南师大附中2018届高三考前模拟考试数学试卷及答案

南师大附中2018届高三考前模拟考试数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)2018．5 参考公式：锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x|x 2－x －2＜0}，则A ∩B ＝________.2. 若复数z ＝1－i ，则z ＋1z的虚部是________．3. 某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1 400辆、5 600辆、2 000辆．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．4. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，x ＋y ＋1≥0，x －y ＋3≥0 则目标函数z ＝－2x ＋y 的最大值是________．5. 小明随机播放A ，B ，C ，D ，E 五首歌曲中的两首，则A ，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是________．6. 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是________．(第6题)(第7题)7. 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，D 为棱B 1C 1上任意一点，则三棱锥D －A 1BC 的体积是________．8. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝20x 的焦点相同，则双曲线的方程是________________．9. 若直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝e x －2的切线，则实数b ＝________.10. “a ＝1”是“函数f(x)＝x ＋1x＋sin x －a 2为奇函数”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)11. 在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2 018＝________.12. 已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B.若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是________________．13. 在△ABC 中，已知AB →·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →，则cos C 的最小值是________． 14. 已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋1，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋54，x>0，－x 2－6x －8，x ≤0. 若方程g(f(x))－a ＝0(a ＞0)有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分) 已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量 m ＝(－1，3)，n ＝(cos A ，sin A)，且m ·n ＝1.(1) 求A 的值；(2) 若1＋sin 2Bcos 2B －sin 2B ＝－3，求tan C 的值．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1) 求证：AB∥EF；(2) 若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.17. (本小题满分14分)如图，A，B，C三个警亭有直道相通，已知A在B的正北方向6千米处，C在B的正东方向63千米处．(1) 警员甲从C出发，沿CA行至点P处，此时∠CBP＝45°，求PB的距离；(2) 警员甲从C出发沿CA前往A，警员乙从A出发沿AB前往B，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时．两人通过专用对讲机保持联系，乙到达B 后原地等待，直到甲到达A时任务结束．若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试求两人通过对讲机能保持联系的总时长．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 经过点(0，3)，离心率为12，直线l 过点F 2与椭圆C 交于A ，B 两点．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若点N 为△F 1AF 2的内心(三角形三条内角平分线的交点)，求△F 1NF 2与△F 1AF 2面积的比值；(3) 设点A ，F 2，B 在直线x ＝4上的射影依次为点D ，G, E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由．已知函数f(x)＝ln x －ax ＋a ，a ∈R . (1) 若a ＝1，求函数f(x)的极值；(2) 若函数f(x)有两个零点，求a 的取值范围；(3) 对于曲线y ＝f(x)上的两个不同的点P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，f(x 2))，记直线PQ 的斜率为k ，若y ＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜k.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．(1) 求{a n}和{b n}的通项公式；(2) 设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k(i＜j＜k)，使得a m b j，a m a n b i，a n b k成等差数列，求m＋n的最小值；(3) 令c n＝a nb n，记{c n}的前n项和为T n，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n的前n项和为A n.若数列{p n}满足p1＝c1，且对∀n≥2，n∈N*，都有p n＝T n－1n＋A n c n，设{p n}的前n项和为S n，求证：S n＜4＋4ln n.2018届高三模拟考试试卷(十九)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)在△ABC 中，已知AC ＝12AB ，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，求证：BN ＝2AM.B. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值．C. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ＝π4(ρ∈R )相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. (选修45：不等式选讲)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：12a ＋1＋42b ＋1≥94.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P 1，P 2，…，P 6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23. 设集合A，B是非空集合M的两个不同子集．(1) 若M＝{a1，a2}，且A是B的子集，求所有有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，且A的元素个数比B的元素个数少，求所有有序集合对(A，B)的个数．2018届高三模拟考试试卷 数学参考答案及评分标准1. {0，1}2. －123. 104. 55. 7106. 47. 2338. x 25－y 220＝1 9. －2ln 2 10.充分不必要 11. 9 12. (－32，－6]∪[6，32) 13.2314. ⎝⎛⎭⎫1，54 15. 解：(1) 因为m ·n ＝1，所以(－1，3)·(cos A ，sin A)＝1，即3sin A －cos A ＝1，(2分)则2⎝⎛⎭⎫sin A ·32－cos A ·12＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12.(4分)又0<A<π ，所以－π6<A －π6<5π6，故A －π6＝π6，所以A ＝π3.(6分)(2) 由题知1＋2sin Bcos Bcos 2B －sin 2B＝－3，整理得sin 2B －sin Bcos B －2cos 2B ＝0.(8分) 又cos B ≠0 ，所以tan 2B －tan B －2＝0，解得tan B ＝2或tan B ＝－1.(10分) 又当tan B ＝－1时cos 2B －sin 2B ＝0，不合题意舍去，所以tan B ＝2.(12分) 故tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan (A ＋B)＝－tan A ＋tan B 1－tan Atan B ＝8＋5311. (14分)16. 证明：(1) 因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD. (2分)又AB ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以AB ∥平面PDC.(4分)因为AB ⊂平面ABE ，平面ABE ∩平面PDC ＝EF ，所以AB ∥EF. (7分) (2) 因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ⊥AD. (8分) 因为AF ⊥EF ，AB ∥EF ，所以AB ⊥AF.(9分)又AB ⊥AD ，点E 在棱PC 上(异于点C)，所以F 点异于点D ，所以AF ∩AD ＝A. 又AF ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD.(12分)又AB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD. (14分)17. 解：(1) 在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝60°，∠APB ＝75°， 由正弦定理，得AB sin ∠APB ＝BPsin A，即BP ＝6×322＋64＝1236＋2＝123（6－2）4＝33(6－2)，故PB 的距离是92－36千米. (4分)(2) 甲从C 到A ，需要4小时，乙从A 到B 需要1小时． 设甲、乙之间的距离为f(t)，要保持通话则需要f(t)≤9. ① 当0≤t ≤1时，f(t)＝（6t ）2＋（12－3t ）2－2·6t·（12－3t ）cos 60°＝37t 2－16t ＋16≤9，(6分) 即7t 2－16t ＋7≤0，解得8－157≤t ≤8＋157.又t ∈[0，1]，所以8－157≤t ≤1，(8分)故两人通过对讲机保持联系的时长为15－17小时. ② 当1<t ≤4时，f(t)＝36＋（12－3t ）2－2·6（12－3t ）cos 60°＝3t 2－6t ＋12≤9，(10分) 即t 2－6t ＋3≤0，解得3－6≤t ≤3＋ 6. 又t ∈(1，4]，所以1<t ≤4，(12分)故两人通过对讲机保持联系的时长为3小时．由①②可知，两人通过对讲机能保持联系的总时长为3＋15－17＝15＋207(小时). 答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是15＋207小时. (14分) (注：不答扣1分)18. 解：(1) 由题意知b ＝ 3.因为c a ＝12，所以b a ＝32，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (4分)(2) 因为点N 为△F 1AF 2的内心，所以点N 为△F 1AF 2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ，则S △F 1NF 2S △F 1AF 2＝12F 1F 2·r 12（AF 1＋AF 2＋F 1F 2）·r ＝F 1F 2AF 1＋AF 2＋F 1F 2＝c a ＋c ＝13. (8分)(3) 若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于F 2G 的中点⎝⎛⎭⎫52，0.(9分)下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T ⎝⎛⎭⎫52，0. 设直线l 的方程为y ＝k(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，化简得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.因为直线l 经过椭圆C 内的点(1，0)，所以Δ＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2. (11分)由题意，得D(4，y 1)，E(4，y 2)，则直线AE 的方程为y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)．令x ＝52，此时y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1×⎝⎛⎭⎫52－4＝2（x 1－4）y 2＋3（y 2－y 1）2（x 1－4）＝2（x 1－4）k （x 2－1）＋3k （x 2－x 1）2（x 1－4）＝8k ＋2kx 1x 2－5k （x 2＋x 1）2（x 1－4）＝8k ＋2k·4k 2－123＋4k 2－5k·8k 23＋4k 22（x 1－4）＝8k （3＋4k 2）＋2k （4k 2－12）－5k·8k 22（x 1－4）（3＋4k 2）＝24k ＋32k 3＋8k 3－24k －40k 32（x 1－4）（3＋4k 2）＝40k 3－40k 32（x 1－4）（3＋4k 2）＝0，所以点T ⎝⎛⎭⎫52，0在直线AE 上．同理可证，点T ⎝⎛⎭⎫52，0在直线BD 上. (16分)所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点T ⎝⎛⎭⎫52，0. 19. (1) 解：f′(x)＝1x －a ＝1－ax x，x>0，当a ≤0时，f ′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值；(2分) 当a>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ，f ′(x)>0，f(x)在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，f ′(x)<0，f(x)在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． 故函数有极大值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a －ln a －1，无极小值. (4分)(2) 解：由(1)可知当a ≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不可能有两个零点； 当a ＞0时，函数有极大值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a －ln a －1. 令g(x)＝x －ln x －1(x ＞0), 则g′(x)＝1－1x ＝x －1x.当x ∈(0，1)，g ′(x)<0，g(x)在(0，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)，g ′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 函数g(x)有最小值g(1)＝0.若要使函数f(x)有两个零点，必须满足a>0且a ≠1.(6分) 下面证明a>0且a ≠1时，函数有两个零点．因为f(1)＝0，所以下面证明f(x)还有另一个零点． ① 当0<a<1时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a －ln a －1>0，f ⎝⎛⎭⎫1a 2＝－2ln a ＋a －1a ＝－2aln a ＋a 2－1a ＝－2aln a －a 2＋1a. 令h(a)＝2aln a －a 2＋1(0<a<1)，则h′(a)＝2(ln a ＋1)－2a ＝2(ln a －a ＋1)<0， h(a)在(0，1)上单调递减，h(a)>h(1)＝0，则f ⎝⎛⎫1a 2<0，所以f(x)在⎝⎛⎫1a ，1a 2上有零点． 又f(x)在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以f(x)在⎝⎛⎭⎫1a ，1a 2上有唯一零点，从而f(x)有两个零点． ② 当a>1时，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a －ln a －1>0， f ⎝⎛⎭⎫1e a ＝－a －a ×1e a ＋a ＝－a ×1ea <0.易证e a >a ，可得1e a <1a ，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫1e a ，1a 上有零点． 又f(x)在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 所以f(x)在⎝⎛⎭⎫1e a ，1a 上有唯一零点，从而f(x)有两个零点． 综上，a 的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞). (10分) (3) 证明：f(x 1)－f(x 2)＝ln x 1－ln x 2＋a(x 2－x 1)，k ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＝ln x 1－ln x 2＋a （x 2－x 1）x 1－x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2－a.又f′(x)＝1x －a ＝1－ax x ，f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝2x 1＋x 2－a ，(12分) 所以f′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－k ＝2x 1＋x 2－ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝1x 1－x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x 1－x 2）x 1＋x 2－ln x 1x 2 ＝1x 1－x 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2＋1－lnx 1x 2.不妨设0＜x 2＜x 1, t ＝x 1x 2，则t ＞1，则2⎝⎛⎭⎫x 1x 2－1x 1x 2＋1－ln x 1x 2＝2（t －1）t ＋1－ln t.令h(t)＝2（t －1）t ＋1－ln t(t>1)，则h′(t)＝－（t －1）2（1＋t ）2t <0，因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.又0＜x 2＜x 1，所以x 1－x 2＞0， 所以f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22－k ＜0，即f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜k. (16分)20. 解：(1) 设等差数列的公差为d(d ≠0)，等比数列的公比为q(q ≠1)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 22＝4a 1a 4，4b 3＝4b 2＋b 4⇒⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋d ）2＝a 1（a 1＋3d ），4b 1q 2＝4b 1q ＋b 1q 3，解得d ＝1，q ＝2，(4分) 所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2) 由a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列，有2a m a n b i ＝a m b j ＋a n b k ，即2mn·2i －1＝m·2j －1＋n ·2k－1.由于i<j<k ，且为正整数，所以j －i ≥1，k －i ≥2，所以2mn ＝m·2j －i ＋n·2k －i ≥2m ＋4n ，(6分) 可得 mn ≥m ＋2n, 即2m ＋1n≤1.① 当1≤m ≤2时，不等式2m ＋1n≤1不成立；② 当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2 或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝3时，2mn ·2i －1＝m·2j －1＋n·2k －1成立；(8分)③ 当n ≥4时，1n >0，2m <1，即m>2，则有m ＋n>6；所以m ＋n 的最小值为6，当且仅当j －i ＝1，k －i ＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝2 或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝3时取得. (10分) (3) 由题意，得p 2＝c 12＋⎝⎛⎭⎫1＋12c 2，p 3＝c 1＋c 23＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13c 3，… S n ＝p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n (c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n )(11分) ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n T n . T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ①， 12T n ＝12c 1＋12c 2＋…＋12c n ②. ①－②，得12T n ＝1＋12＋14＋18＋…＋12n －1－n 2n ＝2－2⎝⎛⎭⎫12n －n ⎝⎛⎭⎫12n ，(12分)解得 T n ＝4－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫12n －1<4，所以 S n <4⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n . 设f(x)＝ln x ＋1x －1(x>1)，则f′(x)＝1x －1x 2＝x －1x2>0，所以 f(x)在(1，＋∞)上单调递增，有f(x)>f(1)＝0，可得 ln x>1－1x . (14分)当k ≥2，且k ∈N *时，k k －1>1，有ln kk －1>1－k －1k ＝1k ，所以12<ln 21，13<ln 32，…，1n <ln nn －1，可得1＋12＋13＋…＋1n <1＋ln 21＋ln 32＋…＋ln n n －1＝1＋ln n ，所以S n <4⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n <4＋4ln n. (16分)2018届高三模拟考试试卷 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 证明： 在△ABC 中，因为CM 是∠ACB 的平分线，所以AC BC ＝AMBM .又AC ＝12AB ，所以AB BC ＝2AMBM ①.(4分)因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以BM·BA ＝BN·BC ，即AB BC ＝BNBM ②.(8分)由①②可知2AM BM ＝BNBM，所以 BN ＝2AM.(10分)B. 解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x)－4. (3分)因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x ＝1. (6分)由(λ－1)(λ－1)－4＝0，解得λ＝－1或3，所以λ2＝－1. (10分)C. 解：圆C ：ρ＝22cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝2. 直线l ：θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，即x －y ＝0.(6分)圆心C(2，0)到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1. (8分)所以AB ＝2（2）2－12＝2. (10分)D. 证明：(证法1) 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以⎝⎛⎭⎫12a ＋1＋42b ＋1[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]＝1＋4＋2b ＋12a ＋1＋4（2a ＋1）2b ＋1≥5＋22b ＋12a ＋1×4（2a ＋1）2b ＋1＝9. (8分) 而(2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以12a ＋1＋42b ＋1≥94. (10分)(证法2)因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得⎝⎛⎭⎫12a ＋1＋42b ＋1[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]≥⎝⎛⎭⎪⎫12a ＋12a ＋1＋42b ＋12b ＋12＝(1＋2)2＝9. (8分)由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4, 所以12a ＋1＋42b ＋1≥94.(10分)22. 解：(1) 从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有C 36种不同选法， 其中S ＝32的为有一个角是30°的直角三角形(如△P 1P 4P 5)，共6×2＝12种， 所以P ⎝⎛⎭⎫S ＝32＝12C 36＝35. (3分)(2) S 的所有可能取值为34，32，334. S ＝34的为顶角是120°的等腰三角形(如△P 1P 2P 3)，共6种，所以P ⎝⎛⎭⎫S ＝34＝6C 36＝310. (5分)S ＝334的为等边三角形(如△P 1P 3P 5)，共2种，所以P ⎝⎛⎭⎫S ＝334＝2C 36＝110. (7分)又由(1)知P ⎝⎛⎭⎫S ＝32＝12C 36＝35，故S 的分布列为所以E(S)＝34×310＋32×35＋334×110＝9320. (10分) 23. 解：(1) 若集合B 含有2个元素，即B ＝{a 1，a 2}，则A ＝∅，{a 1}，{a 2}，则(A ，B)的个数为3；若集合B 含有1个元素，则B 有C 12种，不妨设B ＝{a 1}，则A ＝∅， 此时(A ，B)的个数为C 12×1＝2. 综上，(A ，B)的个数为5. (3分)(2) 集合M 有2n 个子集，又集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集， 则不同的有序集合对(A ，B)的个数为2n (2n －1). (5分)若A 的元素个数与B 的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A ，B)的个数为 C 0n (C 0n －1)＋C 1n (C 1n －1)＋C 2n (C 2n －1)＋…＋C n n (C n n －1)＝(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2－(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ). (7分)又(x ＋1)n (x ＋1)n 的展开式中x n 的系数为(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2， 且(x ＋1)n (x ＋1)n ＝(x ＋1)2n 的展开式中x n 的系数为C n 2n ，所以(C 0n )2＋(C 1n )2＋(C 2n )2＋…＋(C n n )2＝C n2n .因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n，所以当A 的元素个数与B 的元素个数一样多时，有序集合对(A ，B)的个数为C n 2n －2n.(9分)所以当A 的元素个数比B 的元素个数少时，有序集合对(A ，B)的个数为2n （2n －1）－（C n 2n －2n）2＝22n －C n 2n2.(10分)。