2020年河南省郑州市高考数学一模试卷答案解析
2020年河南省郑州市高考数学一模试卷答案解析（理科）一．选择题（共12题，每题5分）
1．（2020?郑州一模）设集合A＝{x∈N||x|≤2}，B＝{y|y＝1﹣x2}，则A∩B的子集个数为（）A．2B．4C．8D．16
【解答】解：∵A＝{x∈N|﹣2≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{y|y≤1}，
∴A∩B＝{0，1}，
∴A∩B的子集个数为22＝4个．
故选：B．
2．（2020?郑州一模）若复数z满足z＝（其中i为虚数单位），则z在复平面的对应点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：∵z＝＝，
∴z在复平面的对应点的坐标为（1，﹣1），在第四象限．
故选：D．
3．（2017?新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是（）
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：
月接待游客量逐月有增有减，故A错误；
年接待游客量逐年增加，故B正确；
各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确；
故选：A．
4．（2020?郑州一模）定义在R上的函数为偶函数，，，c＝f（m），则（）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【解答】解：定义在R上的函数为偶函数，
则f（﹣x）＝f（x），即﹣2＝﹣2；
所以m＝0，
所以f（x）＝﹣2，且在[0，+∞）上是单调减函数；
又log2＝﹣1，0＜＜，m＝0；
所以f（log2）＜f（）＜f（0），
即a＜b＜c．
故选：C．
5．（2020?咸阳二模）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（）
A．B．C．10D．
【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为9，
向正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分内，
则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P＝＝；
而P＝，则＝，
解可得，S＝；
故选：B．
6．（2020?郑州一模）已知向量，的夹角为，且||＝1，|2﹣|＝，则||＝（）A．1B．C．D．2
【解答】解：由|2﹣|＝，
得，
又向量，的夹角为60°，且||＝1，
∴4×12﹣4×，
整理得：，解得||＝1．
故选：A．
7．（2020?郑州一模）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）
A．5B．4C．3D．2【解答】解：模拟程序的运行，可得
a＝3，b＝1
n＝1
a＝，b＝2
不满足条件a≤b，执行循环体，n＝2，a＝，b＝4
不满足条件a≤b，执行循环体，n＝3，a＝，b＝8
不满足条件a≤b，执行循环体，n＝4，a＝，b＝16
此时，满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为4．
故选：B．
8．（2020?郑州一模）函数的图象大致是（）A．B．
C．D．
【解答】解：由题意，f（﹣x）＝?cos（﹣x）＝﹣f（x），函数是奇函数，排除A，B；
x→0+，f（x）→+∞，排除D．
故选：C．
9．（2020?郑州一模）第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种（）
A．60B．90C．120D．150
【解答】解：根据题意，分2步进行分析
①、将5项工作分成3组
若分成1、1、3的三组，有＝10种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有＝15种分组方法，
则将5项工作分成3组，有10+15＝25种分组方法；
②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A33＝6种情况；
所以不同的安排方式则有25×6＝150种，
故选：D．
10．（2020?郑州一模）已知抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF 与抛物线交于M，N两点，若，则|MN|＝（）
A．B．C．2D．
【解答】解：抛物线C：y2＝2x的焦点为F（，0），准线为l：x＝﹣，设M（x1，y1），N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为d M，d N，
由抛物线的定义可知|MF|＝d M＝x1+，|NF|＝d N＝x2+，于是|MN|＝|MF|+|NF|＝x1+x2+1．∵，
∴直线MN的斜率为±，
∵F（，0），
∴直线PF的方程为y＝±（x﹣），
将y＝±（x﹣），
代入方程y2＝2x，并化简得12x2﹣20x+3＝0，
∴x1+x2＝，于是|MN|＝|MF|+|NF|＝x1+x2+1＝+1＝．
故选：B．
11．（2020?郑州一模）已知三棱锥P﹣ABC内接于球O，P A⊥平面ABC，△ABC为等边三角形，且边长为，球O的表面积为16π，则直线PC与平面P AB所成的角的正弦值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设三棱锥外接球的球心为O，半径为R，则S球＝4πR2＝16π，故R＝2，
设M为△ABC的中心，N为AB的中点，则OM⊥平面ABC，且OC＝2，
由△ABC为等边三角形，且边长为，求得NC＝，MC＝1，
∴OM＝，
∵P A⊥平面ABC，故P A＝2OM＝2，且P A⊥CN，
∴PN＝，又CN⊥AB，AB∩P A＝A，
∴CN⊥平面P AB，则PC＝，
∴sin∠NPC＝＝．
故选：D．
12．（2020?郑州一模）f（x）＝，g（x）＝+m+2，若y ＝f（g（x））﹣m有9个零点，则m的取值范围是（）
A．（0，1）B．（0，3）C．D．
【解答】解：令t＝g（x），g（x）＝+m+2，g'（x）＝＝）＝，
当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数g（x）递增，当x∈（0，2）时，函数g（x）递减，函数g（x）有极大值g（0）＝m+2，极小值g（2）＝m﹣3，
若y＝f（g（x））﹣m有9个零点，
画出图象如下：观察函数y＝f（t）与y＝m的交点，
当m＜0时，t＞1，此时函数y＝f（t）与y＝m最多有3个交点，故不成立，
当m＝0时，t1＝，t2＝2，g（0）＝2，g（2）＝﹣3，g（x）＝t1，有三个解，g（x）＝2有2个解，共5个解不成立；
当m＞3时，显然不成立；
故要使函数有9个零点，0＜m＜3，根据图象，每个y＝t最多与y＝g（x）有三个交点，要有9个交点，只能每个t都要有3个交点，
当0＜m＜3，y＝f（t）与y＝m的交点，，，2＜t3＜9，
g（0）＝m+2∈（2，5），g（2）＝m﹣3∈（﹣3，0），
当2＜t3＜m+2时，由，
即2＜2m+1＜m+2时，得0＜m＜1时，2＜t3＜3时（x）＝t3，有三个解，
g（x）＝t2，要有三个解m﹣3＜﹣，即m＜，
g（x）＝t1有三个解m﹣3＜﹣2，即m＜1，
综上，m∈（0，1），
故选：A．
二．填空题（共4题，每题5分）
13．（2020?郑州一模）曲线y＝xe x﹣2x2+1在点（0，1）处的切线方程为y＝x+1．【解答】解：求导函数可得，y′＝（1+x）e x﹣4x
当x＝0时，y′＝1
∴曲线y＝xe x﹣2x2+1在点（0，1）处的切线方程为y﹣1＝x，即y＝x+1．
故答案为：y＝x+1．
14．（2019?新课标Ⅲ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝4．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则
由a1≠0，a2＝3a1可得，d＝2a1，
∴
＝
＝，
故答案为：4．
15．（2020?郑州一模）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆，圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M，N两点，若（O 为坐标原点），则双曲线C的离心率为．
【解答】解：双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
则点A到渐近线bx﹣ay＝0的距离为|AB|＝，
∵r＝b，∴|BN|＝＝，
∵，
∴|OB|＝5|BN|＝，
∵|OA|＝a，
∴a2＝+，
∴a2c2＝25b4+a2b2，
∴a2（c2﹣b2）＝25b4，
∴a2＝5b2＝5c2﹣5a2，
即6a2＝5c2，
即a＝c，
∴e＝＝，
故答案为：．
16．（2020?郑州一模）已知数列{a n}满足：对任意n∈N*均有a n+1＝pa n+2p﹣2（p为常数，p ≠0且p≠1），若a2，a3，a4，a5∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，则a1的所有可能取值的集合是{﹣2，0，﹣66}．
【解答】解：由题意，对任意n∈N*，均有a n+1+2＝p（a n+2），
当a n+2＝0，即a1+2＝0，即a1＝﹣2时，a2＝a3＝a4＝a5＝﹣2．
当a n+2≠0时，构造数列{b n}：令b n＝a n+2，则b n+1＝pb n．
故数列{b n}是一个以p为公比的等比数列．
∵a2，a3，a4，a5∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，11，30}，
∴b2，b3，b4，b5∈{﹣16，﹣4，0，8，13，32}．
①当b2＝﹣4，b3＝8，b4＝﹣16，b5＝32时，p＝﹣2．
此时，b1＝＝＝2，a1＝b1﹣2＝2﹣2＝0；
②当b2＝32，b3＝﹣16，b4＝8，b5＝﹣4时，p＝﹣．
此时，b1＝＝＝﹣64，a1＝b1﹣2＝﹣64﹣2＝﹣66．
∴a1的所有可能取值的集合是{﹣2，0，﹣66}．
故答案为：{﹣2，0，﹣66}．
三．解答题（17-21必考题，共计60分，22-23选考题，共计10分）
17．（2020?郑州一模）已知△ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设2R（sin2A﹣sin2B）＝（a﹣c）sin C．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若b＝12，c＝8，求sin A的值．
【解答】解：（I）∵2R（sin2A﹣sin2B）＝（a﹣c）sin C，
∴2R?2R（sin2A﹣sin2B）＝（a﹣c）sin C?2R，
即：a2+c2﹣b2＝ac，
∴．
因为0＜B＜π，所以，
（II）若b＝12，c＝8，
由正弦定理，，，
由b＞c，故∠C为锐角，，
∴．
18．（2020?郑州一模）已知三棱锥M﹣ABC中，MA＝MB＝MC＝AC＝，AB＝BC＝2，
O为AC的中点，点N在线BC上，且．
（1）证明：BO⊥平面AMC；
（2）求二面角N﹣AM﹣C的正弦值．
【解答】解：（1）如图所示：
连接OM，AC，OM相交于O，
在△ABC中：，则，OB⊥AC．在△MAC中：，O为AC的中点，则OM⊥AC，且．在△MOB中：，满足：BO2+OM2＝MB2
根据勾股定理逆定理得到OB⊥OM，
故OB⊥平面AMC；
（2）因为OB，OC，OM两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示．
因为，AB＝BC＝2
则，
由所以，
设平面MAN的法向量为，则
令，得，
因为BO⊥平面AMC，所以为平面AMC的法向量，
所以与所成角的余弦为
．
所以二面角的正弦值为．19．（2020?郑州一模）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点C（1，0）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点（﹣，0）的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有|AB|＝2|CM|．
【解答】解：（I）由题意知b＝1，，
又因为a2＝b2+c2解得，，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设过点直线为，设A（x1，y1），B（x2，y2）
由得（9+18t2）y2﹣12ty﹣16＝0，且△＞0．
则
又因为，，
＝，
所以．
因为线段AB的中点为M，所以|AB|＝2|CM|．
20．（2020?郑州一模）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0＜p＜1）．经化验检测，
若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放．
某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．
现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验．
化验次数的期望值越小，则方案越“优“．
（1）若，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
（2）①若，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优“？
②若“方案三”比“方案四“更“优”，求p的取值范围．
【解答】解：（1）该混合样本达标的概率是，
所以根据对立事件原理，不达标的概率为．
（2）①方案一：逐个检测，检测次数为4．
方案二：由①知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为．故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2，4，6．其分布列如下，
ξ2246
p
可求得方案二的期望为
方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1，5．其分布列如下，
ξ415
p
可求得方案四的期望为．比较可得E（ξ4）＜E（ξ2）＜4，故选择方案四最“优”．②方案三：设化验次数为η3，η3可取2，5．
η325
p p31﹣p3
；
方案四：设化验次数为η4，η4可取1，5
η415
p p41﹣p4
；
由题意得．
故当时，方案三比方案四更“优”．
21．（2020?郑州一模）已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．
【解答】解：（1），定义域（0，+∞），
，
由e x≥x+1＞x，f（x）在（0，1]增，在（1，+∞）减，f（x）max＝f（1）＝1﹣e．（2）?﹣lnx+x+xe x﹣bx﹣1≥0，
令，，
令h（x）＝x2e x+lnx，h（x）在（0，+∞）单调递增，
x→0，h（x）→﹣∞，h（1）＝e＞0h（x）在（0，1）存在零点x0，
即，
，
由于y＝xe x在（0，+∞）单调递增，故，即，
φ（x）在（0，x0）减，在（x0，+∞）增，
，
所以b≤2．
22．（2020?郑州一模）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P，其参数方程（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线E的极坐标方程；
（2）若直线l交E于点A，B，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出这个定值．
【解答】解：（I）将点代入曲线E的方程，
得解得a2＝4，
所以曲线E的普通方程为，
极坐标方程为．
（Ⅱ）不妨设点A，B的极坐标分别为
，
则
即．
，即．