高中数学人教A版第选修1-1同步练习：-1.4-第1课时全称量词与存在量词

选修1-1 第一章 1.4 第1课时
一、选择题
1．下列命题中，全称命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[答案] C
[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．
2．下列特称命题中真命题的个数是( )
①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 [答案] D
[解析] ①②③都是真命题．
3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )
A ．对任意的a 、b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0
B ．菱形的两条对角线相等
C ．∃x ∈R ，x 2＝x
D ．对数函数在定义域上是单调函数
[答案] D
[解析] A 中含有全称量词“任意的”，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0；故是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B 是假命题，C 是特称命题，故选D.
4．下列命题中的假命题是( )
A ．∃x ∈R ，lg x ＝0
B ．∃x ∈R ，tan x ＝1
C ．∀x ∈R ，x 3＞0
D ．∀x ∈R,2x ＞0 [答案] C [解析] 对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4
时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确．
5．下列命题中，真命题是( )
A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数
B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数
C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数
D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数
[答案] A
[解析] 显然当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选A.
6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )
A ．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan α
B ．存在实数x 0，使得sin x 0＝π2
C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin α
D ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
[答案] A
[解析] ∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan45°，∴A 为真命题，且为特称命题，故选A.B 中对∀x ∈R ，
有sin x ≤1<π2
；C 、D 都是全称命题． 二、填空题
7．(2014·高州四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．
[答案] (－∞，－2)
[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧
－m 2>0，m 2－4>0，
∴m <－2.
8．下列命题中真命题为________，假命题为________．
①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有些三角形不是等腰三角形；⑤所有的菱形都是正方形
[答案] ①②③④ ⑤
9．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∃x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．
[答案] 0
[解析] x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题． 当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题，
对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题，
4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，
即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，
∴④为假命题．
∴①②③④均为假命题．
三、解答题
10．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；
(2)存在一条直线，其斜率不存在；
(3)对所有的实数a、b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(4)存在实数x0，使得1
x20－x0＋1
＝2.
[解析](1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命题．
(2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．
(3)是全称命题，用符号表示为“∀a、b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．
(4)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，1
x20－x0＋1
＝2”，是假命题.
一、选择题
11．下列命题是真命题的是()
A．∀x∈R，(x－2)2>0 B．∀x∈Q，x2>0
C．∃x0∈Z,3x0＝812 D．∃x0∈R,3x20－4＝6x0
[答案] D
[解析]A中当x＝2时不成立，B中由于0∈Q，故B不正确，C中满足3x0＝812的x0不是整数，故只有D正确．
12．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列说法：
①M的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有P的元素；
④M中元素不都是P的元素．
其中正确的个数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] B
[解析]结合韦恩图可知②④正确．
13．(2013·唐山高二检测)下列命题中，真命题是()
A．∀x∈R，x2≥x
B ．命题“若x ＝1，则x 2＝1”的逆命题
C ．∃x 0∈R ，x 20≥x 0
D ．命题“若x ≠y ，则sin x ≠sin y ”的逆否命题
[答案] C
[解析] ∵x 2－x ≥0的解为x ≤0或x ≥1，∴存在x 0∈{x |x ≤0或x ≥1}，使x 20≥x 0，故C 为真命题．
14．下列命题中，真命题是( )
A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0
B ．∀x ∈R,2x >x 2
C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b
＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件
[答案] D
二、填空题
15．下列特称命题是真命题的序号是________．
①有些不相似的三角形面积相等；
②存在一实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0；
③存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大；
④有一个实数的倒数是它本身．
[答案] ①③④
[解析] ①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x ∈
R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34
>0，所以不存在实数x 0，使x 20＋x 0＋1<0，故②为假命题；③中当实数a 大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.
三、解答题
16．指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )，都对应一点P ；
(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(4)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立．
[解析] (1)全称命题，真命题；(2)特称命题，真命题；(3)全称命题，假命题；(4)特称命题，假命题．
17．判断下列命题的真假：
(1)任给x ∈Q ，13x 2＋12
x ＋1是有理数； (2)存在α、β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(3)存在x 、y ∈Z,3x －2y ＝10；
(4)任给a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解．
[解析] (1)∵x ∈Q ，∴13x 2与12x 均为有理数，从而13x 2＋12x ＋1是有理数，∴(1)真；
(2)当α＝0，β＝π3
时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立，∴(2)真； (3)当x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10，∴(3)真；
(4)当a ＝0，b ＝1时，0x ＋1＝0无解，∴(4)假．。