证:a2+3b2>2b(a+b).
提示：用作差比较法证明.作差比较法的步骤是:①作差;②变形;③判断差与
0的大小关系;④下结论,其中最关键的步骤是②③.
证明：(a2+3b2)-2b(a+b)=a2+3b2-2ab-2b2=a2-2ab+b2=(a-b)2.因为a≠b,所
以a-b≠0.
从而(a-b)2>0,于是(a2+3b2)-2b(a+b)>0.
所以a2+3b2>2b(a+b).
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∠B+∠C>∠CAB.。因为∠B+∠C=180°-∠CAB,。所以180°-∠CAB>∠CAB,。2。(2)a+b≤2.。
=4+ab(a2-b2)2≥4.
No
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真题放送
知识建构
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综合应用
真题放送
内容(nèiróng)总结
本讲整合。提示：用作差比较法证明.作差比较法的步骤是:①作差。④下结论.其中②③
是关键步骤,同时要注意分子、分母的正负.。a3-b3与a2-b2的符号都相同,。运用反证法证明
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在推导过程中，要与几何结合，让学生多体会数形 结合的思想的渗透。 作用
（1）用于证明 （2）用于比较大小 （3）求最值
在求最值时，一定要把握好 “一定二正三相等”
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基本不等式（续）
若a,b为正数，则称： 扩充： 2 为调和平均
1 1 a b a 2 b2 为平方平均 2
ab 为算术平均 2 ab为几何平均
反证法的学习应先复习四种命题，即证其逆否命题
放缩法
关键是放大或缩小需适度，否则就不能达到证明的目的， 因此他是技巧性很强的一种证明方法 学习好它的唯一途径，多练习各种题型的放缩，否则很难 短时间能放缩证明。对于证明不等式的具体问题来说，方 法是各种各样的，因此在教学中，一要多介绍证明方法， 二要一题多解，要防止思想方法单一性，要学会灵活多变。
不等式选讲教学中的注意点
舒林军
2008年2月
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我对不等式选讲的内容几点理解
这部分内容对文科生需要详细讲解，难度较 大；但对理科生来说只要把证明中的放缩法 和柯西不等式、排序不等式、以及贝努利不 等式作重点讲即可，其余作为复习。 对该部分内容相对独立，其中柯西不等式、 排序不等式是高中奥赛的内容，因此可以提 前上。 对该部分内容的难度深度，很难把握，对竞 赛辅导的教师都感到这块内容太难，本人认 为着重基础，适当扩充，杜绝变为数学竞赛 辅导。
进一步推广到n个正数的算术几何均值不等式，不 做证明。 在求最值时，拆，拼，凑需要一定技巧。需要多 练，才能掌握，有时，也可以求导方法求最值， 可结合数学
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绝对值不等式
在学习绝对值不等式时，一定要让学生多探究；如： 数轴方法；三角形方法；然后把数推广到向量，复 数等。 绝对值三角不等式可以推广到一般情形。
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2.证法有：配方法; 向量法；几何（三角形）法。 3. 柯西不等式应用要突出观察模型、构造模型。 4. 排序不等式的教学时，可展示 “探究—猜想— 证明—应用”的研究过程。 5.一些重要的不等式可以借助排序不等式得到简洁 的证明。 6.柯西不等式和排序不等式是新增内容，在教学中 一定要控制好难度。
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从二维、三维到n维；从已知到未知，从严 密的代数证明到几何模型的结合，从数推广 到向量以及复数。 在教学和学习过程中要充分强调不等式的几 何背景及其意义，重点在于深刻理解不等式 的数学本质，在教学过程中尽量避免过分复 杂化和技巧化的代数恒等变形，以免冲淡主 题
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提纲
第一讲 不等式与绝对值不等式
难点：
含参数不等式的解法； 是学生掌握分类讨论思路的一个重要的途径
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第二讲 证明不等式的基本方法
比较法 综合法与分析法 反证法与放缩法
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比较法
作差法 步骤：
作差 化简 判断 结论
化简的结果一般为几个因式的积，或几个因式的平 方和或一个常数
等价复形作差法 作商法 ；如：
a, b, c R,
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二维形式的柯西不等式：若a,b,c,d都是实数，则 2 2 2 2 2 a b c d ac bd
柯西不等式的向量形式|α||β|≥|α·β| 三维形式的柯西不等式：
（a1 a2 a3 )(b1 b2 b3 ) (a1b1 a2b2 a3b3 ) 2
即n个实数a1,a2, …an 则有：
a1 a2 an a1 a2 an
系统地对绝对值运算的问题作总结。 对函数 y x a x b 的函数最值问题，可以借助三角不等式，还可以 借助数轴。
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绝对值不等式（续）
绝对值不等式解法：关键是把绝对值去掉
方法有：
（1）利用 的解集； （2）两边平方； （3）讨论； （4）利用函数图象； （5）零界点讨论法；
不等式基本形式 基本不等式 绝对值不等式
第二讲 证明不等式的基本方法
比较法 综合法与分析法 反证法与放缩法
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提纲
第三讲 柯西不等式与排序不等式
二维形式 的柯西不等式 一般形式 的柯西不等式 排序不等式
第四讲 数学归纳法证明不等式
数学归纳法 数学归纳法证明不等式
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第一讲 不等式与绝对值不等式
不等式基本形式 基本不等式 绝对值不等式
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不等式基本形式
共六条性质，给其命名为： 第一条：反身性 第二条：传递性 第三条：可加性 第四条：可乘性
推论：同相可加性
两边同乘以一个负数，不等号变号； 在两边同乘以一个字母时，一定要进行讨论； 推论：正数同向可乘性
第五条：正数可乘方性 第六条：正数可开方性
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基本不等式
两个基本不等式 ,
它们成立的条件是不同的：前者是两个实数，后 者是两个正数 等号成立的条件是相同的
n维形式的柯西不等式：
2
2
2
2
2
3
（a1 a2 an )(b1 b2 bn ) (a1b1 a2b2 anbn ) 2
运用作商，比较方便
a abbcc (abc)
a b c 3
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综合法，与分析法
一般比较难的问题的情况下，通过分析法，寻找证 明的途径，用综合法书写格式 用分析法写题时，一定要注意书写的格式 变式数学在证明问题中可作适当的加深
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反证法与放缩法
反证法式涉及有关，“至少，有一个”，“不全，都是” 等这样叙述的不等式，往往可以考虑反证法。因为它的反 面情况很清楚，可作为条件。然后结合题目的条件，推出 矛盾。
则有：“调几算平”
ab a 2 b2 a 0, b 0时， ab 1 1 2 2 a b 2
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基本不等式（续）
推广到三个正数的算术几何均值不等式
推广c
在证明过程中，要作分解因式，难度大，先介绍 立方和（差），几二项式定理。
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第三讲 柯西不等式与排序不等式
重点：理解柯西不等式和排序不等式的数学意义、 几何背景及其在不等式证明中的简单应用。 难点：如何构建这两个不等式的模型来证明其它不 等式。 课时分配：一、柯西不等式 （2课时）；二、排序 不等式（ 2课时）。 本讲教学应强调的几个问题: 1.本节诸多不等式呈现次序是: 二维形式的柯西不等式→向量形式的柯西不等式→ 二维形式的三角不等式→柯西不等式的一般形式→ 一般形式的三角不等式;排序不等式。