2017-2018学年江苏省南京一中八年级(下)期中数学试卷

2017-2018学年江苏省南京一中八年级（下）期中数学试卷一、选择题1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列各式，，+1，中分式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．（3分）在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是（）A．随着抛掷次数的增加，正面向上的频率越来越小B．当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为C．不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同D．连续抛掷5次硬币都是正面向上，第6次抛掷出现正面向上的概率小于4．（3分）为了了解我市50000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了1000名考生的成绩进行统计．下列说法：①这50000名学生的数学考试成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③1000名考生是总体的一个样本；④样本容量是1000．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=7，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）A．32B．28C．16D．466．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3C．D．二、填空题7．（3分）当x时，分式有意义；若分式的值为0，则x=．8．（3分）平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠B=度．9．（3分）“在数轴上任取一个点，这个点所表示的数是有理数”这一事件是．（填“必然时间”、“不可能事件”或“随机事件”）10．（3分）一个样本的50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、4组的数据的个数分别为2、8、15、5，则第5组的频率为．11．（3分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOB=100°，则∠OAB=．12．（3分）若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为．13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为．14．（3分）某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表．已知该校全体学生人数为1200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有 人．每周课外阅读时间（小时）0～11～2 （不含1） 2～3 （不含2） 超过3 人 数 7 10 14 1915．（3分）已知：如图，以正方形ABCD 的一边BC 向正方形内作等边△EBC ，则∠AEB= °．16．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M 为斜边AB 上一动点，过M 作MD ⊥AC ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．三、解答题17．计算：（1）（2）18．先化简：，再选取一个你喜欢的a 值代入求值．19．某批乒乓球的质量检验结果如下：抽取的乒乓球数n50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m48 95 188 471 946 1426 18980.9600.9500.9400.9420.9460.951a优等品的频率（精确到0.001）（1）表格中a=；（2）这批乒乓球是“优等品”的概率约为．（精确到0.01）20．中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．某市记者随机调查了一些家长对这种现象的态度（A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在图①中，C部分所占扇形的圆心角度数为°；选择图①进行统计的优点是；（2）将图②补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计该市50000名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转后得到△DCE，此时点DE经过AB的中点M．记BC的中点的为点N．（1）连接MN、NE，写出图中所有的平行四边形；（2）如图2，只用一把无刻度的直尺画出旋转中心O（保留作图痕迹，不写画法）；（3）旋转角的大小为°．22．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：三角形的中位线于第三边，并且；（2）证明：三角形中位线定理．已知：如图，DE是△ABC的中位线．求证：．证明：23．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．24．在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处如图①．设DE与BC相交于点F，求BF的长；（2）将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕GH的长．25．我们定义：有两组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如菱形、筝形都是特殊的“等邻边四边形”．（1）如图1，四边形ABCD中，若∠ABC=∠BCD，BC∥AD，对角线BD恰平分∠ABC，则四边形ABCD“等邻边四边形”（填“是”或“不是”）．（2）在探究“等邻边四边形”性质时：①小红画了一个“等邻边四边形”ABCD（如图2），其中AB=AD，BC=CD，若∠A=80°，∠C=60°，写出∠B、∠D的度数．②小红猜想：对于任意四边形，若有一组邻边相等，一组对角相等，则这个四边形为“等邻边四边形”你认为他的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）在锐角△ABC中，AB=AC，在平面内存在一点P，使PB=BA，PA=PC，四边形PABC可能是“等邻边四边形”吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC 的度数，若不可能，请说明理由．2017-2018学年江苏省南京一中八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；B、不是中心对称图形，故B选项错误；C、不是中心对称图形，故C选项错误；D、是中心对称图形，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键．2．（3分）下列各式，，+1，中分式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】利用分式的定义判断即可．【解答】解：，，+1，中分式有，+1这2个，故选：A．【点评】此题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解本题的关键．3．（3分）在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是（）A．随着抛掷次数的增加，正面向上的频率越来越小B．当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为C．不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同D．连续抛掷5次硬币都是正面向上，第6次抛掷出现正面向上的概率小于【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．【解答】解：在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为，故选：B．【点评】本题考查了概率的意义，利用概率的意义是解题关键．4．（3分）为了了解我市50000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了1000名考生的成绩进行统计．下列说法：①这50000名学生的数学考试成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③1000名考生是总体的一个样本；④样本容量是1000．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：①这50000名学生的数学考试成绩的全体是总体，说法正确；②每个考生是个体，说法错误，应该是每个考生的数学成绩是个体；③1000名考生是总体的一个样本，说法错误，应是1000名考生的数学成绩是总体的一个样本；④样本容量是1000，说法正确；正确的说法共2个，故选：C．【点评】此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=7，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）A．32B．28C．16D．46【分析】由平行四边形的性质和已知条件计算即可，解题注意求平行四边形ABCD 的两条对角线的和时要把两条对角线可作一个整体．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=7，∵△OCD的周长为23，∴OD+OC=23﹣7=16，∵BD=2DO，AC=2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=32，故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形的基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．6．（3分）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是CD边上的中点，E是BC边上的一动点，点M、N分别是AE、PE的中点，则线段MN长为（）A．2B．3C．D．【分析】连接AP，根据矩形的性质求出AP的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP，问题得解．【解答】解：连接AP，∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD边上的中点，∴DP=2，∴AP==2，连接AP，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=AP=．故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质以及定理并求出AP的值是解题的关键．二、填空题7．（3分）当x≠2时，分式有意义；若分式的值为0，则x=3．【分析】分式有意义，分母不等于零；分式的值为零：分子为零，且分母不为零．【解答】解：当x﹣2≠0即x≠2时，分式有意义．若分式的值为0，则x﹣3=0，解得x=3．故答案是：≠2；3．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．8．（3分）平行四边形ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠B=130度．【分析】根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，又有∠A+∠C=100°，可求∠A=∠C=50°．又因为平行四边形的邻角互补，所以，∠B+∠A=180°，可求∠B．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A=∠C，又∠A+∠C=100°，∴∠A=∠C=50°，又∵AD∥BC，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°．【点评】此题主要考查：平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补．9．（3分）“在数轴上任取一个点，这个点所表示的数是有理数”这一事件是随机事件．（填“必然时间”、“不可能事件”或“随机事件”）【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：“在数轴上任取一个点，这个点所表示的数是有理数”这一事件是随机事件，故答案为：随机事件．【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．10．（3分）一个样本的50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、4组的数据的个数分别为2、8、15、5，则第5组的频率为0.4．【分析】根据总数计算出第5组的频数，用第5组的频数除以数据总数就是第5组的频率．【解答】解：第5组的频数：50﹣2﹣8﹣15﹣5=20，频率为：20÷50=0.4，故答案为：0.4．【点评】本题考查频数和频率的求法，关键知道频数=总数×频率，从而可求出解．11．（3分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOB=100°，则∠OAB= 40°．【分析】根据矩形的性质得出AC=2OA，BD=2BO，AC=BD，求出OB=0A，推出∠OAB=∠OBA，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2OA，BD=2BO，AC=BD，∴OB=0A，∵∠AOB=100°，∴∠OAB=∠OBA=（180°﹣100°）=40°故答案为：40°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，矩形的性质，等腰三角形的性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．12．（3分）若顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD满足的条件为对角线垂直．【分析】这个四边形ABCD的对角线AC和BD的关系是互相垂直．理由为：根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，根据矩形的四个角为直角得到∠FEH=90°，又EF为三角形ABD的中位线，根据中位线定理得到EF与DB平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO=90°，同理根据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD=90°，根据垂直定义得到AC与BD垂直．【解答】解：顺次连接四边形ABCD四边中点形成的四边形为矩形，则四边形ABCD 满足的条件为对角线垂直，理由：∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH=90°，又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH=∠OMH=90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH=∠COB=90°，则AC⊥BD，故四边形ABCD满足的条件为对角线垂直．故答案为：对角线垂直．【点评】此题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．13．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为24．【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE=3，且点E为线段AD的中点，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．14．（3分）某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表．已知该校全体学生人数为1200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有 240 人．每周课外阅读时间（小时） 0～1 1～2 （不含1） 2～3（不含2） 超过3人 数7101419【分析】先求出每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生所占的百分比，再乘以全校的人数，即可得出答案． 【解答】解：根据题意得： 1200×=240（人），答：估计每周课外阅读时间在1～2（不含1）小时的学生有240人； 故答案为：240．【点评】本题考查从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想．15．（3分）已知：如图，以正方形ABCD 的一边BC 向正方形内作等边△EBC ，则∠AEB= 75 °．【分析】由正方形和等边三角形的性质得出∠ABE=30°，AB=BE ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠AEB 的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=CD，∵△EBC是等边三角形，∴BE=BC，∠EBC=60°，∴∠ABE=90°﹣60°=30°，AB=BE，∴∠AEB=∠BAE=（180°﹣30°）=75°；故答案为：75．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．【解答】解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE=CM，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB===5，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=AB•CM=BC•AC，∴CM的最小值==，∴线段DE的最小值为；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．三、解答题17．计算：（1）（2）【分析】（1）根据分式的加法可以解答本题；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．【解答】解：（1）===；（2）===a﹣b．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．18．先化简：，再选取一个你喜欢的a值代入求值．【分析】直接将括号里面通分进而化简，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=[+]÷（+）=÷=×=a﹣1，当a=0时，原式=a﹣1=﹣1．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式混合运算法则是解题关键．19．某批乒乓球的质量检验结果如下：抽取的乒乓球数n50100200500100015002000优等品的频数m4895188471946142618980.9600.9500.9400.9420.9460.951a优等品的频率（精确到0.001）（1）表格中a=0.949；（2）这批乒乓球是“优等品”的概率约为0.95．（精确到0.01）【分析】（1）利用频率的定义计算；（2）根据频率估计概率，频率都在0.95左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.95．【解答】解：（1）a==0.949，故答案为：0.949；（2）这批乒乓球“优等品”概率的估计值是0.95．故答案为：0.95．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．20．中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．某市记者随机调查了一些家长对这种现象的态度（A：无所谓；B：反对；C：赞成），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在图①中，C部分所占扇形的圆心角度数为54°；选择图①进行统计的优点是扇形统计图能够清晰的反映出各部分占总数的百分比；（2）将图②补充完整；（3）根据抽样调查结果，请你估计该市50000名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？【分析】（1）由家长反对的人数除以所占的百分比求出调查的总人数，求出家长赞成占得百分比，乘以360即可求出C部分占得度数；选择图①进行统计的优点是扇形统计图能够清晰的反映出各部分占总数的百分比；（2）求出家长无所谓的人数，补全统计图即可；（3）由样本中家长赞成的百分比乘以50000即可得到结果．【解答】解：（1）由题意得：C部分所占扇形的圆心角度数为36÷（144÷60%）×360°=54°；选择图①进行统计的优点是扇形统计图能够清晰的反映出各部分占总数的百分比；（2）家长无所谓的人数为144÷60%﹣144﹣36=60（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：50000×=7500（人），则该市50000名中学生家长中约有7500名家长持赞成态度．故答案为：（1）54；扇形统计图能够清晰的反映出各部分占总数的百分比【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转后得到△DCE，此时点DE经过AB的中点M．记BC的中点的为点N．（1）连接MN、NE，写出图中所有的平行四边形；（2）如图2，只用一把无刻度的直尺画出旋转中心O（保留作图痕迹，不写画法）；（3）旋转角的大小为90°．【分析】（1）利用三角形中位线的性质和平行四边形的判定方法写出图中三个平行四边形；（2）利用BE交MN于O点，利用OB=OC，OC=OE可判断点O旋转中心；（3）证明∠COE=90°得到旋转的度数．【解答】解：（1）图中的平行四边形有：▱BNEM，▱NEAM，▱NCEM；（2）如图，点O为所作；（3）∵△BCE为等腰直角三角形，而点O为斜边BE的中点，∴CO⊥BE，∴∠COE=90°，∴旋转角为90°．故答案为90．【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平行四边形的判定与性质．22．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（1）请用文字语言叙述三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；（2）证明：三角形中位线定理．已知：如图，DE是△ABC的中位线．求证：DE=BC，DE∥BC．证明：【分析】作出图形，然后写出已知、求证，延长DE到F，使DE=EF，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠ADE，再求出BD=CF，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DF∥BC，DF=BC．【解答】解：（1）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．（2）已知：△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE=BC，DE∥BC，证明：如图，延长DE到F，使DE=EF，连接CF，∵点E是AC的中点，∴AE=CE，在△ADE和△CEF中，，∴△ADE≌△CEF（SAS），∴AD=CF，∠ADE=∠F，∴AB∥CF，∵点D是AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF，∴BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF=BC，∴DE∥BC且DE=BC．故答案为：平行；等于第三边的一半；DE=BC，DE∥BC．【点评】本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．23．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四边形MPND是正方形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．24．在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处如图①．设DE与BC相交于点F，求BF的长；（2）将矩形纸片折叠，使点B与D重合如图②，求折痕GH的长．【分析】（1）根据折叠的性质可得∠ADB=∠EDB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠FBD=∠FDB，根据等角对等边可得BF=DF，设BF=x，表示出CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理列出方程求解即可；（2）根据折叠的性质可得DH=BH，设BH=DH=x，表示出CH，然后在Rt△CDH 中，利用勾股定理列出方程求出x，再连接BD、BG，根据翻折的性质可得BG=DG，∠BHG=∠DHG，根据两直线平行，内错角相等求出∠BHG=∠DGH，然后求出∠DHG=∠DGH，根据等角对等边可得DH=DG，从而求出四边形BHDG 是菱形，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据菱形的面积列出方程求解即可．【解答】解：（1）由折叠得，∠ADB=∠EDB，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠FBD=∠FDB，∴BF=DF，设BF=x，则CF=8﹣x，在Rt△CDF中，CD2+CF2=DF2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=；（2）由折叠得，DH=BH，设BH=DH=x，则CH=8﹣x，在Rt△CDH中，CD2+CH2=DH2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=，连接BD、BG，由翻折的性质可得，BG=DG，∠BHG=∠DHG，∵矩形ABCD的边AD∥BC，∴∠BHG=∠DGH，∴∠DHG=∠DGH，∴DH=DG，∴BH=DH=DG=BG，∴四边形BHDG是菱形，在Rt△BCD中，BD===10，S菱形BHDG=BD•GH=BH•CD，即×10•GH=×6，解得GH=．【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．25．我们定义：有两组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如菱形、筝形都是特殊的“等邻边四边形”．（1）如图1，四边形ABCD中，若∠ABC=∠BCD，BC∥AD，对角线BD恰平分∠ABC，则四边形ABCD是“等邻边四边形”（填“是”或“不是”）．（2）在探究“等邻边四边形”性质时：①小红画了一个“等邻边四边形”ABCD（如图2），其中AB=AD，BC=CD，若∠A=80°，∠C=60°，写出∠B、∠D的度数．②小红猜想：对于任意四边形，若有一组邻边相等，一组对角相等，则这个四边形为“等邻边四边形”你认为他的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．（3）在锐角△ABC中，AB=AC，在平面内存在一点P，使PB=BA，PA=PC，四边形PABC可能是“等邻边四边形”吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC 的度数，若不可能，请说明理由．【分析】（1）只要证明AB=AD，AD=DC即可解决问题；（2）①如图2中，连接AC．只要证明△ABC≌△ADC，可得∠B=∠D解决问题；②猜想错误，反例说明即可；（3）分两种情形分别求解即可；【解答】解：（1）如图1中，∵AD∥BC，∠ABC=∠C，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∵∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AD=AB，AD=DC，∴四边形ABCD有两组邻边相等，∴四边形ABCD是“等邻边四边形”，故答案为是．（2）①如图2中，连接AC．∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D，∵∠BAD=80°，∠BCD=60°，∴∠B+∠D=360°﹣80°﹣60°=220°，∴∠B=∠D=110°．②小红猜想错误．反例，如图所示．四边形ABCD中，BA=BC，∠ABC=∠D=60°，四边形不是“等邻边四边形”．（3）①如图3中，当CB=CP，∵PA=PB，∴四边形ABCD是“等邻边四边形”．∵PB=AC，AB=BA，PA=BC，。