Stabilization of Nonholonomic Chained Systems via Nonregular Feedback Linearization

基于扰动观测器的时滞非线性系统的跟踪控制

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扰动估计的基础上以补偿干扰的影响•近年来,各种扰动观测器得到了广泛的研究•在这些研究中，通常采用扰动观测器来逼近外部扰动，并根据扰动观测器的近似输出来设计跟踪控制.本文是通过设计扰动观测器来对系统中的扰动进行监测，并利用反步法和扰动观测器的技术提出了跟踪控制 .

利用非线性反馈控制-类振动系统的振动

２０１３年１月
Ｊａｎ．２０１３
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４－８４２５（Ｚ）．２０１３．０１．００６
利用非线性反馈控制一类振动系统的振动
第２７卷
Ｖｏ１．２７
第１期
Ｎｏ．１
重庆理工大学学报（自然科学）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｄｙｎａｍｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅａｕｔｏｐａｒａｍｅｔｒｉｃｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈａｎａｔｔａｃｈｅｄｄａｍｐｅｄｐｅｎｄｕ－ｌｕｍｉｓｓｔｕｄｉｅｄ．ＴｈｅｄｙｎａｍｉｃａｌｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｕｓｉｎｇＬａｇｒａｎｇｉａｎａｎｄＮｅｗｔｏｎ’ Ｓ
ｓｔａｔｅｏｆｔｈｉｓｖｉｂｒａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄｔｈｅｎＭａｔｌａｂｎｕｍｅｉｃｒａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｃａｎｐｒｏｖｅｔｈａｔｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｅｅｄｂａｗ．ＴｈｅｃｈａｏｔｉｃｂｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｉｓａｎａｌｙｚｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆＬｙａｐｕｎｏｖｅｘｐｏｎｅｎｔｓｐｅｃｔｒｕｍａｎｄｔｈｅｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｄｉａｇｒａｍｓ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｆｅｅｄｂａｃｋｃｏｎｔｒｏｌｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄｔｏｃｏｎｔｒｏｌｔｈｅｃｈａｏｔｉｃｍｏｔｉｏｎ

电驱动车辆反馈线性化自适应滑模滑移率控制

电驱动车辆反馈线性化自适应滑模滑移率控制魏曙光;马晓军;曾庆含;刘春光【摘要】针对驱动和制动工况下电驱动汽车的滑移率控制这一强非线性和不确定性控制问题，提出了一种基于反馈线性化的自适应滑模控制（ASMC）方法。

针对车辆驱动、制动工况下的车轮滑移率进行了动力学分析，建立了统一的状态方程。

充分利用系统已知模型和参数，采用线性化反馈消除非线性变化的控制量增益系数的影响，通过对反馈项增益参数的自适应调整，适应附着路面不确定参数变化的控制要求，克服系统控制中存在的主要非线性和不确定性部分，对于系统难以建模描述部分，视为扰动，利用滑模控制抑制系统该部分的不确定性因素，同时保证系统响应的快速性，并对算法进行了Lyapunov稳定性分析。

最后，以某型电动汽车为对象进行了仿真分析，结果表明采用ASMC控制系统动态响应快、精度高、抗扰能力强，对路面参数变化具有较强的鲁棒性，同时输出控制量抖振小。

%This paper presents an adaptive sliding mode control method based on feedback linearization,targeting at the nonlinear wheel slip control system with strong uncertain both on EV acceleration and barking. After dynamic analysis of wheel slip when driving/barking an unite state equation is built. Taking full advantage of the known model and parameters,the nonlinear of control gain is eliminated through feedback linearization and self-adaptive law of feedback gain is adopted to accommodate with the variable friction in tire-road interface,which can overcome the main nonlinear factors and uncertains. Together,the unknown model and parameters is regarded as dieturbance is restrained by slid mode term which can also improve the response speed. Then the control algorithm stability is proved byLyapunov law. At last,simulation results of EV model demonstrated ASMC has rapid and precision response,little chattering and robustness to disturbance.【期刊名称】《火力与指挥控制》【年(卷),期】2016(041)006【总页数】5页(P23-27)【关键词】电动汽车;反馈线性化;自适应滑模控制;滑移率【作者】魏曙光;马晓军;曾庆含;刘春光【作者单位】装甲兵工程学院全电化技术实验室，北京100072; 装甲兵工程学院，北京100072;装甲兵工程学院全电化技术实验室，北京100072; 装甲兵工程学院，北京100072;装甲兵工程学院全电化技术实验室，北京100072; 装甲兵工程学院，北京100072;装甲兵工程学院全电化技术实验室，北京100072; 装甲兵工程学院，北京 100072【正文语种】中文【中图分类】TP273+.2一般来说车辆滑移率控制主要包括两种:驱动时的牵引力控制（TC）和制动时的防抱死控制（ABS），其主要作用是在冰、雪等低附着路面条件下，通过控制自动调节车轮力矩，确保车轮滑移率在安全范围内，避免车轮过度滑移或滑转引起车轮有效纵向驱/制动力降低，甚至危害横向行驶稳定性。

拖挂式移动机器人反馈镇定的非连续控制方法

原点。由于（，过程是一种非连续状态变换方式，系统的反馈控制律是非连续的，Ｂｏｋｔ定理中与ｒｅｃｔ关于非完整系统的反馈镇定问题不存在连续时不变的控制方法的结论是一致的。
关键词：挂式机器人；ｊ完整系统；馈镇定；过程拖｝反
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
连续控制方法。利用坐标变换和输入变换建立了系统的链式形式模型，并证明链式系统与原系统是局部微分同胚的。进而基于Ｏ过程分析，链式系统转换为线性子系统，用极点配置方法设ｒ将利
计了线性子系统的渐近稳定控制律。该控制律能够使链式系统稳定，而使原系统也同样稳定。从仿真结果表明所提出的控制方法能够控制移动机器人及其拖车的位形以指数收敛速率稳定在系统
ｉｓｌｎｒｄｃｄｔｈｎｅｔｅｓｓｅｔｈｉｅｍｆｒｔｙｉｔｏｕｅｏｃａｇｈｙｔｍｏａｃａｎｄｆｒ，ｗｈｃｓｐｒｖｎｔｔｗａｉｅｍｏｐｉｔｏｉｈｗａｏｅｈａｓｄｆｏｒｈｃｗｉｆｈ
２ＳｈｏｏＣｎｏＳｉｃｎｎｉｅｒｇＵｉｅｓｙｏＪａ，ｉａ５０２，ｈｎ）．ｃｏｌｆｏｔｌｃｅｅａｄＥｇｎｅｉ，ｎｖｒｉｆｉｎＪｎ２０２Ｃｉｒｎｎｔｎｎａ
ＡｂｔａｔＡｄｓｏｔｕｕｏｔｌｔｏａｅｎｐｏｅｓｆｒｔｅｆｅｂｃｔｂｌａｉｎｐｏｌｍｏｓｒｃ：ｉｎｉｏｓｃｎｒｈｄｂｓｄｏｃｎｏｍｅｒｃｓｏｅｄａｋｓａｉｚｔｒｂｅｆａｈｉｏＴａｔｒｔｉｒｍｏｉｏｏａｄｒｓｅｎｔｉａｅ．Ｔａｓｒｔｉｓｏｏｒｉａｉｎａｄｉｐｔｗｒｒｃｏ — ａｌｂｌｒｂｔｗｓａｄｅｓｄｉｈｓｐｐｒｒｎｆｍａｏｎｎｃｏｄｎｔｎｎｕｓｅｅｒｅｅｏｏ

一类非完整链式系统的有限时间镇定控制

ＮｏｏｏｍｉｎｈｌｎｏｃＣｈａｎｅｙｔｍｉｄＳｓｅ
ＷＡＮＧＹｉｉｇＩＳｅｇＨＥｉｇｗｅ — ｎ，Ｌｈｎ，ＣＮＱｎ — ｉｑ
（ｃｏｌｏｕｏｔｎａｊｇＵｉｅｓｙｏｃｅｃｎｅｈｏｏｙＳｈｏｆＡｔｍａｉ，ＮｎｉｎｖｒｉｆＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｇ，Ｎａｊｎ１０４，Ｊａｇｕ，Ｃｈｎ）ｏｎｔｎｉｇ２０９ｉｎｓｉａ
Ｆｉａｌｎｌｙ，ｔｅｓａｉｉａｉｎｐｏｌｍｆｔｅ３ｄｍｅｉｎａｏｈｌｎｍｉｈｉｅｙｔｍｓｓｌｅｙｕｉｚｎｈｔｂｌｚｔｏｒｂｅｏｈ－ｉｎｓｏｌｎｎｏｏｏｃｃａｎｄｓｓｅｉｏｖｄｂｔｉｉｇｌｔｅｐｏｏｅｏｔｏｌｒ’ａｄｔｅｅｐｉｉｆｒｓｏｈｃｎｒｌｅｓａｅｐｅｅｔｄ．Ｔｈｆｃｉｅｅｓｏｈｅｈｒｐｓｄｃｎｒｌｓｎｈｘｌｔｏｍｆｔｅｏｔｏｌｒｒｒｓｎｅｅｃｅｅｆｔｖｎｓｆｔｅ
ｐｏｏｅｎｔ —ｉｔｂｉｚｔｏｏｔｏｌｒｓｓｗｎｔｒｕｈｓｍｕａｉｎｒｐｓｄｆｉｔｍｅｓａｌａｉｎｃｎｒｌｅｓｉｈｏｈｏｇｉｌｔｏ．ｉｅｉ
Ｋｅｒｙｗｏｄｓ：ａｔｍａｉｏｔｏｅｈｏｏｙ；ｎｏｌｎａｏｔｏ；ｆｎｔ—ｉｏｔｏ；ｆｅｂｃｔｂｌａｉｎ；ｕｏｔｃｃｎｒｌｔｃｎｌｇｎｉｅｒｃｎｒｌｉｉｔｅｍｅｃｎｒｌｅｄａｋｓａｉｉｔｚｏ

非线性系统的稳定性分析与控制方法研究

非线性系统的稳定性分析与控制方法研究随着现代科学技术和工业化的发展，越来越多的工业生产过程涉及到非线性系统的建模和控制。

非线性系统，与线性系统相比，具有更加复杂的动态特性和不可预测性，这给系统的稳定性分析和控制带来了更大的挑战。

因此，非线性系统的稳定性分析与控制方法研究正日益成为现代控制理论的热门领域。

一、非线性系统的稳定性分析1. Lyapunov 稳定性理论Lyapunov 稳定性理论是非线性系统稳定性分析的一种重要方法。

该理论是以Lyapunov 函数为工具。

Lyapunov 函数满足三个条件：1) 非负；2) 当且仅当系统处于平衡状态时取最小值；3) 在平衡状态附近连续可导。

当 Lyapunov 函数的导数小于等于零时，系统处于稳定状态。

而 Lyapunov 函数的导数恒为负时，系统处于全局稳定状态。

2. 广义 Krasovskii 稳定性理论广义Krasovskii 稳定性理论是对Lyapunov 稳定性理论的拓展。

它通过引入两个新的概念：自适应 Lyapunov 函数和广义偏微分不等式，来解决 Lyapunov 函数在某些情况下不能用于刻画非线性系统稳定性的问题。

自适应 Lyapunov 函数允许在系统运行过程中变化，而广义偏微分不等式则提供了一种计算自适应 Lyapunov 函数导数下限的方法。

广义 Krasovskii 稳定性理论更适用于那些具有时间延迟或不确定性的非线性系统。

二、非线性系统的控制方法研究对于非线性系统的控制，传统的PID 控制方法不再适用。

因此，研究非线性系统的控制方法成为了非常重要的问题。

下面我们介绍两种常用的非线性控制方法：自适应控制和滑模控制。

1. 自适应控制自适应控制是一种通过反馈调节控制器参数来适应不确定性和不稳定性的控制方法。

自适应控制器中包含多个模型，根据当前系统状态和输出结果选择最优模型，并实时调整模型参数。

该控制方法通常用于那些在运行过程中系统参数难以确定的系统，如飞行器、机器人等。

非线性能量阱减振的研究进展

Vol. 41 No. 2Apr. 4021第41卷第2期2021年4月地震工程与工程振动EARTHQUAKE ENGINEERING AND ENGINEERING DYNAMICS 文章编号：1000 -1301(2021)02 -0162 -13DOI ： 10.13107/j. eeev.400.42.162. shicl. 410非线性能量阱减振的研究进展时成龙3,,张纪刚02,程赞0(3.青岛理工大学土木工程学院，山东青岛266033 2山东省高等学校蓝色经济区工程建设与安全协同创新中心，山东青岛266033；3.军事科学院国防工程研究院，北京100033)摘要:结构振动的问题在海洋工程、航空航天和土木工程等领域普遍存在。

建筑结构在地震、风等动力荷载作用下，会产生较大的振动响应，影响生活的舒适性，这就使得结构振动控制变得尤为重要。

非线性能量阱(NES )具有宽频、频率鲁棒性高、构造简单的优点；文中综述了非线性能量阱 (NES )技术在减振中的应用，主要包括非线性能量阱的减振模型、研究进展、工程中的应用进展、减振装置的参数优化以及试验装置的研发等，对非线性能量阱在不同状况的耗能过程进行了详细分析;针对非线性能量阱在动力学中的减振机制，分析了非线性能量阱比传统减振装置对主体结构耗能方面的优越性;最后，对非线性能量阱在结构减振中的应用和研究进行了总结和展望。

关键词:非线性能量阱;减振模型;参数优化;耗能减振;试验装置中图分类号:TU317；TU352.4 文献标识码:AResearch progress of nonlinear energy sink vibration reductionSHI Chenglong 72, ZHANG Jigang 72, CHENG Yun 3(7 School of CiviC Engineering, Qingdao University of Technoloay, Qingdao 266033 , China; 2. Cooperative Innovation Cevtvr of EngineeringConstruction and Safety in Shannopg Blue Economic Zoge , Qingano Univeaity of 丁点"“。

电动静液作动器的非线性变阻尼积分滑模控制

电动静液作动器的非线性变阻尼积分滑模控制杨荣荣;张玲;赵家黎;付永领;张朋【期刊名称】《北京航空航天大学学报》【年(卷),期】2024(50)1【摘要】对于电动静液作动器(EHA),传统滑模控制器存在加速度信息难以获取,参数不易整定和控制信号抖振等问题,从而造成控制器很难应用于实际。

针对以上问题,利用奇异摄动理论对EHA数学模型进行合理的降阶,从而使控制器设计避免了使用加速度信息。

在此基础上,利用降阶模型设计了一种新型非线性变阻尼积分滑模控制器(NSMC),该控制器可根据位置控制误差实现系统阻尼比由欠阻尼到过阻尼的自适应调节,能有效提高位置阶跃调节性能。

设计了一种基于滤波器的不确定项估计器对EHA中存在的参数不确定性和外部扰动进行实时估计并补偿。

滑模面积分项的引入和不确定项估计器的使用,一方面使控制器中无需使用切换函数,实现了EHA的无抖振滑模控制,另一方面使系统整个动态过程完全表现为滑动模态,从而可根据EHA控制指标直接整定滑模面参数,大大简化了参数整定过程。

同时利用Lyapunov稳定性理论对整个闭环系统和滑模面的稳定性进行了详细分析。

分别与PI控制器、传统滑模控制器(SMC)和传统变阻尼滑模控制器(DVSMC)进行了详细的仿真分析比较,仿真结果表明NSMC能有效提高EHA位置跟踪性能和增强对参数不确定性和外部扰动的鲁棒性。

【总页数】9页(P163-172)【作者】杨荣荣;张玲;赵家黎;付永领;张朋【作者单位】兰州理工大学机电工程学院;北京航空航天大学机械工程及自动化学院;北京精密机电控制设备研究所【正文语种】中文【中图分类】TH137【相关文献】1.基于PID和滑模控制的电动静液作动器的研究2.电动静液作动器自适应滑模控制3.采用滑模控制的电动静液压作动器位置跟踪的研究4.电动静液作动器的自适应变阻尼滑模控制5.电动静液作动器的阻尼自适应扰动主动补偿控制方法因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

【doc】非线性离散动力系统稳定性的等价定理

非线性离散动力系统稳定性的等价定理第4期2004年12月华东师范大学(自然科学版)JournalofEastChinaNormalUniversity(NaturalScience)No.4Dec.2004文章编号:1000—5641(2004)04—0010—06非线性离散动力系统稳定性的等价定理汪志鸣,郑毓蕃,戴浩晖(1.华东师范大学数学系,上海200062;2.华东师范大学计算机系,上海200062)摘要:证明了用K类函数表示的离散动力系统一致稳定和一致渐近稳定的等价定理.进而给出用KL函数刻划的一致渐近稳定判定定理及其逆定理.从而对于离散时间动力系统的扰动分析和相应控制问题研究奠定了严格的理论基础.关键词:非线性系统;自动控制;离散动力系统中图分类号:0175.13文献标识码:A0引言随着自动控制理论研究领域的扩大和计算机技术的普及,离散时间系统已日趋成为系统与控制理论中的一类主要研究对象L1].不少文献(例如文献[2])在没有严格证明的基础上认为连续时间系统表示的离散动力系统行之有效的K函数理论在离散情形自然成立而直接使用.本文给出用K类函数刻划一致稳定和一致渐近稳定等价定理的严格证明,进而给出了用KL函数刻划的一致渐近稳定判定理及其逆定理.从而为离散动力系统的扰动分析和相应控制问题的研究奠定了严格的理论基础.1稳定性概念的K函数表示从数学上看,离散动力系统由如下差分方程表示:x(k+1)一f(k,(忌))(1.1)其中z∈R,fEC[N×,R],N为非负整数集合.设f(k,O)一0,V忌∈N,并且假设原点是唯一的平衡点,x(k,k.,X.)表示系统(1.1)过初始点(忌.,X.)的解.又设V(k,)∈C[N×R,R],则V(k,)沿系统(1_1)的差分定义为def△V(忌,(忌))一V(忌+1,x(k+1))一V(忌,(忌))=V(忌+1,f(k,z(忌)))一(忌,(忌)).(1.2)函数a(?):R≥.×一R≥.称为K函数,如果它是严格单调增加的连续函数,且a(0)一0;函数a(?)称为K函数,如果它是K函数,并且a(5)一..;函数卢(?,?):R≥.×R≥.一R≥.称为KL函数,如果对每一个固定的￡≥0,卢(?,￡)是K函数,以及对每一个固定的≥0,卢(5,?)是单调下降的连续函数,并且卢(5,￡)一0定理1.1系统(1.1)的平衡点一0一致稳定的充分必要条件是存在K函数a(?)和与k.无关的常数d>0使得ll(忌)ll≤a(1lx(k.)l1),V忌≥忌.≥O,Vllx(k.)ll<d.(1.3)收稿日期:2003—03基金项目:国家自然科学基金(10371040)和上海市重点学科建设项目作者简介:汪志鸣(1953一),男,副教授.第4期汪志呜,等:非线性离散动力系统稳定性的等价定理11证明充分性:若存在K函数a(?)和与忌.无关的常数a>O使得II(忌)II≤a(1lx(k.)II),V忌≥忌.≥O,Vllx(ko)ll<,则V e>O,令(e)一min{,a(e)),对任何llx(k.)II<(e),都有ll(忌)ll≤≤口(1lx(k.)l1)<:口((e))≤口(口一(e))一e,因此系统(1.1)的平衡点一0一致稳定.必要性:若系统(1.1)的平衡点一0一致稳定,即V e>O,了一(e)>O使得llx(k.)II<(e)II(忌)II<e,V忌≥忌..固定e,记(e)一sup{所有适用的(e)),则llx(k.)II<(e)II(忌)Il<e,V忌≥忌..这样取定的(e)为正,并且关于e不减,但未必连续.选一个K函数(r)使得(r)≤c(r),O<c<1.设a(r)一(r),则a(r)为K函数,记—lim(r),则与忌.无关.于是对任意满足llx(k.)II<的(忌.),取e—a(II(忌.)l1)>O,则有llx(k.)ll—a(e)一(e)<(e)以及II(忌)II≤e—a(1lx(k.)l1),V忌≥忌..证毕.定理1.2系统(1.1)的平衡点一0一致渐近稳定的充分必要条件是存在KL函数卢(?,?)和与忌.无关的常数>O使得llx(k)II≤卢(1lx(k.)ll,忌--k.),V忌≥忌.≥O,Vllx(k.)II<.(1.4)系统(1.1)的平衡点一0全局一致渐近稳定的充要条件是存在KL函数卢(?,?)使得上述不等式(1.4)对任意初始状态x(k.)都成立.证明充分性:倘若存在的KL函数卢(?,?)和与忌.无关的常数>O使得ll(忌)ll≤卢(1lx(k.)ll,忌一忌.),V忌≥忌.≥O,Vllx(k.)ll(.由于对每一个固定的s≥0,卢(s,?)是单调下降函数,所以成立II(忌)II≤卢(1lx(k.)ll,O),V忌≥忌.≥O,因此由定理1.1可知,系统(1.1)的平衡点一0一致稳定.其次又由于llx(k)ll≤卢(,忌一忌o),所以(忌)当忌一..时关于忌.一致地趋于0.故系统(1.1)的平衡点一0一致渐近稳定. 必要性:设系统(1.1)的平衡点一0一致渐近稳定,即平衡点一0一致稳定以及一致吸引.因为一致稳定,所以存在与忌.无关的常数>O以及K函数a(r),rE(O,),使得系统(1.1)的解x(k)满足:II(忌)lI≤a(1lx(k.)l1)<a(r),V忌≥忌.,Vllx(k.)II<r.(1.5)又由于一致吸引,对于V e>O,存在T—T(e,r)(依赖于e和r,但与忌.无关)使得llx(k)ll<e,V忌o+T(e,r).记Tr(e)一inf{J(e,r)),于是有llx(k)ll<e,V忌≥忌.+T(e).并且supllx(k)ll≥e,忌≤忌<忌o+T(e).如此得到的序列{Tr(e))满足(1)对每一个固定r>0,T(e)关于e不增;(2)对每一个固定e>0,T,(e)关于r不减;(3)当a(r)≤e时,由于II(忌)II<a(r)≤e,V忌≥忌.,故得Tr(e)一0.所以Tr(e)≥O.12华东师范大学(自然科学版)令(￡)=÷I丁r(s)ds.由于丁r(￡)单调,所得到的序列{(￡))可积,关于￡连续,且'/2 局部绝对连续,因此它有定义,并且满足(￡)≥÷T(￡)Idx=Tr(8).'/2进一步,因为局部绝对连续,所以下式几乎处处成立'一一)ds+kETr(e)._1e)]一1ETa(￡)一(￡]+÷『-丁r(￡)一Tr(--~)I(No.因此关于￡不增.于是(￡),满足:(1)对每一个固定r>O,(￡)关于￡不增,且连续;(2)对每一个固定￡>o,(￡)关于r不减;(3)T—r(￡)≥O.记则W,(￡)满足:w(￡)一T—r(￡)+.(1)对每一个固定r>0,W,(￡)=￡)关于￡严格递减,连续且limw(￡)一0和￡一o.limW,(￡)一;e-?0(2)对每一个固定￡>O,W(￡)关于r严格递增,且liraW,(￡)一o.;(3)W(￡)>0以及W,(￡)>T,(￡).对每一个固定r)0,令V,(￡)一w(￡),即V(￡)为W(￡)的反函数.于是V,(￡)仍具有w,(￡)所满足的前两条性质,并且((s))<w,(,(s))=s.当k—k.≥(￡),llz(k.)ll<r时,都有IIz(忌)II≤￡,从忌一忌.≥(￡)中解出￡:￡≤T(忌一忌.)≤V(忌一忌.),所以I1z(忌)I1≤V(忌一忌.),V忌≥忌.,VI1x(k.)l1<r,(1.6)于是由式(1.5)和(1.6)可得llz(忌)lI≤~/口(『1x(k.)『1)(忌--k.),V忌≥忌.,Vllx(k.)ll<c.记fl(r,s)一呵,则容易验证fl(r,s)是KL函数.全局一致渐近稳定的证明类似.由于篇幅关系,故省略.证毕.在定理 1.1和定理 1.2的基础上,一致渐近稳定性概念可以用满足不等式(1.4)的KL函数来刻划,文献[3]曾经用满足不等式(1.4)的KL函数定义渐近稳定性来讨论问题,但由于没有严格的证明,在文献[3]中称这种稳定为稳定.实质上就是通常的李雅普诺夫意义下的渐近稳定.本节的两个定理证明了用满足不等式(1.4)的KL函数刻划渐近稳定的等价性.在此基础上发展离散李雅普诺夫直接方法,建立离散李雅普诺夫稳定性理论现代处理的框架对以后问题的进一步研究大有帮助.2一致渐近稳定的判别的定理及其逆定量众所周知,各种李雅普诺夫稳定性的判定定理是整个稳定性理论的核心,其逆定理的研第4期汪志鸣,等:非线性离散动力系统稳定性的等价定理13究从理论上说明判定定理的有效性及有效程度.因此对离散动力系统相应问题的研究是十分必要和有意义的,本节讨论用KL函数刻划的离散动力系统一致渐近稳定的李雅普诺夫判定定理及其逆定理.当离散动力系统求解困难时,离散时间比较原理的方法十分有用.引理2.1设g:N志×R一R对每一个固定的七,g(k,)关于Y非减,其中R为非负实数集,N一{忌∈Nl忌≥忌.1).如果对任意忌≥忌.,下列不等式x(k+1)≤g(k,(忌)),且y(k+1)≥g(k,(忌))(2.1)同时成立,则x(k.)≤y(k.)成立,可以推出对任意的忌≥忌.,都有(忌)≤(忌).类似于连续情形文献E33中的引理3.4,我们有如下重要引理,引理2.2设:N一R满足下列不等式x(k+1)一(忌)≤一口((忌)),忌∈N(2.2)其中a∈K,则存在∈KL使得(忌)≤((忌.),忌--k.),忌∈N(2.3)证明作辅助函数:()一(忌)+[(忌+1)--x(k)-I(￡一是)tE[忌,忌+1],忌≥忌.,则(￡)在tE[忌.,..]上连续,且(忌)≥一[(忌+1)--x(k)](￡一是)≥口((忌))(￡一是)>1o.所以(￡)≥O,关于t逐段线性,因此局部绝对连续,于是对t下式几乎处处成立士(￡)一(忌+1)--x(k)≤一口((忌)),tE[忌,忌+1],忌≥忌..由于不等式(2.2),故得(￡)≤(矗),tE[忌,忌+1],忌≥忌.,因此可得士(￡)≤一口((忌))≤一口((￡)),于是由文献E63中节4的结论可知,存在∈KL,使得(￡)≤((忌0),￡一是0),tE[忌0,∞).取￡一是,忌≥是.,贝U(忌)≤((忌.),忌--k.),tEN.证毕.定理2.3若存在连续函数V(k,):N×D,一R,以及口,口2,∈K使得,对V,c∈N和V∈D,成立l1)≤V(忌,)≤az(l1)f24)1z~V(k,)≤一(1ll1),'则离散动力系统(1.1)的平衡点x=0在上一致渐近稳定,其中a—a(a(r)).如果a∈K,以及性质(2.1)在Dr—R"上成立,则离散动力系统(1.1)的平衡点一0全局一致渐近稳定.证明选取x(k.)使得llx(k.)ll<口(口(r)),记—(口(r))≤r,所以有(是.)∈D,,并且口(1l(,c)l1)≤V(k,x(忌))≤V(k.,x(k.))≤口2(1lx(k.)l1)<口(r),进而可得(忌)∈D,忌∈N,所以过x(k.)∈D的轨道(忌)在区域D,内存在唯一.同时有△V(忌,(忌))≤一(口(V(忌,(忌)))).引进辅助函数y(k+1)一(忌)=tool3(口((忌))),y(k.)一V(忌.,x(k.)),忌≥忌..14华东师范大学(自然科学版)则由引理2.2可知,存在∈KL,使得(忌)≤J9((忌.),k—k.),V忌≥忌..因为y(k.)一(忌.,x(k.)),所以V(k,(忌))≤(忌),忌≥忌..于是有V(k,(忌))≤(忌)≤J9((忌),忌一k.)~fl(V(k.,x(k.)),k—k.),所以(忌)II≤a((忌,(忌)))≤aO(V(k.,x(k.),忌一是.)))aF(a2(x(kl.)),忌一是.))det((忌.),k--k.),Vx(k.)∈DD,.(2.5)其中fl(x(k.),k—a(J9(az)((忌.)),忌))仍然是KL函数.因此离散时间系统(1.1)式在D上一致渐近稳定.如果a∈K..,则显然a.∈K..,并且性质(2.4)在D,一R上成立,则上述所构造的KL函数J9(?,?)使得不等式(2.5)对所有的(忌.)∈R成立.因此离散时间系统(1.1)式的平衡点一0全局一致渐近稳定.证毕.对于平衡点一0一致渐近稳定的离散动力系统(1.1)式是否存在函数V(k,)满足式(2.4),这就是着名的李雅普诺夫反问题.专着[4]中第五章的定理5.12.5是相应问题的传统处理.定理2.4如果离散动力系统(1.1)式是在N×D,上解存在,并且系统(1.1)式的平衡点一0一致渐近稳定,则在N×D,上存在满足性质(2.4)的函数V(k,).如果系统(1.1)的平衡点一0全局一致渐近稳定,则存在在N×R"上满足性质(2.1)的函数V(k,主).如果系统(1.1)是自治系统,则V(k,)可以选择为与k无关的函数.证明V(忌,)∈N×D,,设(r,k,)为离散动力系统(1.1)通过初始点(忌,)的轨道.由题设条件可知,存在J9∈KL使得ll(r,k,)ll≤p(1lll,r一是).利用文献[5]的命题7可知,存在a,y∈K..使得.(』9(lI,r一是))≤y(l1)exp{一),(2.6)其中9>0为待定的常数.定义函数V(k,)如下:V(k,)一defsupa(1l(r,k,)l1)exp{盟),(2.7)其中是使得exp{一鲁)≤告成立的常数,而取为>.的任何常数.取rl=k可得V(k,z)≥a(1l(忌,k,)l1)一a(1ll1)一defa(1ll1).同时有V(k,)≤sup(J9llll,r一是)exp{)≤y(Ill1)supexp{一.(~--2).(r--k)}≤y(1lXl1)一a.(1lXl1).而对于沿着轨道的差分,由于V(k+l,(忌+1,k,x=supa(I(r,k+l,~(k--kI,忌,))I)exp{)=supa(1,k,)exp{)exp{一第4期汪志鸣,等:非线性离散动力系统稳定性的等价定理15≤sup(I(r,k,z)I)exp()exp(一害).r≥^厶厶一(忌,z))exp(一A).因此可得A V(k,)一V(k+1,(忌+1,忌,z)--V(k,(是,k,z))~--V(k,(忌,k,z))(1一exp{一))≤一V(k,z)≤一1a(1lzl1)一def—a.(1lzl1),其中Ol.(1lXl1)为K函数.所以存在满足性质(2.4)的函数V(k,z).如果D一R,则r 可以选择为无穷大,所以函数V(k,z)在上满足性质(2.4),此时显然Ot∈K..,因而Ot∈K... 当系统(1.1)是自治系统时,如果(r)一(r,k,z)是系统(1.1)的解,则(r)一(r一忌,0,z)也是系统(1.1)的解,进一步,因为(忌)一z一(忌),所以(r)=(r),Vr≥忌.因此我们总可以取k一0.于是V(k,z)可以选择如下:(z)=defsupa(z(r,o,)l1)exp(),vzED.它与变量k无关.证毕.注:对于全局一致渐近稳定的情形,性质(2.4)中的K函数a.可以选为K...函数嘲. [参考文献][1]KokotovicP,ArcakM.Constriuctivenonlinearcontrol:Ahistoricalperspective[J~.Auto maticl,2001,37:637～662.[2]NesicD,TeelAR,KokotovicPV.Sufficientconditionsforstabilizationofsampled—datanonlinearsystemsviadis—crete-timeapproximatios[-J~.SystemsControlLetter,1999,38:259～270.[3]KhaililHK.NonlinearSysems[M].NewJersey,PrenticeHall:1996.[4]AgarwalRP.DifferenceEquationsandInequalities,Theory,Methods.andApplications[ M].NewY ork:MarcelDekker,Inc,2000.Is]mentsonintegralvariantsofISS[J].SystemsControlLetters,1998,34:93～100.[6]SontagEnSmoothstabilizationimpliescoprmefactorization[J].IEEETransAutomatCo ntrl,1989,34:435～443.EquivalentTheoremsforV ariousUniformStabilitiesofDiscrete-timeNonlinearSystemsW ANGZhi—ming,ZHENGYu—fan,DAIHao—hui(1.DepartmentofMathematics,EastChinaNormalUniversity,Shanghai,200062,China;puterSciencesDepartment,EastChinaNormalUniversity,Shanghai.200062.China )Abstract:EquivalenttheoremsintermsofclassKfunctionsarepresentedforuniformstability anduni—formasymptoticstabilityofdiscrete-timenonlinearsystems.Onthebaseoftheequivalentthe orems.thetheoremofuniformasymptoticstabilityforthediscrete-timenonlinearsystemsanditscomve rsetheoremarealsoobtained.Keywor~:nonlinearsystems;automaticcontrol:discrete-timedynamics。

基于非线性能量阱的弹性支承梁振动抑制

V ol 41No.6Dec.2021噪声与振动控制NOISE AND VIBRATION CONTROL 第41卷第6期2021年12月文章编号：1006-1355(2021)06-0063-04基于非线性能量阱的弹性支承梁振动抑制符翔，彭剑，童俊辉，颜世军（湖南科技大学土木工程学院结构抗风与振动抑制湖南省重点实验室，湖南湘潭411201）摘要：弹性支承梁易在外部荷载作用下发生大幅振动，本文采用非线性能量阱技术，对弹性支承梁的非线性主共振响应的振动抑制开展研究。

基于Hamilton 原理，建立非线性能量阱与弹性支承梁的耦合运动方程。

通过数值仿真分析，研究不同参数条件下非线性能量阱的振动抑制效果，利用能量法研究非线性能量阱对主结构振动抑制的能量消耗。

结果表明：非线性能量阱的运用使系统响应幅值显著下降；随着时间增长，系统总能量大幅下降并趋于稳定，非线性能量阱能实现对弹性支承梁的有效振动抑制。

关键词：振动与波；弹性支承梁；非线性能量阱；振动抑制；能量法中图分类号：O322；O328文献标志码：ADOI 编码：10.3969/j.issn.1006-1355.2021.06.011Vibration Mitigation of Elastically Supported Beams Based onNonlinear Energy SinkFU Xiang ,PENG Jian ,TONG Junhui ,YAN Shijun(Hunan Provincial Key Laboratory of Structures for Wind Resistance and Vibration Control,School of Civil Engineering,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan 411201,Hunan,China)Abstract :Elastically supported beams are prone to develop large-scale vibration under external loads.In this paper,the vibration mitigation of the nonlinear principal resonance response of the elastically supported beams is investigated via nonlinear energy sink (NES).Based on Hamiltonian principle,the coupled motion equation of NES and the elastically support beam is established.Through numerical simulation,the vibration reduction effects of NES with different parameters are compared.The energy consumption and vibration suppression of the main structure under NES is studied using energy method.The results show that when using NES,the response amplitude of the system is significantly suppressed;as time increases,the total energy of the system decreases significantly and tends to stable;reasonable selection of parameters of NES can improve the efficiency of vibration control for the elastically supported beams.Key words :vibration and wave;elastically supported beam;nonlinear energy sink;vibration mitigation;energy method梁结构作为基本构件广泛应用于工程结构，其在外部荷载和环境作用下易发生大幅振动。