高中数学(北师大版·必修5)配套练习：3.3基本不等式第1课时

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高中数学 3.3.1 基本不等式课后巩固练习北师大版必修

【世纪金榜】2014年高中数学 3.3.1 基本不等式课后巩固练习北师大版必修5(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.(2011·陕西高考)设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( ) (A)a<b<ab <a b 2+ (B)a<ab <a b2+<b(C)a<ab <b<a b2+(D)ab <a<a b 2+<b2.给出下列条件：①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使ba +ab ≥2成立的条件有( )（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个3.已知m=a ＋1a 2-(a>2)，n=2x +2(x<1)，则m ，n 之间的关系是( )（A ）m>n （B ）m<n（C ）m=n （D ）m ≤n4.（2011·泰安高二检测）给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈（0,+∞），∴b a +a b ≥2b aa b g =2；②∵x ，y ∈（0,+∞），∴lgx ＋lgy ≥lgx lgy g③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥4a a g ；④∵x ，y ∈R ，xy<0，∴x yy x ＋=-[(-xy )＋(-y x )]≤x y()()y x --g 其中正确的推导为( )（A ）①② （B ）②③（C ）③④ （D ）①④二、填空题（每小题4分，共8分）5.（2011·天津高考改编）已知log 2a+log 2b ≥1，则3a ·9b的最小值为______.6.若a>0，b>0，a ＋b=2，则下列不等式对一切满足条件的a 、b 恒成立的是_____(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1a b 2≤＋a 2＋b 2≥2；④a3＋b3≥3；⑤11a b＋≥2.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知a>1,0<b<1，求证：log a b＋log b a≤-2.8.已知28x y+=1（x>0,y>0）,求x+y的最小值.【挑战能力】（10分）已知x i∈（0,+∞），i∈{1,2,…,2 011},求证：（1）221221x xx x++x1+x2≥2x1+2x2;（2）221223x xx x++…+222 010 2 0112 0111x xx x+≥x1+x2+…+x2 011.答案解析1.独具【解题提示】根据不等式的性质，结合作差法、基本不等式或特殊值法等进行比较.【解析】选B.方法一：已知a<b和ab<a b2+,比较a与ab，因为a2-(ab)2=a(a-b)<0，所以a<ab,同理由b2-(ab)2=b(b-a)>0得ab<b;作差法：b-a b 2 +=a b2->0,所以a b2+<b，综上可得a<ab<a b2+<b，故选B.方法二：取a=2,b=8,则ab=4,a b2+=5,所以a<ab<a b2+<b，选B.2.【解析】选C.条件①③④能使ba+ab满足基本不等式成立的条件，故选C.3.【解析】选A.m=a＋1a2-=(a-2)＋1a2-＋2≥21a2a2-⨯-（）＋2=4，n=2x+2<4（x<1），故选A.4.【解析】选D.①由于a，b∈（0,+∞），∴ba,ab∈（0,+∞），符合基本不等式的条件，故①推导正确；②虽然x，y∈（0,+∞），但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lgx或lgy是负数，故②的推导过程是错误的；③由a∈R，不符合基本不等式的条件，故4a＋a≥24aag=4是错误的．均为负数，但在推导过程中将整体x yy x＋提出负号后，(-xy)、(-yx)均变为④由xy<0，得x y y x 、正数，符合基本不等式的条件，故④正确.故选D.5.【解析】∵log 2a+log 2b ≥1,∴a>0,b>0,ab ≥2.∴3a ·9b =3a+2b ≥322ab ≥34=81当且仅当a=2,b=1时取等号. 答案：81 6.【解析】令a=b=1，排除②④.由2=a ＋b ≥2ab ⇒ab ≤1，命题①正确；a 2＋b 2=(a ＋b)2-2ab=4-2ab ≥2，命题③正确；11a b ＋=a b 2ab ab+=≥2，命题⑤正确．答案：①③⑤7.独具【解题提示】由于log a b<0，log b a<0，利用基本不等式时需把它们转化为正数.【证明】因为a>1,0<b<1，故log a b<0，log b a<0，则-log a b>0，-log b a>0，从而（-log a b ）＋(-log b a)≥2b a log a log b --（)(）=2，即log a b ＋log b a ≤-2.当且仅当-log a b=-log b a 即ab=1或a=b又∵a>1，0<b<1，∴ab=1时等号成立.8.独具【解题提示】将x+y 视为（x+y ）·1，再将28x y+=1代入，展开就可以用基本不等式求最值. 【解析】∵28x y+=1（x>0,y>0）， ∴x+y=（x+y ）（28x y +）=2+8x 2y y x ++8 =10+8x 2y y x+≥10+2·16=18. 当且仅当8x 2y y x =，即x=6，y=12时取等号. 所以当x=6,y=12时，x+y 取最小值18.独具【方法技巧】不等式的证明技巧1.利用基本不等式证明有以下几种情况（1）符合条件直接应用.（2）经过变形符合条件再利用基本不等式.（3）通过“1”的巧妙代换，出现符合条件的形式.2.基本不等式a b 2+≥ab （a,b ∈（0,+∞））的推广（1）如果a,b,c ∈（0,+∞）,那么a 3+b 3+c 3≥3abc （当且仅当a=b=c 时取“=”）.（此为阅读材料结论，可不作要求，供学有余力的同学探讨）.（2）对上述不等式的理解，要有三个方面的认识：①条件是a,b,c ∈（0,+∞）.②结论也可以有多种形式：a,b,c ∈（0,+∞）,a+b+c ≥33abc ;abc ≤333a b c 3++,abc ≤(a b c 3++)3. ③等号成立的条件是：当且仅当a=b=c.【挑战能力】【证明】（1）∵x i ∈（0,+∞）,∴212x x +x 2≥221x =2x 1, 221x x +x 1≥22x 2, ∴221221x x x x ++x 1+x 2≥2x 1+2x 2. （当且仅当x 1=x 2时取“＝”）.（2）∵x i ∈（0,+∞）,i ∈{1,2,…,2 011},∴212x x +x 2≥2122x x x g 21x =2x 1 同理：223x x +x 3≥2x 2 ……22 0102 011x x +x 2 011≥2x 2 010 22 0111x x +x 1≥2x 2 011 ∴(212x x +x 2)+(223x x +x 3)+(234x x +x 4)+…+(22 0102 011x x +x 2 011)+(22 0111x x +x 1)≥2x 1+2x 2+2x 3+…+2x 2 009+2x 2 010+2x 2 011 ∴212x x +223x x +…+22 0102 011x x +22 0111x x ≥x 1+x 2+x 3+…+x 2 011. (当且仅当x 1=x 2=x 3=…=x 2 011时取“=”).。

2021学年高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课后习题含解析北师大版必修5.docx

§3基本不等式3.1基本不等式课后篇巩固探究A组1.已知x,y∈R,下列不等关系正确的是()A.x2+y2≥2|xy|B.x2+y2≤2|xy|C.x2+y2>2|xy|D.x2+y2<2|xy|解析:x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|.当且仅当|x|=|y|时等号成立.答案:A2.若x>0,y>0,且√2xy≥x+2y2,则必有()A.2x=yB.x=2yC.x=yD.x=4y解析:因为x>0,y>0,所以x+2y2≥√x·2y,即x+2y2≥√2xy.又√2xy≥x+2y2,所以必有√2xy=x+2y2,所以x=2y.答案:B3.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一解析:因为a+b=cd=4,a+b≥2√ab,所以√ab≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立.又cd≤(c+d)24,所以(c+d)24≥4,所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时,等号成立.所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立,故选A.答案:A4.已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中,正确的是()A.log2a>0B.2a-b<12C.2ab+ba<12D.log2a+log2b<-2解析:因为0<a<b,且a+b=1,所以ab<(a+b2)2=14,所以log2a+log2b=log2(ab)<log214=-2.答案:D5.若a>0,b>0,则√a 2+b 22与a+b 2的大小关系是 . 解析:因为a 2+b 22=a 2+b 2+a 2+b 24≥a 2+b 2+2ab4=(a+b )24,所以√a 2+b 22≥a+b 2,当且仅当a=b>0时,等号成立. 答案:√a 2+b 22≥a+b 26.设a>0,b>0,给出下列不等式: (1)(a +1a )(b +1b )≥4; (2)(a+b )(1a +1b )≥4;(3)a 2+9>6a ; (4)a 2+1+1a 2+1>2.其中正确的是 .解析:因为a+1a≥2√a ·1a=2,b+1b≥2√b ·1b=2,所以(a +1a )(b +1b)≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立,所以(1)正确;因为(a+b )(1a +1b )=1+1+ba +ab ≥2+2·√b a ·ab =4,当且仅当a=b>0时,等号成立,所以(2)正确; 因为a 2+9≥22·9=6a ,当且仅当a=3时,等号成立,所以当a=3时,a 2+9=6a ,所以(3)不正确; 因为a 2+1+1a 2+1≥2√(a 2+1)·1a 2+1=2,当且仅当a 2+1=1a 2+1,即a=0时,等号成立,又a>0,所以等号不成立,所以(4)正确. 答案:(1)(2)(4)7.若a ,b 为正实数,a ≠b ,x ,y ∈(0,+∞),则a 2x +b 2y≥(a+b )2x+y,当且仅当a x =by 时取等号,利用以上结论,函数f (x )=2x +91-2x (x ∈(0,12))取得最小值时,x 的值为 . 解析:由题意可知f (x )=42x +91-2x ≥(2+3)22x+(1-2x ),当且仅当22x =31-2x 时,等号成立,解得x=15. 答案:158.若实数x ,y 满足x 2+y 2+xy=1,求x+y 的最大值. 解由x 2+y 2+xy=1可得(x+y )2=xy+1,又xy ≤(x+y 2)2,所以(x+y )2≤(x+y 2)2+1,整理得34(x+y )2≤1,当且仅当x=y 时取等号.所以x+y∈[-2√33,2√33].所以x+y的最大值为2√33.9.导学号33194061已知a>0,b>0,a+b=1,求证:√a+12+√b+12≤2.证明因为√a+12=√1·(a+12)≤1+a+122=34+a2,当且仅当a=12时取等号,同理√b+12≤34+b2,当且仅当b=12时取等号.所以√a+12+√b+12≤34+a2+34+b2=32+12(a+b)=32+12=2,当且仅当a=b=12时取等号.所以√a+12+√b+12≤2.B组1.已知m>0,n>0,α=m+1m ,β=n+1n,m,n的等差中项为1,则α+β的最小值为()A.3B.4C.5D.6解析:由已知得,m+n=2,所以α+β=m+1m +n+1n=(m+n)+m+nmn=2+2mn.因为m>0,n>0,所以mn≤(m+n2)2=1.所以α+β≥2+21=4.当且仅当m=n=1时,等号成立.所以α+β的最小值为4.答案:B2.给出下列四个命题:①若a<b,则a2<b2;②若a≥b>-1,则a1+a ≥b1+b;③若正整数m和n满足m<n,则√m(n-m)≤n2;④若x>0,且x≠1,则ln x+1lnx≥2,其中真命题的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④解析:当a=-2,b=1时,a<b,但a2>b2,故①不成立;对于②,a1+a −b1+b=a(1+b)-b(1+a)(1+a)(1+b)=a-b(1+a)(1+b),因为a≥b>-1,所以a1+a−b1+b≥0,故②正确;对于③,√m(n-m)≤m+n-m2=n2(m<n,且m,n为正整数),当且仅当m=n-m,即m=n2时,等号成立,故③正确;对于④,当0<x<1时,ln x<0,故④不成立.故选B.答案:B3.在算式4×□+△=30的□、△中,分别填入一个正整数使算式成立,并使填入的正整数的倒数之和最小,则这两个正整数构成的数对(□,△)应为()。

新版高中数学北师大版必修5习题第三章不等式3.3.2.1

3.2 基本不等式与最大(小)值第1课时利用基本不等式求最值课时过关·能力提升1.设a>0,b>0,若√3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1b 的最小值为( ) A.8B.4C.1D.143a ·3b =3,所以a+b=1,所以1a +1b =(a+b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2√b a ·ab =4,当且仅当ba =ab ,即a=b=2时,等号成立. 2.若x>0,则y=33x 1x的最大值是( ) B.33√2C.32√3D.133x 1x =3(3x +1x )≤32√3x ·1x =32√3,当且仅当3x=1x ,即x=√33时,等号成立. 3.已知a>0,b>0,则1a +1b +2√ab 的最小值是( ) B.2√2C.4D.51b +2√ab ≥2√1ab +2√ab ≥2√2√1ab ·2√ab =4.当且仅当{1a =1b ,√1ab=√ab ,即a=b=1时,等号成立,故1a +1b +2√ab 的最小值为4.4.若x>1,则函数y=x 2+11-x2的最大值为( )B.0C.1D.2x>1时,x 2+1x 2-1=x 21+1x 2-1+1≥2√(x 2-1)·1x 2-1+1=3,当且仅当x=√2时,等号成立,所以x 2+1-x 2≤3. 5.若a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是( ) A.72B.4C.92D.5a+b=2,∴1=a+b2,4=2(a+b ).∴y=1a +4b =a+b 2a +2(a+b )b=12+b 2a +2a b +2=52+(b 2a +2a b)≥52+2√b 2a ·2a b=92,当且仅当a=13,b=23时,.6.若p>0,q>0,p ,q 的等差中项是12,x=p+1p ,y=q+1q ,则x+y 的最小值为( ) B.5C.4D.3p+q=1,p>0,q>0,∴x+y=p+q+1p +1q =1+1pq ≥1+1(p+q 2)2=5.当且仅当p=q=12时,等号成立.7.若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是( ) A.[0,2] B.[2,0] ∞) D.(∞,2]2x +2y ≥2√2x ·2y =2√2x+y ,∴√2x+y ≤12,2x+y ≤14. ∴x+y ≤2.D .8.已知函数f (x )=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .4x+a x ≥2√4a ,当且仅当4x=ax 时,等号成立,∴4x 2=a ,∴a=4×32=36.9.若a+b=2,b>0,则12|a |+|a |b 的最小值为 .|a |b=a+b 4|a |+|a |b=a 4|a |+b 4|a |+|a |b≥a 4|a |+1≥14+1=34,当且仅当b4|a |=|a |b,a<0,即a=2,b=4时,等号故12|a |+|a |b 的最小值是34.x ,y 满足x 2+y 2+xy=1,则x+y 的最大值是 .x 2+y 2+xy=1,(x+y )2=xy+1.又xy ≤(x+y 2)2,∴(x+y )2≤(x+y 2)2+1,即34(x+y )2≤1. ∴(x+y )2≤43,当且仅当|x|=|y|=√33时,等号成立. ∴2√33≤x+y ≤2√33,∴x+y 的最大值为2√33.★11.求下列函数的最值. (1)y=x (25x ),x ∈(0,25); ·√3-x 2,x ∈(0,√3).∵x ∈(0,25),∴x>0,25x>0,y=x (25x )=15·5x (25x )≤15·(5x+2-5x 2)2=15.当且仅当5x=25x ,即x=15时,等号成立. ∴y=x (25x )的最大值为15.(2)∵x ∈(0,√3), ∴x>0,3x 2>0.∴y=x ·√3-x 2≤x 2+3-x 22=32.当且仅当x=√3-x 2,即x=√62时,等号成立.∴y=x ·√3-x 2的最大值为32.★12.当x>12时,求函数y=x+82x -1的最小值,并求出当函数取得最小值时x 的值.y=x+82x -1=x+4x -12=x 12+4x -12+12.因为x>12,所以x 12>0.所以y ≥2√4+12=92.当且仅当x 12=4x -12,即x=52时,等号成立.所以函数的最小值为92,且函数取最小值时x=52.。

高中数学第三章不等式3.3基本不等式3.3.1基本不等式达标练习北师大版必修5

3.3.1 基本不等式[A 基础达标]1．不等式(x －2y )＋1x －2y≥2成立的条件为( ) A ．x ≥2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号B ．x >2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号C ．x ≤2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号D ．x <2y ，当且仅当x －2y ＝1时取等号解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x －2y >0，即x >2y ，且等号成立时(x －2y )2＝1，即x －2y ＝1，故选B.2．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞n B ．m ＜nC ．m ＝nD ．不确定解析：选A.因为a ＞2，所以a －2＞0.又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2（a －2）×1a －2＋2＝4(当且仅当a －2＝1a －2，即a ＝3时，“＝”成立)．即m ∈[4，＋∞)，由b ≠0得b 2≠0，所以2－b 2＜2.所以22－b 2＜4，即n ＜4.所以n ∈(0，4)，综上易知m ＞n .3．下列不等式中正确的是( )A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4abC.ab ≥a ＋b 2 D ．x 2＋3x2≥2 3 解析：选D.若a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错误．取a ＝1，b ＝1，则a 2＋b 2＜4ab ，故B 错误．取a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错误．由基本不等式可知选项D 正确．4．某厂产值第二年比第一年增长p %，第三年比第二年增长q %，又这两年的平均增长率为s %，则s 与p ＋q 2的大小关系是( )A ．s ＝p ＋q 2 B ．s ≤p ＋q 2 C ．s >p ＋q 2 D ．s ≥p ＋q 2 解析：选B.由已知得(1＋s %)2＝(1＋p %)(1＋q %)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋q %22，于是1＋s %≤1＋p %＋q %2. 故s ≤p ＋q 2.5．设M ＝3x＋3y 2，N ＝(3)x ＋y ，P ＝3xy (x ，y ＞0，且x ≠y )，则M ，N ，P 大小关系为( ) A ．M ＜N ＜PB ．N ＜P ＜MC ．P ＜M ＜ND ．P ＜N ＜M 解析：选D.由基本不等式可知3x ＋3y 2≥3x 3y ＝(3)x ＋y ＝3x ＋y 2≥3xy ，因为x ≠y ，所以等号不成立，故P ＜N ＜M .6．若a ＜1，则a ＋1a －1与－1的大小关系是________．解析：因为a ＜1，即a －1＜0，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2（1－a ）·11－a ＝2.即a ＋1a －1≤－1. 答案：a ＋1a －1≤－1 7．已知a ＞b ＞c ，则（a －b ）（b －c ）与a －c 2的大小关系是________．解析：因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0.（a －b ）（b －c ）≤a －b ＋b －c 2＝a －c2.当且仅当a －b ＝b －c ，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．所以（a －b ）（b －c ）≤a －c2.答案：（a －b ）（b －c ）≤a －c 28．设正数a ，使a 2＋a －2>0成立，若t >0，则12log a t ____log a t ＋12(填“>”“≥”“≤”或“<”)．解析：因为a 2＋a －2>0，所以a <－2或a >1，又a >0，所以a >1，因为t >0，所以t ＋12≥t ，所以log a t ＋12≥log a t ＝12log a t . 答案：≤9．已知f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，当x 1≠x 2时，比较f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22与f （x 1）＋f （x 2）2的大小．解：因为f (x )＝a x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝a x 1＋x 22， 12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12(ax 1＋ax 2)．因为a >0且a ≠1，x 1≠x 2，所以ax 1>0，ax 2>0，且ax 1≠ax 2，所以12(ax 1＋ax 2)> ax 1·ax 2＝a x 1＋x 22，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<12[f (x 1)＋f (x 2)]． 10．已知a ，b ，c 是不全相等的三个正数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c ＞3. 证明：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c－3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c －3. 因为a ，b ，c 都是正数，所以b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，同理c a ＋a c ≥2，c b ＋b c≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥6.因为a ，b ，c 不全相等，上述三式不能同时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＞6，所以b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c＞3. [B 能力提升]11．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析：选D.因为2x ＋2y ≥22x ＋y ，2x ＋2y ＝1，所以22x ＋y ≤1，所以2x ＋y ≤14＝2－2，所以x ＋y ≤－2，即(x ＋y )∈(－∞，－2]．12．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________．解析：原式等价于x ＋y ＋3＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22(当且仅当x ＝y 时取等号)，所以x ＋y ＋3≤（x ＋y ）24，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0.解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．所以x ＋y 的取值范围是[6，＋∞)．答案：[6，＋∞)13．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 14．(选做题)是否存在常数c ，使得不等式x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤c ≤x x ＋2y ＋y2x ＋y 对任意正实数x ，y 恒成立？证明你的结论．解：当x ＝y 时，由已知不等式得c ＝23.下面分两部分给出证明： (1)先证x 2x ＋y ＋y x ＋2y ≤23，此不等式⇔ 3x (x ＋2y )＋3y (2x ＋y )≤2(2x ＋y )(x ＋2y )⇔2xy ≤x 2＋y 2，此式显然成立．(2)再证x x ＋2y ＋y 2x ＋y ≥23，此不等式⇔ 3x (2x ＋y )＋3y (x ＋2y )≥2(x ＋2y )(2x ＋y )⇔x 2＋y 2≥2xy ，此式显然成立．综上可知，存在常数c ＝23，对任意的实数x ，y 使题中的不等式成立．。

2020_2021学年高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课时作业含解析北师大版必修5

课时作业20 基本不等式时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．下列不等式一定成立的是( B ) A ．3x ＋12x ≥ 6B ．3x 2＋12x2≥ 6C ．3(x 2＋1)＋12(x 2＋1)≥ 6D ．3(x 2－1)＋12(x 2－1)≥ 6解析：A 中x 可能是负数，不成立；B 中当且仅当3x 2＝12x 2，即x 4＝16时取等号，成立；C 中当3(x 2＋1)＝12(x 2＋1)时，(x 2＋1)2＝16，不成立；D 中x 2－1也可能是负数，不成立．故选B.2．给出下列推导过程：①∵x ，y >0，∴lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ②∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；③∵x ，y ∈R ，xy <0，∴x y ＋yx＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中推导正确的有( B ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：①虽然x ，y >0，但当x ∈(0,1)或y ∈(0,1)时，lg x 或lg y 是负数，故①的推导是错误的．②由于a ∈R ，不符合基本不等式的使用条件，故②的推导是错误的．③由xy <0，知x y ，yx均为负数，但推导过程中，将其转变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ，即均为正数后再结合不等式性质推导，符合基本不等式的使用条件，故③的推导是正确的．3．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则( B )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q解析：∵a >b >1， ∴lg a ·lg b <lg a ＋lg b2.∵a ≠b ，∴“＝”不成立．又∵lg a ＋lg b ＝lg ab <lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝2lg a ＋b 2，∴lga ＋b 2>12(lg a ＋lg b )，故选B.4．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( B ) A ．a <b <ab <a ＋b2 B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D.ab <a <a ＋b2<b解析：∵0<a <b ，∴a ·a <ab . ∴a <ab .由基本不等式知ab <a ＋b2(a ≠b )，又∵0<a <b ，a ＋b <b ＋b ，∴a ＋b2<b .∴a <ab <a ＋b2<b .5．下列不等式一定成立的是( B ) A ．x ＋1x≥2B.x 2＋2x 2＋2≥ 2C.x 2＋3x 2＋4≥2D ．2－3x －4x≥2解析：A 项中，当x <0时，x ＋1x<0<2，∴A 错误．B 项中，x 2＋2x 2＋2＝x 2＋2≥2，∴B 正确．而对于C ，x 2＋3x 2＋4＝x 2＋4－1x 2＋4，当x ＝0时，x 2＋3x 2＋4＝32<2，显然选项C 不正确．D 项中，取x ＝1,2－3x －4x<2，∴D 错误．6．下列命题：①x ＋1x≥2(x <0)，②⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，③x 2＋1＋1x 2＋1≥2.其中正确的个数为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①错误，x <0时，x ＋1x是负数；②正确，分x <0和x >0两种情形证明；③正确，直接利用基本不等式．7．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( A ) A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d 2＝bcD.a ＋d2≤bc解析：因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .8．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，G ，H 的大小关系是( A )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab ≥21a ＋1b＝2ab a ＋b. 当且仅当a ＝b 时等号成立，又∵函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，∴A ≤G ≤H . 二、填空题9．对于任意正数a ，b ，设A ＝a ＋b2，G ＝ab ，则A 与G 的大小关系是A ≥G .解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab >0，∴A ≥G .10．若a ，b 是两个实数且a ＋3b ＝4，则3a ＋27b≥18.(填“≥”“＝”或“≤”) 解析：利用基本不等式得：3a＋27b≥23a·27b＝23a·33b＝18. 11．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为P ≥Q . 解析：因为m >1，所以P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2(m －1)·4m －1＋1＝5＝Q ，当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立．三、解答题12．已知a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明：法一：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4b a ·ab＝9. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝12时取“＝”号．∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1b ＋1a ＋1ab＝1＋a ＋b ab ＋1ab. ∵a ＋b ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋2ab.又∵a ，b >0， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14.∴1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”号． ∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥1＋2×4＝9. 13．设实数a 使a 2＋a －2>0成立，t >0，比较12log a t 与log a t ＋12的大小．解：∵a 2＋a －2＞0，∴a ＜－2或a ＞1，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1， ∵t ＞0，∴t ＋12≥t ，∴log at ＋12≥log a t ＝12log a t ， ∴12log a t ≤log a t ＋12. ——能力提升类——14．设a ，b 是正实数，且a ＋b ＝4，则有( B ) A.1ab ≥12 B.1a ＋1b≥1C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≥14解析：由a >0，b >0，且a ＋b ＝4得2ab ≤4⇔ab ≤2，1ab ≥14，1a ＋1b ＝4ab ≥1.又由1a 2＋b 2≤1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，即1a 2＋b 2≤14. 由此可知，A ，C ，D 都不正确，只有B 正确．15．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.证明：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝a ＋b ＋c a－1＝b ＋c a ≥2bca>0. 同理，1b－1≥2ac b>0，1c－1≥2ab c>0.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ≥8bc ac ababc＝8.。

2022_2022学年高中数学第三章不等式3.3.1基本不等式课时作业含解析北师大版必修5

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤ .
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋ ≥a＋b＋c.
所以＋＋ ≥1.
|
11．假设f(x)＝ x，a，b均为正数，P＝f ，G＝f( )，H＝f ，那么()
A．P≤G≤HB．P≤H≤G
所以＋ ≥ ；
即 ≥ (当且仅当a＝b时取等号)，
又 2＝
≤ ＝ .
所以 ≤ (当且仅当a＝b时等号成立)，
而 ≤ ，
故 ≥ ≥ ≥ (当且仅当a＝b时等号成立)．
C．G≤H≤PD．H≤G≤P
解析：因为a，b均为正数，
所以 ≥ ＝ ≥ ＝，又因为f(x)＝ x为减函数，所以f ≤f( )≤f ，所以P≤G≤H.
答案：A
12．假设a>0，b>0，a＋b＝2，那么以下不等式①ab≤1；② ＋ ≤ ；③a2＋b2≥2；④ ＋ ≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)
当x＝y时，＝xy，④不正确；
当x＝1，y＝－1时，⑤不正确．
答案：②
三、解答题(每题10分，共20分)
9．设a，b，c为正实数，求证：(a＋b＋c)· ≥4.
证明：因为a，b，c为正实数，
所以(a＋b＋c)·
＝[(a＋b)＋c]
＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝2＋2＝4.
当且仅当＝，即a＋b＝c时，取等号．
C．2abD．a＋b
解析：因为a，b∈(0,1)，所以a2<a，b2<b，
所以a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，
所以2ab<a2＋b2<a＋b.

高中数学必修5(北师版)第三章不等式3.3 基本不等式(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

，即 x =
1 1 时，f (x) 取得最大值． 6 12
设 a, b, c ∈ R，求证：a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ．证明：因为 a2 + b 2 ⩾ 2ab ，b 2 + c 2 ⩾ 2bc，c 2 + a2 ⩾ 2ca ，所以
某种汽车，购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 0.9 万元，年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解：设使用 x 年时，年平均费用 y 最少．由于“年维修费第一年是 0.2 万元，以后逐年递增 0.2 万元”，可知汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项，0.2 万元为公差的等差数列．因此汽车使用 x 年的总维修费用为
(a2 + b 2 ) + (b 2 + c 2 ) + (c 2 + a2 ) ⩾ 2ab + 2bc + 2ca,
2
+
2
+
2
⩾
+
+
当且仅当 a = b = c 时，等号成立，所以 a2 + b 2 + c 2 ⩾ ab + bc + ca ．
3.均值不等式的实际应用描述：利用基本不等式解决实际问题的一般步骤： ①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大值或最小值； ④正确写出答案．例题：建造一个容积为 8 m 3 ，深为 2 m 的长方形无盖水池，如果池底的造价是每平方米 120 元，池壁的造价是每平方米 80 元，求这个水池的最低造价．解：设水池的造价为 y 元，池底的长为 x m ，则宽为

北师大版高中数学必修五同步练测：3.3基本不等式(含答案解析).docx

§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.下列函数中，最小值为4的函数是（）A.y=x+B.y=sin x+(0＜x＜π)C.y=D.y=+2.已知f(x)＝x+ 2(x＜0),则f(x)的（）A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-43.设a＞1，b＞1且ab-（a+b）=1，那么（）A.a+b有最小值2（2+1）B.a+b有最大值（2+1）2C.ab有最大值2+1D.ab有最小值2（2+1）4.设，则a2+的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题(每小题5分，共20分) 5．若实数a，b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范围是.6．当a＞1时，+a的最小值为. 7.已知关于x的不等式在x∈(a,+∞)上恒成立，则实数a的最小值为____________.8.某商场中秋节前30天月饼销售总量f(t)（单位：盒）与时间t(0＜t≤30，单位：天)的关系大致满足＝，则该商场前t天的平均销售量最少为______________.三、解答题(共60分)9．（12分）已知，，∈（0，+∞），求证：2ab+2bc+2ca≥a+b+c.10. (12分)求函数f（x）=2x（5-3x），x∈（0，53）的最大值.11．（12分）已知x＞0，y＞0，且x+2y=1，求1x+1y的最小值.12.（12分）某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.计算：仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？13.（12分）某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36张，每批都购入x张(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4张，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x).(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§3 基本不等式（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：A 项，y =x + 4≥4或x + 4≤-4，∴ A 项不正确；B 项等号不能取到；D 项，y log 34log 3与A项相同，所以只有C 项正确.2.C 解析：∵ x ＜0，∴ -x ＞0，∴ x + 1-2=-[(-x )+ 1]-2≤-2·1-2=-4，等号成立的条件是-x =1，即x =-1.3.A 解析：∵ ab-（a+b ）=1，ab ≤（2a b +）2， ∴ （2a b +）2-（a+b ）≥1，它是关于a+b 的一元二次不等式，解得a+b ≥2（2+1）或a+b ≤2（1-2）（舍去）. ∴ a+b 有最小值2（2+1）. 又∵ ab-（a+b ）=1，a+b ≥2ab ，∴ ab-2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式，解得ab ≥2+1，或ab ≤1-2（舍去）. ∴ ab ≥3+22，即ab 有最小值3+22，选A. 4. D 解析：a 2+1ab +1()a a b -=a 2-ab+ab+1ab +1()a ab - +1()a a b -+ ab +1ab≥2+2=4，当且仅当a （a-b ）=1且ab =1，即a =2，b =22时取等号. 二、填空题5. （-∞，-2］∪［6，+∞）解析：∵ ab ≤，∴ ab =a+b+3≤，∴ （a+b ）2-4（a+b ）-12≥0，即［（a+b ）-6］·［（a+b ）+2］≥0， ∴ a+b ≥6或a+b ≤-2，∴ 所求a+b 的取值范围是（-∞，-2］∪［6，+∞）.6.5解析：41a-+a=41a-+（a-1）+1≥24(1)1aa∙--+1=5，当且仅当41a-=a-1，即a=3时取等号，所以41a-+a的最小值为5.7. 32解析：因为x＞a，所以2x+ 2 =2(x-a)+ 2 +2a≥2 22 +2a=2a+4，即2a+4≥7，所以a≥32，即a的最小值为32.8.18 解析：平均销售量y= 21016 =t+ 16 +10≥18，当且仅当t= 16，即t=4∈［1，30］时等号成立，即平均销售量最少为18.三、解答题9.证明：∵a，b∈（0，+∞），∴2ab+b≥22a=2a，同理2bc+c≥22b=2b，2ca+a≥22c=2c，当且仅当a=b=c时，上述三式均取“=”.三式两边分别相加得2ab+b+2bc+c+2ca+a≥2a+2b+2c，即2ab+2bc+2ca≥a+b+c.10．解：∵x∈(0，53)，∴5-3x＞0.∴f（x）=2x·（5-3x）=23［3(53)x x-］2≤23·(3532x x+-)2=256.当且仅当3x=5-3x，即x=56时，等号成立.故f（x）的最大值为25 6.11.解：因为x＞0，y＞0，且x+2y=1，所以1x+1y=2x yx++2x yy+=1+2+2yx+xy≥3+23+22.当且仅当2yx=xy且x+2y=1，即x=2-1，y=1-22时，取等号.所以1x+1y的最小值为3+22.12.解：设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有S=xy.由题意得40x+2×45y+20xy 3 200.由基本不等式得3 200≥2 y+20xy=120xy+20xy=120S+20S，∴S+6S≤160，即（S+16）（S-10）≤0.∵S+16＞0，∴S-10≤0，从而S≤100.因此S的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x=90y，而xy=100，由此求得x=15，即铁栅的长应是15米.13.解：(1)设题中比例系数为k，若每批购入x张书桌，则共需分36批，每批价值为20x元，由题意得f(x)= 36·4+k·20x.由x=4时，f(x)=52，得k= 1680 = 15.∴f(x)= 144 +4x(0＜x≤36，x∈N).(2)由(1)知f(x)= 144 +4x(0＜x≤36，x∈N)，∴f(x)≥2 144448(元). 当且仅当144 =4x，即x=6时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.。

高中数学 3.3 基本不等式同步精练北师大版必修5-北师大版高二必修5数学试题

高中数学 3.3 基本不等式同步精练北师大版必修5基础巩固1当a ，b ∈R 时，下列不等关系成立的是( ) A.a ＋b2≥ab B ．a －b ≥2abC ．a 2＋b 2≥2ab D ．a 2－b 2≥2ab 2已知x ，y ∈R ，下列不等关系正确的是( ) A ．x 2＋y 2≥2|xy |B ．x 2＋y 2≤2|xy | C ．x 2＋y 2＞2|xy |D ．x 2＋y 2＜2|xy |3已知ab ＞0，求证：b a ＋ab≥2，并推导出式中等号成立的条件． 4已知x ＜0，求证：－x ＋4－x≥4.5已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc . 综合过关6某民营企业生产的一种电子产品，2007年的产量在2006年的基础上增长率为a ；2008年又在2007年的基础上增长率为b (a ，b ＞0)．若这两年的平均增长率为q ，则( )A ．q ＝a ＋b2B ．q ≥a ＋b2C ．q ≤a ＋b2D ．q 与a ＋b2的大小不确定7设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2＋1＞a ； ②(a ＋1a )(b ＋1b)≥4；③(a ＋b )(1a ＋1b)≥4；④a 2＋9＞6a ； ⑤a 2＋1＋1a 2＋1＞2. 其中恒成立的是__________．能力提升8已知a 、b 是正数，且a x ＋b y＝1(x 、y ∈(0，＋∞))，求证：x ＋y ≥(a ＋b )2.参考答案1答案：C2解析：x 2＋y 2＝|x |2＋|y |2≥2|x ||y |＝2|xy |. 答案：A3证明：因为ab ＞0，所以b a ＞0，a b＞0. 由基本不等式，得b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2，即b a ＋ab≥2. 当且仅当b a ＝a b，即a 2＝b 2时式中等号成立．因为ab ＞0，a ，b 同号，所以a ＝b ，即式中等号成立的条件是a ＝b . 4证明：∵x ＜0， ∴－x ＞0. ∴－x ＋4－x≥2－x ×4－x＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时取等号． ∴－x ＋4－x≥4.5分析：本题的结论是关于a 、b 、c 的轮换对称式(a 、b 、c 在不等式中的作用对等，交换其中任意两个位置，结论仍成立)，只需证明a (b 2＋c 2)≥2abc ，其他同理可证．证明：∵b 2＋c 2≥2bc ，a ＞0，∴a (b 2＋c 2)≥2abc .① 同理b (c 2＋a 2)≥2abc ，②c (a 2＋b 2)≥2abc .③因为a 、b 、c 不全相等，所以①②③中至少有两式不能取“＝”号．∴a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)＞6abc .6解析：设2006年产量为1，则2008年产量为 (1＋a )(1＋b )＝(1＋q )2，即1＋q ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，∴q ≤a ＋b2.答案：C7解析：∵a 2＋1≥2a 2·1＝2a ，且a ＞0，∴2a ＞a ，∴①正确；∵a ＋1a≥2a ·1a ＝2，b ＋1b ≥2b ·1b＝2，∴(a ＋1a)(b ＋1b)≥4，当且仅当a ＝1，b ＝1时等号成立，故②正确；∵(a ＋b )(1a ＋1b )＝1＋1＋b a ＋ab≥2＋2·b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故③正确；∵a 2＋9≥2a 2·9＝6a ，当且仅当a ＝3时等号成立，故当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不正确；∵a 2＋1＋1a 2＋1≥2a 2＋1·1a 2＋1＝2，当且仅当a ＝0时等号成立，又a ＞0，所以等号不成立，故⑤正确．答案：①②③⑤8分析：不等式左端是x ＋y (不含a 、b )，而右端是(a ＋b )2(含有a 、b )，又知a x ＋by＝1，所以将x ＋y 乘1，也即x ＋y 乘a x ＋b y可得出相应式子，从而可应用基本不等式．证明：左式＝x ＋y ＝(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2＝右式．当且仅当ay x ＝bx y ，即x 2y 2＝a b时取“＝”，故x ＋y ≥(a ＋b )2.3.2 基本不等式与最大(小)值基础巩固1已知a ，b ∈R ，下列不等式不成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a 2＋b 2≥2ab C ．ab ≤(a ＋b2)2D ．|a |＋|b |≥2|ab |2设x ，y 满足x ＋y ＝40且x ，y 都是正数，则xy 的最大值是( ) A ．400 B ．100 C ．40 D ．203已知正数a ，b 满足ab ＝10，则a ＋b 的最小值是…… ( ) A ．10 B ．25 C ．5 D ．2104已知m ，n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是…… ( ) A ．100 B ．50 C ．20 D ．105已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是( ) A ．200 B ．100 C ．50 D ．20 6已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取最大值时x 的值为______． 7求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值． 8已知f (x )＝12x＋4x ，(1)当x ＞0时，求f (x )的最小值； (2)当x ＜0时，求f (x )的最大值．9某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10 000平方米，每座球场的建筑面积均为1 000平方米，球场总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关，当该球场建n 个时，每平方米的平均建筑费用用f (n )表示，且f (n )＝m (1＋n －520)(其中n ∈N )，又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应建几个球场？综合过关10下列结论正确的是( ) A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值11若b ＜a ＜0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2D ．|a |－|b |＝|a －b |12设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab ＜1＜a 2＋b 22C ．ab ＜a 2＋b 22＜1D.a 2＋b 22＜ab ＜113函数y ＝log a (x －1)＋1(a ＞0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在一次函数y ＝mx＋n 的图像上，其中m ，n ＞0，则1m ＋2n的最小值为______．能力提升14设a ＞b ＞0, 那么 a 2＋1ba －b的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．515已知a ，b ，c ∈{正实数}且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.参考答案1答案：A 2解析：xy ≤(x ＋y2)2＝400，当且仅当x ＝y ＝20时等号成立．答案：A3解析：a ＋b ≥2ab ＝210，当且仅当a ＝b ＝10时等号成立．答案：D 4解析：mn ≤m 2＋n 22＝1002＝50，当且仅当m ＝n ＝50或m ＝n ＝－50时等号成立．答案：B5解析：p 2＋q 2≥2pq ＝200，当且仅当p ＝q ＝10或p ＝q ＝－10时等号成立．答案：A6解析：∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0，则x (3－3x )＝3[x (1－x )]≤3×(x ＋1－x2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时取等号．答案：127分析：可将原函数解析式变形，凑配成积为定值的形式．解：y ＝1x －3＋x －3＋3， ∵x ＞3，x －3＞0，1x －3＞0， ∴y ≥21x －3·x －3＋3＝5，当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时，y 有最小值5. 8分析：由12x，4x 的积是定值，因此可以利用基本不等式求最值，但要注意x 的符号．解：(1)∵x ＞0，∴12x ，4x ＞0，∴12x＋4x ≥212x·4x ＝8 3.当且仅当12x＝4x ，即x ＝3时取最小值83，∴当x ＞0时，f (x )的最小值为8 3. (2)∵x ＜0，∴－x ＞0，则－f (x )＝12－x＋(－4x )≥212－x·－4x ＝83，当且仅当12－x ＝－4x 时，即x ＝－3时取等号．∴当x ＜0时，f (x )的最大值为－8 3.9分析：每平方米的综合费用为f (n )＋每平方米的购地费用，利用n ＝5，f (n )＝400求出m ，这样用n 表示每平方米的综合费用，用基本不等式求出最小值．解：设建成n 个球场，则每平方米的购地费用为128×1041 000n ＝1 280n ，由题意知n ＝5，f (n )＝400，则f (5)＝m (1＋5－520)＝400，所以m ＝400，所以f (n )＝400(1＋n －520)＝20n ＋300，从而每平方米的综合费用为y ＝f (n )＋1 280n ＝20(n ＋64n)＋300≥20×264＋300＝620(元)，当且仅当n ＝8时等号成立，所以当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省．10解析：A 中，当x ＞0且x ≠1时，lg x 不一定是正数，所以A 不正确；C 中，当x ≥2时，x ＋1x≥2x ×1x＝2中的等号不成立，所以C 不正确；D 中，当0＜x ≤2时，可以证明函数y ＝x －1x 是增函数，则其最大值是f (2)＝32，所以D 不正确；B 中，满足基本不等式的条件一正二定三相等，所以B 正确．答案：B11解析：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＜0，所以A 正确；ab －b 2＝b (a －b )＜0，所以B 正确；由于b a ＞0，a b ＞0，且b a ≠a b ，则b a ＋a b ＞2b a ×ab＝2，所以C 正确；当b ＝－2，a ＝－1时，|a |－|b |＝1－2＝－1≠|a －b |＝1，所以D 不正确．答案：D12解析：从所给的选项来看，就是要比较ab 、1与a 2＋b 22的大小关系，最基本的方法就是采用差值比较法，也可利用不等式a 2＋b 2≥2ab 及其变形来考虑，并且注意等号取得的条件是否具备．由a ＋b ＝2，且a ≠b ，得a 2＋b 22＞(a ＋b2)2＝1＞ab .答案：B13解析：A (2,1)，则1＝2m ＋n ，又m ，n ＞0，所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋22m ＋nn＝4＋nm＋4m n ≥4＋24＝8，当且仅当n m ＝4m n 即m ＝14，n ＝12时取等号，则1m ＋2n的最小值为8. 答案：814解析：由 a ＞b ＞0, 可知0＜b (a －b )＝a 24－(b －a 2)2≤14a 2，所以 a 2＋1ba －b≥a 2＋4a 2≥4，当且仅当a ＝2，b ＝22时等号成立．答案：C15分析：不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bca，可由此变形入手．证明：∵a ，b ，c ∈{正实数}，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bca，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．。

高中数学北师大版必修5第3章3《基本不等式》(第1课时基本不等式)ppt同步课件

基本不等式如果 a，b 都是非负数，那么a＋2 b≥ ab，当且仅当__a_＝__b___ 时等号成立．我们称上述不等式为基本不等式，其中a＋2 b称为 a，b 的_算__术__平__均__数__， ab称为 a，b 的_几__何__平__均__数__．因此基本不等式又被称为___均__值__不__等__式___．
[正解] 显然函数 y＝x＋1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当 x>0 时，y＝x＋1x≥2 时取等号)，
x·1x＝2(当且仅当 x＝1x，即 x＝1
∴当 x>0 时，y＝x＋1x有最小值 2.
当 x<0 时，y＝x＋1x＝－(－x－1x) ≤－2 －x·－1x＝－2(当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时取等号)．∴当 x<0 时，y＝x＋1x有最大值－2. ∴函数 y＝x＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
C．a＝－2
D．a＝4
[答案] B
[解析] 因为a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，
当且仅当a＝2时取“＝”，所以a＝2.
4．已知 x>0，函数 y＝4x＋x 的最小值为________．
[答案] 4 [解析] ∵x>0，∴4x>0，∴y＝x＋4x≥2
x·4x＝4.
5．x，y∈R，x＋y＝5，则 3x＋3y 的最小值是________．
变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.

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第三章 §3 第1课时
一、选择题
1．下列函数中，最小值为2的是( )
A ．y ＝x ＋1x
B ．y ＝sinx ＋1sinx ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2
C ．y ＝x 2＋3x 2＋2
D ．y ＝x ＋1
x
[答案] D
[解析] A 中，不满足正数这一条件；
B 中，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π2，∴sinx ∈(0,1)，∴等号不成立；
C 中，y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1
x 2＋2＝x 2＋2＋1
x 2＋2，当x 2＋2＝1
x 2＋2时，x 2＋2＝1，x 2＝－1(不成立)；
D 中x>0，y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，
即x ＝1时，取最小值2.故选D ．
2．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1
b 的最小值为(
)
A ．8
B ．4
C ．1
D ．14
[答案] B
[解析] 由已知，得3a ·3b ＝3，∴3a ＋b ＝3，
∴a ＋b ＝1.
∵a>0，b>0，∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(a ＋b)＝2＋b a ＋a b ≥2＋b
a ·a
b ＝4，当且仅当a ＝b ＝1
2时，等号成立．
3．若x>4，则函数y ＝x ＋1
x －4( )
A ．有最大值－6
B ．有最小值6
C ．有最大值－2
D ．有最小值2
[答案] B
[解析] ∵x>4，∴x －4>0，
∴y ＝x －4＋1x －4＋4≥2(x －4)·1
x －4＋4＝6.
当且仅当x －4＝1
x －4，即x －4＝1，x ＝5时，取等号．
4．若a>b>1，P ＝lga ·lgb ，Q ＝1
2(lg a ＋lg b)，R ＝lg ⎝ ⎛
⎭⎪⎪
⎫
a ＋
b 2，则(
) A ．R<P<Q B ．P<Q<R
C ．Q<P<R
D ．P<R<Q
[答案] B
[解析] 由a ＞b ＞1，得lga ＞lgb ＞0，
Q ＝12
(lga ＋lgb)＞lga ·lgb ＝P ， R ＝lg(a ＋b 2
)＞lg ab ＝12
(lga ＋lgb)＝Q ， ∴R ＞Q ＞P. 5．设正数x ，y 满足x ＋4y ＝40，则lgx ＋lgy 的最大值是( )
A ．40
B ．10
C ．4
D ．2 [答案] D
[解析] ∵x ＋4y ≥2
x ·4y ＝4xy ， ∴xy ≤x ＋4y 4＝404
＝10，当且仅当x ＝4y 即x ＝20，y ＝5时取“＝”，
∴xy ≤100，即(xy)max ＝100，
∴lgx ＋lgy ＝lg(xy)的最大值为lg100＝2.故选D ．
6．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )
A ．x ＝a ＋b 2
B ．x ≤a ＋b 2
C ．x ＞a ＋b 2
D ．x ≥a ＋b 2 [答案] B。