中考专题 几何动点问题
中考数学专题复习几何图形的动点问题同步提分训练含答案解析
2021年中考数学提分训练: 几何图形动点问题一、选择题1.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C〔M〕、N在同始终线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm速度向右挪动，至点C与点N重合为止，设挪动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分面积为y，那么y与x大致图象是〔〕A. B. C. D.2.如图1,在矩形ABCD中,动点E从A动身,沿方向运动,当点E到达点C时停顿运动,过点E做,交CD于F点,设点E运动路程为x, ,如图2所表示是y与x函数关系大致图象,当点E在BC上运动时,FC最大长度是,那么矩形ABCD面积是( )A. B. C. 6 D. 53.如图甲，A，B是半径为1⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A动身，在⊙O上以每秒一个单位速度匀速运动，回到点A运动完毕．设运动时间为x，弦BP长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x函数关系是〔〕A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④4.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B动身，以1cm/s速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP面积为S(cm2)，那么S与t大致图象是〔〕A. B. C. D.5.如图,矩形ABCD,R是CD中点,点M在BC边上运动,E，F分别为AM，MR中点,那么EF长随M点运动( )A. 变短B. 变长C. 不变D. 无法确定二、填空题6.在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如下图将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，那么点B所经过途径与直线l所围成封闭图形面积为________．〔结果不取近似值〕7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径⊙B上有一动点P.连接AP，假设点C为AP中点，连接OC，那么OC最小值为________．8.如图，在△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，假设A从原点动身，沿x轴向右以每秒1个单位长速度运动，那么点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC 在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停顿运动〔1〕连接OC，线段OC长随t改变而改变，当OC最大时，t＝________；〔2〕当△ABC边与坐标轴平行时，t＝________。
中考数学几何图形中的动点问题专题训练
中考数学几何图形中的动点问题专题训练(58分)一、选择题(每题6分，共18分)1． 如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝S 13矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为( D )A. B. C.5D.2934241图6－1－1 第1题答图【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝131213×5×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D.52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经过的路径长为x ，PD 2＝y，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是 ( D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝x，∴y ＝x 2＋a 2；②当图6－1－22a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ，∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y 与x{x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a <x ≤3a ），（x －5a ）2（3a <x ≤5a ），)的函数关系的图象是选项D 中的图象．3．如图6－1－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，以2为边长的正方形DEFG 的一边3GD 在直线AB 上，且点D 与点A 重合，现将正方形DEFG 沿AB 的方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点D 与点B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是( A )【解析】 首先根据在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝8，分别求出AC ，BC ，以及AB 边上的高线各是多少；然后根据图示，分三种情况：①当0≤t ≤2时；②当2＜t ≤6时；③当6＜t ≤8时，分别求出正方形33DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 的表达式，进而判断出正方形DEFG 与△ABC 的重合部分的面积S 与运动时间t 之间的函数关系图象大致是哪个即可．S ＝{36t 2（0≤t ≤23），2t －23（23<t ≤6），－233t 2＋（2＋83）t －263（6<t ≤8）.)二、解答题(共20分)4．(20分) 如图6－1－4，已知矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝m ，动点P 从点D 出发，在边DA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，连结CP ，作点D 关于直线PC 的对称点E .设点P 的运动时间为t (s)．图6－1－3(1)若m ＝6，求当P ，E ，B 三点在同一直线上时对应的t 的值．(2)已知m 满足：在动点P 从点D 到点A 的整个过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3.求所有这样的m的取值范围．图6－1－4【解析】 (1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .①在Rt △BEC 中，计算BE 的值；②在Rt △ABP 中，利用勾股定理列出关于t 的方程，解出t 值即可求；(2)如图②，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC ，过点E 作EF ⊥BC 于F .①在Rt △EFC 中，利用勾股定理求出CF ；②利用相似三角形的判定与性质求得BF ；③根据m ＝BC ＝BF ＋CF 计算m 的值．解：(1)如答图①，P ，E ，B 三点在同一直线上，连结EC .∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC .∵PD ＝t ，m ＝6，∴PA ＝6－t .∵点D ，点E 关于直线PC 对称．∴PE ＝t ，EC ＝DC ＝AB ＝4，∠CEP ＝∠CDP ＝90°.在Rt △BCE 中，∵BC ＝6，CE ＝4，∴BE ＝＝＝2.BC 2－EC 262－425在Rt △ABP 中，∵AB 2＋AP 2＝BP 2，即42＋(6－t )2＝(2＋t )2，5解得t ＝6－2.5(2)如答图②，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的下方，点E 到BC 的距离为3.作EQ ⊥BC 于Q ，EM ⊥DC 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.易证四边形EMCQ 是矩形，∴CM ＝EQ ＝3，∠M ＝90°，∴EM ＝＝，BC 2－CM 27∵∠DAC ＝∠EDM ，∠ADC ＝∠M ，第4题答图①∴△ADC ∽△DME ，∴＝，即＝，AD DM DC EM AD 747∴AD ＝4.7第4题答图② 第4题答图③如答图③，当点P 与A 重合时，点E 在BC 的上方，点E 到BC 的距离为3.作EQ ⊥BC 于Q ，延长QE 交AD 于M .则EQ ＝3，CE ＝DC ＝4.在Rt △ECQ 中，QC ＝DM ＝＝，由△DME ∽△CDA ，42－327∴＝，即＝，∴AD ＝，DM CD EM AD 741AD 477综上所述，在动点P 从点D 到点A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻t ，使点E 到直线BC 的距离等于3，这样的m 的取值范围是≤m ＜4.47775．(20分) 如图6－1－5，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一个动点，连结BE ，作点A 关于BE 的对称点F ，且点F 落在矩形ABCD 的内部．连结AF ，BF ，EF ，过点F 作GF ⊥AF 交AD 于点G ，设＝n .AD AE图6－1－5(1)求证：AE ＝GE ；(2)当点F 落在AC 上时，用含n 的代数式表示的值；AD AB(3)若AD ＝4AB ，且以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形，求n 的值．【解析】 设AE ＝a ，则AD ＝na .(1)由轴对称性质得到AE ＝FE ，结合“等边对等角”得到∠EAF ＝∠EFA .由垂直得到两个角的互余关系，根据“等角的余角相等”可得到结论；(2)由对称性质得BE ⊥AF ，先证∠ABE ＝∠DAC ，进而证得△ABE ∽△DAC ，根据相似三角形的对应边成比例建立关系式，通过适当变形求解；(3)由特例点F 落在线段BC 上，确定n ＝4，根据条件点F 落在矩形内部得到n ＞4，判断出∠FCG ＜90°.然后分∠CFG ＝90°和∠CGF ＝90°两种情况，由(2)的结论和相似三角形的性质分别建立关于n 的等式，求得n 的值．解：设AE ＝a ，则AD ＝na .(1)证明：由对称得AE ＝FE ，∴∠EAF ＝∠EFA .∵GF ⊥AF ，∴∠EAF ＋∠FGA ＝∠EFA ＋∠EFG ＝90°.∴∠FGA ＝∠EFG ，∴FG ＝EF ，∴AE ＝GE .(2)当点F 落在AC 上时(如答图①)，由对称得BE ⊥AF ，∴∠ABE ＋∠BAC ＝90°，∵∠DAC ＋∠BAC ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAC .又∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DAC ，∴＝.AB DA AE DC ∵AB ＝DC ，∴AB 2＝AD ·AE ＝na ·a ＝na 2.∵AB ＞0，∴AB ＝a ，∴＝＝.n AD AB na n an (3)若AD ＝4AB ，则AB ＝a .当点F 落在线段BC 上时(如答图②)，EF ＝AE ＝n 4AB ＝a .此时a ＝a ，n 4∴n ＝4.∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上，∴∠FCG ＜∠BCD ，∴∠FCG ＜90°.第5题答图①第5题答图② 第5题答图③①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，由(2)得＝，∴n ＝16.AD ABn ②若∠CGF ＝90°(如答图③)，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°.∵∠FAG ＋∠AGF ＝90°，∴∠CGD ＝∠FAG ＝∠ABE ，∵∠BAE ＝∠D ＝90°，∴△ABE ∽△DGC .∴＝，AB DG AE DC∴AB ·DC ＝DG ·AE ，即＝(n －2)a ·a ，(n 4a )2 解得n 1＝8＋4，n 2＝8－4＜4(不合题意，舍去)．∴当n ＝16或8＋4222时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三角形．(20分)6．(20分) 如图6－1－6，正方形ABCD 的边长为6 cm ，点E ，M 分别是线段BD ，AD 上的动点，连结AE 并延长，交边BC 于F ，过M 作MN ⊥AF ，垂足为H ，交边AB 于点N .(1)如图①，若点M 与点D 重合，求证：AF ＝MN ；(2)如图②，若点M 从点D 出发，以1 cm/s 的速度沿DA 向点A 运动，同时点E 从点B 出发，以 cm/s 的速度沿BD 向点D 运动，设运动时间为t s.2①设BF ＝y cm ，求y 关于t 的函数表达式；②当BN ＝2AN 时，连结FN ，求FN 的长．图6－1－6【解析】 (1)由正方形性质和垂直的性质就可以得出∠ADN ＝∠BAF ，利用“AAS ”可以得出△ADN ≌△BAF 就可以得到结论AF ＝MN ；(2)①由AD ∥BF 可得△ADE ∽△FBE ，利用＝可以构造y 关于t 的函数AD BF DE BE 表达式；②由(1)可知△MAN ∽△ABF ，∴＝，又∵BN ＝2AN ，∴MA AN AB BF 6－t 2＝，用含t 的代数式表示BF ，结合①中的关系式，可以构造关于t 的方程6BF 求出t 的值，从而求出BF ，最后利用勾股定理求FN 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ＝AB ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADC ＝90°.∵MN ⊥AF ，∴∠DHA ＝∠NHA ＝90°，∴∠ADH ＋∠HAD ＝90°，∠NAH ＋∠HAD ＝90°，∴∠ADH ＝∠NAH .在△ADN 与△BAF 中，∴△ADN ≌△BAF ，{∠ADN ＝∠BAF ，AD ＝BA ，∠DAN ＝∠ABF ，)∴AF ＝DN ，即AF ＝MN .(2)①∵正方形的边长为6 cm ，∴BD ＝＝AD ＝6 cm ，AB 2＋AD 222∵设运动时间为t s ，根据题意，得BE ＝t cm ，2∴DE ＝ BD －BE ＝(6－t )cm ，22∵AD ∥BF ，∴△ADE ∽△FBE ，∴ ＝，AD BF DE BE∵BF ＝y cm ，∴＝，即y ＝，6y 62－2t 2t6t 6－t ∴y 关于t 的函数表达式为y ＝.6t 6－t②∵BN ＝2AN ，AB ＝6 cm ，∴AN ＝2 cm ，BN ＝4 cm ，由(1)得△MAN ∽△ABF ，又∵DM ＝t cm ，AM ＝(6－t )cm ，∴＝，即＝，∴BF ＝，MA AN AB BF 6－t 26BF 126－t 又∵y ＝，∴，＝ 解得t ＝2，6t 6－t 126－t 6t 6－t 当t ＝2时，BF ＝y ＝＝3 cm ，在Rt △NBF 中，FN ＝＝6t 6－tBN 2＋BF242＋32＝5，∴当BN ＝2AN 时，FN 的长为5 cm.(22分)7．(22分) 如图6－1－7，已知线段AB ＝2，MN ⊥AB 于点M ，且AM ＝BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是PA ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点为C (点C 在线段BD 上)，连结AC ，DE .(1)当∠APB ＝28°时，求∠B 和的度数；CM ︵(2)求证：AC ＝AB ；(3)在点P 的运动过程中．①当MP ＝4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得点G ，若点G 恰好落在MN 上，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 与△DEG 的面积比．图6－1－7【解析】 (1)由垂直平分线的性质得到等腰△PAB ，由三线合一得 ∠APM ＝∠BPM ＝∠APB ＝14°，∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－14°＝ 76°，再利用直角12三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得∠MDB ＝∠BAC ＝2∠DPM ＝28°，以此求得弧CD 的度数为2∠MDB ＝56°；(2)由同角的余角相等，得 ∠ACB ＝∠B ，AC ＝AB ；(3)由垂直分线的性质，分类讨论符合条件的点Q 的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ 的长度；利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．解：(1)如答图①，连结MD .∵AB ⊥MN ，AM ＝BM ，∴PM 垂直平分线段AB ，∴PA ＝PB ，在等腰三角形PAB 中，∵∠APB ＝28°，∴∠APM ＝∠BPM ＝∠APB ＝1214°，∴∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－14°＝ 76°，在Rt △MPB 中，点D 为斜边BP 的中点，∴DM ＝DP ，∴∠MPD ＝∠DMP ＝14°，∴∠MDB ＝∠BAC ＝2∠DPM ＝28°，∴的度数＝2∠MDB ＝56°；CM ︵(2)证明：由(1)可得∠B ＝90°－∠BPM ＝90°－∠BAC ，12在△ABC 中，∠ACB ＝180°－∠B －∠BAC ＝180°－(90°－∠BAC )－∠BAC 12＝90°－∠BAC ，12∴∠ACB ＝∠B, ∴AC ＝AB .第7题答图① 第7题答图②(3)①若要满足题意，则点Q 必为过点A ，C ，E ，D 的垂线与线段MN 的交点，分析图形可得只有过点C ，E ，D 的垂线与线段MN 的交点满足题意．(Ⅰ)若CQ ⊥CP (如答图②点Q 1)，AM ＝BM ＝1，MP ＝4，由勾股定理，得BP ＝＝，由(1)(2)可得∠BAC ＝∠APB ，12＋4217又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△PBA ，∴＝，得BC ＝，ABBC BP AB 41717∴CP ＝.131717由△PCQ 1∽△PMB ，得＝，解得PQ 1＝，CP MP PQ 1PB 134∴ MQ 1＝4－PQ 1＝.34(Ⅱ)若QD ⊥BP ，由EP ＝DP 可知 △EPQ 2≌△DPQ 2(如答图②点Q 2)，∴ EQ 2⊥EP .(即过点E ，D 的垂线与线段MN 的交点重合)∵点D 为线段BP 的中点，且Q 2D ⊥BP ，∴Q 2D 垂直平分线段BP ，则Q 2P ＝Q 2B ，设Q 2M ＝x ，则Q 2B ＝Q 2P ＝4－x, 由勾股定理，得BM 2＋M 2Q 2＝B 2Q 2，12＋x 2＝(4－x )2，解得x ＝.185(Ⅲ)若AC ⊥CQ (如答图②点Q 3)，∵∠ACQ 3＝90°，∴Q 3A 为该圆的直径，∴点Q 3为MP 与圆的交点，∵∠MAC ＝∠MQ 3C ＝2∠MPC ，∠MQ 3C ＝∠MPC ＋∠Q 3CP ，∴PQ 3＝ CQ 3，设MQ 3＝x ，则PQ 3＝4－x ，AC ＝AB ＝2，∵A 3Q 2＝AM 2＋M 3Q 2＝AC 2＋C 3Q 2，∴12＋x 2＝22＋(4－x )2，解得x ＝.198综上所述，MQ 的值为或或.34158198②如答图③，过点E 作AP 的中垂线，交MP于点K .过点C 作CJ ⊥AB 于点J ，连结AK ，KE ，DM .∵点M ，D 分别为AB ，BP 的中点，∴MD 为△ABP 的中位线，∴MD ∥AP ，AM ＝DF .又∵AM ∥ED ，∴四边形MAED 为平行四边形，∴AM ＝DE ，∠MDE ＝∠MAP ，∴DE ＝DF ，∵△GHE ≌△GHD ，∴ GE ＝GD ，∴GE ＝GD ＝DE ＝DF ，则△GDE 为正三角形，∠GDE ＝60°.第7题答图③∵∠EDF ＝90°－60°－30°，∴∠DEF ＝(180°－∠EDF )＝75°，12∴∠APM ＝15°，则∠AKM ＝2∠APM ＝30°，∴MK ＝，AK ＝KP ＝2，tan75°＝tan ∠MAP ＝＝＝2＋，3PM MA 2＋313∴tan ∠MAP ＝tan ∠HEP ＝tan75°＝2＋，3∵EH 为△AMP 的中位线，∴EH ＝，GH ＝，1232∴tan ∠HEP ＝＝2＋，HP ＝(2＋)，∴MG ＝1，PH EH 3123∵∠MAC ＝2∠MPA ＝30°，AM ＝1，CJ ＝AC ＝AB ＝1，1212∴MI ＝，IG ＝1－，AJ ＝，33333∴S △ACG ＝IG ·AJ ＝××＝，S △EDG ＝ED ·GH ＝×1×＝，1212(1－33)33－1212123234∴＝＝.S △ACGS △DEG 3－12346－233。
中考数学专题训练—几何图形动点问题分类
12 如解图 ②，过点 B 作 BN⊥AE 于 N，则 BN＝ ，
5
第 3 题解图 ②
∴ y＝12x(0< x≤2.5，) 5
12
{ ) ∴y＝
x（0 < x ≤5） 5
.
32－4x（5 ≤x ≤8）
4.如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，点 E 在 AD 边上运动，且不 与点 A 和点 D 重合，连接 CE，过点 C 作 CF⊥ CE 交 AB 的延长线于点 F，EF 交 BC 于点 G.
1 5. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，G 分别是边 AD，BC 的中点， AF＝
4 AB. (1)求证： EF⊥AG； (2)若点 F，G 分别在射线 AB，BC 上同时向右、向上运动，点 G 运动速度 是点 F 运动速度的 2 倍， EF⊥AG 是否成立 (只写结果，不需说明理由 )? (3)正方形 ABCD 的边长为 4， P 是正方形 ABCD 内一点，当 S△PAB＝ S△OAB 时，求 △PAB 周长的最小值．
第 3 题解图 ①
1
1
∵ S△ABE＝ AE·BH＝ AB·BE，
2
2
∴ BH＝ 24， 5
又 ∵ AP＝ 2x，
∴ y＝1AP·BH＝ 24x(0<x≤5；)
2
5
(2) ∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ B＝∠C＝90°，
AB＝DC, AD＝BC，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵E 为 BC 中点，
∴ BE＝EC，
∴△ ABE≌△ DCE(SAS)，
5 个单位长度．以点 Q 为圆心， PQ 为半径作 ⊙Q.
(1)求证：直线 AB 是⊙Q 的切线；
中考数学压轴题专题汇编--几何动点问题解析
图3 （2）关系式 MN 2 AM 2 BN 2 仍然成立．
图4
如图 4，将△ ACM 沿直线 CE 对折，得△ DCM ，连 DN ，则△ DCM ≌△ ACM ． 所以 CD CA ， DM AM ， DCM ACM ， CDM CAM ． 又 由 CA CB ， 得 CD CB ． 由 DCN DCM ECF DCM 45
满分解答
（1）直线 y
4 x 4 与 x 轴的交点为 B（3，0）、与 y 轴的交点 C（0，4）．Rt△BOC 中，OB＝3，OC 3
＝4，所以 BC＝5．点 A 的坐标是（-2，0），所以 BA＝5．因此 BC＝BA，所以△ABC 是等腰三角形． （2） ①如图 2， 图 3， 过点 N 作 NH⊥AB， 垂足为 H． 在 Rt△BNH 中， BN＝t，sin B 如图 2，当 M 在 AO 上时，OM＝2－t，此时
，
BCN ACB ACN 90 (ECF ACM ) 45 ACM ，得 DCN BCN ．
又 CN CN ，所以△ CDN ≌△ CBN ．因此 DN BN ， CDN B 45 ． 又由于
CDM CAM 180 CAB 135 ，
思路点拨
1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点 M、N 同时出发，同时到达终点． 2．不论 M 在 AO 上还是在 OB 上，用含有 t 的式子表示 OM 边上的高都是相同的，用含有 t 的式子表示 OM 要分类讨论． 3．将 S＝4 代入对应的函数解析式，解关于 t 的方程． 4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM＝90°的可能．
中考数学压轴题专题汇编----动点问题汇总
中考数学复习几何动点问题专项练习
中考数学复习几何动点问题专项练习1.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，且2BD=，求AB的值.AD=，22∆中，已知点D是BC边上的点,BC=11,AD=BD,tan B = 4/3,tan C =0.52.如图，在ABC∠的值.(1)求AB的长; (2)求cos ADB3.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为线段AB上一动点(不与点A．点B重合)，先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H. (1)求证：△AEG∽△DHC；(2)若折叠过程中，CF与AD的交点H恰好是AD的中点时，求tan∠BEC的值；(3)若折叠后，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，求此时AE的长。
长.4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AB=10，AC=6，点E、F分别是边AC、BC上的动点，过点E作ED⊥AB于点D，过点F作FG⊥AB于点G，DG的长始终为2．（1）当AD=3时，求DE 的长；（2）当点E 、F 在边AC 、BC 上移动时，设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数解析式。
（3）在点E 、F 移动过程中，△AED 与△CEF 能否相似，若能，求AD 的长；若不能，请说明理由．5.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发沿AC 向C 点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q 从C 出发沿CB 向B 点以2厘米/秒的 速度匀速移动．点P 、Q 分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t 秒． （1）当t= 时，PQ ∥AB. （2）当t 为何值时，△PCQ 的面积等于5cm 2？ （3）在P 、Q 运动过程中，在某一时刻，若将△PQC 翻折，得到△EPQ ，如图2，PE 与AB 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．6. 如图1,△ABC 中,∠ACB=900,AC=4cm,BC=6cm,D 是BC 的中点.点E 从A 出发,以acm/s(a ＞0)的速度沿AC 匀速向点C 运动;点F 同时以1cm/s 的速度从点C 出发,沿CB 匀速向点B 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,过点E 作AC 的垂线,交AD 于点G ，连接EF ，FG,设它们运动的时间为t 秒(t≥t0).(1)若t=2，△CEF∽△ABC，求a的值；(2)当a=0.5时，以点E、F、D、G为顶点点四边形时平行四边形，求t的值；(3)若a=2，是否存在实数t，使得点△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．。
中考几何动点问题12种模型全总结PPT
中考几何动点问题12种模型全总结PPT
1.利用垂线段最短求最值
2.利用将军饮马求最值
3.同侧线段和最小值问题
4.同侧差最大值问题
5.异侧差最大值问题
6.“一点两线”型(两动点＋一定点)
7.“两点两线”型(两动点＋两定点)
8.利用圆的相关性质求线段最值
9.点圆最值
10.直径对直角
11.四点共圆
12.特定条件问题
1.利用垂线段最短求最值
2.利用将军饮马求最值
3.同侧线段和
1.利用垂线段最短求最值
2.利用将军饮马求最值
3.同侧线段和最小值问题
4.同侧差最大值问题
5.异侧差最大值问题
6.“一点两线”型(两动点＋一定点)
7.“两点两线”型(两动点＋两定点)
8.利用圆的相关性质求线段最值
9.点圆最值
10.直径对直角
11.四点共圆
12.特定条件问题问题
4.同侧差最大值问题
5.异侧差最大值问题
6.“一点两线”型(两动点＋一定点)
7.“两点两线”型(两动点＋两定点)
8.利用圆的相关性质求线段最值
9.点圆最值
10.直径对直角
11.四点共圆
12.特定条件问题。
河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练
专题三几何图形的折叠与动点问题类型一与特殊图形有关(2018·河南)如图.∠MAN＝90°.点C在边AM上.AC＝4.点B为边AN上一动点.连接BC.△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.点D.E分别为AC.BC的中点.连接DE并延长交A′B所在直线于点F.连接A′E.当△A′EF为直角三角形时.AB的长为________．【分析】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①∠A′EF＝90°.②∠A′FE＝90°进行讨论．【自主解答】当△A′EF为直角三角形时.存在两种情况：①当∠A′EF＝90°时.如解图①.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴A′C＝AC＝4.∠ACB＝∠A′CB.∵点D.E分别为AC.BC的中点.∴D、E是△ABC的中位线.∴DE∥AB.∴∠CDE＝∠MAN＝90°.∴∠CDE＝∠A′EF.∴AC∥A′E.∴∠ACB＝∠A′EC.∴∠A′CB＝∠A′EC.∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中.∵E是斜边BC的中点.∴BC＝2A′E＝8.由勾股定理.得AB2＝BC2－AC2.∴AB＝82－42＝43；②当∠A′FE＝90°时.如解图②.∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°.∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称.∴∠ABC＝∠CBA′＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形.∴AB＝AC＝4；综上所述.AB的长为43或4.图①图②1．如图.四边形ABCD是菱形.AB＝2.∠ABC＝30°.点E是射线DA上一动点.把△CDE沿CE折叠.其中点D 的对应点为D′.连接D′B. 若使△D′BC为等边三角形.则DE＝________________.2．如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝4.E、F分别为AB、AC上的点.沿直线EF将∠B折叠.使点B恰好落在AC上的D处．当△ADE恰好为直角三角形时.BE的长为______．3．(2017·河南)如图.在Rt△ABC中.∠A＝90°.AB＝AC.BC＝2＋1.点M.N分别是边BC.AB上的动点.沿MN所在的直线折叠∠B.使点B的对应点B′始终落在边AC上．若△MB′C为直角三角形.则BM的长为__________．4．(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4.∠DAB＝60°.点M、N分别在边AD、AB上.且MN⊥AC.垂足为P.把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形.则AP的长为____________．5．(2017·三门峡一模)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AB＝5.AC＝3.点D是BC上一动点.连接AD.将△ACD沿AD折叠.点C落在点C′.连接C′D交AB于点E.连接BC′.当△BC′D是直角三角形时.DE的长为______．6．(2018·盘锦)如图.已知Rt△ABC中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC＝23＋4.点M、N分别在线段AC、AB 上．将△ANM沿直线MN折叠.使点A的对应点D恰好落在线段BC上.当△DCM为直角三角形时.折痕MN的长为__________．7．(2018·乌鲁木齐)如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.BC＝2 3.AC＝2.点D是BC的中点.点E是边AB上一动点.沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置.B′D交AB于点F.若△AB′F为直角三角形.则AE的长为________．8．(2017·洛阳一模)在菱形ABCD 中.AB ＝5.AC ＝8.点P 是对角线AC 上的一个动点.过点P 作EF 垂直AC 交AD 于点E.交AB 于点F.将△AEF 折叠.使点A 落在点A′处.当△A′CD 为等腰三角形时.AP 的长为______．9．(2018·濮阳一模)如图.在Rt△ABC 中.∠C＝90°.AC ＝3.BC ＝4.点D.E 为AC.BC 上两个动点．若将∠C 沿DE 折叠.点C 的对应点C′恰好落在AB 上.且△ADC′恰好为直角三角形.则此时CD 的长为__________．类型二 点的位置不确定(2016·河南)如图.已知AD∥BC .AB⊥BC .AB ＝3.点E 为射线BC 上一个动点.连接AE.将△ABE 沿AE折叠.点B 落在点B′处.过点B′作AD 的垂线.分别交AD.BC 于点M.N.当点B′为线段MN 的三等分点时.BE 的长为________．【分析】 根据勾股定理.可得EB′.根据相似三角形的性质.可得EN 的长.根据勾股定理.可得答案．【自主解答】 由翻折的性质.得AB ＝AB′.BE ＝B′E.①当MB′＝2.B′N＝1时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋1.由△B′EN～△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 2＝x 2＋13.x 2＝45.BE ＝B′E＝45＋1＝355； ②当MB′＝1.B′N＝2时.设EN ＝x.得B′E＝x 2＋22.△B′EN∽△AB′M .EN B′M ＝B′E AB′.即x 1＝x 2＋43.解得x 2＝12.BE ＝B′E＝12＋4＝322.故答案为：322或355.1．如图.正方形ABCD 的边长为9.将正方形折叠.使D 点落在BC 边上的点E 处.折痕为GH.若点E 是BC 的三等分点.则线段CH 的长是_______．2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中.AB＝4.BC＝9.点E是AD边上一动点.将边AB沿BE折叠.点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.则AE的长为__________．3．(2015·河南)如图.矩形ABCD中.AD＝5.AB＝7.点E为DC上一个动点.把△ADE沿AE折叠.当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时.DE的长为______．4．(2017·商丘模拟)如图.在矩形ABCD中.AD＝5.AB＝8.点E为射线DC上一个动点.把△ADE沿直线AE 折叠.当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时.则DE的长为__________．5．如图.在矩形ABCD中.BC＝6.CD＝8.点P是AB上(不含端点A.B)任意一点.把△PBC沿PC折叠.当点B 的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时.BP＝________．6．(2018·河南模拟)如图.△ABC中.AB＝ 5.AC＝5.tan A＝2.D是BC中点.点P是AC上一个动点.将△BPD 沿PD折叠.折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半.则AP的长为____________．7．在矩形ABCD中.AB＝6.BC＝12.点E在边BC上.且BE＝2CE.将矩形沿过点E的直线折叠.点C.D的对应点分别为C′.D′.折痕与边AD交于点 F.当点 B.C′.D′恰好在同一直线上时.AF的长为__________________．类型三根据图形折叠探究最值问题如图.在矩形纸片ABCD中.AB＝2.AD＝3.点E是AB的中点.点F是AD边上的一个动点.将△AEF沿EF所在直线翻折.得到△A′EF.则A′C的长的最小值是________．【分析】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.根据折叠的性质可知A′E＝1.在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度.用CE－A′E即可求出结论．例3题解图【自主解答】以点E为圆心.AE长度为半径作圆.连接CE.当点A′在线段CE上时.A′C的长取最小值.如解图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝12AB＝1.在Rt△BCE中.BE＝12AB＝1.BC＝3.∠B＝90°.∴CE＝BE2＋BC2＝10.∴A′C的最小值＝CE－A′E＝10－1.故答案为10－1.1．(2019·原创)如图.在边长为10的等边三角形△ABC中.D是AB边上的动点.E是AC边的中点.将△ADE 沿DE翻折得到△A′DE.连接BA′.则BA′的最小值是__________．2．在矩形ABCD中.AD＝12.E是AB边上的点.AE＝5.点P在AD边上.将△AEP沿EP折叠.使得点A落在点A′的位置.如图.当A′与点D的距离最短时.△A′PD的面积为________．3．如图.在边长为4的正方形ABCD中.E为AB边的中点.F是BC边上的动点.将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F.连接B′D.则当B′D取得最小值时.tan∠BEF的值为__________．4．(2017·河南模拟)如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝4.BC＝6.点D是边BC的中点.点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合).沿DE翻折△DBE使点B落在点F处.连接AF.则线段AF的长取最小值时.BF 的长为_________．参考答案类型一针对训练1.3＋1或23－2 【解析】(1)当点E在边AD上时.过点E作EF⊥CD于F.如解图①.设CF＝x.第1题解图①∵∠ABC＝30°.∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等边三角形.∴∠DCD′＝90°.由折叠可知.∠ECD＝∠D′CE＝45°.∵EF＝CF＝x.在直角三角形DEF中.∠D＝30°.∴DE＝2x.∴DF＝3x.∴CD＝CF＋DF＝x＋3x＝2.解得x＝3x－1.∴DE＝2x＝23－2.(2)当E在DA的延长线上时.如解图②.第1题解图②过点B作BF⊥DA于点F.根据折叠可知.∠ED′C＝∠D＝30°.又∵三角形BD′C是等边三角形.∴D′E垂直平分BC.∵AD∥BC.∴D′E⊥AD.∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°.又∵AB＝2.∴AF＝ 3.令D′E与BC的交点为G.则易知EF ＝BG ＝12BC ＝1.∴AE＝3－1.∴DE＝3＋1.综上所述.DE 的长度为3＋1或23－2. 2.158或157【解析】在Rt△ABC 中.∵∠C＝90°.AB ＝5.AC ＝4.∴BC＝3.沿直线EF 将∠B 折叠.使点B 恰好落在BC 上的D 处.当△ADE 恰好为直角三角形时.根据折叠的性质：BE ＝DE.设BE ＝x.则DE ＝x.AE ＝5－x.①当∠ADE＝90°时.则DE∥BC .∴DE CB ＝AE AB .∴x 3＝5－x 5.解得x ＝158；②当∠AED＝90°时.则△AED∽△ACB .∴DE BC＝AE AC .∴x 3＝5－x 4.解得x ＝157.故所求BE 的长度为：158或157. 3.122＋12或1 【解析】①如解图①.当∠B′MC＝90°.B′与A 重合.M 是BC 的中点.∴BM＝12BC ＝122＋12；②如解图②.当∠MB′C＝90°.∵∠A＝90°.AB ＝AC.∴∠C＝45°.∴△CMB′是等腰直角三角形.∴CM＝2MB′.∵沿MN 所在的直线折叠∠B.使点B 的对应点为B′.∴BM＝B′M .∴CM＝2BM.∵BC＝2＋1.∴CM ＋BM ＝2BM ＋BM ＝2＋1.∴BM＝1.综上所述.若△MB′C 为直角三角形.则BM 的长为122＋12或1.图①图②第3题解图 4.433或23－2 【解析】①如解图①.当A′D＝A′C 时.∠A′DC＝∠A′CD＝30°.∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝30°.∴∠ADA′＝90°.在Rt△ADA′中.AA′＝AD cos 30°＝432＝833.由折叠可得AP ＝12AA′＝433；图①图②第4题解图②如解图②.当CD ＝CA′＝4时.连接BD 交AC 于O.则Rt△COD 中.CO ＝CD×cos 30°＝4×32＝2 3.∴AC ＝4 3.∴AA′＝AC －A′C＝43－4.由折叠可得AP ＝12AA′＝23－2；故答案为433或23－2. 5 .32或34【解析】如解图①所示.点E 与点C′重合时．在Rt△ABC 中.BC ＝AB 2－AC 2＝4.由翻折的性质可知；AE ＝AC ＝3、DC ＝DE.则EB ＝2.设DC ＝ED ＝x.则BD ＝4－x.在Rt△DBE 中.DE 2＋BE 2＝DB 2.即x 2＋22＝(4－x)2.解得x ＝32.∴DE＝32.图①图②第5题解图如解图②所示：∠EDB＝90°时．由翻折的性质可知：AC ＝AC′.∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D ＝∠CDC′＝90°.∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC＝AC′.∴四边形ACDC′为正方形．∴CD＝AC ＝3.∴DB＝BC －DC ＝4－3＝1.∵DE∥AC .∴△BDE∽△BCA.∴DE AC ＝DB CB ＝14.即ED 3＝14.解得DE ＝34.点D 在CB 上运动.∠DBC′＜90°.故∠DBC′不可能为直角．故答案为：32或34. 6.23＋43或 6 【解析】分两种情况：①如解图①.当∠CDM＝90°.△CDM 是直角三角形.∵在Rt△ABC 中.∠B＝90°.∠A＝60°.AC ＝23＋4.∴∠C＝30°.AB ＝12AC ＝3＋2.由折叠可得.∠MDN＝∠A＝60°.∴∠BDN＝30°.∴BN＝12DN ＝12AN.∴BN＝13AB ＝3＋23.∴AN＝2BN ＝233＋43.∵∠DNB＝60°.∴∠ANM ＝∠DNM＝60°.∴∠ANM＝60°.∴AN＝MN ＝23＋43.②如解图②.当∠CMD＝90°时.△CDM 是直角三角形.由题可得∠CDM＝60°.∠A＝∠MDN＝60°.∴∠BDN＝60°.∠BND＝30°.∴BD＝12DN ＝12AN.BN ＝3BD.又∵AB＝3＋2.∴AN＝2.BN ＝ 3.过N 作NH⊥AM 于H.则∠ANH＝30°.∴AH＝12AN ＝1.HN ＝ 3.由折叠可得∠AMN＝∠DMN＝45°.∴△MNH 是等腰直角三角形.∴HM＝HN ＝ 3.∴MN＝ 6.故答案为23＋43或 6.图①图②第6题解图7．3或145 【解析】∴∠C＝90°.BC ＝2 3.AC ＝2.∴tan B＝AC BC ＝223＝33.∴∠B＝30°.∴AB＝2AC ＝4.∵点D 是BC 的中点.沿DE 所在直线把△BDE 翻折到△B′D′E 的位置.B′D 交AB 于点F.∴DB＝DC ＝ 3.EB′＝EB.∠DB′E＝∠B＝30°.设AE ＝x.则BE ＝4－x.EB′＝4－x.当∠AFB′＝90°时.在Rt△BDF 中.cos B ＝BF BD .∴BF＝3cos 30°＝32.∴EF＝32－(4－x)＝x －52.在Rt△B′EF 中.∵∠EB′F＝30°.∴EB′＝2EF. 则4－x ＝2(x －52).解得x ＝3.此时AE 为3；第7题解图当∠FB′A＝90°时.作EH⊥AB′于H.连接AD.如解图.∵DC＝DB′.AD ＝AD.∴Rt△ADB′≌Rt△ADC .∴AB′＝AC ＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°.∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中.B′H＝12B ′E ＝12(4－x).EH ＝3B′H＝32(4－x).在Rt△AEH 中.∵EH 2＋AH 2＝AE 2.∴34(4－x)2＋[12(4－x)＋2]2＝x 2.解得x ＝145.此时AE 为145.综上所述.AE 的长为3或145. 8.32或3916【解析】∵四边形ABCD 是菱形.∴AB＝BC ＝CD ＝AD ＝5.∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′.∴∠EPA＝∠FPA′＝90°.∴∠EAP＋∠AEP＝90°.∠FAP＋∠AFP＝90°.∴∠AEP＝∠AFP .∴AE＝AF.∵△A′EF 是由△AEF 翻折.∴AE＝EA′.AF ＝FA′.∴AE＝EA′＝A′F＝FA.∴四边形AEA′F 是菱形.∴AP＝PA′.①当CD＝CA′时.∵AA′＝AC －CA′＝3.∴AP ＝12AA′＝32.②当A′C ＝A′D 时.∵∠A′CD ＝∠A′DC ＝∠DAC .∴△A′CD∽△DAC.∴A′C AD ＝DC AC .∴A′C＝258.∴AA′＝8－258＝398.∴AP＝12AA′＝3916.故答案为32或3916. 9.127或43【解析】①如解图①.当∠ADC′＝90°时.∠ADC′＝∠C .第9题解图①∴DC′∥CB .∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3.BC ＝4.∴AD DC′＝34.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝34.解得x ＝127.经检验：x ＝127是所列方程的解.∴CD＝127；②如解图②.当∠DC′A＝90°时.∠DCB＝90°.第9题解图②由折叠可得.∠C ＝∠DC′E ＝90°.∴C′B 与CE 重合.由∠C ＝∠AC′D ＝90°.∠A ＝∠A .可得△ADC′∽△ABC .在Rt △ABC 中.AB ＝5.∴AD C′D ＝AB CB ＝54.设CD ＝C′D＝x.则AD ＝3－x.∴3－x x ＝54.解得x ＝43.∴CD＝43.综上所述.CD 的长为127或43. 类型二针对训练1．4或52 【解析】设CH ＝x.则DH ＝EH ＝9－x.当BE∶EC＝2∶1时.BC ＝9.∴CE＝13BC ＝3.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝32＋x 2.解得x ＝4.即CH ＝4.当BE∶EC＝1∶2时.CE ＝23BC ＝6.在Rt△ECH 中.EH 2＝EC 2＋CH 2.即(9－x)2＝62＋x 2.解得：x ＝52.即CH ＝52.故CH 的长为4或52. 2.477或4155【解析】如解图.过点A′作A′M⊥AD 于M 交BC 于N.则四边形ABNM 是矩形.∴AB＝MN ＝4.∵若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3.∴A′M＝1.A′N＝3或A′M＝3.A′N＝1.①当A′M＝1.A′N ＝3时.在Rt△BA′N 中.BN ＝42－32＝7.∴AM ＝BN ＝7.由△A′EM～△BA′N .∴EM A′N ＝A′M BN .∴EM 3＝17.∴EM＝377.∴AE＝477；②当A′M＝3.A′N＝1时.同理可得AE ＝4155.,第2题解图)第3题解图3.52或53【解析】如解图.连接BD′.过D′作MN⊥AB .交AB 于点M.CD 于点N.作D′P⊥BC 交BC 于点P.∵点D 的对应点D′落在∠ABC 的平分线上.∴MD′＝PD′.设MD′＝x.则PD′＝BM ＝x.∴AM＝AB －BM ＝7－x.又由折叠图形可得AD ＝AD′＝5.∴x 2＋(7－x)2＝25.解得x ＝3或4.即MD′＝3或4.在Rt△END′中.设ED′＝a.①当MD′＝3时.AM ＝7－3＝4.D′N＝5－3＝2.EN ＝4－a.∴a 2＝22＋(4－a)2.解得a ＝52.即DE ＝52；②当MD′＝4时.AM ＝7－4＝3.D′N＝5－4＝1.EN ＝3－a.∴a 2＝12＋(3－a)2.解得a ＝53.即DE ＝53.综上所述.DE 的长为52或53. 4.52或10 【解析】分两种情况：①如解图①.当点F 在矩形内部时.∵点F 在AB 的垂直平分线MN 上.∴AN ＝4.∵AF＝AD ＝5.由勾股定理得FN ＝3.∴FM＝2.设DE 为x.则EM ＝4－x.FE ＝x.在△EMF 中.由勾股定理.得x 2＝(4－x)2＋22.∴x＝52.即DE 的长为52；图①图②第4题解图②如解图②.当点F 在矩形外部时.同①的方法可得FN ＝3.∴FM＝8.设DE 为y.则EM ＝y －4.FE ＝y.在△EMF 中.由勾股定理.得y 2＝(y －4)2＋82.∴y＝10.即DE 的长为10.综上所述.点F 刚好落在线段AB 的垂直平分线上时.DE 的长为52或10. 5．3或92【解析】①点A 落在矩形对角线BD 上.如解图①.∵在矩形ABCD 中.AB ＝8.BC ＝6∴∠ABC＝90°.AC ＝BD.∴AC＝BD ＝62＋82＝10.根据折叠的性质.得PC⊥BB′.∴∠PBD＝∠BCP .∴△BCP∽△ABD .∴BP AD ＝BC AB.即BP 6＝68.解得BP ＝92；②点A 落在矩形对角线AC 上.如解图②.根据折叠的性质.得BP ＝B′P .∠B＝∠PB′C ＝90°.∴∠AB′A＝90°.∴△APB′∽△ACB .∴B′P BC ＝AP AC .即BP 6＝8－BP 10.解得BP ＝3.故答案为：3或92.图①图②第5题解图6．2或5－ 5 【解析】分两种情况：①当点B′在AC 的下方时.如解图①.∵D 是BC 中点.∴S △BPD ＝S △PDC .∵S △PDF ＝12S △BPD .∴S △PDF ＝12S △PDC .∴F 是PC 的中点.∴DF 是△BPC 的中位线.∴DF∥BP .∴∠BPD＝∠PDF .由折叠得：∠BPD＝∠B′PD .∴∠B′PD＝∠PDF .∴PB′＝B′D .即PB ＝BD.过B 作BE⊥AC 于E.在Rt△ABE中.tan A ＝BE AE＝2.∵AB＝ 5.∴AE＝1.BE ＝2.∴EC＝5－1＝4.由勾股定理.得BC ＝BE 2＋EC 2＝22＋42＝2 5.∵D 为BC 的中点.∴BD＝ 5.∴PB＝BD ＝ 5.在Rt△BPE 中.PE ＝1.∴AP＝AE ＋PE ＝1＋1＝2；图①图②第6题解图②当点B′在AC 的上方时.如解图②.连接B′C .同理得：F 是DC 的中点.F 是PB′的中点.∴DF＝FC.PF ＝FB′.∴四边形DPCB′是平行四边形.∴PC＝B′D＝BD＝ 5.∴AP＝5－ 5.综上所述.AP的长为2或5－5.7．8＋23或8－2 3 【解析】由折叠的性质得.∠EC′D′＝∠C＝90°.C′E＝CE.∵点B、C′、D′在同一直线上.∴∠BC′E＝90°.∵BC＝12.BE＝2CE.∴BE＝8.C′E＝CE＝4.在Rt△BC′E中.BE C′E＝2.∴∠C′BE＝30°.①当点C′在BC的上方时.如解图①.过E作EG⊥AD于G.延长EC′交AD于H.则四边形ABEG是矩形.∴EG＝AB＝6.AG＝BE＝8.∵∠C′BE＝30°.∠BC′E＝90°.∴∠BEC′＝60°.由折叠的性质得.∠C′EF＝∠CEF＝60°.∵AD∥BC.∴∠HFE＝∠CEF＝60°.∴△EFH是等边三角形.∴在Rt△EFG 中.EG＝6.∴GF＝23.∴AF＝8＋23；②当点C′在BC的下方时.如解图②.过F作FG⊥AD于G.D′F交BE于H.同①可得.四边形ABGF是矩形.△EFH是等边三角形.∴AF＝BG.FG＝AB＝6.∠FEH＝60°.在Rt△EFG 中.GE＝23.∵BE＝8.∴BG＝8－2 3.∴AF＝8－2 3.图①图②第7题解图类型三针对训练1．53－5 【解析】如解图.连接BE.第1题解图∵AB＝BC＝AC＝10.∴∠C＝60°.∵AB＝BC.E是AC的中点.∴BE⊥AC.∴BE＝BC2－EC2＝102－52＝53.∵AC＝10.E是AC边的中点.∴AE＝5.由翻折的性质可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE.∴当点B、A′、E在一条直线上时.BA′有最小值.最小值＝BE－A′E＝53－5.2.403【解析】连接DE.DE＝52＋122＝13.∵将△AEP沿FP折叠.使得点A落在点A′的位置.∴EA′＝EA＝5.∵A′D≥DE－EA′第2题解图(当且仅当A′点在DE 上时.取等号).∴当A′与点D 的距离最短时.A′点在DE 上.∴DA′＝13－5＝8.设PA′＝x.则PA ＝x.PD ＝12－x.在Rt△DPA′中.x 2＋82＝(12－x)2.解得x ＝103.∴△A′PD 的面积＝12×8×103＝403. 3.1＋52【解析】在Rt△ADE 中.DE ＝22＋42＝2 5.当B′在ED 上时.B′D 最小.在ED 上截取EB′＝EB ＝2.连接B′F .FD.则B′D＝ED －EB′＝25－2.设BF ＝x.则B′F＝x.CF ＝4－x.在Rt△B′FD 和Rt△FCD 中.利用勾股定理.可得DB′2＋B′F 2＝DF 2＝CF 2＋DC 2.即(25－2)2＋x 2＝(4－x)2＋42.解得x ＝5＋1.∴Rt△BEF 中.tan∠BEF＝BF BE ＝1＋52.第3题解图4.1255【解析】由题意得：DF ＝DB.第4题解图∴点F 在以D 为圆心.BD 为半径的圆上.作⊙D; 连接AD 交⊙D 于点F.此时AF 值最小.∵点D 是边BC 的中点.∴CD＝BD ＝3；而AC ＝4.由勾股定理得：AD 2＝AC 2＋CD 2.∴AD＝5.而FD ＝3.∴FA＝5－3＝2.即线段AF长的最小值是2.连接BF.过F 作FH⊥BC 于H.∵∠ACB＝90°.∴FH∥AC .∴△DFH∽△DAC .∴DF AD ＝DH CD ＝HF AC.即35＝DH 3＝HF 4.∴HF＝125.DH ＝95.∴BH＝245.∴BF＝BH 2＋HF 2＝1255.。
中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)
(2)当△ABC与正方形DEFG重合部分的面积为 时，求CD的长．
3、在平面直角坐标系中，直线 过点A(2，0)且与 平行，直线 过点B(0，1)且与 平行，直线 与 相交于点P。点E为直线 上一点，反比例函数 且k≠2)的图象过点E且与直线 相交于点F.
（1）写出点E、点F的坐标（用 的代数式
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．
(1)证明：PC＝2AQ．
(2)当点F为BC的中点时，试比较△PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明．
(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3.在 中，AC=BC， ，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
由顶点坐标公式，得D(-2，9)．………………………………………………5分
过D作DE⊥x轴于E，易得E(-2，0)．
=15．…………………………………………7分
(注：延长DB交x轴于F,由 也可求得)
(3)设P(a，0)，则H(a， )．
直线BC把△PCH分成面积相等的两部分，须且只须BC等分线段PH，亦即PH的中点
（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
初三数学几何动点题及方法精选幻灯片
【思路分析】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静 止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的 变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂 直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。
6
【思路分析】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简 单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找 AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。
A
D
N
B
M
C
2
【思路分析】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动， 通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目 来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意 味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的 条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也 是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问 题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。
A
M
D
60°
B P
Q C
11
以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现 特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求 解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不 变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下 来我们看另外两道题.
A
M
D
G
E
FN
B
C
图2 14
【思路分析】如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？在△BEF的
旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造
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学习必备 欢迎下载 几何动点问题 第一部分 考点搜索
动态几何问题，是以几何知识和具体的几何图形为背景，渗透运动变化的观点，通过点、线、形的运动，图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程伴随的数量关系的图形的位置关系等进行探究。对学生分析问题的能力，对图形的想象能力，动态思维能力的要求比较高，但对培养和提高学生的能力有着积极的促进作用。动态几何问题，以运动中的几何图形为载体所构建成的综合题，它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，题型新颖、灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐，动态几何问题，常常出现在各地的中考数学试卷中。 动态几何问题通常包括动点问题、动线问题、面动问题，在考查图形变换（含三角形的全等与相似）的同时常用到的不同几何图形的性质，以三角形、四边形为主，主要运用方程、函数、数形结合、分类讨论等数学思想。
第二部分 典例精析 考点一：利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质直接转化为函数或方程
例题1 如图，已知ABC△中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？ 【解答】（1）①∵1t秒，∴313BPCQ厘米， ∵10AB厘米，点D为AB的中点，∴5BD厘米． 又∵8PCBCBPBC，厘米，∴835PC厘米， ∴PCBD． 又∵ABAC，∴BC，∴BPDCQP△≌△． ②∵PQvv， ∴BPCQ， 又∵BPDCQP△≌△，BC， 则45BPPCCQBD，，
∴点P，点Q运动的时间433BPt秒
，∴515443QCQvt厘米/秒．
A Q C
D
B P 学习必备 欢迎下载 （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得1532104xx，解得803x秒． ∴点P共运动了803803厘米． ∵8022824，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． 例 2(2011河南)22. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）.过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF. （1）求证：AE=DF； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由. （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
【解答】（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，∴DF=t. 又∵AE=t，∴AE=DF（2）能.理由如下： ∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.
又AE=DF，∴四边形AEFD为平行四边形∵AB=BC·tan30°=3535,210.3ACAB 102.ADACDCt 若使AEFD为菱形，则需10.102,.3AEADttt即
即当103t时，四边形AEFD为菱形 （3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形. 在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，∴AD=2AE.即10-2t=2t，52t. ②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，∴∠ADE=∠DEF=90°. ∵∠A=90°-∠C=60°，∴AD=AE·cos60°.
即1102,4.2ttt ③∠EFD=90°时，此种情况不存在. 综上所述，当52t或4时，△DEF为直角三角形 学习必备 欢迎下载 同步拓展 1.如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． (1) 求直线AB的解析式； (2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
2．如图2-4-53，已知直线l的函数表达式为y=34x+8，且l与x轴，y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q、P移动的时间为t秒. ⑴求出点A，B的 坐标； ⑵当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ ⑶求出⑵中当△APQ与△AOB相似时，线段PQ所在直线的函数表达式.
小结： B Q
A B P O
y
· · l 图2-4-53
· · 学习必备 欢迎下载 考点二：根据运动图形的位置分类，把动态问题分割成几个静态问题，再将几何问题转化为函数和方程问题
例题3 已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在ABC△的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点MN、
分别作AB边的垂线，与ABC△的其它边交于PQ、两点，线段MN运动的时间为t秒． （1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
【解答】（1）过点C作CDAB，垂足为D．则2AD， 当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，即32AM时， 四边形MNQP是矩形，32t秒时，四边形MNQP是矩形． 3tan6032PMAM°=，332MNQPS四边形
（2）1°当01t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形·332t 2°当12t≤≤时，1()2MNQPSPMQNMN四边形·332
3°当23t时，1()2MNQPSPMQNMN四边形·7332t 学习必备 欢迎下载 同步拓展 例1 (年河北省中考题)如图2-4-43，在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长度的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t(秒). ⑴设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式； ⑵t为何值时，四边形PQBA是梯形？ ⑶是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ⑷通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内(0≤t≤1；1【解答】⑴由题意知 CQ＝4t，PC＝12－3t，
∴S△PCQ =216242PCCQtt. ∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，
∴y=2S△PCQ21248tt.
⑵当CBCQCACP时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，∵CA=12，CB=16，CQ＝4t， CP＝12－3t，
∴ 16t412t312，解得t＝2. ∴当t＝2秒时，四边形PQBA是梯形. ⑶设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M， 如图2-4-44，若PD∥AB，则∠QMD=∠B， 又∵∠QDM=∠C=90， ∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
从而ACQDABQM， ∵QD=CQ=4t，AC＝12，AB=221216=20，
∴QM=t320. 若PD∥AB，则CBCMCACP，得16t320t412t312，解得t=1112.∴当t＝1112秒时，PD∥AB. ⑷存在时刻t，使得PD⊥AB. 时间段为：2＜t≤3.
小结：
Q B A P
D 图2-4-43
A P
C Q M B
D
图2-4-44 学习必备 欢迎下载 第三部分 每课质检 1.如图，已知128:33lyx直线与直线2:216lyx相交于点C，1l、2l分别交x轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线1l、2l上，顶点FG、都在x轴上，且点G与点B重合． （1）求ABC△的面积； （2）求矩形DEFG的边DE与EF的长； （3）若矩形DEFG从点B出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向点A平移，设移动时间为(012)tt≤≤秒，矩形DEFG与ABC△重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的
t的取值范围．
A D B E O C F x y1l 2l （G）